Problemas sobre DIFERENCIAIS

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Lista de Problemas ( Clique no Nº do exercício para ver a solução ) 
1 ) Se y = 2x² - 6x + 5 , calcule o acréscimo ∆y para x = 3 e ∆x = 0,01 
2 ) Se y = 6x² - 4 , calcule ∆y e dy para x = 2 e ∆x = 0,001 
3 ) Calcule um valor aproximado para 3 5,65 usando diferenciais. 
4 ) Calcule um valor aproximado para 50 usando diferenciais. 
5 ) Calcule um valor aproximado para 3 5,63 usando diferenciais. 
6 ) Calcule um valor aproximado para 4 13 usando diferenciais. 
7 ) Calcule um valor aproximado para 5 35 usando diferenciais. 
8 ) Calcule um valor aproximado para °46tg usando diferenciais. 
9 ) Calcule um valor aproximado para °62sen usando diferenciais. 
10 ) Calcule um valor aproximado para °61cos usando diferenciais. 
11 ) Calcule um valor aproximado para °59sen usando diferenciais. 
11.1 ) ( Granville ) Se e o possível erro na medida de x é 0,9 quando x = 27 , qual será erro possível no valor 
de y ? Use este resultado para obter valores aproximados de : ( ) ( )3232 1,26e9,27 
 
11.2 ) ( Granville ) Se Ln(10) = 7,303 , aproxime Ln(10,2) por diferenciais 
 
11.3 ) ( Granville ) Use diferenciais para achar um valor aproximado de . 
 
11.4 ) ( Granville ) Use diferenciais para achar um valor aproximado de . 
 
11.5 ) ( Granville ) Se , aproxime por meio de diferenciais . 
 
11.6 ) ( Granville ) Mostre com o uso de diferenciais que (aproximadamente). 
11.7 ) ( Granville ) Mostre que erro relativo no volume de uma esfera, devido a um erro na medida do diâmetro, é três 
vezes o erro relativo no raio . 
11.8 ) ( Granville ) Mostre que o erro relativo na n-ésima potência de um número é n vezes o erro relativo no número. 
 
11.9 ) ( Granville ) Mostre que o erro relativo na raiz n-ésima de um número é 1/n vezes o erro relativo no número. 
 
11.10 ) ( Granville ) Ache uma fórmula aproximada para o volume de uma delgada coroa cilíndrica de raio R , altura h 
e espessura t . 
 
11.11 ) ( Piskounov ) Utilizando a noção de diferencial, explicar a proveniência das fórmulas aproximadas de 
 
2
3 32
a3
b
abae
a2
b
aba +≈++≈+
 , 
em que | b | é um número pequeno em relação a a . 
 
12 ) Encontre a diferencial das seguintes funções : 
a) ( )x4x3Lny 2 −= 
b) 
xe
1x
y
+
=
 
c) ( )6x5seny 2 += 
 
39,7e2 = 1,2e
2x
dx
x
1
dxx
1
−=
+
3
2
xy =
13 ) ( Diva Flemming ) Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm. Se 
o lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. 
 
14 ) ( Righetto e Ferraudo ) Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 cm, cujo raio 
interno mede 5 cm e o externo 5,25 cm . 
 
15 ) ( Diva Flemming ) Ache o valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12m, raio interior 
7m e espessura 0,05m . Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais ? 
 
16 ) ( Diva Flemming ) Use diferenciais para obter o aumento aproximado no volume da esfera quando o raio varia de 3 
cm a 3,1 cm. 
 
17 ) ( Diva Flemming ) Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é 
sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é 12 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que 
origina um aumento de 2cm³ no volume da pilha 
 
18 ) ( Diva Flemming ) Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se 
que cada um de seus lados mede 1200m, com um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o possível 
erro no cálculo da área do terreno. 
 
19 ) ( Diva Flemming ) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de lado. 
Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 1/2 cm a mais. Usando diferencial, encontrar o 
aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. 
 
20 ) ( Leithold ) A medida da aresta de um cubo é 15 cm, com um erro possível de 0,01 cm. Use diferenciais para 
encontrar o erro aproximado do cálculo (a) do volume ; (b) da área de uma das faces 
 
21 ) ( Leithold ) Uma caixa de metal na forma de um cubo deve ter um volume interior de 1.000 cm³. Os seis lados são 
feitos de metal com 1/2 cm de espessura. Se o custo do material for de R$ 0,20 por centímetro cúbico, use diferenciais 
para encontrar o custo aproximado do metal a ser usado na confecção da caixa. 
 
22 ) ( Leithold ) O talo de determinado cogumelo tem uma forma cilíndrica e um talo com 2 cm de altura e r cm de raio 
tem um volume de V cm³, onde V = 2 pi r². Use a diferencial para encontrar o aumento aproximado no volume do talo, 
quando o raio passa de 0,4 para 0,5 cm. 
 
23 ) ( Leithold ) Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo, tal que se r cm for o raio e A cm² 
for a área da queimadura, então A = pi r². Use a diferencial para encontrar o decréscimo aproximado da área da 
queimadura quando o raio passa de 1 para 0,8cm. 
 
24 ) ( James Stewart ) Use diferenciais para estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada de 0,05 
cm de tinta a um domo com diâmetro de 50 m . 
 
25 ) ( Leithold ) A medida da resistência elétrica de um fio é proporcional à medida de seu comprimento e inversamente 
proporcional ao quadrado da medida de seu diâmetro. Suponha que a resistência de um fio de um determinado 
comprimento seja calculada a partir da medida de seu diâmetro, com um erro possível de 2% . Ache o erro percentual 
possível no cálculo do valor da resistência. 
 
26 ) ( Granville ) O tempo de uma oscilação de um pêndulo é dado pela fórmula onde T é medido em 
 
segundos, g = 32,2 e L , o comprimento do pêndulo, é medido em centímetros. Achar : 
(a) o comprimento de um pêndulo oscilando uma vez por segundo; 
(b) a mudança em T quando o pêndulo de (a) é alongado de 0,01 cm; 
(c) de quanto se atrasará ou se adiantará por dia um relógio com este erro ? 
 
27 ) ( Leithold ) Se t segundos for o tempo necessário a uma oscilação completa de um pêndulo simples com L metros, 
então 4 pi² L = g t² , onde g = 9,8 m/s². Um relógio tendo um pêndulo com 1 m de comprimento adianta 5 min por dia. 
Ache aproximadamente o quanto deve aumentar o comprimento do pêndulo para que o relógio seja acertado. 
 
g
L..4
T
2
2 pi
=
28 ) ( Munen Foulis ) O período de oscilação de um pêndulo de comprimento L unidades é dado por g/L2T pi= , 
onde g é a aceleração da gravidade em unidades de comprimento por segundo e T está em segundos. Ache a 
percentagem aproximada que o pêndulo de um relógio de pé terá se alongado se o relógio adianta 3 minutos em 24 
horas. 
 
28.1 ) ( H. B. Phillips ) O período de vibração de um pêndulo simples de comprimento L é 
g
L
2T pi= 
Se um relógio atrasa 1 segundo por dia, determinar aproximadamente o erro do comprimento do seu pêndulo. 
 
28.2 ) ( George B Thomas ) Quando o comprimento L do pêndulo de um relógio é mantido constante, controlando-se a 
temperatura, o período T do pêndulo depende da aceleração g da gravidade. Portanto, o período variará ligeiramente 
à medida que o relógio for deslocado para diferentes posições na superfície da Terra, dependendo das variações de g . 
Acompanhando-se as variações de ∆T , podemos estimar a variação de g pela equação ( ) 21g/L2T pi= que relaciona 
T , g e L . 
 
(a) Mantendo-se L constante e sendo g a variável independente, calcule dT e use-o para responder aos itens (b) e (c) . 
(b) Se g aumenta, T vai aumentar ou diminuir ? Um relógio de pêndulo adiantará ou atrasará ? Explique. 
(c) Um relógio cujo pêndulo mede 100cm é deslocado de um lugar (onde g = 980cm/s2 para outro. Isso aumenta o 
período em dT =0,001 s. Determine dg e estime o valor de g nesse outro lugar. 
 
28.3 ) ( Swokowski ) A fórmula 
g
L2T pi= relaciona o comprimento L de um pêndulo com seu período T ; g é uma 
constante gravitacional. Que variação percentual do comprimento L corresponde a um aumento de 30% no período T 
? 
29 ) ( Munen Foulis ) A força atrativa entre partículas elétricas de cargas opostas é dada por F = k/x² , onde x é a 
distância entre as partículas e k é uma certa constante. Se x cresce de 2%, ache a porcentagem aproximada de 
decréscimo de F . 
 
30 ) ( Munen Foulis ) A região entre dois círculos concêntrico no plano é chamada de ânulo . Achar : 
(a) a área de um ânulo de raio interno 5 cm e raio externo 81/16 cm ; 
(b) uma aproximação para a área exata encontrada na parte a) pelo uso de diferenciais. 
 
31 ) ( Munen Foulis ) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta segundo a equação 3t2tS 331 +−= , onde t 
é o tempo decorrido em segundos e S é a distância orientada, medida em metros, da origem até a partícula. Ache a 
distância aproximada coberta pela partícula no intervalo de t = 2 até t = 2,1 segundos. 
 
32 ) ( James Stewart ) Sabe-se que um lado de um triângulo retângulo mede 20 cm de comprimento e o ângulo oposto 
foi medido como 30°, com um erro possível de ± 1°. 
 
(a) use diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa; 
(b) qual é o erro percentual ? 
 
33 ) ( James Stewart ) A circunferência de uma esfera mede 84 cm, com erro possível de 0,5 cm. 
 
(a) Use diferenciais para estimar o erro máximo na área calculada da superfície. Qual o erro relativo? 
(b) Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo no volume calculado. Qual o erro relativo? 
 
34 ) ( James Stewart ) Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguíneo, o fluxo Φ (o volume de sangue por 
unidade de tempo que passa por um ponto dado) é proporcional à quarta potência do raio R do vaso : Φ = k R4 . Esta 
equação é conhecida como a Lei de Poiseuille . Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma 
operação chamada angioplastia, na qual um cateter-balão é inflado dentro da artéria a fim de aumentá-la e restaurar o 
fluxo normal do sangue. 
Mostre que uma variação relativa em Φ é cerca de quatro vezes a variação relativa em R . Como um aumento de 5% 
no raio afeta o fluxo do sangue ? 
 
35 ) ( James Stewart ) Se uma corrente i passar por um resistor com resistência R, a Lei de Ohm afirma que a queda de 
voltagem é V = Ri . Se V for constante e R for medida com um certo erro, use diferenciais para mostrar que o erro 
relativo no cálculo de I é aproximadamente o mesmo (em módulo) que o erro relativo em R . 
 
36 ) ( George B Thomas ) Um agrimensor a 30 metros da base de um edifício mede o ângulo de elevação até o topo do 
edifício como 75°. Que exatidão deve apresentar a medição desse ângulo para que o erro percentual na estimativa da 
altura do edifício seja inferior a 4% ? 
 
36.1 ) ( George B Thomas ) A altura e o raio de um cilindro reto são iguais. Sendo o volume desse cilindro dado por 
 V = piR²h , o mesmo deve ser calculado com erro não maior que 1% em relação ao valor real. Determine 
aproximadamente o maior erro que pode ser tolerado na medida de h , expressando-o como porcentagem de h . 
 
37 ) ( George B Thomas ) Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do diâmetro interno de um tanque 
cilíndrico de armazenagem com 10 m de altura para que o cálculo de seu volume fique a 1% do valor real ? 
Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do diâmetro externo desse tanque para que o cálculo da quantidade 
de tinta para pintar sua parede fique a no máximo 5% da quantidade real ? 
 
38 ) ( George B Thomas ) Uma empresa foi contratada para cunhar moedas para o governo federal. Que variação dr pode 
ser tolerada no raio r das moedas para que o peso das moedas não exceda 1/1.000 do peso ideal ? Suponha que não 
haja variação da espessura das moedas. 
 
39 ) ( George B Thomas ) O lucro P de certo fabricante, ao vender x itens, é 
 
400
x
ex200)x(P
−
= reais 
Estime a variação e a variação percentual conforme as vendas aumentam de x = 145 para x = 150 itens. 
 
40 ) ( George B Thomas ) A quantidade de trabalho realizado pela principal câmara de bombeamento do coração, o 
ventrículo esquerdo, é dada pela equação 
g2
vV
PVW
2δ
+= 
onde W é o trabalho por unidade de tempo, P é a pressão arterial média, V é o volume de sangue bombeado por 
unidade de tempo, δ é a densidade do sangue, v é a velocidade média do sangue ejetado e g é a aceleração da 
gravidade. 
Quando P, V, δ e v permanecem constantes, W se torna uma função de g e a equação toma a forma de 
) constantes b a, (
g
b
aW += 
Como membro da equipe médica da Nasa, você quer saber qual é a sensibilidade de W às variações aparentes de g 
causadas pelas manobras de vôo, e isso depende do valor inicial de g . Como parte de seu estudo você decide comparar 
o efeito em W causado por dada variação dg na superfície da Lua, onde g = 5,2 pés/s2, com o efeito que a mesma 
variação dg teria na Terra, onde g = 32 pés/s2. Utilize a equação simplificada para determinar a razão dWLua sobre 
dWTerra . 
 
41 ) ( Munen Foulis ) O preço total em reais de produção de x brinquedos é 
 75x11
100
x3
15000
x
C
23
++−= , 
e cada brinquedo é vendido a R$ 10,00 . 
 
(a) Ache o lucro total L em função de x. 
(b) Ache dL em termos de x e dx. 
(c) Quando o nível de produção varia de x = 350 para x = 355 qual a variação aproximada em P 
 
42 ) ( Munen Foulis ) A lei de expansão adiabática de um certo gás é CPV 7,1 = , onde V é o volume do gás, P é a 
pressão do gás e C é uma constante. 
Deduza a equação 0
V
dV7,1
P
dP
=+ 
 
43 ) ( Howard Anton ) Uma barra de metal medindo 15 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro está coberta, exceto nas 
pontas, por uma camada de isolante com uma espessura de 0,1 cm Use diferenciais para estimar o volume do isolante. 
{Sugestão : Seja ∆V a variação no volume da barra.} 
 
44 ) ( Howard Anton ) O tempo necessário para uma oscilação completa de um pêndulo é denominado período . Se o 
comprimento L do pêndulo e a oscilação forem pequenos, então o período será dado por g/L2P pi= , onde g é a 
aceleração constante devida à gravidade. Use diferenciais para mostrar que o erro percentual em P é 
aproximadamente a metade do erro percentual em L . 
 
45 ) ( Howard Anton ) Se a temperatura T de uma barra de metal medindo L de comprimento variar por uma quantidade 
∆T, então o comprimento irá variar por uma quantidade ∆L = α L ∆T , onde α é denominado coeficiente de expansão 
linear . Para variações moderadas na temperatura, α pode ser considerado constante. 
 
(a) Suponha que a barra tem 40 cm de comprimento a 20°C e, quando a temperatura passa a ser 30°C, o comprimento 
encontrado é de 40,006 cm. Encontre α . 
 
(b) Se um poste de alumínio tem um comprimento de 180 cm a 15°C, qual será seu comprimento se a temperatura for 
elevada para 40°C ? 
 { Tome α = 2,3x10-5 /°C. } 
 
46 ) ( Howard Anton ) O lado de um quadrado mede aproximadamente 10 m, com erro possível de ± 0,1 m. 
 
(a) Use diferenciais para estimar o erro na área calculada. 
(b) Estime o erro percentual no lado e na área. 
 
47 ) ( Howard Anton ) O lado de um cubo mede aproximadamente 25 cm, com erro possível de ± 1 cm 
(a) Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado. 
(b) Estime os erros percentuais no lado e no volume. 
 
48 ) ( Howard Anton ) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede exatamente 10 cm, e um dos ângulos agudos mede 
30°, com erro possível de ± 1°. 
 
(a) Use diferenciais para estimar os erros nos lados opostos e adjacente ao ângulo medido. 
(b) Estime os erros percentuais nos lados. 
 
49 ) ( Howard Anton ) Um lado de um triânguloretângulo mede exatamente 25 cm. O ângulo oposto a este lado mede 
60°, com erro possível de ± 0,5°. 
 
(a) Use diferenciais para estimar o erro no lado adjacente e na hipotenusa. 
(b) Estime os erros percentuais no lado adjacente e na hipotenusa. 
 
50 ) ( Howard Anton ) A resistência elétrica R de um fio é dada por R = k/r 2 , onde k é uma constante e r , o raio do 
fio. Supondo que o raio tenha um erro possível de ±5% , use diferenciais para estimar o erro percentual em R ( 
supondo k exato ). 
 
51 ) ( Howard Anton ) Uma escada com 12 m está apoiada em uma parede e faz um ângulo θ com o chão. Se o topo da 
escada está a uma altura de h metros na parede, expresse h em termos de θ e, então, use dh para estimar a variação 
em h se θ variar de 60° a 59° . 
 
52 ) ( Howard Anton ) A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa H é calculada pela fórmula 
θ= 2senHA 2
4
1
 , onde θ é um dos ângulos agudos. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H 
= 4 cm (exatamente) e θ = 30° com erro possível de ± 15’ . 
 
 
 
 
53 ) ( Howard Anton )Se a temperatura T de um sólido ou líquido com volume V for alterada por uma quantidade ∆T, 
então o volume irá variar por uma quantidade ∆V = β.V. ∆T , onde β é denominado coeficiente de expansão 
volumétrica. Para variações moderadas na temperatura, β pode ser considerado constante. Suponha que um 
caminhão-tanque carregue 4.000 galões de álcool etílico a uma temperatura de 35°C e entregue sua carga, mais tarde, 
a uma temperatura de 15°C. 
Usando β = 7,5 x 10-4/°C para o álcool etílico, encontre o número de galões entregues. 
 
54 ) ( Swokowski ) - A Grande Pirâmide do Egito tem uma base quadrada de 230 m. Para estimar a altura h da 
pirâmide, um observador se coloca no ponto médio de um dos lados e olha para o vértice da pirâmide. O ângulo de 
elevação observado Φ é 52° . Qual deve ser a precisão desta medida para que o erro em h fique entre -1 m e 1 m ? 
 
55 ) ( Swokowski ) Um laboratório espacial circunda a Terra a uma altura de 240 km. Quando um astronauta olha para o 
horizonte, o ângulo da figura é de 74,525° , com um erro máximo possível de ± 0,5°. Use diferenciais para aproximar 
o erro no cálculo do raio da Terra feito pelo astronauta. 
 
56 ) ( Swokowski ) Se um objeto pesando W quilos é puxado ao longo de um plano horizontal por uma força aplicada a 
uma corda amarrada ao objeto e se a corda faz um ângulo θ com a horizontal, então a magnitude da força é dada por 
( )
θ+θµ
µ
=θ
cossen
W
F , 
onde µ é uma constante chamada coeficiente de fricção. Suponhamos uma caixa de 40 kg puxada ao longo do 
assoalho, e que µ = 0,2. Se θ varia de 45° para 46° , use diferenciais para aproximar a variação na força que deve ser 
aplicada. 
 
57 ) ( Swokowski ) Na eletricidade a lei de Ohm afirma que I = V/R , onde I é a corrente (em ampére), V é a força 
eletromotriz (em volts) e R é a resistência (em ohms). Mostre que dI e dR estão relacionados pela fórmula 
 
 R .dI + I .dR = 0 
 
58 ) ( Swokowski ) Se um projétil é lançado com velocidade inicial v0 a um ângulo α com a horizontal, sua altura 
máxima h e o alcance R são dados por 
g2
senv
h
22
0 α
= e 
Suponha que v0 = 30 m/s e g = 9,8 m/s 2 . Se α aumenta de 30° para 30°30’ , estime, por meio de diferenciais, as 
variações em h e R . 
 
59 ) ( Swokowski ) Quando um foco luminoso percorre uma trajetória semicircular, a iluminância Φ na superfície é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância d do foco e diretamente proporcional ao cosseno do ângulo θ 
entre a direção do fluxo luminoso e a normal à superfície. Se θ diminui de 21° para 20° e d é constante, aproxime, 
por diferenciais, o aumento percentual da iluminância . 
 
60 ) ( Swokowski ) A lei de atração gravitacional de Newton afirma que a força F de atração entre duas partículas de 
massas m1 e m2 é dada por 
 , 
 
onde G é uma constante e s é a distância entre as partículas. Se s = 20 cm, use diferenciais para aproximar a variação 
de s que aumente F em 10 %. 
 
61 ) ( Swokowski ) Em um ponto situado a 60 m da base de uma torre elétrica, o ângulo de elevação do topo do poste 
acusa uma medida de 60° , com erro possível de ± 0,15°. Use diferenciais para aproximar o erro na altura calculada da 
torre. 
 
62 ) ( Swokowski ) A areia que vaza de um depósito vai formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. 
Se, em certo instante, o raio é 10 cm, aproxime, por meio de diferenciais, a variação do raio que cause uma variação de 
2 cm³ no volume da pilha. 
 
63 ) ( Swokowski ) Pequenos erros em medidas de dimensões de grandes depósitos, ou containers, podem ter efeito 
grave sobre os volumes calculados. Um silo tem a forma de um cilindro circular encimado por um hemisfério. A altura 
do cilindro é exatamente 15 metros. O comprimento da circunferência da base é estimado em 10 m, com erro de ±0,15 
m. Calcule o volume do silo e use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo. Aproxime o erro médio e o erro 
percentual. 
g
cossenv2
R
2
0 αα
=
2
21
s
mm
GF =
64 ) ( Swokowski ) Um balão esférico está sendo inflado com gás. Por meio de diferenciais, aproxime o aumento da área 
da superfície do balão quando o diâmetro varia de 1 m para 1,01 m. 
 
65 ) ( Swokowski ) A frente de uma casa tem o formato de um quadrado encimado por um triângulo equilátero. Se o 
comprimento da base é de 5 m, com erro máximo de 0,01 m, calcule a área desta frente. Use diferenciais para estimar 
o erro máximo no cálculo da frente. Aproxime o erro médio e o erro percentual. 
 
66 ) ( Swokowski ) Um triângulo isósceles tem os lados iguais com 25 cm cada. Se o ângulo θ entre esses lados aumenta 
de 30° para 33° , use diferenciais para aproximar a variação da área do triângulo. Encontre o erro médio e o erro 
percentual. 
 
67 ) ( Swokowski ) A constrição de arteríolas é uma das causas de pressão elevada. Verificou-se experimentalmente 
que, quando o sangue flui por uma arteríola de comprimento fixo, a diferença de pressão entre as duas extremidades da 
arteríola é inversamente proporcional à quarta potência do raio. Se o raio de uma arteríola diminui de 10%, calcule, 
por meio de diferenciais, a variação percentual na diferença de pressão. 
 
68 ) ( Swokowski ) A resistência elétrica R de um fio é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente 
proporcional ao quadrado do seu diâmetro. Se o comprimento é fixo, qual deve ser a precisão da medida do diâmetro 
(em termos de erro percentual) para manter o erro percentual de R entre -3% e 3% ? 
 
69 ) ( H. B. Phillips ) Determina-se a área de um retângulo medindo seus lados x e y . Se a medida x é feita com um erro 
de 1% para mais e a de y com 1/2% para menos , determinar o erro percentual da área. 
 
70 ) ( H. B. Phillips ) 
 Determina-se o volume de um cilindro partindo do seu raio e da sua altura. Se as medidas destes comprimentos 
tiverem erro inferior a 1%, determinar o erro máximo do volume calculado. 
 
71 ) ( H. B. Phillips ) O período de vibração de um pêndulo de comprimento L é determinado pela equação 
 
g
L
2T pi= . 
Determinar o erro máximo do valor calculado para T em conseqüência de erros de 1% nas medidas de L e g 
. 
72 ) ( H. B. Phillips ) Calcula-se o raio de uma bola esférica partindo do seu peso e da densidade do material de que é 
feita. Admitindo que se tenha cometido um erro de 0,5% na pesagem da bola e de 1% na determinação da sua 
densidade, que erro máximo pode resultar na determinação do raio ? 
 
73 ) ( Granville ) Ache uma fórmula aproximada para a área de uma coroa circular de raio R e largura dR. Qual a 
fórmula exata ? 
 
74 ) ( Granville ) Quais os erros aproximados no volume e na área de um cubo de aresta igual a 6 cm seum erro de 0,02 
cm foi feito ao se medir a aresta ? 
 
75 ) ( Granville ) As fórmulas para a área e o volume de uma esfera são, respectivamente, 
 
32 R
3
4
VeR4A pi=pi= 
Mediu-se o raio e achou-se 3 cm. Pergunta-se (a) qual o máximo erro aproximado em A e em V se se mediu com a 
aproximação de 0, 01 cm ? (b) qual o máximo erro percentual em dada caso ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
01) Se y = 2x² - 6x + 5 , calcule o acréscimo ∆y para x = 3 e ∆x = 0,01 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0602,0y53.63.2501,3.601,3.2y
3f01,3fy
3f01,03fy
xfxxfy
22
11
=∆→+−−+−=∆
−=∆
−+=∆
−∆+=∆
 
 
 
 
02) Se y = 6x² - 4 , calcule ∆y e dy para x = 2 e ∆x = 0,001 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
024006,0y
204001,2.6y
42.64001,2.6y
2f001,2fy
2f001,02fy
xfxxfy
2
22
11
=∆
∴
−−=∆
−−−=∆
−=∆
−+=∆
−∆+=∆
 
 
 
024,0dy001,0.2.12dy
dx.x12dy
dx.)x('fdy
=→=
=
=
 
 
 
 
03) Calcule um valor aproximado para 3 5,65 usando diferenciais. 
 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
03125,45,65
03125,045,65
5,1.
643
1
645,164
x.
x3
1
xxx
dyxxx
3
3
3 2
33
3 2
33
33
≅∴
+≅
+≅+
∆+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
x.)x('fdy ∆=
04) Calcule um valor aproximado para 50 usando diferenciais. 
 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
071,750
071,0750
1.
492
1
49149
x.
x2
1
xxx
dyxxx
≅∴
+≅
+≅+
∆+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
 
05) Calcule um valor aproximado para 3 5,63 usando diferenciais. 
 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
9895,35,63
0104,045,63
5,0.
643
1
645,064
x.
x3
1
xxx
dyxxx
3
3
3 2
33
3 2
33
33
≅∴
−≅
−≅−
∆+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
 
 
x.)x('fdy ∆=
06) Calcule um valor aproximado para 4 13 usando diferenciais. 
 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
906,113
09375,0213
3.
164
1
16316
x.
x4
1
xxx
dyxxx
4
4
4 3
44
4 3
44
44
≅∴
−≅
−≅−
∆+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
07) Calcule um valor aproximado para 5 35 usando diferenciais. 
 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
0375,235
0375,0235
3.
325
1
32332
x.
x5
1
xxx
dyxxx
5
5
5 4
55
5 4
55
55
≅∴
+≅
+≅+
∆+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x.)x('fdy ∆=
x.)x('fdy ∆=
08) Calcule um valor aproximado para °46tg usando diferenciais. 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 034,146tg
034,01145tg
0174,0.
5,0
1
1145tg
180
.
45cos
1
45tg145tg
1.45sec.145tg145tg
x.xsec.1xtgxxtg
dyxtgxxtg
2
2
2
≅°∴
+≅°+°
+≅°+°
°
pi
°
+°≅°+°
°°+°≅°+°
∆+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
09) Calcule um valor aproximado para °62sen usando diferenciais. 
 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 8835,062sen
01745,086603,062sen
180
2
.5,086603,062sen
2.60cos.160sen260sen
x.xcos.1xsenxxsen
dyxsenxxsen
≅°∴
+≅°
°
pi
+≅°
°°+°≅°+°
∆+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
 
 
 
 
x.)x('fdy ∆=
x.)x('fdy ∆=
10) Calcule um valor aproximado para °61cos usando diferenciais. 
 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 4849,061cos
01512,05,061cos
180
.86603,05,061cos
1.60sen.160cos160cos
x.xsen.1xcosxxcos
dyxcosxxcos
≅°∴
−≅°
°
pi
−≅°
°°−°≅°+°
∆−≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
11) Calcule um valor aproximado para °59sen usando diferenciais. 
 
Temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita 
como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
ou seja, 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 8573,061sen
00872,086603,061sen
180
.5,086603,061sen
1.60cos.160sen160sen
x.xcos.1xsenxxsen
dyxsenxxsen
≅°∴
−≅°
°
pi
−≅°
°°−°≅°−°
∆+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
 
 
 
 
x.)x('fdy ∆=
x.)x('fdy ∆=
11.1) ( Granville ) Se 3
2
xy = e o possível erro na medida de x é 0,9 quando 
x = 27 , qual o erro possível no valor de y ? Use este resultado para 
obter valores aproximados de : ( ) ( )3232 1,26e9,27 
 
 
As funções são do tipo : nxy = e, daí, diferenciando tem-se : 
 
2,0dy9,0.
27
1
3
2
dx.
x
1
3
2
dx.xdy
333
2 3
1
=∴===
−
 
 
Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : 
 
)1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ 
 
Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser 
escrita como (2) e, daí, diferenciando ter-se-á : 
 
( )
( ) ( ) ( ) 2,99,272,092,0279,027
dyxxx
)2(dy)x(f)xx(f
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
≅∴+≅+≅+
+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
( )
( ) ( ) ( ) 8,81,262,099,0279,027
dyxxx
)2(dy)x(f)xx(f
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
≅∴−≅−≅−
+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
 
 
11.2) ( Granville ) Se Ln(10) = 2,303 , aproxime Ln (10,2) por diferenciais . 
 
A função é do tipo : )x(Lny = 
 
Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : 
 
)1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ 
 
Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser 
escrita como (2) e, daí, diferenciando ter-se-á : 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 323,22,10ln02,0303,22,010ln
2,0.
10
1
10ln2,010ln
dx.
x
1
xLnxxln
dyxLnxxln
)2(dy)x(f)xx(f
≅∴+≅+
+≅+
+≅∆+
+≅∆+
+≅∆+
 
 
 
Usando calculadora encontramos ln (10,2) = 2,322 
11.3) ( Granville ) Use diferenciais para achar um valor aproximado de 
96
1 . 
 
A função é do tipo : 
x
1
y = 
 
Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : 
 
)1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ 
 
Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser 
escrita como (2) e, daí, diferenciando ter-se-á : 
 
0096,0
96
1
4.0004,001,0
96
1
4.
100
1
100
1
4100
1
dx.
x
1
x
1
xx
1
dy
x
1
xx
1
)2(dy)x(f)xx(f
2
2
≅∴+≅
−≅
−






−+≅
∆+
+≅
∆+
+≅∆+
 
 
Usando calculadora encontramos 0104,0
96
1 ≅ 
 
 
11.4) ( Granville ) Use diferenciais para achar um valor aproximado de 
51
1 . 
A função é do tipo : 
x
1
y = 
 
Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : 
 
)1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ 
 
Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser 
escrita como (2) e, daí, diferenciandoter-se-á : 
 
1399,0
51
1
343
1
7
1
51
1
2.
49.49.2
1
49
1
249
1
dx.
x.x2
1
x
1
xx
1
dy
x
1
xx
1
)2(dy)x(f)xx(f
≅∴−≅
−≅
+








−+≅
∆+
+≅
∆+
+≅∆+
 
 
Usando calculadora encontramos 1400,0
51
1 ≅ 
11.5) ( Granville ) Se 39,7e2 = , aproxime 1,2e por meio de diferenciais . 
 
A função é do tipo : xey = 
 
Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : 
 
)1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ 
 
Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser 
escrita como (2) e, daí, diferenciando ter-se-á : 
 
( )
( )
13,8e1,139,7e
1,0139,7e
dx1ee
dx.eee
dyee
)2(dy)x(f)xx(f
1,21,2
1,02
21,02
xxxx
xxx
≅∴×≅
+≅
+≅
+≅
+≅
+≅∆+
+
+
∆+
∆+
 
 
Usando calculadora encontramos 17,8e 1,2 ≅ 
 
 
 
11.6) ( Granville ) Mostre com o uso de diferenciais que 
2x
dx
x
1
dxx
1
−=
+
 
(aproximadamente). 
 
Seja a função : 
x
1
y = 
 
Temos : 
 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
 
Para valores pequenos de ∆x, temos que dxx =∆ e dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser 
escrita como (2) e, daí, diferenciando tem-se : 
 
( ) ( )
22 x
dx
x
1
dxx
1
dx.
x
1.10.x
x
1
dxx
1
)2(dyxfdxxf
−≅
+
∴




 −
+≅
+
+≅+
11.7) ( Granville ) Mostre que erro relativo no volume de uma esfera, devido a 
um erro na medida do diâmetro, é três vezes o erro relativo no raio . 
 
Temos que 3R
3
4
V pi= e como 
2
D
R = , temos : 
 
6
D
V
8
D
3
4
V
33 pi
=⇒
pi
= 
 
Diferenciando V, tem-se : dD.
2
D
dV
2pi
= 
 
Daí, 
( )
R
dR
.3
R2
dR.2.3
R2
R2d
.3
D
dD
.3dD.
D
6
2
D
6
D
dD.
2
D
V
dV
V3
2
3
2
V
V
=ε⇒===
pi
pi
=
pi
pi
=ε
=ε
 
 
11.8) ( Granville ) Mostre que o erro relativo na n-ésima potência de um 
número é n vezes o erro relativo no número. 
 
Sendo nxy = ⇒ dx.x.ndy 1n−= 
 
 
Daí, 
x
dx
.n
.x
dx.x.x.n
x
dx.x.n
y
dy
rn
1n
n
1n
r =ε⇒===ε
−
−
 
 
 
 
11.9) ( Granville ) Mostre que o erro relativo na raiz n-ésima de um número é 
 1/n vezes o erro relativo no número. 
 
Sendo n xy = ⇒ dx.
x.n
1
dy
n 1n−
= 
 
 
Daí, 
 
x
dx
.
n
1
x.n
dx
x.x.n
dx
x.x.n
dx
x
dx.
x.n
1
y
dy
rn 1nnn 1n
r
n
n 1n
r
r
=ε⇒===ε
=ε
=ε
−−
−
 
11.10) ( Granville ) Ache uma fórmula aproximada para o volume de uma delgada coroa 
cilíndrica de raio R , altura h e espessura t . 
 
Volume do cilindro : hRV 2pi= 
 
 
Diferenciando V, tem-se : dr.h.R.2dV pi= 
 
 
Como dR = t , temos : t.h.R.2dV pi= 
 
 
 
 
 
 
11.11) ( Piskounov ) Utilizando a noção de diferencial, explicar a proveniência das 
fórmulas aproximadas de 
2
3 32
a3
b
abae
a2
b
aba +≈++≈+ , 
 
em que | b | é um número pequeno em relação a a . 
 
Seja a função : xy = 
 
O incremento ∆y será : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+⇒−∆+≅∆ 
 
No entanto, ∆x = dx e para pequenos valores de ∆x temos que dyy ≅∆ , o que nos 
permite escrever (1) como : 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ , onde x'.ydy ∆= 
 
Daí, 
a2
b
abab.
a2
1
aba
dx.
x2
1
xxx
2
2
22 +≅+⇒+≅+
+≅∆+
 
 
 
Analogamente, 
 
Seja a função : 3 xy = 
 
( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ 
 
 
Daí, 
2
2
3 2
3 33 3
3 2
33
a3
b
abab.
a3
1
aba
dx.
x3
1
xxx
+≅+⇒+≅+
+≅∆+
 
 
12) Encontre a diferencial das seguintes funções : 
 
a) ( )x4x3Lny 2 −= 
 
Temos : dx.)x('fdy ou x.)x('fdy =∆= 
 ( )
dx.
x4x3
4x6
dy
dx.
x4x3
'x4x3
dy
2
2
2
−
−
=
∴
−
−
=
 
 
 
 
b) xe
1x
y
+
= 
 
Temos : dx.)x('fdy ou x.)x('fdy =∆= 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )[ ]
dx.
e
x
dydx.
e
1x1e
dy
dx.
e
e.1.1xe
dy
dx.
e
e.'x.1x1.e
dy
dx.
e
'e.1x'1x.e
dy
xx2
x
x2
xx
x2
xx
2x
xx
−
=∴
+−
=
+−
=
+−
=
+−+
=
 
 
 
 
 
c) ( )6x5seny 2 += 
 
Temos : dx.)x('fdy ou x.)x('fdy =∆= 
 ( ) ( )
( ) dx.6x5cos.x10dy
dx.6x5cos'.6x5dy
2
22
+=
∴
++=
 
 
13) ( Diva Flemming ) Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento 
externo com espessura de 1/4 cm. Se o lado da caixa é de 2 m, usando 
diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. 
 
O volume do cubo é dado por : 3xV = 
Note que o lado interno da caixa é 2m ou 200 cm . 
Ao acrescentar 1/4 cm (0,25 cm) de revestimento, o lado externo da caixa aumenta 
0,5cm . 
 
Usando a definição de ∆y , temos: 
 
( ) ( )
( )
( )
) exato volume( cm125,150.60V
2005,200V
V2005,0200
Vxxx
yxfxxf
3
33
33
33
≅∆∴
−≅∆
∆+≅+
∆+≅∆+
∆+≅∆+
 
 
 
Usando a definição de diferencial, temos: 
 
3
2
2
cm000.60dV
5,0.2003dV
x.x3dV
x.)x('fdV
=∴
×=
∆=
∆=
 
 
 
14) ( Righetto e Ferraudo ) Ache o valor aproximado do volume de uma parede 
cilíndrica de altura 10 cm, cujo raio interno mede 5 cm e o externo 5,25 
cm . 
 
O volume de um cilindro é dado por: h.r.V 2pi= 
 
Usando a definição de ∆y , temos: 
 
( ) ( )
( )
( )
) exato volume( cm625,25V
250625,275V
V25010.25,5.
V10.5.10.25,05.
yxfxxf
3
2
22
pi≅∆∴
pi−pi≅∆
∆+pi≅pi
∆+pi≅+pi
∆+≅∆+
 
 
Usando a definição de diferencial, temos: 
 
3cm25dV25,0.10.5..2dV
x.h.r..2dV
x.)x('fdV
pi=∴pi=
∆pi=
∆=
 
 
 
 
10 cm 
15) (Diva Flemming ) Ache o valor aproximado para o volume de uma fina coroa 
cilíndrica de altura 12m, raio interior 7m e espessura 0,05m . Qual o 
erro decorrente se resolvermos usando diferenciais ? 
 
O volume de um cilindro é dado por: h.r.V 2pi= 
 
Usando a definição de ∆y , temos: 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
) exato volume( m43,8V
705,7.12V
12.7.12.05,7.V
V12.7.12.05,7.
V12.7.12.05,07.
yxfxxf
3
22
22
22
22
pi≅∆∴
−pi≅∆
pi−pi≅∆
∆+pi≅pi
∆+pi≅+pi
∆+≅∆+
 
 
Usando a definição de diferencial, temos: 
 
3m4,8dV
05,0.12.7..2dV
x.h.r..2dV
x.)x('fdV
pi=∴
pi=
∆pi=
∆=
 
 
Portanto, o erro cometido na aproximação usada vale : 
 
 ∆V – dV = 8,43 pi - 8,4 pi = 0,03 pi m³ 
 
 
16) ( Diva Flemming ) Use diferenciais para obter o aumento aproximado no 
volume da esfera quando o raio varia de 3 cm a 3,1 cm. 
 
O volume de esfera é dado por: 3R..
3
4
V pi= 
 
Usando diferenciais, temos : 
 
32
2
cm3097,11dV1,0.3..4dV
R.R..4dV
R.)V('fdV
x.)x('fdy
=∴pi=
∆pi=
∆=
∆=
 
 
 
Observação: 
Usando a definição de ∆y , tem-se o aumento exato 
do volume : 
 
( ) ( )
( )
( )[ ]
 cm6909,11V
V31,3..
3
4
V3..
3
4
1,03..
3
4
yxfxxf
3
33
33
≅∆∴
∆≅−pi
∆+pi≅+pi
∆+≅∆+
 
17) ( Diva Flemming ) Um material está sendo escoado de um recipiente, 
formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se 
em dado instante o raio é 12 cm, use diferenciais para obter a variação 
do raio que origina um aumento de 2cm³ no volume da pilha 
 
O volume de um cone é dado por : h.R..
3
1
V 2pi= 
 
 
Como a altura h é sempre igual a R , podemos escrever o volume como : 
 
 3R..
3
1
V pi= 
 
 
Usando a definição de diferencial, temos : ( ) x.x'fdy ∆= 
 
Adaptando ao exercício, temos :( )
cm0044209,0RR.12.2
R.r.dV
R.r..3.
3
1
dV
R.x'fdV
2
2
2
=∆→∆pi=
∆pi=
∆pi=
∆=
 
 
 
 
 
Se usarmos a definição de ∆y , teremos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ 
 
 
Adaptando ao problema, temos: 
 
( ) ( )
( )
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )
0,0044193R : se-acima tem equaçãoa resolvendo
) grau 3º do equação ( 0R432R36)R(
)R()R(.12.3R.12.3
3
2
)R()R(R3RR3
3
V
R)R()R(R3RR3R
3
V
RRR
3
V
VR..
3
1
RR..
3
1
VVfRRf
623
322
322
33223
33
33
=∆
=−∆+∆+∆
∆+∆+∆pi≅
∆+∆+∆pi≅∆
−∆+∆+∆+pi≅∆
−∆+pi≅∆
∆+pi≅∆+pi
∆+≅∆+
pi
 
 
 
 
 
 
18) ( Diva Flemming ) Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a 
forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede 1200m, 
com um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o possível 
erro no cálculo da área do terreno. 
 
A área do quadrado é dada por : A = x2 
Sendo o erro estimado de no máximo 10 m , tal erro pode ser para mais ou para menos . 
 
Usando a definição de diferencial, tem-se: 
 
( )
( )
( ) 2m000.24dA10.1200.2dA
10.x.2dA
x.x'fdy
±=∴±=
±=
∆=
 
 
 
 
19) ( Diva Flemming ) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 
placas quadradas com 40 cm de lado. Depois que recebeu as placas 
verificou que os lados das placas tinham 1/2 cm a mais. Usando 
diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a 
ser usada. 
 
A área de um quadrado é dada por : 2xA = 
 
Como temos duas faces de cada placa a ser pintada, então : 2x.2A = 
 
E como temos 50 placas a serem pintadas, teremos finalmente : 
 
 ∴= 2x.2.50A 2x.100A = 
 
 
Usando diferenciais, temos : 
 
2cm000.4dA5,0.40.200dA
5,0.x.200dA
x.x.200dA
x.)x('fdy
=∴=
=
∆=
∆=
 
 
 
A área total a ser pintada é : 22 cm000.160A40.2.50A =∴= 
 
 
 
Logo, o aumento percentual aproximado de tinta a ser usado vale: 
 
%5,2x
000.160
400.000
x
% x ---------- 4.000 
100% --------- 000.160
=∴=
>
>
 
 
20) ( Leithold ) A medida da aresta de um cubo é 15 cm, com um erro possível de 
0,01 cm. Use diferenciais para encontrar o erro aproximado do cálculo 
(a) do volume ; (b) da área de uma das faces 
 
O volume de um cubo é dado por : 3xA = 
 
 
Usando a definição de diferencial , temos: 
 
( )
322
3
cm75,6dV01,0153dVx.x3dV
x'.xdV
x).x('fdy
=∴××=→∆=
∆=
∆=
 
 
 
 
 
A área de uma face do quadrado é dada por : 2xA = 
 
 
Usando a definição de diferencial, temos: 
 
( )
2
2
cm3,0dA01,0152dAx.x2dA
x'.xdA
x).x('fdy
=∴××=→∆=
∆=
∆=
 
 
 
 
21) ( Leithold ) Uma caixa de metal na forma de um cubo deve ter um volume 
interior de 1.000 cm³. Os seis lados são feitos de metal com 1/2 cm de 
espessura. Se o custo do material for de R$ 0,20 por centímetro cúbico, 
use diferenciais para encontrar o custo aproximado do metal a ser 
usado na confecção da caixa. 
 
Como o volume interno 1000xV 3 == , então : 
 
3 1000x = que é o lado interno do cubo. 
 
 
Aplicando a diferencial, temos: 
 
( )
3
3 2
23
2
cm300dV
1000.3dV
0,5)0,5 ( 1.1000.3dV
x.x3dV
x.)x('fdV
=∴
=
+=
∆=
∆=
 
 
 
Sendo R$ 0,20 o custo por cm³ na fabricação do metal, teremos: 
 
00,60$RCusto30020,0Custo =→×= 
 
 
 
 
 
22) ( Leithold ) O talo de determinado cogumelo tem uma forma cilíndrica e um 
talo com 2 cm de altura e r cm de raio tem um volume de V cm³, onde V = 2 pi 
r². Use a diferencial para encontrar o aumento aproximado no volume do 
talo, quando o raio passa de 0,4 para 0,5 cm. 
 
r..4'Vr..2V
2.r.V
h.r.V
2
2
2
pi=→pi=
pi=
pi=
 
 
 
Se o raio passa de 0,4 para 0,5 cm , então ∆ r = 0,1 cm 
 
 
Usando diferenciais, teremos: 
 
( )
( ) 3cm628,0dV1,0.5,0..4dV
0115,0.r..4dV
r'.VdV
x).x('fdy
=∴pi=
−pi=
∆=
∆=
 
 
 
 
 
 
23) ( Leithold ) Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um 
círculo, tal que se r cm for o raio e A cm² for a área da queimadura, 
então A = pi r². Use a diferencial para encontrar o decréscimo 
aproximado da área da queimadura quando o raio passa de 1 para 0,8cm. 
 
r..2'Vr.V 2 pi=→pi= 
 
 
Se o raio passa de 1 para 0,8 cm , então ∆ r = - 0,2 cm 
 
 
Usando diferenciais, teremos: 
 
( )
3cm4,0dV2,0.1..2dV
2,0.r..2dV
r'.VdV
x).x('fdy
pi=∴−pi=
−pi=
∆=
∆=
 
 
 
Observação : Sendo ∆V = - 0,2 é imediato que devemos usar o módulo do mesmo, pois 
caso contrário teríamos um volume negativo , o que não teria sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) ( James Stewart ) Use diferenciais para estimar a quantidade de tinta 
necessária para aplicar uma camada de 0,05 cm de tinta a um domo com 
diâmetro de 50 m . 
 
O volume de esfera é dado por: 3R..
3
4
V pi= 
Usando diferenciais, temos : 
 
33
2
2
m500.12oucm000.250.1dV
05,0.2500..4dV
R.R..4dV
R.)V('fdV
x.)x('fdy
pipi=∴
pi=
∆pi=
∆=
∆=
 
 
 
 
 
Usando a definição de ∆y , tem-se o aumento exato do volume : 
 
( ) ( )
( )
( )[ ]
 cm.025.250.1V
V250005,2500..
3
4
VR..
3
4
xx..
3
4
yxfxxf
3
33
33
pi≅∆∴
∆≅−pi
∆+pi≅∆+pi
∆+≅∆+
 
 
 
 
 
25) ( Leithold ) A medida da resistência elétrica de um fio é proporcional à medida de 
seu comprimento e inversamente proporcional ao quadrado da medida de seu 
diâmetro. Suponha que a resistência de um fio de um determinado comprimento seja 
calculada a partir da medida de seu diâmetro, com um erro possível de 2% . Ache o 
erro percentual possível no cálculo do valor da resistência. 
 
Pela informação dada no problema, temos que: 
2e D
L
kR = 
 
onde, Ré é a resistência elétrica e k uma constante 
de proporcionalidade. 
 
 
Como o comprimento do fio é determinado, então L também é constante. 
 
 
Aplicando a diferencial, temos: 
 
( )
( )
( )
eeee2e4
2
e
4e
4e
ee
R%4dRouR04,0dR
D
L.k.04,0
dR
D
D.04,0.L.k
dR
D
D02,0.D2.L.k
dR
D
D.D2.L.k
dR
D'.RdR
±=±=∴
±
=→
±
=
±−
=
∆−
=
∆=
 
 
 
** O erro percentual equivale a 4% do valor da resistência calculada. 
26) ( Granville ) O tempo de uma oscilação de um pêndulo é dado pela fórmula 
g
L..4
T
2
2 pi
=
 onde T é medido em segundos, g = 32,2 e L , o comprimento do pêndulo, é 
medido em centímetros. Achar (a) o comprimento de um pêndulo oscilando uma vez por 
segundo; (b) a mudança em T quando o pêndulo de (a) é alongado de 0,01 cm; 
(c) de quanto se atrasará ou se adiantará por dia um relógio com este erro ? 
 
O tempo necessário para uma oscilação completa ( ida e volta ) 
de um pêndulo, é denominado de período (T ). 
 
a) Se o pêndulo oscila uma vez por segundo, então T = 1 seg. e, daí, 
 
cm815,0L
4
2,32
L
2,32
L..4
1
g
L..4
T
2
2
2
2
2
=∴
pi
=⇒
pi
=⇒
pi
=
 
 
b) Podemos escrever a fórmula dada como : 
.seg00613,0T
2
T12,32
01,0T.
2
T.g
dL
: teremosl,diferenciaa aplicando e 
4
T.g
L
22
2
2
=∆∴
pi
∆××
=⇒∆
pi
=
pi
=
 
 
 
c) A fórmula dada nos diz que T é diretamente proporcional a L , ou seja, quanto maior o comprimento 
do pêndulo, maior o tempo gasto para uma oscilação completa. Logo, ocorrendo um aumento de 0,01 cm 
no comprimento, ocorrerá um atraso de 0,00613 seg. / oscilação. 
 
 
Durante um dia, ou seja, 24 h , temos : 
 
dia/oscilações86400h24.seg3600min60h1 =×⇒⇒ 
 
 
Como em cada oscilação ocorre um atraso de 0,00613 seg., temos : 
 
 dia/.seg632,52900613,086400.osc
seg
dia
.osc
=× 
 
daí, 
 
 
.seg49yseg. ymin 0,8272 
seg. 60 min1
e
.min8272,8xseg. 529,632 x 
seg 60 min1
 
 
 
 
=⇒ →
 →
=⇒ →
 →
 
 
 
Portanto, em 24 horas , teremos um atraso de 8 min 49 seg. 
 
 
 
Solução Alternativa : 
 
seg006,0seg
163
1
dT
815,02
01,01
L2
dLT
dT
T
dT
2
L
dL
dT.
gT
4
.
2
Tg
4
gT
dT.
2
Tg
L
dL
2
2
2
2
2
2
≈≈∴
×
×
==∴=→
pi
pi
=
pi
pi
=
 
 
 
Como queremos dT por dia, multiplicamos por 24h e depois por 60 minutos : 
 
dia porseg49min8dTdiamin/83,8
163
1440
6024
163
1
dT ≈∴≈=××=
27) ( Leithold ) Se t segundos for o tempo necessário a uma oscilação completa 
de um pêndulo simples com L metros, então 4 pi² L = g t² , onde g = 9,8 
m/s². Um relógio tendo um pêndulo com 1 m de comprimento adianta 5 min 
por dia. Ache aproximadamente o quanto deve aumentar o comprimento do 
pêndulo para que o relógio seja acertado. 
 
Temos : 
seg2t02,4t
8,9
1..4
g
L..4
t
22
2 ≅∴=⇒
pi
=
pi
=
 
 
Ou seja, t = 2 seg é o tempo de uma oscilação completa. 
 
 
Sabemos que em 1 dia temos 86.400 seg. e como uma oscilação 
completa leva 2 seg. , então em 1 dia temos 43.200 oscilações, isto é, 
 43.200 osc./dia . 
 
 
Se o relógio adianta 5 min/dia ou 300 seg./dia , temos : 
 
 
.osc/.seg00694,0
dia/.osc200.43
dia/.seg300
= 
 
 
ou seja, a cada oscilação completa (de 2 seg.) , o relógio adianta 0,00694 seg. 
 
 
Aplicando a diferencial, temos: 
 
cm7,0dLoum00689,0dL
2
00694,028,9
dL
t.
2
t.g
dL
t.'
4
t.g
dL
2
2
2
2
≅=∴
pi
××
=
∆
pi
=
∆








pi
=
 
 
ou seja, o comprimento do pêndulo deve ser aumentado de aproximadamente 0,7 cm a 
fim de que o relógio seja acertado. 
 
 
 
Solução alternativa : 
 
144
1
L
dL
60.24
5
.2
t
dt
.2dt.
gt
4
.
2
t.g
4
gt
dt.
2
t.g
L
dL
2
2
2
2
2
2
=∴==
pi
pi
=
pi
pi
=
 
 
Segue daí, que : 
 
cm7,0m007,0m
144
1
dL
144
1
144
L
dL
144
1
L
dL
≈≈≈∴==⇒= 
 
 
 
 
Acréscimo ou decréscimo no período 
Período total 
28) ( Munen Foulis ) O período de oscilação de um pêndulo de comprimento L unidades é 
dado por g/L2T pi= , onde g é a aceleração da gravidade em unidades de 
comprimento por segundo e T está em segundos. Ache a percentagem aproximada que o 
pêndulo de um relógio de pé terá se alongado se o relógio adianta 3 minutos em 24 
horas. 
 
De g/L2T pi= 
 
2
22
2
.4
T.g
L
g
L..4
T : deduz se
pi
=⇒
pi
=
 
 
ou seja, T seg é o tempo de uma oscilação completa . 
 
 
Sabemos que em 1 dia temos 86.400 seg. e como uma oscilação completa leva T seg. , então em 1 dia 
temos 
T
400.86 osc./dia . 
 
Se o relógio adianta 3 min/dia ou 180 seg./dia , temos : 
 
.osc/.segT.002,0
dia/.osc
T
400.86
dia/.seg180
≅
 
 
 
ou seja, a cada oscilação completa (de T seg.) , o relógio adianta 0,002.T seg. 
 
 
Aplicando a diferencial, temos: 
 
compr. de unidades
T.g.001,0
dL
2
T.002,0Tg
dL
t.
2
T.g
dL
2
2
2
2
pi
=∴
pi
××
=
∆
pi
=
 
 
Daí, 
 
% 0,4xx x dL
100% 100% L
2
2
2
2
gT0,001
 
4
gT 
=∴→→
 → →
pi
pi 
 
 
ou seja, o comprimento do pêndulo será alongado em aproximadamente 0,4% 
 
 
 
Solução alternativa : 
 
144
1
L
dL
60.24
5
.2
t
dt
.2dt.
gt
4
.
2
t.g
4
gt
dt.
2
t.g
L
dL
2
2
2
2
2
2
=∴==
pi
pi
=
pi
pi
=
 
 
Segue daí, que : 
 
cm7,0m007,0m
144
1
dL
144
1
144
L
dL
144
1
L
dL
≈≈≈∴==⇒= 
Acréscimo ou decréscimo no período 
Período total 
28.1) ( H. B. Phillips ) O período de vibração de um pêndulo simples de comprimento L é 
g
L
2T pi= 
Se um relógio atrasa 1 segundo por dia, determinar aproximadamente o erro do 
comprimento do seu pêndulo. 
 
Temos : ( )
2
22
2
4
Tg
L
2
gT
L
g
L
2
g
L
2T
pi
=∴







pi
=⇒pi=pi= 
 
onde T é o tempo de uma oscilação completa (em segundos) . 
 
 
Sabemos que em 1 dia temos 86400 segundos e como uma oscilação completa leva T 
segundos , então em 1 dia temos 
T
400.86 osc./dia . 
 
 
Se o relógio atrasa 1 seg/dia, temos : 
 
.osc/.seg
86400
T
dia/.osc
T
400.86
dia/.seg1
≈ 
 
ou seja, a cada oscilação completa (de T seg.) , o relógio atrasa 
86400
T
segundos . 
 
 
Aplicando a diferencial, temos: 
 
compr. de unidades
86400.2
T.g
dL
86400.2
TTg
dL
dT.
2
T.g
dL
2
2
2
2
pi
=∴
pi
××
=
pi
=
 
 
 
Daí, 
 
43200
L
dL
43200
1
L
dL
Tg
4
.
86400.2
Tg
4
gT
86400.2
Tg
L
dL
2
2
2
2
2
2
2
2
=⇒=∴
pi
pi
=
pi
pi
= 
 
 
Solução alternativa : 
 
43200
1
L
dL
60.60.24
1
.2
t
dt
.2dt.
gt
4
.
2
t.g
4
gt
dt.
2
t.g
L
dL
2
2
2
2
2
2
=∴==
pi
pi
=
pi
pi
=
 
 
Segue daí, que : 
 
43200
L
dL
43200
1L
dL
43200
1
L
dL
≈∴
×
=⇒= 
Acréscimo ou decréscimo no período 
Período total 
28.2) ( George B Thomas ) Quando o comprimento L do pêndulo de um relógio é mantido 
constante, controlando-se a temperatura, o período T do pêndulo depende da 
aceleração g da gravidade. Portanto, o período variará ligeiramente à medida que o 
relógio for deslocado para diferentes posições na superfície da Terra, dependendo 
das variações de g . Acompanhando-se as variações de ∆T , podemos estimar a 
variação de g pela equação ( ) 21g/L2T pi= que relaciona T , g e L . 
 
(a) Mantendo-se L constante e sendo g a variável independente, calcule dT e use-o 
para responder aos itens (b) e (c) . 
(b) Se g aumenta, T vai aumentar ou diminuir ? Um relógio de pêndulo adiantará ou 
atrasará ? Explique. 
(c) Um relógio cujo pêndulo mede 100cm é deslocado de um lugar (onde g = 980cm/s2 
para outro. Isso aumenta o período em dT = 0,001 s. Determine dg e estime o valor 
de g nesse outro lugar. 
 
(a) Diferenciando, com L constante, tem-se 
 
dg.
g
L.
dTdg.
g
L.
dT
dg.
g
L
.
g
L
.dT
dg.
g
L
.
g
L
.2.
2
1
dT
dg'.TdT
3
2
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
pi−
=⇒
pi−
−=
pi−=








−






pi=
=
−
−
−
 
 
(b) Se g aumenta ⇒ dT diminui ( inversamente proporcionais ) ; 
 
Se o período dT diminui ⇒ comprimento L diminui ⇒ o pêndulo do relógio 
aumenta de velocidade adiantando o horário pois fará mais oscilações por unidade 
de tempo. 
 
(c) Estimativa de g na outra localidade : 
 
2
3
3
3
s/cm976,0dg
100.
980.001,0
dg
dg.
980
100.
001,0
dg.
g
L.
dT
−≈⇒
pi−
=
pi−
=
pi−
=
 
 
Daí, 
 
( )
( ) ( ) ( ) 23 2223
3
3
3
3
s/cm979g9770g9770g9760g
9760g
001,0
976,0.100.
g
976,0.
g
100.
001,0
dg.
g
L.
dT
3
2
≈⇒pi=⇒pi=⇒pi=





pi=
pi
=
−
pi−
=
pi−
=
28.3) ( Swokowski ) A fórmula g
L2T pi= relaciona o comprimento L de um 
pêndulo com seu período T ; g é uma constante gravitacional. Que 
variação percentual do comprimento L corresponde a um aumento de 30% 
no período T ? 
 
Podemos escrever a fórmula do período da seguintemaneira : 
 
g
L
2T
g
L
2T pi=→pi= 
 
 
Diferenciando, tem-se : 
 
dL.
Lg
dTdL.
L2
1
.
g
2
dT
pi
=∴
pi
= 
 
 
Daí, 
L
dL
2
1
T
dT
dL
L2
g
.
Lg
g
L2
dL.
Lg
T
dT
=∴
pi
pi
=
pi
pi
= 
 
Sendo o aumento no período T de 30% ou 0,3 , então dT/T = 0,3 e, daí, 
 
%601006,0100
L
Ld
6,0
L
dL
L
dL
2
1
3,0
 percentvariação
≈×=× →=
=
 
 
 
 
Verificação : 
 
Suponha L = 10 cm e que dL = 6 cm , isto é, 60% de L . 
 
Então, 
g
96,5
dT6.
10g
dL.
Lg
dT ≈⇒
pi
=
pi
= 
 
Daí, %303,0
T
dT
102
96,5
102
g
g
96,5
g
102
g
96,5
T
dT
≈≈⇒===
pipipi
 
 
29) ( Munen Foulis ) A força atrativa entre partículas elétricas de cargas 
opostas é dada por F = k/x² , onde x é a distância entre as partículas e k 
é uma certa constante. Se x cresce de 2%, ache a porcentagem aproximada 
de decréscimo de F . 
 
Se 
2x
k
F = 
 
 
Então : 
 
 
F%4dF
x
k
.04,0
x
x02,0.x.k.2
dF
x
x.x.k.2
dF
x'.FdF
24
4
−=∴−=
−
=
∆−
=
∆=
 
 
 
Obviamente o sinal negativo de dF pode ser desconsiderado, uma vez tratar-se de um 
decréscimo de F . 
 
Perceba que F é inversamente proporcional à distância x . 
 
 
 
30) ( Munen Foulis ) A região entre dois círculos concêntrico no plano é 
chamada de ânulo . Achar : 
 
(a) a área de um ânulo de raio interno 5 cm e raio externo 81/16 cm ; (b) 
uma aproximação para a área exata encontrada na parte a) pelo uso de 
diferenciais. 
 
a) Utilizando a definição de ∆y, temos: 
 
( ) ( )
( )
( )
 cm6289,0A
A25.6289,25.
A5.0625,05.
AR.RR.
yxfxxf
2
22
22
pi≅∆∴
∆+pi≅pi
∆+pi≅+pi
∆+pi≅∆+pi
∆+≅∆+
 
 
 
 
b) Utilizando diferenciais, temos: 
 ( )
2
2
cm625,0dA
0625,052dA
R.R..2dA
R.'R.dA
pi=∴
××pi×=
∆pi=
∆pi=
 
 
 
 
 
31) ( Munen Foulis ) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta segundo 
a equação 3t2tS 33
1 +−= , onde t é o tempo decorrido em segundos e S é a 
distância orientada, medida em metros, da origem até a partícula. Ache a 
distância aproximada coberta pela partícula no intervalo de t = 2 até 
t = 2,1 segundos. 
 
De t = 2 até t = 2,1 seg. temos ∆t = 0,1 seg. 
 
Aplicando diferenciais, temos : 
 
( ) ( ) m2,0dS1,0.22dSt.2tdS
t'.SdS
22
=∴−=→∆−=
∆=
 
 
 
32) ( James Stewart ) Sabe-se que um lado de um triângulo retângulo mede 20 cm 
de comprimento e o ângulo oposto foi medido como 30°, com um erro 
possível de ± 1°. 
(a) use diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa; 
(b) qual é o erro percentual ? 
 
a) Sabendo que : 
a
20
hipotenusa
oposto cateto
sen ==θ 
 
Então : 
θ
=
sen
20
a 
 
 
Daí , usando a diferencial, tem-se: 
 
( )
cm21,1da
180
.
30sen
30cos.20
da
180
.
sen
cos.20
da
1.
sen
cos.20
da
.
sen
cos.20
da
'.ada
2
2
2
2
±=→





°
pi±
°
°−
=






°
pi±
θ
θ−
=
°±
θ
θ−
=
θ∆
θ
θ−
=
θ∆=
 
 
 
Conclusão : Um aumento (diminuição) de 1° implica na diminuição (aumento) de aproximadamente 1,21 
cm na medida da hipotenusa . 
 
 
b) O erro percentual será: 
 
%303,0
40
21,121,1
a
da
30sen
20
±=ε→±=
±
=
±
==ε
°
 
 
Conclusão : Um aumento (diminuição) de 1° implica na diminuição (aumento) de aproximadamente 3% na 
medida da hipotenusa . 
Para efeitos de melhor visualização foi 
feito um corte transversal na esfera . 
33) ( James Stewart ) A circunferência de uma esfera mede 84 cm, com erro possível 
de 0,5 cm. 
 
(a) Use diferenciais para estimar o erro máximo na área calculada da 
superfície. Qual o erro relativo? 
 
(b) Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo no volume 
calculado. Qual o erro relativo? 
 
a) O comprimento C da circunferência é dado por : 
 
cm
42
RR284R2C
pi
=∴pi=→pi= 
 
 
O erro possível na medida da circunferência da esfera 
é a variação ∆C do comprimento da circunferência da 
esfera, ou seja, ∆C = 0,5 cm . 
 
 
Para esta variação temos uma correspondente variação ∆R no raio da circunferência 
( ou da esfera ) : 
 
cm
25,0
RR.25,0R2C
pi
=∆∴∆pi=⇒pi=∆ 
 
 
A área de uma superfície esférica é dada por : 2R4A pi= 
 
Daí, 
2
2
cm27dA
25,0428
dA
25,0R
8dA
R'.AdA
≈∴
pi
××pi×
=→
pi
×
pi
pi=
∆=
 
 
 
O erro relativo ε obtém-se pela relação 
A
dA
=ε : 
 
 
( ) %2,1ou012,02422 4
27
R4
27
=ε≈ε∴==ε
pi
pipi
 
 
 
b) O volume da esfera é dado por : 3
3
4 RV pi= 
Daí , 
 
³cm179
1764
dV
25,0
.
42
4dV
R.R4dV
V'.VdV
2
2
2
≈
pi
=→





pi






pi
pi=
∆pi=
∆=
 
 
 
 
O erro relativo ε obtém-se pela relação 
V
dV
=ε : 
 
( ) %8,1018,056
1
424
31764
R 3342
3
4
1764
3
3
4
1764
22
=≈=ε→
×
×
=
pi
=
pi
=ε
pi
pipi 
 
 
34) ( James Stewart ) Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguíneo, o fluxo Φ (o 
volume de sangue por unidade de tempo que passa por um ponto dado) é proporcional à 
quarta potência do raio R do vaso : Φ = k R4 . Esta equação é conhecida como a Lei de 
Poiseuille . Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma operação 
chamada angioplastia, na qual um cateter-balão é inflado dentro da artéria a fim de 
aumentá-la e restaurar o fluxo normal do sangue. 
Mostre que uma variação relativa em Φ é cerca de quatro vezes a variação relativa 
em R . Como um aumento de 5% no raio afeta o fluxo do sangue ? 
 
a) 
dR.kR4d
dR'.FR'.d
kR
3
4
=Φ
=∆Φ=Φ
=Φ
 
 
 
A variação relativa do fluxo Φ obtém-se 
fazendo-se dΦ/Φ : 
 
R
dR
4
d
kR
dRkR4d
4
3
=
Φ
Φ
→=
Φ
Φ 
 
expressão esta que nos mostra que a variação relativa de Φ é quatro vezes a variação 
relativa de R . 
 
 
b) 
F2,0dkR2,0dR05,0.kR4d
dR.kR4d
43
3
=Φ∴=Φ→=Φ
=Φ 
 
 
Logo, um aumento de 5% no raio acarreta um aumento de 20% no fluxo . 
 
 
35) ( James Stewart ) Se uma corrente i passar por um resistor com resistência 
R, a Lei de Ohm afirma que a queda de voltagem é V = Ri . Se V for 
constante e R for medida com um certo erro, use diferenciais para 
mostrar que o erro relativo no cálculo de I é aproximadamente o mesmo 
(em módulo) que o erro relativo em R . 
 
Sendo RiV = , podemos escrever : 
R
V
i = 
 
Aplicando diferenciais, temos : 
 
dR.
R
V
di
dR'.idi
2−=
=
 
 
Sendo R
dR
Ri
di
i e =ε=ε os erros relativos no cálculo de i e R respectivamente, 
teremos: 
 
RiR
R
V
R
V
i R
dRdR.2
ε=ε→ε==
−
=ε 
 
36) ( George B Thomas ) Um agrimensor a 30 metros da base de um edifício mede o ângulo de 
elevação até o topo do edifício como 75°. Que exatidão deve apresentar a medição 
desse ângulo para que o erro percentual na estimativa da altura do edifício seja 
inferior a 4% ? 
 
Temos : 
θ=∴=θ tg.30h
30
h
tg 
 
Aplicando diferenciais, temos: 
 ( )
θ
θ
=⇒θθ=
θθ=
2
2
cos
d.30
dhd.sec.30dh
d'.tg.30dh
 
 
Queremos que: 
 
rad01,0d75cos.75tg.04,0d
cos.tg.04,0d
tg.30.%4
cos
d.30
h%4dh
2
2
2
<θ⇒°°<θ
θθ<θ
θ<
θ
θ
<
 
 
 
Por uma regra de três, temos: 
°=∴°>
°>pi
57,0x x ----- rad 0,01
180 ----- rad 
 
Portanto, dθ = 0,57 o , ou seja, o ângulo deve ser medido com um erro menor que 0,57 
o
 , que é um erro percentual de aproximadamente 0,76% . 
 
 
36.1) (George B Thomas ) A altura e o raio de um cilindro reto são iguais. Sendo o 
volume desse cilindro dado por V = piR²h , o mesmo deve ser calculado com erro não 
maior que 1% em relação ao valor real. Determine aproximadamente o maior erro que 
pode ser tolerado na medida de h , expressando-o como porcentagem de h . 
 
A fórmula do volume é dada por : hRV 2pi= 
 
Como R = h , temos : 3hV pi= 
 
Diferenciando, temos : 
 
22
2
2
h
V003,0
dh
h3
V01,0
dh
dh.h3V01,0
dh.h3dV
dh'.VdV
pi
=→
pi
=
pi=
pi=
=
 
 
 
Logo, o maior erro percentual na medida da altura será: 
 
%003,0
V
V003,0
h
V003,0
hh
dh
3
1
3
h
V003,0
2
=ε⇒==
pi
===ε pi 
 
O maior erro admissível no cálculo do volume é de 1% sobre 
o próprio volume (original) , ou seja, dV = 0,01.V 
37) ( George B Thomas ) Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do 
diâmetro interno de um tanque cilíndrico de armazenagem com 10 m de 
altura para que o cálculo de seu volume fique a 1% do valor real ? 
Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do diâmetro externo 
desse tanque para que o cálculo da quantidade de tinta para pintar sua 
parede fique a no máximo 5% da quantidade real ? 
 
 
(a) O volume do cilindro é , 
 
 
podendo ser escrito como : 
4
hD
V
2pi
= 
 
 
 
Então : 
 
 
ii
iiii dD.D5dV
4
dD.10.D2
dV
4
dD.hD2
dV pi=∴
pi
=→
pi
=
 
 
 
Devemos ter que : 
 
iiii
i
i
2
i
ii
D%
2
1
dDD
200
1
dD
54
10D01,0
dD
4
hD
.01,0dD.D5
V%1dV





≤∴≤⇒
×
××
≤
pi
≤pi
≤
 
Nota: perceba que V%1dVV%1V.dVV
dV ≤⇒=ε=⇒=ε , o que irá recair na 
equação anteriormente encontrada em 
 
 
 
 
(b) A área do cilindro é : Rh2S pi= , 
 
 
podendo ser escrito como : 
e
ee D10S
2
10D2
2
hD2
S pi=⇒
pi
=
pi
= 
 
 
Então : edD.10dS pi= 
 
 
Devemos ter que : 
 
eeee D%5dDD10%5dD.10
S%5dS
≤∴×pi×≤pi
≤ 
 
 
Nota: perceba que : S%5dSS%.5S.dSS/dS ≤∴=ε=⇒=ε , o que irá recair 
na equação anteriormente encontrada em 
 
 
 
 
 
 
hRV 2pi=
(*) 
(*) 
(**) 
(**) 
38) ( George B Thomas ) Uma empresa foi contratada para cunhar moedas para o 
governo federal. Que variação dr pode ser tolerada no raio r das moedas 
para que o peso das moedas não exceda 1/1.000 do peso ideal ? Suponha 
que não haja variação da espessura das moedas. 
 
Em outras palavras, o problema pede a variação dr do raio das moedas para que o 
volume das mesmas não exceda ( )%001,0
10
1
000.1
1
== do volume real, isto é, 
 ( )V%V001,0VdV
2
1
000.1
1
==≤ 
 
 
O volume é : hRV 2pi= e como não há variação na espessura, 
temos h = constante . 
 
Daí, 
dR.h2dVdR'.VdV pi=⇒= 
 
Logo, 
 
( ) R%05,0dRR%dRRdR
hR001,0dR.Rh2
V001,0dV
20
1
2
001,0
2
≤⇒≤⇒≤
pi≤pi
≤
 
 
 
ou seja, a tolerância admitida no raio das moedas poderá ser de até 0,05% . 
 
 
39) ( George B Thomas ) O lucro P de certo fabricante, ao vender x itens, é 
 400
x
ex200)x(P
−
= reais 
Estime a variação e a variação percentual conforme as vendas aumentam de x = 145 
para x = 150 itens. 
 
 
 
Para o cálculo da variação percentual, podemos calculá-la de duas formas : 
 
%2,2022,0
145
5.
400
145
1
x
dx.
400
x
1
e.x.200
dx.
400
x
1e.200
P
dP
400
x
400
x
=ε⇒=






−
=






−
=






−
==ε
−
−
 
 
ou por simples regra de três : 
 
 
 
( )
reais66,443dp5.
400
145
1e.200dP
dx.
400
x
1e.200dP
dx.1.ee..x200dP
dx'.PdP
400
145
400
x
400
x
400
x
400
1
=⇒





−=






−=





 +=
=
−
−
−−
−
( variação do lucro ) 
40) ( George B Thomas ) A quantidade de trabalho realizado pela principal câmara de 
bombeamento do coração, o ventrículo esquerdo, é dada pela equação 
g2
vV
PVW
2δ
+= 
onde W é o trabalho por unidade de tempo, P é a pressão arterial média, V é o volume 
de sangue bombeado por unidade de tempo, δ é a densidade do sangue, v é a 
velocidade média do sangue ejetado e g é a aceleração da gravidade. 
Quando P, V, δ e v permanecem constantes, W se torna uma função de g e a equação 
toma a forma de 
) constantes b a, (
g
b
aW += 
 
Como membro da equipe médica da Nasa, você quer saber qual é a sensibilidade de W às 
variações aparentes de g causadas pelas manobras de vôo, e isso depende do valor 
inicial de g . Como parte de seu estudo você decide comparar o efeito em W causado 
por dada variação dg na superfície da Lua, onde g = 5,2 pés/s2, com o efeito que a 
mesma variação dg teria na Terra, onde g = 32 pés/s2. Utilize a equação simplificada 
para determinar a razão dWLua sobre dWTerra . 
 
Aplicando a diferencial na Lua, temos 
 
Lua2LuaLua2
Lua
Lua
LuaLuaLua
dg.
2,5
b
dWdg.
g
b
dW
dg.'WdW
−=⇒−=
=
 
 
 
Aplicando a diferencial na Terra, temos 
 
Terra2TerraTerra2
Terra
Terra
TerraTerraTerra
dg.
32
b
dWdg.
g
b
dW
dg.'WdW
−=⇒−=
=
 
 
 
A razão procurada é 
Terra
Lua
dg.04,27
dg.1024
Terra
Lua
Terra1024
b
Lua04,27
b
Terra
Lua
Terra
32
b
Lua
2,5
b
Terra
Lua
dg
dg
.87,37
dW
dW
dg.
dg.
dW
dW
dg.
dg.
dW
dW
Terra
Lua
2
2
⇒=
−
−
=
−
−
=
 
 
 
Como o problema diz que uma variação dg na Lua deverá ter a mesma variação dg na 
Terra, então 
Terra
dgdgLua = , e a equação acima pode ser escrita como 
 
87,37
dW
dW
dg
dg
.87,37
dW
dW
Terra
Lua
Lua
Lua
Terra
Lua
=⇒= 
 
 
Portanto, uma mudança de gravidade na Lua tem cerca de 37,87 vezes o efeito que uma 
mudança da mesma magnitude tem na Terra . 
 
41) ( Munen Foulis ) O preço total em reais de produção de x brinquedos é 
 75x11
100
x3
15000
x
C
23
++−= , 
 
e cada brinquedo é vendido a R$ 10,00 . 
 
(a) Ache o lucro total L em função de x. 
(b) Ache dL em termos de x e dx. 
(c) Quando o nível de produção varia de x = 350 para x = 355 qual a variação 
aproximada em P 
 
(a) O lucro total será : 
 
75x
100
x3
15000
x
L75x11
100
x3
15000
x
x10L
Cx10L
2323
−−+=⇒−−+−=
−=
 
 
(b) 
 
 
dx.1
50
x3
5000
x
dLdx.1
100
x6
15000
x3
dL
dx'.LdL
22








−+=⇒








−+=
=
 
 
 
(c) Como ∆x = dx = 355 – 350 ⇒ dx = 5 e, daí, 
 
reais 52,227dL5.1
50
3553
5000
355
dL
dx.1
50
x3
5000
x
dL
2
2
=⇒








−
×
+=








−+=
 
 
 
42) ( Munen Foulis ) A lei de expansão adiabática de um certo gás é CPV 7,1 = , onde V é o 
volume do gás, P é a pressão do gás e C é uma constante. 
Deduza a equação 0
V
dV7,1
P
dP
=+ 
 
 
Se P for função de V ⇒ P = f(V) ⇒ 
7,1V
C
P = 
 
Diferenciando, temos 
 
dV.V.C.7,1dPdV.
V
V.C.7,1
dP
dV'.VdP
7,2
4,3
7,0
−
−=⇒
−
=
=
 
 
Daí, 
V
dV7,1
dV.V.7,1
C
dV.V.V.C.7,1
V
C
dV.V.C.7,1
P
dP 1
7,17,2
7,1
7,2
−
=−=
−
=
−
=
−
−−
 
 
A sequência de igualdades acima se resume a : 
 
0
V
dV7,1
P
dP
V
dV7,1
P
dP
=+⇒
−
= 
43) ( Howard Anton ) Uma barra de metal medindo 15 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro 
está coberta, exceto nas pontas, por uma camada de isolante com uma 
espessurade 0,1 cm Use diferenciais para estimar o volume do isolante. 
{Sugestão : Seja ∆V a variação no volume da barra.} 
 
CRV 2pi= 
 
onde C é o comprimento do fio e R = D/2 
 
3cm56,23
2
15
dV
1,0.15.5,2.2dV
dR.C.R.2dV
dR'.VdV
≈
pi
=⇒
pi=
pi=
=
 
 
 
 
 
 
44) ( Howard Anton ) O tempo necessário para uma oscilação completa de um 
pêndulo é denominado período . Se o comprimento L do pêndulo e a 
oscilação forem pequenos, então o período será dado por g/L2P pi= , 
onde g é a aceleração constante devida à gravidade. Use diferenciais 
para mostrar que o erro percentual em P é aproximadamente a metade do 
erro percentual em L . 
 
g
L2
Pg/L2P
pi
=⇒pi= 
 
Então, 
L.g
dL.
dPdL.
L2
1
.
g
2
dP
pi
=⇒
pi
= 
 
Daí, 
 
L2
dL
L2
g
.
L.g
dL.
g
L2
L.g
dL.
P
dP
=
pi
pi
=
pi
pi
= 
 
 
 
A seqüência de igualdades acima se reduz a : 
 
L
dL
%50
L
dL
5,0
L
dL
2
1
P
dP
=== Û LP %50 ε=ε 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45) ( Howard Anton ) Se a temperatura T de uma barra de metal medindo L de 
comprimento variar por uma quantidade ∆T, então o comprimento irá 
variar por uma quantidade ∆L = α L ∆T , onde α é denominado coeficiente 
de expansão linear . Para variações moderadas na temperatura, α pode 
ser considerado constante. 
(a) Suponha que a barra tem 40 cm de comprimento a 20°C e, quando a 
temperatura passa a ser 30°C, o comprimento encontrado é de 40,006 cm. 
Encontre α . 
(b) Se um poste de alumínio tem um comprimento de 180 cm a 15°C, qual 
será seu comprimento se a temperatura for elevada para 40°C ? 
 { Tome α = 2,3x10-5 /°C. } 
 
(a) 
C/105,1
400
006,40
10.40.006,0
T.L.L
5
°×=α∴=α⇒α=
∆α=∆
−
 
 
 
(b) 
cm1,0L25.180.103,2L
T.L.L
5
=∆⇒×=∆
∆α=∆
−
 
 
 
Logo, o comprimento total do poste será de L = 180,1 cm 
 
 
 
 
 
46) ( Howard Anton ) O lado de um quadrado mede aproximadamente 10 m, com 
erro possível de ± 0,1 m. 
 
(a) Use diferenciais para estimar o erro na área calculada. 
(b) Estime o erro percentual no lado e na área. 
 
( ) 2
2
m2dS1,0102dS
dL.L2dS
LS
±=⇒±××=
=
=
 
 
 
Erro percentual no lado : 
 
%1100.
10
1,0
100.
L
dL
LL ±=ε⇒
±
==ε 
 
 
Erro percentual na área : 
 
%2100.
100
2
100.
S
dS
SS ±=ε⇒
±
==ε 
 
 
 
 
47) ( Howard Anton ) O lado de um cubo mede aproximadamente 25 cm, com erro possível de 
± 1 cm 
(a) Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado. 
(b) Estime os erros percentuais no lado e no volume. 
 
( ) 32
2
3
cm1875dV1253dV
dL.L3dV
LV
±=⇒±××=
=
=
 
 
 
Erro percentual no lado : 
 
%4100.
25
1
100.
L
dL
LL ±=ε⇒±==ε 
 
 
Erro percentual no volume : 
 
%12100.
25
1875
100.
V
dV
V3V
±=ε⇒
±
==ε 
 
ou 
( ) %12100%43100.
L
dL.3
100.
L
dL.L3
100.
V
dV
V3
2
V ±=ε⇒×±×====ε 
 
 
48) ( Howard Anton ) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede exatamente 10 cm, e um 
dos ângulos agudos mede 30°, com erro possível de ± 1°. 
 
(a) Use diferenciais para estimar os erros nos lados opostos e adjacente ao ângulo 
medido. 
(b) Estime os erros percentuais nos lados. 
 
(a) Estimativa do erro na medida dos lados oposto e adjacente : 
 
senx10.asenxhipotenusaa =⇒×= 
 
( )
cm151,0da
180
.
2
3
.10da
1.30cos.10da
dx.xcos.10da
±=⇒pi±=
°±°=
=
 
 
 
xosc10.bxoschipotenusab =⇒×= 
 
( )
cm087,0db
180
.
2
1
.10db
1.30sen.10db
dx.senx.10db
±=⇒pi±=
°±°−=
−=
 
 
(b) Estimativa dos erros percentuais dos lados : 
 
%3100.
30sen.10
151,0
100.
a
da
aa ±=ε⇒
°
±
==ε 
 
%1100.
30cos.10
087,0
100.
b
db
bb ±=ε⇒
°
±
==ε 
± 4% = 0,04 
49) ( Howard Anton ) Um lado de um triângulo retângulo mede exatamente 25 cm. O ângulo 
oposto a este lado mede 60°, com erro possível de ± 0,5°. 
 
(a) Use diferenciais para estimar o erro no lado adjacente e na hipotenusa. 
(b) Estime os erros percentuais no lado adjacente e na hipotenusa. 
 
 
Considerando o triângulo retângulo cinza, seja : 
 
x = cateto adjacente ao ângulo θ = 60° ; 
y = hipotenusa ; 
25 = cateto oposto ao ângulo θ = 60° . 
 
 
Então, 
 
θ
=⇒=θ
sen
25
y
y
25
sen 
 
e 
 
θ
=⇒=θ
tg
25
x
x
25
tg 
 
 
Daí, 
 
( ) ( )
cm145,0dy
180
5,0
.
60sen
60cos.25
60sen
5,0.60cos.25
dy
sen
dx.xcos.25
dy
22
2
±≈⇒
°
pi±
°
°−
=
°
°±°−
=
θ
−
=
 
 
 
( ) ( )
cm291,0dx
180
5,0
.
60tg.60cos
25
60tg
5,0.60sec.25
dx
xtg
dx.xsec.25
dx
222
2
2
2
≈⇒
°
pi±
°°
−
=
°
°±°−
=
−
=
 
 
 
 
Erro percentual no lado adjacente : 
 
%2100
291,0
100
x
dx
x
60tg
25x
±≈ε⇒×
±
=×=ε
°
 
 
 
 
Erro percentual na hipotenusa : 
 
%5,0100
145,0
100
y
dy
y
60sen
25y
±≈ε⇒×
±
=×=ε
°
 
 
 
 
50) ( Howard Anton ) A resistência elétrica R de um fio é dada por R = k/r 2 , 
onde k é uma constante e r , o raio do fio. Supondo que o raio tenha um 
erro possível de ±5% , use diferenciais para estimar o erro percentual 
em R ( supondo k exato ). 
 
Se o raio tem um erro de ± 5% (ou ± 0, 05), então dr = ± 0,05.r 
 
 
Diferenciando a função ℜ , tem-se : 
 ( )
2442 r
k1,0
d
r
r.05,0.r.k.2
r
dr.r.k.2
d
r
k ±
=ℜ∴±−=−=ℜ⇒=ℜ 
 
 
daí, 
 
%10d1,0
r
k
r
k1,0
d
2
2
±=ℜ⇒±=
±
=
ℜ
ℜ
=εℜ 
 
 
 
 
 
 
51) ( Howard Anton ) Uma escada com 12 m está apoiada em uma parede e faz um 
ângulo θ com o chão. Se o topo da escada está a uma altura de h metros na 
parede, expresse h em termos de θ e, então, use dh para estimar a 
variação em h se θ variar de 60° a 59° . 
 
A função a ser utilizada será : 
 
θ=⇒=θ sen.12h
12
h
sen 
 
Se θ varia de 60° para 59° , temos dθ = - 1° 
 
daí, 
 
( )
cm5,10dhoum105,0dh
180
.
2
1
.12dh
1.60cos.12dh
d.cos.12dh
−≈−≈∴





 pi−
=
°−°=
θθ=
 
 
 
Logo, uma diminuição de 1° no ângulo da escada com o chão fará com que a mesma desça 
aproximadamente 10,5 cm. 
 
 
 
 
52) ( Howard Anton ) A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa H é 
calculada pela fórmula θ= 2senHA 2
4
1 , onde θ é um dos ângulos agudos. 
Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 4 cm 
(exatamente) e θ = 30° com erro possível de ± 15’ . 
 
Sendo H = 4 fixo (constante), podemos escrever a fórmula dada como: 
 
θ=∴θ=→θ= 2sen4A2sen4A2senHA 2
4
12
4
1 
 
 
Diferenciando, tem-se : 
 
( ) ( )
( ) ( )
2
180
25,0
cm017,0dA.
2
1
.8dA
25,0.60cos.8dA
25,0.30.2cos.8dA
d.2cos.2.4dA
±≈→



±=
°±°=
°±°=
θθ=
pi
 
 
Nota : 15’ é a quarta parte de 1° , ou seja, 0,25° 
 
 
 
 
 
 
53) ( Howard Anton ) Se a temperatura T de um sólido ou líquido com volume V 
for alterada por uma quantidade ∆T, então o volume irá variar por uma 
quantidade ∆V = β.V. ∆T , onde β é denominado coeficiente de expansão 
volumétrica. Para variações moderadas na temperatura, β pode ser 
considerado constante. Suponha que um caminhão-tanque carregue 4.000 
galões de álcool etílico a uma temperatura de 35°C e entregue sua carga, 
mais tarde, a uma temperatura de 15°C. 
Usando β = 7,5 x 10-4/°C para o álcool etílico, encontre o número de 
galões entregues. 
 
 
Como a variação da temperatura foi de -20°C ( 35°C para 15°C ), tem-se : 
 
( )
galões60V
C20. galões 4000.
C
105,7
V
T.V.V
4
−=∆∴°−
°
×
=∆
∆β=∆
−
 
 
 
Logo, o caminhão entregou 4000 – 60 = 3940 galões. 
 
 
 
 
 
 
54) ( Swokowski ) - A Grande Pirâmide do Egito tem uma base quadrada de 230 
m. Para estimar a altura h da pirâmide, um observador se coloca no ponto 
médio de um dos lados e olha para o vértice da pirâmide. O ângulo de 
elevação observado Φ é 52° . Qual deve ser a precisão desta medida para 
que o erro em h fique entre -1 m e 1 m ? 
 
Tomando o triângulo em destaque, tem-se : 
 θ=→=θ tg.115h
115
h
tg 
 
Diferenciando, tem-se : 
 
( )
.rad0033,0d
115
52cos.1
d
115
cos.dh
d
d.
cos
1
.115dh
sec.115dh
2
2
2
2
±=θ→
°±
=θ
θ
=θ
θ
θ
=
θ=
 
 
Segue então, por uma regra de três, que : 
 
180° ------� pi rad 
 θ° ---------� 0,0033 rad ∴ x ≈ ± 0,19° 
 
 
 
55) ( Swokowski ) Um laboratório espacial circunda a Terra a uma altura de 
240 km. Quando um astronauta olha para o horizonte, o ângulo da figura 
é de 74,525° , com um erro máximo possível de ± 0,5°. Use diferenciais 
para aproximar o erro no cálculo do raio da Terra feito pelo 
astronauta. 
O raio real da Terra ≈ 6370 km 
Tomando o triângulo em destaque, tem-se : 
 
 ( )
( )
θ−
θ
=∴θ=θ−
θ=θ−
θ+θ=
θ+=
+
=θ
sen1
sen.240
Rsen.240sen1.R
sen.240sen.RR
sen.Rsen.240R
sen.R240R
R240
R
sen
 
 
Diferenciando, tem-se : 
 ( ) ( )
( )
( )[ ]
( )
km85,7dR
180
.5,0
.
525,74cos
240
525,74cos
5,0.240
dR
cos
d.240
dR
cos
d.sensen1cos.240
dR
d.
sen1
cos.sen.240cos.240.sen1
dR
2
2
±=→
pi
°
±
=
°
°±
=
θ
θ
=
θ
θθ+θ−θ
=
θ
θ−
θ−θ−θθ−
=
 
56) ( Swokowski ) Se um objeto pesando W quilos é puxado ao longo de um 
plano horizontal por uma força aplicada a uma corda amarrada ao objeto 
e se a corda faz um ângulo θ com a horizontal, então a magnitude da força 
é dada por 
( )
θ+θµ
µ
=θ
cossen
W
F , 
onde µ é uma constante chamada coeficiente de fricção. Suponhamos uma 
caixa de 40 kg puxada ao longo do assoalho, e que µ = 0,2. Se θ varia de 
45° para 46° , use diferenciais para aproximar a variação na força que 
deve ser aplicada. 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
N1097,0dF
180
.
45cos45sen.2,0
45sen45cos.2,0.40.2,0
dF
1.
45cos45sen.2,0
45sen45cos.2,0.40.2,0
dF
d.
cossen
sencos.W
dF
2
2
2
=∴
°
pi
°+°
°−°−
=
°
°+°
°−°−
=
θ
θ+θµ
θ−θµµ−
=
 
 
 
 
57) ( Swokowski ) Na eletricidade a lei de Ohm afirma que I = V/R , onde I é a 
corrente (em ampére), V é a força eletromotriz (em volts) e R é a 
resistência (em ohms). Mostre que dI e dR estão relacionados pela 
fórmula R .dI + I .dR = 0 
 
Diferenciando a Lei de Ohm em relação a R (V constante), tem-se : 
 
0dR.IdI.RdR.IdI.R
dR.
R
I
dI
dR.
R
I.R
dI
dR.
R
V
dI
R
V
I
2
2
=+→−=
−
=
−
=
−
=
=
 
 
 
 
( visto que, se I =V/R então V = RI ) 
58) ( Swokowski ) Se um projétil é lançado com velocidade inicial v0 a um 
ângulo α com a horizontal, sua altura máxima h e o alcance R são dados 
por 
g2
senv
h
22
0 α
= e 
g
cossenv2
R
2
0 αα
= 
Suponha que v0 = 30 m/s e g = 9,8 m/s 
2 . Se α aumenta de 30° para 30°30’ , 
estime, por meio de diferenciais, as variações em h e R . 
 
 
A variação de 30° para 30°30’ implica que dθ = 0,5° . 
 
 
Diferenciando h , tem-se : 
 
m35,0dh
180
.5,0
.
8,92
30cos.30sen2.30
dh
5,0.
8,92
30cos.30sen2.30
dh
d.
g2
cos.sen2.v
dh
2
2
2
0
≈∴
°
pi
×
°°
=
°
×
°°
=
α
αα
=
 
 
 
 
Diferenciando R , temos : 
 
( )
( )
( )
( )
( )
m80,0dR
180
.5,0
.60cos
8,9
30.2
dR
5,0.60cos
8,9
30.2
dR
d.2cos
g
v2
dR
d.cossen
g
v2
dR
d.cos.cossen.sen
g
v2
dR
2
2
2
0
22
2
0
2
0
≈∴
°
pi
°=
°°=
αα=
αα+α−=
ααα+αα−=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59) ( Swokowski ) Quando um foco luminoso 
percorre uma trajetória semicircular, a 
iluminância Φ na superfície é inversamente 
proporci-onal ao quadrado da distância d 
do foco e diretamente proporcional ao 
cosseno do ângulo θ entre a direção do 
fluxo lumi-noso e a normal à superfície. Se 
θ diminui de 21° para 20° e d é constante, 
aproxime, por diferenciais, o aumento 
percentual da iluminância . 
 
Pelas informações do problema, temos : 
 
2d
cosθ
=Φ 
 
Diferenciando, tem-se : 
 
θθ−=Φ d.
d
sen
d
2
 
 
Então : 
 
( ) %64,00064,0
180
.21tg1.
21cos
21sen
d.
cos
sen
d
cos
d.
d
sen
d
2
2
≈≈
°
pi
°=°−
°
°−
=θ
θ
θ−
=θ
θ
θ−
=
Φ
Φ 
 
 
 
60) ( Swokowski ) A lei de atração gravitacional de Newton afirma que a força 
F de atração entre duas partículas de massas m1 e m2 é dada por 
2
21
s
mm
GF = , 
onde G é uma constante e s é a distância entre as partículas. Se s = 20 
cm, use diferenciais para aproximar a variação de s que aumente F em 
10 %. 
 
O aumento de F em 10% implica dizer que dF = 0,1 × F . 
 
 
Diferenciando F , teremos : 
 
( )
ds.
s
m.m.G.2
dFds.
s
s2.m.m.G
dF
3
21
4
21 −
=→
−
= 
 
Daí, 
cm1ds
2
1,020
ds
20
ds2
1,0
s
ds2
F
F1,0
s
mmG
ds
s
mmG2
F
dF
2
21
3
21
−=∴
×
−=→−=
−=
−
=
 
 
61) ( Swokowski ) Em um ponto situado a 60 m da base de uma torre elétrica, o 
ângulo de elevação do topo do poste acusa uma medida de 60° , com erro 
possível de ± 0,15°. Use diferenciais para aproximar o erro na altura 
calculada da torre. 
 
Pela figura, tem-se : 
 
°
=→=°
60tg
60
H
H
60
60tg 
 
 
Diferenciando, tem-se : 
 
( )
cm21oum21,0dH
180
.15,0
.
60tg.60cos
60
dH
5,1.
60tg.60cos
60
dH
d.
tg.cos
60
dH
d.
tg
sec.60
dH
22
22
22
2
2
±=∴





°
pi±
°°
−
=
°±
°°
−
=
θ
θθ
−
=
θ
θ
θ−
=
 
 
 
 
 
 
62) ( Swokowski ) A areia que vaza de um depósito vai formando uma pilha 
cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se, em certo instante, o raio 
é 10 cm, aproxime, por meio de diferenciais, a variação do raio que 
cause uma variação de 2 cm³ no volume da pilha. 
 
O problema pede a variação dR para o qual dV = 2 cm3 
 
O volume do cone é dado por : H.R.
3
1
V 2pi= 
 
Sendo H = R , tem-se : 
 
32 R.
3
1
VR.R.
3
1
V pi=∴pi= 
 
 
Diferenciando, tem-se : 
 
cm
50
1
oucm00637,0dR
10.
2
dR
R.
dV
dR
dR.R.dV
2
2
2
pi
≈∴
pi
=
pi
=
pi=
 
 
 
 
 
63) ( Swokowski ) Pequenos erros em medidas de dimensões de grandes depósitos, ou 
containers, podem ter efeito grave sobre os volumes calculados. Um silo tem a forma 
de um cilindro circular encimado por um hemisfério. A altura do cilindro é 
exatamente 15 metros. O comprimento da circunferência da base é estimado em 10 m, 
com erro de ±0,15 m. Calcule o volume do silo e use diferenciais para estimar o erro 
máximo no cálculo. Aproxime o erro médio e o erro percentual. 
 
Volume do cilindro : hRV 2c pi= 
 
 
Volume do hemisfério (semiesfera) : 
 
3
hem
3
hem R3
2
V
2
R
3
4
V pi=∴
pi
= 
 
 
Volume do silo : 
 





 +pi=∴pi+pi=
+=
3
R2
hRVR
3
2
hRV
VVV
2
silo
32
silo
hemcsilo
 
 
 
Sendo 
pi
=⇒pi=
2
C
RR2C 
 
 
Daí, podemos escrever Vsilo como função de C : 
 






pi
+
pi
=⇒





pi
+
pi
pi
=
3
Ch
4
C
V
2
C
.
3
2
h
4
C
V
2
silo2
2
silo 
 
 
Diferenciando, tem-se : 
 
( ) 3s2
2
s
2
s
m96,3dV15,0.
2
10
.
3
10
15
12
10
dV
dC.
2
C
.
3
C
h
3
1
.
4
C
dV
=⇒±














pi






pi
++
pi
=














pi






pi
++
pipi
=
 
 
 
Como 3silo
22
silo m56,2000V3
10
15
4
10
3
C
h
4
C
V =⇒





pi
+
pi
=





pi
+
pi
= 
 
 
temos então 
 
3
médio
silo
silo
médio cm002,056,2000
96,3
V
dV
≈ε∴==ε 
 
e também 
 
%2,0100002,0100 %médio% ≈ε∴×=×ε=ε 
 
 
64) ( Swokowski ) Um balão esférico está sendo inflado com gás. Por meio de 
diferenciais, aproxime o aumento da área da superfície do balão quando 
o diâmetro varia de 1 m para 1,01 m. 
 
A área da esfera é dada por : 2R4S pi= 
 
Sendo R = D/2 , tem-se então que : 
 
 
2
2
DS
4
D4
S pi=⇒
pi
= 
 
 
Diferenciando, temos : 
 
33 m0636,0m02,0dS01,0.1.2dS
dD.D.2dS
≈pi≈∴pi=
pi=
 
 
 
 
 
65) ( Swokowski ) A frente de uma casa tem o formato de um quadrado encimado por um 
triângulo equilátero. Se o comprimento da base é de 5 m, com erro máximo de 0,01 m, 
calcule a área desta frente. Use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo 
da frente. Aproxime o erro médio e o erro percentual. 
 
Área do triângulo : 
 
4
3L
A
22
L
2
LL
2
LH
A
2
t
2
3L
4
L3
4
L2
t
222
=∴==
−
== 
 
Área do quadrado : 2q LA = 
 
Área da frente : 
 
( )
(1) 
4
34L
A
4
3LL4
L
4
3L
A
AAA
2
f
22
2
2
f
qtf
+
=⇒
+
=+=
+=
 
 
 
Diferenciando (1), tem-se : 
 ( ) ( )
( ) 2
ff
ff
m143,0dA01,0.
2
345
dA 
dL.
2
34L
dAdL.
4
34L2
dA
≈∴
+
=
+
=⇒
+
=
 
 
De (1), temos : 
 ( ) ( ) 2
f
22
f m82,35A4
345
4
34L
A ≈∴
+
=
+
= 
 
%4,0100004,0100e004,0
82,35
143,0
A
dA
médio%
f
médio ≈×=×ε=ε≈==ε 
 
66) ( Swokowski ) Um triângulo isósceles tem os lados iguais com 25 cm cada. 
Se o ângulo θ entre esses lados aumenta de 30° para 33° , use 
diferenciais para aproximar a variação da área do triângulo. Encontre 
o erro médio e o erro percentual. 
 
 
Da figura : 
22
22
cos.LH
L
H
cos
e
sen.Lx
L
x
sen
θθ
θθ
=⇒=
=⇒=
 
 
 
Temos : 
2
sen.L2bx2b θ=∴= 
 
 
Daí, 
 
)1(cossenLA
2
cos.Lsen.L2
2
H.b
A
22
222 θθ
θθ
=∴
×
== 
 
Multiplicando e dividindo (1) por 2 ter-se-á : 
 
 ( )
(2) 
2
sen.L
A
2
.2sen.L
A
2
)cossen2.L
A
2
2
2
22
2 θ
=∴=⇒=
θθθ
 
 
 
 
que é a expressão que fornece a área do triângulo em função de θ . 
 
 
Diferenciando (2), ter-se-á : 
 
2
2
2
cm17,14dA
180
3
.30cos25dA
3.30cos
2
25
dA
d.cos
2
L
dA
≈∴
°
pi
°=
°°=
θθ=
 
 
 
Daí, 
%1,9100091,0100
e
cm091,0
25,156
17,14
A
dA
%médio%
médiomédio
≈ε∴×=×ε=ε
≈ε∴==ε
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
m25,156
2
30sen.25
A ≈
°
=
67) ( Swokowski ) A constrição de arteríolas é uma das causas de pressão elevada. 
Verificou-se experimentalmente que, quando o sangue flui por uma arteríola de 
comprimento fixo, a diferença de pressão entre as duas extremidades da arteríola é 
inversamente proporcional à quarta potência do raio. Se o raio de uma arteríola 
diminui de 10%, calcule, por meio de diferenciais, a variação percentual na 
diferença de pressão. 
 
Seja P a diferença de pressão entre as extremidades da arteríola. 
 
Então, 
4R
1
P = 
 
 
Diferenciando, tem-se : 
( )
45
8
3
R
4,0
dPR1,0.
R
4
dP
dR.
R
R4
dP
=∴−
−
=
−
=
 
 
 
Daí, 
%40
P
dP
4,0
P
dP
4
4
R
1
R
4,0
=⇒== (aumento da pressão) 
 
 
68) ( Swokowski ) A resistência elétrica R de um fio é diretamente proporcional ao seu 
comprimento e inversamente proporcional ao quadrado do seu diâmetro. Se o 
comprimento é fixo, qual deve ser a precisão da medida do diâmetro (em termos de 
erro percentual) para manter o erro percentual de R entre -3% e 3% ? 
 
Pela informação dada no problema, temos que: 
2e D
L
kR = 
 
 
Como o comprimento do fio é determinado, então L é constante. 
 
 
Aplicando a diferencial, temos: 
 
( )
dD.
D
L.k2
dRdD.
D
D2.L.k
dR
3e4e
−
=⇒
−
= 
 
 
Daí, 
 
%5,1015,0
D
dD
D
dD
203,0
D
dD
2
R
dR
D
L.k
dD.
D
L.k2
R
dR
e
e
2
3
e
e
±==∴−=±⇒−=
−
=
 
 
 
 
 
Tendo em vista que, se o raio R diminui 10% , então 
isso implica que dR diminui em - 0,1.R 
69) ( H. B. Phillips ) Determina-se a área de um retângulo medindo seus lados x e y . Se a 
medida x é feita com um erro de 1% para mais e a de y com 1/2% para menos , 
determinar o erro percentual da área. 
 
Área do retângulo : A = x.y 
 
Como ambas as variáveis estão sujeitas a erros de medição, diferenciamos separadamente, 
considerando y como constante e depois considerando x como constante. No final efetua-se a soma de 
ambas as diferenciais. 
 
Diferenciando em relação a x ( y constante), temos: 
 
dx.ydAdx.y0.xdA xx =⇒+= 
 
 
Diferenciando em relação a y (x constante), temos: 
 
dy.xdA0.ydy.xdA yy =⇒+= 
 
 
Daí, dy.xdx.ydAdAdAdA yx +=⇒+= 
 
Sendo 1% para mais o erro percentual de x, então 01,0%1
x
dx
== . 
Sendo ½% para menos o erro percentual de y, então 005,0%
2
1
y
dy
−==
− . 
 
O que se procura é o erro percentual da área, ou seja, 100
A
dA × . 
 
Então : 
( ) Ade %
2
1
005,0
A
dA
005,001,0
y
dy
x
dx
A
dA
xy
dy.x
xy
dx.y
A
dA
xy
dy.xdx.y
A
dA
%ε===∴−=+=
+=
+
=
 
 
 
70) ( H. B. Phillips ) Determina-se o volume de um cilindro partindo do seu raio 
e da sua altura. Se as medidas destes comprimentos tiverem erro 
inferior a 1%, determinar o erro máximo do volume calculado. 
 
Volume do cilindro : h.RV 2pi= 
 
Como ambas as variáveis estão sujeitas a erros de medição, diferenciamos 
separadamente, considerando y como constante e depois considerando x como 
constante. No final efetua-se a soma de ambas as diferenciais. 
 
 
Diferenciando em relação a R (h constante), temos : 
 
dR.h.R.2dVR pi= 
 
 
 
Daí, 
 
%2
V
dV
%1.2
R
dR
.2dR.
h.R
h.R.2
V
dV R
2
R
=∴==
pi
pi
= 
 
 
Diferenciando em relação a h (R constante), temos : 
 
dh.R.dV 2h pi= 
 
 
 
Daí, 
 
%1
V
dV
%1
h
dh
dh.
h.R
R.
V
dV h
2
2
h
=∴==
pi
pi
= 
 
 
 
 
Logo, o erro máximo do volume será : 
 
 
%3
V
dV
%1%2
V
dV
V
dV
V
dV máxhRmáx
=∴+=+= 
 
71) ( H. B. Phillips ) O período de vibração de um pêndulo de comprimento L é determi-
nado pela equação 
g
L
2T pi= . Determinar o erro máximo do valor calculado para T 
em conseqüência de erros de 1% nas medidas de L e g . 
 
A expressão de T pode ser escrita como : 
g
L
2T pi= 
 
Considerando L constante, tem-se : 
 
dg.
gg
L
dTdg.
g
g2
1
.L2
dT gg
pi−
=⇒
pi−
= 
 
 
Considerando g constante, tem-se : 
 
dL.
Lg
dTdL.
L2
1
.
g
2
dT LL
pi
=⇒
pi
= 
 
Então : 
 
( ) g de %5,00005,001,0.
2
1
g
dg
.
2
1
dg.
L2
g
.
gg
L
T
dT
g
L
2
dg.
gg
L
T
dT
%
gg
ε=±=±=±−=−=
pi
pi−
=
pi
pi−
=
 
 
e 
 
( ) L de %5,00005,001,0.
2
1
L
dL
2
1
dL.
L2
g
.
LgT
dT
g
L
2
dL.
Lg
T
dT
%
L
L
ε=±=±=±==
pi
pi
=
pi
pi
=
 
 
 
Note que as medidas de L e g podem ser para mais ou para menos, de tal modo que os 
sinais algébricos de seus respectivos erros percentuais devem ser somados. 
 
Logo, o máximo erro percentual para T será : 
 
 
( ) %1%5,0%5,0Tmáx =++=ε 
 
 
 
 
 
 
 
 
72) ( H. B. Phillips ) Calcula-se o raio de uma bola esférica partindo do seu peso e da 
densidade do material de que é feita. Admitindo que se tenha cometido um erro de 
0,5% na pesagem da bola e de 1% na determinação da sua densidade, que erro máximo 
pode resultar na determinação do raio ? 
 
Equação do Peso : 
g
P
mmgP =⇒= 
 
Equação da Densidade : 
ρ
=⇒=ρ mV
V
m 
 
 
Usando as equações acima, temos : 
g
P
V
ρ
=
 
 
Volume da esfera : 3R
3
4
V pi= 
 
Então, 
 
3
3
33
g4
P3
R
g4
P3
R
g
P
R
3
4
ρpi
=∴
ρpi
=⇒
ρ
=pi ( expressão de R em função de P e ρ ) 
 
 
Considerando ρ constante e diferenciando em relação a P , ter-se-á : 
 
( ) ( ) 33 2P33 2P g4P3
dP
dRdp.
g4P33
3
dR
ρpi
=⇒
ρpi
= 
 
Daí, 
( )
( )
( ) %
6
1
R
dR
%5,0.
3
1
P
dP
3
1
P3
g4
.
g4P3
dP
g4
P3
g4P3
dP
R
dR P
3
3
33 2
3
3
33 2
P ±=∴±==
ρpi
ρpi
=
ρpi
ρpi
=
 
 
Considerando P constante e diferenciando em relação a ρ , ter-se-á : 
 
( )
( )
( ) ( ) ρρpiρ
−
=⇒ρ
ρpiρpi
pi−
=ρ
ρpiρpi
pi−
=
ρ
ρpi
ρpi
pi
−
=
ρρ
ρ
d.
g43
P3
dRd.
g4.g4.3
g4.P3
d.
g4g43
g4.P3
dR
d.
g4
g43
g4
.P3
dR
3
3
3
3
3 23 2
3
3 2
3 2
3
 
 
 
Daí, 
( ) %
3
1
R
dR
%1.
3
1d
3
1
d.
P3
g4
.
g43
P3
g4
P3
d.
g43
P3
R
dR
3
3
3
3
3
3
3
3
±=ρ∴±−=
ρ
ρ−
=ρ
ρpi
ρpiρ
−
=
ρpi
ρ
ρpiρ
−
=
ρ 
 
Note que as medidas de P e ρ podem ser para mais ou para menos, de tal modo que os sinais algébricos 
de seus respectivos erros percentuais devem ser somados. 
 
Logo, o máximo erro percentual para R será : 
 
( ) %
2
1
%
3
1
%
6
1
Rmáx =++=ε 
 
73) ( Granville ) Ache uma fórmula aproximada para a área de uma coroa 
circular de raio R e largura dR. Qual a fórmula exata ? 
 
Temos : 2RA pi= 
 
Diferenciando A temos a área aproximada da coroa circular : 
 
dR.R2dA pi= 
 
 
Usando a noção de incremento y∆ , ter-se-á a área exata : 
 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) R.RR2ARR2R.A
)R(R.R2A
AR)R(R.R2R
AR)R(R.R.2R
ARRR
yxfxxf
2
222
222
22
∆∆+pi=∆⇒∆+∆pi=∆
∆pi+∆pi=∆
∆+pi=∆pi+∆pi+pi
∆+pi=∆+∆+pi
∆+pi=∆+pi
∆+=∆+
 
 
 
 
 
74) ( Granville ) Quais os erros aproximados no volume e na área de um cubo de 
aresta igual a 6 cm se um erro de 0,02 cm foi feito ao se medir a aresta ? 
 
Área do cubo : 3LV = 
 
 
Daí, diferenciando ter-se-á : 
 
32
2
cm16,2dV02,0.3.6dV
dL.L3dV
≅∴=
=
 
 
 
Área do cubo : 2L6A = 
 
 
Daí, diferenciando ter-se-á : 
 
2cm44,1dA02,0.6.12dA
dL.L12dA
≅∴=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75) ( Granville ) As fórmulas para a área e o volume de uma esfera são, 
respectivamente, 
2R4A pi= e 3
3
4 RV pi= 
Mediu-se o raio e achou-se 3 cm. Pergunta-se (a) qual o máximo erro 
aproximado em A e em V se se mediu com a aproximação de 0, 01 cm ? (b) 
qual o máximo erro percentual em dada caso ? 
 
(a) Diferenciando A, tem-se : 
 
22 cm75,0cm24,0dA01,038dA
dR.R8dA
≅pi=∴××pi=
pi=
 
 
 
Daí, 
O máximo erro percentual obtém-se pela relação 100
A
dA ×=ε : 
 
 
%67,0%
3
2
3
10001,02
100
R
dR
2100
R4
dRR8
100
A
dA
2
≅





=ε∴
××
=×=×
pi
pi
=ε
×=ε
 
 
 
 
b) Diferenciando V, tem-se : 
 
332
2
cm13,1cm36,0dV01,0.34dV
dR.R4dV
≅pi=∴pi=
pi=
 
 
 
Daí, 
O máximo erro percentual obtém-se pela relação 100
V
dV ×=ε : 
 
%1100
3
01,03
100
R
dR
3
100
R
dR.R4
100
V
dV
3
3
4
2
=×
×
=ε→×=ε
×
pi
pi
=ε
×=ε
 
 
 
********************************* F I M ****************************************** 
 
Todas as figuras contidas neste manuscrito, à exceção dos problemas nºs 26, 
34, 36, 40, 55, 56, 61, 64 e 71, foram construídas através das ferramentas gráficas 
Geogebra, Paint e Gimp. 
 
Referendam gratiam finalem : 
 
Agradeço a DEUS, que pela Sua infinita onisciência, proporcionou-me a 
sabedoria, o discernimento, a paciência, o autodidatismo e a Sua luz, quando na 
resolução dos problemas aqui transcritos. 
 
 
Por Edi Takatuzi , 28/12/2017 .