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UFRN - DMAT - MAT0311 - Matemática para Engenharia I
Unidade 1 - Lista 3
Observação: exercícios retirados do livro-texto "Cálculo", vol. 1, 7ed., de James Stewart.
1. Dado o gráfico de f(x) = 1/x para encontrar um número δ tal que
se |x− 2| < δ então
∣∣∣∣1x − 0.5
∣∣∣∣ < 0.2.
2. Dado o gráfico de f(x) =
√
x para encontrar um número δ tal que
se |x− 4| < δ então ∣∣√x− 2∣∣ < 0.4.
3. Um operário precisa produzir um disco metálico com área de 1000 cm
2
.
(a) Qual raio produz este disco?
(b) Se o operário permite uma tolerância de ± 5 cm2 de erro na área do disco, quão perto do raio
ideal encontrado no item a) o operário precisa controlar o raio?
(c) Usando a definição de ε e δ de lim
x→a
f(x) = L, o que é x, f(x), a, L? O que significa o valor
de ε dado? Qual é o valor correspondente de δ?
4. Prove usando a definição de ε e δ de limite.
(a) lim
x→1
(2x+ 3) = 5 (b) lim
x→−3
(1− 4x) = 13
5. (a) Usando o gráfico da f , encontre os pontos em que f é descontínua e explique o por quê.
(b) Para cada ponto encontrado no item a), determine se a função é contínua à direita, à esquerda
ou nenhum dos dois.
6. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as características abaixo:
(a) f é contínua em todos os pontos exceto em x = 3 e é contínua à esquerda em 3.
(b) g tem uma descontinuidade do tipo salto em x = 2 e uma descontinuidade removível em
x = 4, mas é contínua em todos os outros pontos.
7. Se f e g são funções contínuas com f(3) = 5 e lim
x→3
[2f(x)− g(x)] = 4, encontre g(3).
8. Explique por que a função é descontínua no ponto a dado. Esboce o gráfico da função.
(a) f(x) = ln |x− 2|, a = 2
(b) f(x) =
{
ex, x < 0,
x2, x ≥ 0 a = 0
(c) f(x) =

cosx, x < 0,
0, x = 0,
1− x2, x ≥ 0
a = 0
9. Explique porque a função é contínua em todo o seu domínio. Encontre o domínio.
(a) F (x) =
x
x2 + 5x+ 6
(b) R(x) = x2 +
√
2x− 1 (c) G(t) = ln(t4 − 1)
10. Mostre que f é contínua em (−∞, ∞).
f(x) =
{
x2, x < 1,√
x, x ≥ 1
11. Encontre os pontos em que f é descontínua. Em quasi destes pontos f é contínua à direita, à
esquerda, ou nenhum? Esboce o gráfico de f .
(a) f(x) =

1 + x2, x ≤ 0,
2− x, 0 < x ≤ 2,
(x− 2)2, x > 2
(b) f(x) =

]x+ 2, x < 0,
ex, 0 ≤ x ≤ 1,
2− x, x ≥ 1.
12. Para que valor de constante c a função f é contínua em (−∞, ∞)?
f(x) =
{
cx2 + 2x, x < 2,
x3 − cx, x ≥ 2.
13. Quais das seguintes funções tem uma descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade é
removível, encontre uma função g que concorda com f para x 6= a e é contínua em a.
(a) f(x) =
x4 − 1
x− 1 , a = 1 (b) f(x) =
x3 − x2 − 2x
x− 2 , a = 2
14. Mostre que f é contínua em (−∞, ∞).
f(x) =
{
x4 sin(1/x), x 6= 0,
0, x = 0