Lista exercícios Prob.1 (Mauro)

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2014
ME-210. Lista de Exerc´ıcios 1
1. Sejam A, B, e C subconjuntos de um conjunto Ω. Indique quais afirmac¸o˜es
abaixo sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Justifique as suas respostas.
(i) (A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C).
(ii) A ∩ B ∩ C = A ∩B ∩ (C ∪ B).
(iii) A ∪ B ∪ C∪ = A ∪ (B \ (A ∩ B)) ∪ (C \ (A ∩ C)).
(iv) A ∪ B = (A \ (A ∩ B)) ∪ B.
(v) A ∩ B ∩ C ⊂ (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A).
(vi) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩A) ⊂ A ∪ B ∪ C.
(vii) (A ∪ B) \ A = B.
(viii) A ∩ Bc ∩ C ⊂ A ∪ B.
(ix) A ∪ B ∪ C = Ac ∩Bc ∩ Cc.
(x) (A ∪ B)c ∩ C = (Ac ∩ C) ∪ (Bc ∩ C).
(xi) (A ∪ B)c ∩ C = Ac ∩ Bc ∩ C.
(xii) (A ∪ B)c ∩ C = C \ (C ∩ (A ∪ B)).
2. Sejam A, B, C e D subconjuntos de um conjunto Ω. Indique quais
afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Justifique as suas
respostas.
(i) A△A = φ.
(ii) A△B = B △ A.
(iii) A△φ = A.
(iv) A△Ω = Ac.
(v) A△(B△C) = (A△B)△C.
(vi) A ∩ (B△C) = (A ∩B)△(A ∩ C).
(vii) (A△B)△(B△C) = A△C.
(viii) A△B = (A ∪ B) \ (A ∩B).
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(ix) A ∪ B = (A△B)△(A ∩ B).
(x) (A ∩ Bc)△(Ac ∩B) = A△B.
(xi) A△B = C ⇐⇒ A = B△C.
(xii) A△B = C△D ⇐⇒ A△C = B△D.
(xiii) A△B = Ac△Bc.
3. Sejam (An : n ≥ 1) e (Bn : n ≥ 1) sequeˆncias de subconjuntos de um
conjunto Ω. Mostre que:
(i)
⋃
∞
n=1An = lim
⋃n
k=1Ak).
(ii) (
⋂
∞
n=1An) \ (
⋂
∞
n=1Bn) ⊂
⋃
∞
n=1(An \Bn).
4. Sejam B e C subconjuntos e defina A2n+1 = B e A2n = C, n = 0, 1, 2, . . ..
Encontre lim inf An e lim supAn.
5. A func¸a˜o indicador (ou indicadora) de um subconjunto A ⊂ Ω e´
definida por:
1A(ω) =
{
1, se ω ∈ A
0, se ω /∈ A
Mostre que:
(i) A = B ⇔ 1A = 1B.
(ii) 1A∪B = max(1A, 1B).
(iii) 1A∪B = 1A + 1B, se A ∩B = φ.
(iv) 1A∩B = 1A1B.
(v) 1Ac = 1− 1A.
(vi) 1A△B = |1A − 1B|.
6. Sejam A, B e C eventos associados a um experimento aleato´rio. Encontre
expresso˜es, em termos de A, B e C, para os seguintes eventos:
(i) Somente A ocorre.
(ii) A e B ocorem, mas C na˜o.
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(iii) Todos os treˆs ocorrem.
(iv) Pelo menos um deles ocorre.
(v) Pelo menos dois deles ocorrem.
(vi) Exatamente um deles ocorre.
(vii) Exatamente dois deles ocorem.
(viii) Nenhum deles ocorre
(ix) Na˜o mais que dois deles ocorrem.
7. Sejam (Ω,F , P ) um espac¸o de probabilidade, onde {ω} ∈ F ∀ ω ∈ Ω e
P e´ uma medida de probabilidade que assinala probabilidade p > 0 para
todo evento elementar {ω} ∈ Ω. Mostre que Ω e´ finito e encontre o valor
de p.
8. Seja Ω = {0, 1, . . .} e F = 2Ω. Mostre que (Ω,F , P ) e´ um espac¸o de
probabilidade quando:
(i) P (A) =
∑
x∈A
e−λλx
x!
, para λ > 0
(ii) P (A) =
∑
x∈A p(1− p)
x, para 0 < p < 1
9. Se (Ω,F , P1) e (Ω,F , P2) sa˜o espac¸os de probabilidade e 0 ≤ α ≤ 1,
mostre que (Ω,F , αP1 + (1− α)P2) e´ um espac¸o de probabilidade.
10. Seja (Ω,F , P ) um espac¸o de probabilidade. Mostre que:
(i) Se P (Ai) = 0, i = 1, 2, . . ., enta˜o P (∪iAi) = 0.
(ii) Se P (Ai) = 1, i = 1, 2, . . ., enta˜o P (∩iAi) = 1.
(iii) P (A ∩ B) ≥ P (A) + P (B)− 1.
(iv) P (∩∞i=1Ai) ≥ 1−
∑
∞
i=1 P (A
c
i).
(v) P (A△B) = P (A) + P (B)− 2P (A ∩ B).
(vi) P (A△C) ≤ P (A△B) + P (B△C).
11. Seja P uma probabilidade em uma σ-a´lgebra F de subconjunots de R que
conte´m todos os intervalos. Prove que, dado ǫ > 0, existe M > 0 tal que
P ([−M,M ]) > 1− ǫ.
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12. Encotre um exemplo de treˆs eventos A1, A2, e A3,onde:
(i) P (Ai ∩Aj) = P (Ai)P (Aj), ∀i, j ∈ {1, 2, 3} mas
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) 6= P (A1)P (A2)P (A3).
(ii) P (A1∩A2 ∩A3) = P (A1)P (A2)P (A3) mas A1, A2 eA3 na˜o sa˜o inde-
pendentes.
(iii) A1 e´ independente de A2 ∩A3 e de A2 ∪A3, A2 independente de A3
mas A1 na˜o e´ independente de A2 ou de A3.
13. Considere um espac¸o de probabilidade (Ω,F , P ) e assuma que todos os
eventos abaixo pertencem a F . Mostre que:
(i) Se os Di’s sa˜o disjuntos e P (C|Di) = p para todo i, enta˜o
P (C| ∪i Di) = p.
(ii) Se os Ei’s sa˜o disjuntos e ∪iEi = Ω,enta˜o
P (C|D) =
∑
i
P (Ei|D)P (C|Ei ∩D).
(iii) Se os Ci’s sa˜o disjuntos e P (A/Ci) = P (B/Ci) para todo i, enta˜o
P (A/ ∪i Ci) = P (B/ ∪i Ci).
14. Mostre que:
(i) Se A e B sa˜o independentes e A ⊂ B, enta˜o P (A) = 0 ou P (B) = 0
ou P (B) = 1.
(ii) P (A/B) = P (A/B∩C)P (C)+P (A/B∩Cc)P (Cc), se P (B)P (C) > 0
e B e C sa˜o independentes.
(iii) Reciprocamente, se a igualdade em (ii) e´ valida, P (A/B ∩ C) 6=
P (A/B) e P (A) > 0, enta˜o B e C sa˜o independentes.
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15. Mostre que:
(i)
(
1− n−1
k
)n−1
≤ (k)n
kn
≤
(
1− 1
k
)n−1
.
(ii) (k)n
kn
−→ 1, quando k →∞.
16. Os nu´meros 1, 2, . . . , n sa˜o permutados aleatoriamente. Encontre a pro-
babilidade que os d´ıgitos 1 e 2 sejam vizinhos. Idem para os d´ıgitos 1, 2
e 3.
17. Sejam n bolas distribuidas aleatoriamente em r urnas distinguiveis,sem
retric¸o˜es no nu´mero de bolas por urna. Encontre a probabilidade:
(i) Exatamente k bolas nas primeiras r1 urnas.
(ii) Exatamente uma urna vazia.
(iii) Exatamente s urnas vazias.
18. Considere permutac¸o˜es aleato´rias de n objetos distintos. Dizemos que
uma coincideˆncia ocorre na posic¸a˜o i se o i-e´simo objeto cai na posic¸a˜o i.
(i) i) Mostre que a probabilidade de pelo menos uma coincideˆncia e´
dada por:
n∑
k=1
(−1)k−1
k!
(ii) Encontre a probabilidade βn(k) de exatamente k coincideˆncias.
(iii) Mostre que βn(k) ≈
e−1
k!
.
19. Suponha que n varetas sejam dividas em uma parte curta e outra longa.
As 2n novas varetas sa˜o juntadas aleatoriamente em n novos pares. En-
contre a probabilidade que:
(i) As partes sejam juntadas na ordem original.
(ii) As partes longas fac¸am par com as partes curtas.
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20. Treˆs jogadores A, B e C se revezam em um jogo honesto de acordo com
as seguintes regras. No in´ıcio A e B jogam e C fica de fora. O perde-
dor e´ substituido por aquele que estava fora e assim sucessivamente. O
jogo continua desta forma ate´ que o mesmo jogador ganhe duas vezes
consecutivas, sendo enta˜o declarado vencedor. Qual a probabilidade que:
(i) A venc¸a?
(ii) C venc¸a?
(iii) Uma decisa˜o ocorra na k-e´sima rodada ou antes?
21. Calcule a probabilidade que dois lanc¸amentos de treˆs dados resultem na
mesma configurac¸a˜o quando os dados sa˜o:
(i) Distinguiveis.
(ii) Indistinguiveis.
22. O dado A tem quatro faces vermelhas e duas brancas enquanto o dado
B tem duas vermelhas e quatro brancas. Uma moeda e´ lanc¸ada, se o
resultado e´ cara o dado A e´ lanc¸ado sucessivas vezes, caso contra´rio o
dado B e´ usado.
(i) Encontre a probabilidade de vermelho no n-e´simo lanc¸amento..
(ii) Se os dois primeiros lanc¸amentos resultam em vermelho, qual a pro-
babilidade de vermelho no terceiro lanc¸amento?
(iii) Se vermelho ocorre nos n primeiros lanc¸amentos, qual a probabili-
dade que o dado A tenha sido usado nos (n−1) primeiros lanc¸amentos?
Esse problema e´ equivalente a algum problema de bolas em urnas? Ex-
plique!
23. Considere n repetic¸o˜es independentes de um experimento. Suponha que
a probabilidade do evento A ocorrer na j-e´sima repetic¸a˜o do experimento
seja pj para j = 1, 2, 3, . . . , n. Seja πn,k a probabilidade do evento A
ocorrer k vezes nas n repetic¸o˜es. Mostre que:
(i) πn+1,k = πn,k−1pn+1 + πn,k(1− pn+1).
(ii) π2n,k ≤ πn,k−1πn,k+1.
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24. Um teste de laborato´rio para uma certa doenc¸a resulta positivo em 98% dos
casos em que a pessoa tem a doenc¸a e em 5% dos casos em que a pessoa na˜o
esta doente. Seja p a proporc¸a˜o de pessoas na populac¸a˜o com esta doenc¸a.
Encontre a probabildade de uma pessoa escolhida ao acaso na populac¸a˜o e com
resultado positivo ao tese esteja com a doenc¸a.
25. Uma urna contem a bolas azuis e v bolas vermelhas. As bolas sa˜o seleciona-
das ao acaso sem reposic¸a˜o. Encontre a probabilidade da primeira bola azul
aparecer na k-e´sima retirada.
26. (Esquema de urna de Po´lya.)Consider uma urna que inicialmente conte´m b
bolas brancas e p bolas pretas. Bolas sa˜o selecionadas ao acaso em sequeˆncia.
Apo´s cada selec¸a˜o a bola retirada retorna a urna juntamente com c bolas da
mesma cor. Seja Bj o evento: A j-e´sima bola retirada e´ branca. Encontre a
probabilidade de Bj.
27. (Problema das caixas de fosforo de Banach) Um pessoa carrega uma caixa de
fo´sforo no bolso direito e outra no bolso esquerdo. Quando ele precisa de um
fo´sforo escolhe ao acaso uma das caixas. Seja Ak o evento quando o u´ltimo
palito de uma caixa e´ retirado, a outra caixa ainda conte´m k palitos. Assuma
que inicialmente cada caixa contem N palitos. Calcule a probabilidade de Ak
para k = 1, 2, . . . , N .
28. Considere sucesssivos lanc¸amentos de um dado honesto. Considere o evento o
nu´mero 1 ocorre.
(i) Qual a probabilidade que em 5 lanc¸amentos 1 ocorra 3 vezes?
(ii) Qual a probabilidade que o nu´mero de lanc¸amentos antes da ocorreˆncia
do primeiro 1 seja 4?.
(iii) Qual a probabilidade que sejam necessa´rios 5 lanc¸amentos antes da ocorreˆncia
do segundo 1?
29. Considere agora um lote com 6 componentes sendo 2 defeituosos. Quando 4
componentes selecionados ao acaso, qual a probabilidade 3 sejam na˜o defeitu-
osos?
(i) Quando a selec¸a˜o e´ feita com reposic¸a˜o.
(ii) Quando a selec¸a˜o e´ feita sem reposic¸a˜o.
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