Apostila - Vetores unitários

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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ VETORES UNITÁRIOS 
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica 
 
Versor de um Vetor 
Um vetor que possui módulo igual a 1, independente de sua direção e sentido, é nomeado de “vetor unitário”. 
 
Definição: Dado um vetor não-nulo 
JG
v , dizemos que 
JJG
w é o versor do vetor 
JG
v , se 
JJG
w for unitário e possuir 
mesma direção e mesmo sentido que um vetor 
JG
v . 
 
Na figura, u, v e w
G G G
 possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Considere 
JJG
w um vetor unitário. Portanto, 
pela definição acima, podemos concluir que 
JJG
w é o versor de u e v
G G
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 1: No plano cartesiano, represente os vetores =JJJG (4,3)OI e ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJJG 4 3
,
5 5
OK . Use papel milimetrado. 
Em seguida, compare-os em relação às seguintes características: 
 
Direção: ______________________________________________________________________________ 
Sentido: ______________________________________________________________________________ 
Módulo: ______________________________________________________________________________ 
 
a) Como podemos obter ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJJG 4 3
,
5 5
OK a partir de ( )=JJJG 4,3OI ? 
 
 
 
b) Dado um vetor 
JG
v qualquer, como determinar o versor de 
JG
v ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor no plano, em função dos versores dos eixos coordenados 
Vimos anteriormente que um VERSOR de um vetor v
G
 não-nulo, é um VETOR UNITÁRIO de mesma direção e 
sentido que v
G
. Vamos associar um versor a cada eixo do plano cartesiano. 
 
u
G 
v
G
w
G
Generalizando: Seja 
JJG
w o versor do vetor 
JG
v . Neste caso, se v
G
 é não-nulo, então w =G 
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Assim, o versor 
G
i = (1, 0) no eixo dos x e o versor 
G
j = (0, 1) no eixo dos y, conforme a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O par ordenado de versores (
G
i ,
G
j ) constitui o que chamamos de BASE CANÔNICA do plano R2, ou seja, base 
do plano cartesiano XOY. 
 
Verifica-se que um vetor 
JG
u = (a, b), pode ser escrito univocamente como: 
JG
u = a 
G
i + b 
G
j . 
 
Na figura, P = (a, b) e OP u=JJJG G = (a, b). Observe que u OP OA OB= = +JJJG JJJG JJJGG . 
 
 
 
 
 
 Se u OA OB= +JJJG JJJGG , então u a. i b. j= +G GG . 
 Mas u
G
= (a, b). Logo: 
 u
G
= (a, b) = a. i b. j+G G . 
 
 De fato, se u a. i b. j= +G GG , i (1,0) e j (0,1)= =G G . 
 Então: 
 u a.(1,0) b.(0,1) (a, 0) (0, b) (a, b)= + = + =G . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 2: Escreva o vetor u
G
= (3, 4) como combinação linear de: 
 
a) Dos vetores da base canônica: 
b) Dos vetores (1, 2) e (0, 2): 
 
 
 
i
G
 
j
G
 
a . i
G
 
b . j
G
 
Respostas: 
 
a) u
G
= 3 . i
G
 + 4 . j
G
 
 
b) u
G
 = a (1, 2) + b (0, 2), onde a, b são números reais não nulos. 
 
Logo, (3, 4) = (a, 2a) + (0, 2b) → (3, 4) = (a , 2a + 2b) 3 a
4 2a 2b
=⎧→ ⎨ = +⎩
a 3 e b 1→ = = − 
u
G
= 3 . (1, 2) + (-1) . (0, 2)