Geometria Analítica - Exercícios - 04

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Universidade Federal de Pelotas
Instituto de F´ısica e Matema´tica
Departamento de Matema´tica
Disciplina: A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Professor: Cicero Nachtigall
Lista 4
1. Seja o plano
pi : 2x− y + 3z + 1 = 0
Calcular:
(a) O ponto de pi que tem abscissa 4 e ordenada 3;
(b) O ponto de pi que tem abscissa 1 e cota 2;
(c) O valor de k para que o ponto P (2, k + 1, k) pertenc¸a a pi;
(d) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada e´ o dobro da cota.
2. Determine a equac¸a˜o geral do plano em cada caso:
(a) paralelo ao plano pi : 2x− 3y − z + 5 = 0 e que conte´m o ponto A(4,−1, 2);
(b) Perpendicular a reta
r :
{
x = 2y − 3
z = −y + 1 e que conte´m o ponto A(1, 2, 3);
(c) Paralelo ao eixo z e que conte´m os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0,−1);
(d) Paralelo ao eixo x e que conte´m os pontos A(−2, 0, 2) e B(0,−2, 1);
(e) Paralelo ao eixo y e que conte´m os pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1);
(f) Paralelo ao plano xOz e que conte´m o ponto A(5,−2, 3);
(g) Perpendicular ao eixo y e que conte´m o ponto A(3, 4,−1).
3. Descreva a equac¸a˜o geral do plano determinado pelos pontos:
(a) A(−1, 2, 0), B(2,−1, 1) e C(1, 1,−1);
(b)A(2, 1, 0), B(−4,−2,−1) e C(0, 0, 1);
(c) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C(0, 2, 5);
(d) A(2, 1, 3), B(−3,−1, 3) e C(4, 2, 3).
4. Determine a equac¸a˜o do plano nos seguintes casos:
(a) O plano que passa pelo ponto A(6, 0,−2) e e´ paralelo aos vetores ~i e −2~j + ~k;
(b) o plano que passa pelos pontos A(−3, 1− 2) e B(−1, 2, 1) e e´ paralelo ao vetor
~v = 2~i− 3~k;
(c) O plano que conte´m os pontos A(1,−2, 2) e B(−3, 1,−2) e e´ perpendicular ao
plano pi : 2x+ y − z + 8 = 0;
(d) O plano conte´m o ponto A(4, 1, 0) e e´ perpendicular aos planos pi1 : 2x − y −
4z − 6 = 0 e pi2 : x+ y + 2z − 3 = 0.
1
5. Represente graficamente os planos de equac¸o˜es:
(a) pi1 : x+ y − 3 = 0;
(c) pi3 : 2y + 3z − 6 = 0;
(b) pi2 : z = −2;
(d) pi4 : 3x+ 4y + 2z − 12 = 0.
6. Dada a equac¸a˜o geral do plao pi : 3x − 2y − z − 6 = 0, determine um sistema de
equac¸o˜es parame´tricas para pi.
7. Estabelec¸a as equac¸o˜es parame´tricas do plano determinado pelos pontos A(1, 1, 0),
B(2, 1, 3) e C(−1,−2, 4).
8. Determine o aˆngulo entre os seguintes planos:
(a) pi1 : x+ 2y + z − 10 = 0 e pi2 : 2x+ y − z + 1 = 0;
(b) pi1 : 2x− 2y + 1 = 0 e pi2 : 2x− y − z = 0;
(c) pi1 : 3x+ 2y − 6 = 0 e pi2 : plano xOz;
(d) pi1 : 3x+ 2y − 6 = 0 e pi2 : plano yOz.
9. Determine o valor de m para que seja de 60◦ o aˆngulo entre os planos
pi1 : x− y +mz − 7 = 0 e pi2 : x+ y +mz − 2 = 0.
10. Determine a e b de modo que os planos
pi1 : ax+ by + 4z − 1 = 0 e pi2 : 3x− 5y − 2z + 5 = 0
sejam paralelos.
11. Determine m de modo que os planos
pi1 : 2mx+ 2y − z = 0 e pi2 : 3x−my + 2z − 1 = 0
sejam perpendiculares.
12. Calcule o volume do tetraedro limitado pelo plano pi : 3x+2y− 4z− 12 = 0 e pelos
planos coordenados.
13. Determine a distaˆncia do ponto P (2,−1, 2) a cada um dos planos:
(a) pi1 : 2x− 2y − z + 3 = 0
(c) pi3 : 2x+ y = 3
(b) pi2 : x+ y + z = 0
14. Encontre a distaˆncia do ponto P (2,−3, 5) ao plano pi : 3x+ 2y + 6z − 2 = 0.
15. Dado o tetraedro de ve´rtices A(1, 2, 1), B(2,−1, 1), C(0,−1,−1) e D(3, 1, 0), calcu-
lar a medida da altura baixada do ve´rtice D ao plano da face ABC.
16. Determine a distaˆncia entre os planos paralelos:
(a) pi1 : 2x+ 2y + 2z − 5 = 0 e pi2 : x+ y + z − 3 = 0;
(b) pi1 : x− 2z + 1 = 0 e pi2 : 3x− 6z − 8 = 0.
2
Respostas:
1. (a) (4, 3,−2).
(c) k = −2.
(b) (1, 9, 2).
(d) (0,−2,−1).
2. (a) pi : 2x− 3y − z − 9 = 0.
(c) pi : 3x+ 2y − 6 = 0.
(e) pi : x+ 2z − 2 = 0.
(g) pi : y = 4.
(b) pi : 2x+ y − z − 1 = 0.
(d) pi : y − 2z + 4 = 0.
(f) pi : y = −2.
3. (a) pi : 4x+ 5y + 3z − 6 = 0.
(c) pi : x = 0.
(b) pi : x− 2y = 0.
(d) pi : z = 3.
4. (a) pi : y + 2z + 4 = 0.
(c) pi : x− 12y − 10z − 5 = 0.
(b) pi : −3x+ 12y − 2z − 25 = 0.
(d) pi : 2x− 8y + 3z = 0.
5.
6. Existem infinitos sistemas, um deles e´:
pi :

x = t
y = −h
z = −6 + 2h + 3t
, onde t, h ∈ R.
7. Existem infinitos sistemas, um deles e´:
pi :

x = 1 + h − 2t
y = 1 − 3t
z = 3h + 4t
, onde t, h ∈ R.
8. (a) 60◦. (b) 30◦. (c) arccos
2√
13
. (d) arccos
3√
13
.
9. m = ±√2.
10. a = −6 e b = 10.
11. m =
1
2
.
12. 12 u. v..
13. (a)
7
3
. (b)
√
3. (c) 0.
14. 4.
15.
8√
19
.
16. (a)
√
3
6
. (b)
11
3
√
5
.
3