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1. Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os planos π1:2x−y+z−�1:2�−�+�− 1=01=0 e π2:x−12y+12z−9=0�2:�−12�+12�−9=0, assinale o correto sobre a posiçäo relativa dos planos π1�1 e π2�2. Paralelos reversos. Paralelos coincidentes. Transversais. Paralelos concorrentes. Paralelos distintos. Data Resp.: 03/10/2023 13:47:03 Explicação: Comparando os coeficientes: π1:(a1,b1,c1,d1)=(2,−1,1,−1)π2:(a2,b2,c2,d2)=(1,−12,12,−9)(2,−1,1,−1)=α(1,−12,12,−9)⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩2=1∝→∞=2−1=−12∝→∞=21=12∝→∞=2−1=−9∝→∞=19�1:(�1,�1,�1,�1)=(2,−1,1,−1)� 2:(�2,�2,�2,�2)=(1,−12,12,−9)(2,−1,1,−1)=�(1,−12,12,−9){2=1∝→∞=2−1=−12∝→∞=2 1=12∝→∞=2−1=−9∝→∞=19 Como os très primeiros coeficientes säo proporcionais, os planos säo paralelos distintos. 2. Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano α, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta entre a reta r e o plano α: A reta r e o plano α são coincidentes. A reta r é perpendicular ao plano α. A reta r é paralela ao plano α. A reta r intercepta o plano α em um único ponto. A reta r está contida no plano α. Data Resp.: 03/10/2023 13:47:37 Explicação: Para determinar a relação entre a reta r e o plano α, podemos verificar se a reta intercepta o plano em algum ponto. Substituindo as coordenadas dos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6) na equação do plano α, obtemos duas equações: 2x - y + 3z = 7 2(1) - 2 + 3(3) = 7 2(4) - 5 + 3(6) = 7 Simplificando, temos: 3 = 7 (falso) 19 = 7 (falso) Como nenhuma das equações é verdadeira, concluímos que a reta r não está contida no plano α. Portanto, a reta r intercepta o plano α em um único ponto. 3. A interpretação das posições relativas entre os planos vai depender dos coeficientes de suas equações. Considerando os planos π1: ax + by + 4z - 1 = 0 e π2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os valores de a e b, de modo que os planos sejam paralelos é, respectivamente: -6 e 10. -5 e 3. -1 e 5. 3 e -5. 6 e -10. Data Resp.: 03/10/2023 13:48:06 Explicação: Temos que: π1:(a1,b1,c1,d1)=(a,b,4,−1)π2:(a2,b2,c2,d2)=(3,−5,−2,5)�1:(�1,�1,�1,�1)=(�,�,4,−1)�2:(�2, �2,�2,�2)=(3,−5,−2,5) Para serem paralelos, pelo menos 3 coeficientes devem ser proporcionais: Igualando as coordenadas: (a,b,4,−1)=∝(3,−5,−2,5)(�,�,4,−1)=∝(3,−5,−2,5) x→a=3αy→b=−5∝z→4=−2∝→α=−2−1=∝5�→�=3��→�=−5∝�→4=−2∝→�=−2−1=∝5 Substituindo α=−2�=−2, nas expressöes encontradas, temos: a=−6�=−6 b=10−1≠−10�=10−1≠−10 Para os planos serem paralelos, a=−6eb=10�=−6e�=10, mas como −1≠−10−1≠−10 sabemos que são paralelos distintos. 4. O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a capacidade de manobra e até mesmo a estética urbana. Considere as retas r1:⎧⎪⎨⎪⎩x=3+ty=tz=−1−2t�1:{�=3+��=��=− 1−2� e r1:x+2−2=y−3=2�1:�+2−2=�−3=2 como as equaçöes de reta de duas ruas que se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de: 120º. 90º. 45º. 60º. 30º. Data Resp.: 03/10/2023 13:48:54 Explicação: Sabemos que: cosθ=∣∣→r1+→r2∣∣∣∣→r1∣∣∣∣→r2∣∣cos �=|�1→+�2→||�1→||�2→| Do enunciado, tiramos: →r1=(1,1,−2)→r2=(−2,1,1)�1→=(1,1,−2)�2→=(−2,1,1) Calculando o produto escalar: →r1⋅→τ2=(1,1,−2)⋅(−2,1,1)=1×(−2)+1×1+(−2)×1=−3�1→⋅�2→=(1,1,−2)⋅(−2,1,1)=1×(−2)+1×1 +(−2)×1=−3 Calculando os módulos: ∣∣→r1∣∣=√ 12+12+(−2)2 =√ 6 ∣∣→r2∣∣=√ (−2)2+12+12 =√ 6 |�1→|=12+12+(−2)2=6|�2→|=(−2)2+ 12+12=6 Voltando, temos: cosθ=∣∣→r1⋅→r2∣∣∣∣→r1∣∣∣∣→r2∣∣=|−3|√ 6 ×√ 6 =36=12cos �=|�1→⋅�2→||�1→||�2→|=|−3|6 ×6=36=12 O� anngulo cujo cosseno é 12 é 60∘12 é 60∘ logo,θ=60∘����,�=60∘ 5. Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de uma linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1, 2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α. r∩α={−12,12,−1}�∩�={−12,12,−1}. r∩α={−12,−12,−1}�∩�={−12,−12,−1}. r∩α={12,12,1}�∩�={12,12,1}. r∩α={12,12,−1}�∩�={12,12,−1}. r∩α={−12,12,1}�∩�={−12,12,1}. Data Resp.: 03/10/2023 13:58:17 Explicação: Igualando as equaçōes para determinar a interseçăo entre a reta e o plano: Onde: x=−t,y=t,z=2t�=−�,�=�,�=2�. (−t,t,2t)(−�,�,2�) Substituindo: −t+t+2t=1t=1/2−�+�+2�=1�=1/2 Voltando (−t,t,2t)(−12,12,1)(−�,�,2�)(−12,12,1) Logo, r∩α={−12,12,1}�∩�={−12,12,1} 6. Determine o ponto de interseção da reta r:⎧⎪⎨⎪⎩x=1+γy=2−2γz=5−3γ�:{�=1+�� =2−2��=5−3� com o plano 2x-y+z-3=0. I(-11,6,1). I(1,-6,-11). I(6,6,11). I(-1,6,11). I(-1,-6,-11). Data Resp.: 03/10/2023 14:01:12 Explicação: A opção correta é: I(-1,6,11). 2x−y+z−3=02�−�+�−3=0 2(1+γ)−(2−2γ)+5−3γ−3=02(1+�)−(2−2�)+5−3�−3=0 2+2γ−2+2γ+5−3γ−3=02+2�−2+2�+5−3�−3=0 γ=−2�=−2 Determinando as coordenadas: x=1+γ=1+(−2)=−1�=1+�=1+(−2)=−1 y=2−2γ=2−2(−2)=6�=2−2�=2−2(−2)=6 z=5−3γ=5−3(−2)=11�=5−3�=5−3(−2)=11 O ponto de interseção é I(-1,6,11). 7. Determine a distância entre a reta x2=y2=z−11�2=�2=�−11 e o ponto P(0, 2, 0) 0 1 3 2 4 Data Resp.: 03/10/2023 13:58:53 Explicação: A resposta correta é: 2 8. Sejam o plano π:ax+by+cz+d=0�:��+��+��+�=0 e o plano μ:2x+y−z+2=0�:2�+�−�+2=0 . Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de ( a + b + c + d), com a , b, c e d reais. 4 3 1 2 0 Data Resp.: 03/10/2023 13:59:41 Explicação: A resposta correta é: 2 9. A distância entre pontos é um conceito fundamental na geometria e na matemática em geral, e tem amplas aplicações em diversos campos, desde navegação e geografia até física e engenharia. Determine o valor de k, positivo, para que a distância entre os pontos A(2,−1,2)�(2,−1,2) e B(k,1,−2)�(�,1,−2) seja de 6. 5. 2. 3. 6. 4. Data Resp.: 03/10/2023 14:00:57 Explicação: A resposta correta é: 6 A distância pode ser calculada por: d=√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 �=(�2−�1)2+(�2−�1)2+(�2−�1)2 6=√ (k−2)2+(1−(−1))2+(−2−2)2 6=(�−2)2+(1−(−1))2+(−2−2)2 6=√ (k−2)2+4+16 6=(�−2)2+4+16 6=√ (k−2)2+20 6=(�−2)2+20 62=(k−2)2+2062=(�−2)2+20 36=(k−2)2+2036=(�−2)2+20 (k−2)2=36−20(�−2)2=36−20 (k−2)2=16(�−2)2=16 k−2=±4�−2=±4 k′=2+4=6�′=2+4=6 k′′=2−4=−2�″=2−4=−2 Portanto, os possíveis valores de k são 6 e -2, como estamos procurando um valor positivo, a resposta é 6. 10. Determinar a distância entre um plano e um ponto no espaço tridimensional é um problema comum na geometria analítica. Determine a distância entre o plano 2x + 2y - 3z + 1 = 0 e o ponto P(1,1,1). √ 17 17.1717. 5√ 17 17.51717. 3√ 17 17.31717. 4√ 17 17.41717. 2√ 17 17.21717. Data Resp.: 03/10/2023 14:00:46 Explicação: A resposta correta é: 2√ 17 17.21717. A fórmula para calcular a distância entre um plano e um ponto: D=|Ax0+By0+Cz0+D|√ A2+B2+C2�=|��0+��0+��0+�|�2+�2+�2 D=|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|√ 22+22+(−3)2 �=|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|22+22+(−3)2 D=|2+2−3+1|√ 4+4+9�=|2+2−3+1|4+4+9 D=|2|√ 17�=|2|17 D=|2|√ 17 ⋅√ 17 √ 17�=|2|17⋅1717 D=2√ 17 17�=21717
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