História da Matemática - Aulas 01 à 10 - Resumo.

Prévia do material em texto

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. 
 
AULA 01: FUNDAMENTOS TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: A CONSTRUÇÃO DA AULA 01: FUNDAMENTOS TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: A CONSTRUÇÃO DA AULA 01: FUNDAMENTOS TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: A CONSTRUÇÃO DA AULA 01: FUNDAMENTOS TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: A CONSTRUÇÃO DA 
MATEMÁTICA E SUA IMPORTÂNCIA.MATEMÁTICA E SUA IMPORTÂNCIA.MATEMÁTICA E SUA IMPORTÂNCIA.MATEMÁTICA E SUA IMPORTÂNCIA. 
 
Muitos dos grandes modelos pedagógicos propostos ao longo da história estão vinculados a essa 
idéia metafísica da matemática, que pressupõe a existência de significados matemáticos universais 
e absolutos passíveis de serem descobertos por meio de algum método para se obter a 
compreensão matemática. 
 
- Poincaré 
 
- Platão 
 
- Rosseau 
 
- Dewey 
 
Compreensão matemática de Skemp. 
- Compreensão instrumental 
- Compreensão relacional 
 
AULA 02: FUNDAMENTOS TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: ENSINO E APRENDIZAGEM DA AULA 02: FUNDAMENTOS TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: ENSINO E APRENDIZAGEM DA AULA 02: FUNDAMENTOS TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: ENSINO E APRENDIZAGEM DA AULA 02: FUNDAMENTOS TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: ENSINO E APRENDIZAGEM DA 
MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA.... 
 
Os Bourbaki. 
 
De acordo com as idéias defendidas pelo grupo Bourbaki, a unidade da matemática podia ser 
percebida através da utilização do método axiomático, método este que é próprio da matemática. 
 
Em 1935, um grupo de jovens matemáticos reuniu-se num café do Quartier Latin, em Paris, com o 
propósito de redigir um tratado de análise que permitiria reorganizar e simplificar as matemáticas, 
utilizando uma terminologia e notações cuidadosamente pensadas. Eles formavam uma “sociedade 
secreta”. Essa “sociedade secreta” era liderada por Nicolas Bourbaki, um personagem fictício que 
serve como pseudônimo coletivo. 
 
A Matemática Moderna. 
 
Como consequência das idéias do grupo Bourbaki, o Movimento da Matemática Moderna leva o 
formalismo e o rigor matemático ao ensino, e também tenta colocar conceitos avançados em uma 
forma simples e de fácil compreensão para a classe estudantil. 
 
Em virtude dessa nova ação perante o ensino de matemática, disciplinas como álgebra e geometria 
vetorial foram mais valorizadas, bem como a linguagem, a simbologia e as estruturas matemáticas. 
 
O Movimento da Matemática Moderna propôs uma nova abordagem da prática pedagógica com 
relação ao método de ensino com ênfase na: 
 
- Valorização da intuição e do rigor; 
- Aprendizagem através da descoberta; 
- Valorização do papel do aluno; 
- Linguagem matemática; 
- Simbologia. 
 
As mudanças no ensino, ocasionadas pelo Movimento da Matemática Moderna, foram adotadas em 
varias partes do mundo, pois, muitos estudiosos europeus espalharam este ideário com visitas e 
trabalhos em vários países. Estas mudanças foram também espalhadas por matemáticos 
americanos que, como muitos matemáticos europeus, lançaram muitos livros sobre o assunto, os 
quais foram adotados como material de estudo ou livros didáticos de nível superior em vários 
países. 
 
Na década de 70, surgem críticas ao Movimento de Matemática Moderna. Kline (1976, pg. 97) 
levantou o questionamento sobre os programas de matemática moderna, por não ter resolvido os 
problemas associados ao ensino e a aprendizagem da matemática tradicional. 
 
Teoria de Piaget. 
 
Piaget (1988) relatava que essa experiência (a matemática moderna) era fundamentada na simples 
transmissão de conhecimento, mas, uma coisa, porém, é inventar na ação e assim aplicar estas 
operações, outra é tomar consciência das mesmas para delas extrair um conhecimento reflexivo e, 
sobretudo teórico, de tal forma que nem os alunos nem os professores cheguem a suspeitar de que 
o conteúdo do ensino ministrado pudesse se apoiar em qualquer tipo de estruturas naturais 
(PIAGET 1988, p. 16). 
 
Piaget (1988) aponta alguns princípios que nortearão uma aprendizagem bem sucedida: a 
reconstrução do conhecimento pelo aluno, a busca da verdade e, consequentemente, da 
compreensão. Que o conhecimento não seja simplesmente transmissão e passividade, mas que haja 
atividade e ação sobre o conhecimento a ser assimilado. Também é preciso que haja um trabalho 
unificado com equipes escolares motivadas por objetivos e finalidades coerentes com o que às 
crianças necessitam sendo imprescindível a relação entre professores e psicólogos. 
 
Piaget (1988) menciona a questão das disciplinas científicas (matemática, física etc.) que requer o 
pensamento abstrato e a necessidade de buscar nas ciências as explicações dos fenômenos, ou seja, 
enfatiza que a metodologia ideal é aquela que possibilita que o sujeito se motive a buscar respostas 
as suas dúvidas, com um objetivo maior que é o de tornar a aprendizagem significativa. Em suma, 
defende o método ativo devido o alto nível de compreensão que a criança adquire a respeito de um 
fenômeno. 
 
AULA 03: FUND. TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: O PROC. AULA 03: FUND. TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: O PROC. AULA 03: FUND. TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: O PROC. AULA 03: FUND. TEÓRICOS E BASES PSICOPEDAGÓGICAS: O PROC. DIDÁTICO NO ENSINO/APREND. DIDÁTICO NO ENSINO/APREND. DIDÁTICO NO ENSINO/APREND. DIDÁTICO NO ENSINO/APREND. 
DA MATEMÁTICA.DA MATEMÁTICA.DA MATEMÁTICA.DA MATEMÁTICA. 
 
A teoria piagetiana. 
 
A teoria piagetiana é interacionista e construtivista, ou seja, propõe que o conhecimento seja 
construído a partir da relação que se desenvolve entre o sujeito e o objeto do conhecimento, assim 
como as formas orgânicas constroem-se na troca entre o organismo e o meio ambiente. São as 
trocas que ocorrem entre o sujeito e o objeto que irão determinar as formas pela qual este pode ser 
conhecido, tendendo sempre a haver uma melhor organização das estruturas do sujeito, na medida 
em que o mesmo se adapta ao objeto. 
 
A assimilação e a acomodação. 
 
Para que o sujeito possa interagir com o objeto, entretanto, são necessários dois mecanismos 
essenciais: a assimilação e a acomodação. 
 
O fenômeno dito assimilação implica na incorporação, pelo sujeito, de novas experiências aos 
esquemas previamente estabelecidos, que já faziam parte do patrimônio cognitivo do sujeito. 
 
A acomodação refere-se ao processo de modificação dos esquemas previamente existentes do 
sujeito à nova situação que lhe é apresentada, pois os mesmos precisam se adaptar para que possa 
desta forma se aperfeiçoar. 
 
Acomodação - Nesta interação, com o meio as estruturas mentais - ou seja, a organização que a 
pessoa tem para conhecer o mundo - são capazes de se modificarem para atender e se adequar às 
necessidades e singularidades do objeto, ou seja, as estruturas mentais se moldam à situações 
mutantes e a esse processo, ou seja, o que Piaget designou acomodação. 
 
A acomodação é uma variação de comportamento e não uma mera reação a determinados 
estímulos, pois a capacidade de variação das estruturas mentais deixa claro que mesmo as mais 
simples reações não são processos simplesmente mecânicos, ou seja, a acomodação é a origem do 
processo de aprendizagem. 
 
Entendendo assimilação e a acomodação. 
 
Para PIAGET, a assimilação e a acomodação podem ser entendidas como os dois pólos da interação 
entre o organismo e o meio, sendo isto pré-requisito para todo o funcionamento biológico e 
intelectual. 
 
Unindo os processos indissociáveis e antagônicos de assimilação e acomodação, pode-se concluir 
que conhecer um objeto é assimilá-lo, mas como este objeto oferece certas resistências ao 
conhecimento é necessário que a organização mental se modifique. Como as estruturas mentais são 
flexíveis e capazes de se transformar elas são utilizadas em variadas situações e de maneiras 
diferentes. Por esse motivo, o conhecimento é sempreum processo de assimilação e acomodação. 
 
O sujeito, ao entrar em contato com um objeto desconhecido, pode entrar em conflito com esse 
objeto, ou seja, no processo de assimilação, o que é novo, às vezes, oferece certas resistências ao 
conhecimento e para conhecer esse objeto o sujeito precisa modificar suas estruturas mentais e 
acomodá-las. E é a esse processo de busca do equilíbrio dessas modificações que Piaget denominou 
equilibração. 
 
Equilibração progressiva. 
 
O desenvolvimento é, para Piaget, uma equilibração progressiva, ou seja, uma passagem contínua 
de um estado de menor equilíbrio a um estado de equilíbrio superior. 
 
A equilibração é um processo que conduz de certos estados de equilíbrio aproximado a outros 
processos dialético que envolvem equilíbrio - desequilíbrio - reequilíbrio, e é por esse motivo que 
Piaget preferiu o termo equilibração, e não equilíbrio, que daria a impressão de algo estável, 
justamente para sugerir a ideia de algo móvel e dinâmico. 
 
AULA 04: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA NA BABILÔNIAAULA 04: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA NA BABILÔNIAAULA 04: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA NA BABILÔNIAAULA 04: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA NA BABILÔNIA.... 
Aspectos geográficos e sociológicos da Mesopotâmia. 
Geograficamente, a Mesopotâmia está situada entre os rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio, no 
chamado crescente fértil, onde atualmente se localiza o Iraque e a Síria. 
Os povos que formavam a Mesopotâmia foram os Sumérios, Acádios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os 
quais lutavam pela posse das terras aráveis. Porém, ao contrário do que ocorria com as águas do rio 
Nilo, os períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a 
realização de numerosas obras de irrigação e drenagem, com períodos de observação e 
desenvolvimento com uma maior dificuldade. As civilizações que habitam essa região prosperaram 
com base na agricultura. Desenvolveram-se nos vales dos rios Tigre e Eufrates devido, à fertilidade 
da terra decorrente das inundações destes. 
A Babilônia era uma das cidades da Mesopotâmia, região a sul da Ásia entre o rio Tigre e o Eufrates, 
no atual Iraque e terras circundantes. 
Historicamente, os amoritas invadiram o vale dos rios Tigre e Eufrates por volta de 2000 a.C., 
assimilaram a cultura local e produziram o código Hamurabi de leis. 
Os amoritas fundaram a cidade de Babilônia e dela governaram um grande império que durou um 
milênio, até que os assírios conquistassem a região entre os dois rios. 
Os assírios, por sua vez, foram derrotados por uma revolta ocorrida proximamente ao ano 600 a.C., 
tendo os rebeldes criado o império caldeu ou neobabilônico. 
Os Sumérios. 
Por volta de 3000 a.C. a região central e sul da Mesopotâmia viu o desenvolvimento dos sumérios. 
Foram os sumerianos que melhoraram as condições da região, construindo um grande sistema de 
canais e fazendo o saneamento e o cultivo do terreno. 
Construíram também muitos templos, como atestam os tijolos, pórticos e colunas encontrados nas 
ruínas das cidades de Ur, Shirpurla, Erech e outras. 
Nos remotos tempos dos sumérios, existia uma unidade de medida grande, uma espécie de milha 
babilônica, igual a sete das milhas atuais. Como a milha babilônica era usada para medir distâncias 
mais longas, era natural que viesse a se transformar numa unidade de tempo, a saber, o tempo 
necessário para se percorrer uma milha babilônica. 
Mais tarde, talvez no primeiro milênio a.C., quando a astronomia babilônica atingiu o estágio de 
manter registros sistemáticos de fenômenos celestes, a milha-tempo babilônica foi adotada para a 
mensuração de espaços de tempo. 
Como se determinou que um dia era formado de 12 milhas-tempo, e um dia completo equivale a 
uma revolução do céu, dividiu-se um ciclo completo em 12 partes iguais. Mas, por conveniência, a 
milha-tempo babilônica fora dividida em 30 partes iguais. 
Dessa forma chegamos a (12)(30) = 360 partes iguais num ciclo completo. 
Aplicações da matemática e da geometria Mesopotâmica. 
Os Babilônicos tinham uma maior habilidade e facilidade para efetuar cálculos, talvez em virtude de 
sua linguagem ter sido mais acessível que a egípcia. Eles tinham técnicas para equações quadráticas 
e bi-quadráticas, além de possuírem fórmulas para áreas de figuras retilíneas simples e fórmulas 
para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha suporte algébrico. 
Também conheciam as relações entre os lados de um triângulo retângulo e trigonometria básica, 
conforme descrito na tábua “Plimpton 322”. 
Infelizmente perdeu-se um pedaço de todo o seu lado esquerdo devido a uma rachadura; além 
disso, a tábula posteriormente foi danificada com a perda de uma lasca profunda em seu lado 
direito, à altura da metade, e por um descamamento no canto superior esquerdo. 
Exames revelaram a existência de cristais de uma cola moderna ao longo da rachadura do lado 
esquerdo. Isso sugere que a tábula provavelmente estava inteira quando foi desenterrada e que 
posteriormente se quebrou, tendo havido uma tentativa de colar as duas partes que, por fim, 
acabaram se separando. 
Assim, é possível que a parte que falta ainda exista, mas que, como uma agulha num palheiro, 
perdeu-se em algum lugar entre as coleções dessas tábulas antigas. 
Os mesopotâmicos foram os inventores da álgebra, do sistema posicional, desenvolveram os 
cálculos de divisão e multiplicação, incluindo a criação da raiz quadrada e da raiz cúbica. 
E utilizando símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número. Os símbolos 
utilizados por este povo para representar os números eram um traço vertical para representar as 
unidades e outro desenho para as dezenas. 
AULA 05: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA NA ERA MEDIEVAL.AULA 05: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA NA ERA MEDIEVAL.AULA 05: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA NA ERA MEDIEVAL.AULA 05: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA NA ERA MEDIEVAL. 
A situação do conhecimento na Era Medieval. 
A partir de 476, com a tomada de Roma pelos bárbaros, a evolução filosófica da Matemática grega 
na Europa se viu bruscamente interrompida e, assim, surge então, uma nova concepção histórica e 
educativa com novas normas de comportamentos. 
Foram criadas escolas primitivas nas igrejas que passaram a se chamar escolas das catedrais e, sob 
o comando dos bispos, formavam o clero para as igrejas que administravam. 
A esta organização se denominou monaquismo, cujos benefícios à educação foram: 
- A criação de escola de preparação dos jovens para a vida monástica. 
- A criação de um ambiente propício para o estudo e a meditação. 
- O estudo da literatura. 
- A cópia e conservação de livros. 
O Trivium e o Quadrivium. 
Os mosteiros foram quase que as únicas instituições de ensino da época. Detendo o monopólio 
sobre a editoração e bibliotecas, constituiu-se na exclusiva fonte de saber de seu tempo. Ao menos, 
com a conservação do Trivium e do Quadrivium – que unidos constituíam o Septivium – e de cópias 
de manuscritos, a maioria dos trabalhos do passado chegaram até nós. 
O Quadrivium era composto pelo ensino de aritmética, astronomia, geometria e música. 
Escolástica. 
Outro atenuante quanto à extinção do saber científico na Idade Média esteve ligado à escolástica, 
uma vez que sob este termo um movimento intelectual preocupou-se em demonstrar e ensinar as 
concordâncias entre a razão e a fé pelo método da análise lógica. Para tanto, definiram suas bases 
num sistema lógico dedutivo que apoiava as crenças cristãs com a lógica aristotélica. 
De acordo com a tradição histórica greco-romana, os monges do período da Baixa Idade Média, 
exerceram papel fundamental na conservação do conhecimento matemático. Através das 
instituições monásticas, que possuíam escolas próprias, os monges realizavam verdadeiras obras 
de arteao manuscreverem os apanhados matemáticos que geralmente eram utilizados como livros 
didáticos. Dentre os maiores nomes deste período citamos Boécio (475-524), cujo papel histórico 
nos interessa por seus trabalhos de geometria e aritmética, que resgatavam enunciados dos livros I 
e III dos Elementos de Euclides. 
Santo Isidoro de Sevilha (570-636) escreveu uma obra de 20 volumes, intitulada Origens ou 
Etimologias, que se dedicava em boa parte ao Quadrivium. A relevância histórica desta composição 
relaciona-se ao fato de Isidoro ter dado certo tratamento aos numerais hindu-arábicos, que viriam 
mais tarde substituir os algarismos romanos. 
A partir do ano 1000, certamente quebraram-se as barreiras existentes entre as culturas europeia e 
árabe, mas o sistema cristão ainda sustentava-se por uma filosofia que tentava associar a fé à razão 
através de argumentações baseadas na lógica de Aristóteles. 
Apesar do grande empenho, os esforços filosóficos cristãos de contenção social não surtiram efeito. 
A partir do século XI, inicia-se em toda a Europa um processo de modificação das estruturas 
econômicas, sociais e culturais, culminando com a hegemonia, no século XVIII, de uma nova classe 
(a burguesia). Essa reestruturação causou o rompimento do sistema feudal e o enfraquecimento do 
clero. Diante dessa nova ordem, houve uma evolução da escola urbana que se distinguia da escola 
religiosa por apresentar um nível de ensino mais elevado e mais ou menos livre. 
Com o passar dos anos, algumas dessas escolas passaram a se chamar Studia. Esses 
estabelecimentos se caracterizavam por possuírem grandes mestres e uma boa qualidade de 
ensino. A boa fama destas instituições atraia os estudantes de quase toda a Europa Cristã. Por causa 
de seu significado universal, o Studia passou a denominar-se Studia Generalia. 
AULA 06: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA A PARTIR DO RENASCIMENTO.AULA 06: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA A PARTIR DO RENASCIMENTO.AULA 06: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA A PARTIR DO RENASCIMENTO.AULA 06: HISTÓRIA E ENSINO DA MATEMÁTICA A PARTIR DO RENASCIMENTO. 
O Renascimento significou o movimento de renovação intelectual e artística na Europa Ocidental, 
que atingiu seu apogeu no século XVI, influenciado principalmente pelas relações mercantis com o 
mundo árabe. 
Esse movimento de difusão humanística às várias regiões da Europa foi, sem dúvida, iniciado nos 
centros comerciais italianos de Gênova, Pisa, Veneza, Milão e Florença, tendo por proposta a 
restauração das formas e ideais da Antiguidade Clássica baseadas em três grandes interesses: 
• A vida real do passado; 
• O mundo subjetivo das emoções; 
• O mundo da natureza física. 
Esses interesses do povo europeu marcaram o término do período de transmissão e acarretaram 
novas ações, tais como: 
• Estudo mais amplo e intensivo das línguas grega e latina; 
• Caça aos manuscritos remanescentes desta literatura; 
• Restauração de obras clássicas; 
• Criação, na literatura, de um novo interesse por tudo o que apelasse para a imaginação e para o 
coração; 
• O esforço artístico, sob todas as suas formas, passa a predominar como em nenhum outro período 
da história; 
• A análise introspectiva da vida emocional provoca imensa produção literária (poesia, drama e 
romance); 
• Desenvolvimento das ciências históricas e sociais. 
Casa Giocosa. 
Essas consequências implicaram, ainda, em uma nova postura educacional que se opunha 
completamente ao velho esquema escolástico. Seus propósitos humanísticos estavam centrados na 
literatura e no aprendizado das línguas gregas e romanas para o resgate e apropriação dos 
conhecimentos clássicos. Surge, nessa época, uma escola chamada Casa Giocosa, que recebeu este 
nome para distinguir-se das escolas medievais. Fundada na Itália por Vittorino Da Feltre (1378-
1446), a Casa Giocosa preocupava-se com a formação integral do homem, procurando a harmonia 
através da educação física, equitação, salto, corrida, esgrima, guerra simulada, literatura e história. 
Elementos de Euclides. 
O primeiro livro-texto para uso mercantil, isto é, que tinham por objetivo tornar o saber 
matemático acessível ao público em geral foi o Aritmetica di Trenio, em 1478. Este livro italiano 
retrata uma aritmética prática destinada aos propósitos comerciais. Desde então, no âmbito 
acadêmico, as universidades europeias passaram a adotar os livros-texto em seus cursos, sendo 
que, os Elementos de Euclides, passou a ser, efetivamente, adotado no ensino de Matemática. 
O 1º livro de historia da matemática. 
Em 1615, Giuseppe Biancani escreve “Aristotelis loca Mathematica ex Inuversis Colleta & 
Explicata”, cujo adendo de nome “Clarorum Mathematicorum Chronologiai” é o que identifica esta 
obra como uma das primeiras com preocupação histórica. 
O primeiro livro que ostentou um título de História da Matemática foi escrito por Johann Christoph 
Heilbronner, em 1742. A sua obra, Historia Matheseos Universae continha uma valiosa relação de 
manuscritos e uma lista dos últimos livros impressos. 
Fatos importantes deste período. 
• O início do simbolismo algébrico (1557– 1631). 
• Obtenção de soluções algébricas para equações cúbicas e quárticas (1545). 
• Desenvolvimento da Álgebra Clássica (1580–1631). 
• Desenvolvimento da Moderna Teoria dos Números (1635). 
• Criação da Geometria Analítica (1629- 1637). 
• Criação da probabilidade (1654), início da Geometria Descritiva. 
• Criação dos Logaritmos (1614-1615). 
• Criação do Cálculo Diferencial e Integral (1629-1687). 
Leibniz nasceu em Leipzig, na Alemanha, em 21 de Junho de 1646, de uma família culta. O pai era 
professor de Moral, na Universidade de Leipzig. Em 1679, Leibniz desenvolve o sistema binário 
(sistema de contagem que utiliza apenas dois algarismos). 
Assista a A História Do Número 1 (Parte 06) Dublado e responda a questão. 
Uma das grandes conquistas de Leibniz em Matemática foi o desenvolvimento do sistema binário 
de aritmética. Ele aperfeiçoou seu sistema por volta de 1679, mas não publicou nada até 1701, 
quando ele enviou o trabalho Essay d'une nouvelle science des nombres à Academia de Paris, para 
marcar sua entrada na Academia. O sistema binário é um sistema de numeração posicional em que 
todas as quantidades se representam utilizando como base o número dois, com o que se dispõe das 
cifras: zero e um (0 e 1). Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de 
tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com 
efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica 
booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary 
Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term). 
Podemos considerar que o sonho de Leibniz foi concretizado em 1943, com a criação de um imenso 
computador com 2400 lâmpadas e cinco painéis de leitura ótica chamado de: 
( ) Oticus. 
( ) Binarius. 
( x ) Colossus. 
( ) Booleanius. 
( ) Digitius. 
AULA 7: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE NAULA 7: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE NAULA 7: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE NAULA 7: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO ÚMERO ÚMERO ÚMERO 
REAL.REAL.REAL.REAL. 
A história da matemática da modernidade. 
Em um novo contexto, a partir do século XIX, a História da Matemática passa a assumir um caráter 
verdadeiramente didático. Um exemplo disso é o trabalho em quatro volumes “Vorlesunger über 
Geschichte der Mathematik”, publicado em 1880 e 1908 por Mortz Benedict Cantor. A obra de 
Cantor trata especificamente da evolução do pensamento matemático puro. 
Apesar do surgimento de outras formasde se trabalhar a História da Matemática, a visão 
cronológica não foi abandonada. Exemplos de tal perspectiva no século XX são “Introdução à 
História da Matemática” (1969), de Howard Eves e “A História da Matemática” (1974), de Carl 
Benjamin Boyer. Essas obras tornaram-se referência obrigatória em nosso tempo, em se tratando 
de História da Matemática. 
A questão da incomensurabilidade entre o lado e a diagonal de um quadrado. 
É atribuída ao matemático grego Hipasus Metapontum (470 – 400 a.C.), nascido na cidade grega de 
Metaponto, sul da Itália, a descoberta de grandezas incomensuráveis (não-racionais). Teria sido 
Hipasus Metapontum, o principal responsável por profundas mudanças no pensamento filosófico 
da escola pitagórica, em meados do século V a.C., de que tudo no universo podia ser reduzido 
somente a números comensuráveis (racionais) ou suas razões, pois o mesmo produziu um 
elemento não–inteiro que negava os ensinamentos adquiridos nos cultos secretos onde era 
discípulo do mestre Pitágoras de Samos (570 – 495 a.C.). Não se sabe ao certo como Hipasus 
Metapontum observou os irracionais pela primeira vez, mas, é bastante provável que os primeiros 
incomensuráveis conhecidos por ele, venham de demonstrações precisas sobre o valor da diagonal 
de um quadrado de lado unitário. 
As circunstâncias que rodearam a primeira percepção da incomensurabilidade são incertas. Supõe-
se que a percepção veio em conexão com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo 
retângulo isósceles. A única referência à descoberta dessa questão está no trabalho de Aristóteles 
que refere uma prova da incomensurabilidade da diagonal de um quadrado com o seu lado, 
indicando que se baseava na distinção entre pares e ímpares. 
Não se pode expressar a medida da diagonal por meio de um número racional, tomando um lado do 
quadrado como unidade de medida. Esse fato mostra que a diagonal do quadrado é incomensurável 
com o lado. Essa noção de incomensurabilidade foi a descoberta mais importante da Escola 
Pitagórica e foi um dos fatos que perturbou os geômetras gregos, pois eles entendiam, conforme 
que uma relação entre grandezas geométricas deveria corresponder a uma relação entre números. 
Método de arquimedes para determinação da área de um círculo. 
Para os geômetras gregos, a noção de número irracional π não era clara, embora, em problemas 
práticos, utilizassem aproximações racionais dos valores irracionais. Exemplo disso é o método 
utilizado por Arquimedes para determinação do número, cuja aproximação foi obtida com duas 
sequências de racionais, uma de termos superiores e outra de termos inferiores, distando pouco do 
número irracional. O método utilizado por Arquimedes permitiu calcular a área de um círculo. 
Ele aproximou a área do círculo ao inscrever e circunscrever um hexágono. 
Arquimedes iniciou o processo, dobrando o número de lados dos polígonos e repetiu-o até obter 
um polígono de 96 lados. Com o cálculo da área do polígono interior e exterior obteve, 
respectivamente, um limite inferior e um limite superior para a área do círculo. Com esse método, 
ele obteve para o valor de π, aproximações equivalentes a 3,14084 < π < 3,142858, o que mostra a 
proximidade dos valores que hoje conhecemos. 
Método de arquimedes para determinação da área de um círculo. 
Usando esse método, Arquimedes construiu duas sequências de números racionais, uma com 
valores inferiores e outra com valores superiores, tendo como limite o número irracional. Esse 
método utilizado por Arquimedes é, na realidade, a origem do cálculo diferencial, embora, somente 
depois de, aproximadamente, dois mil anos, Newton formulou seus fundamentos. 
Apesar da descoberta da incomensurabilidade da diagonal do quadrado em relação ao lado e da 
descoberta de Arquimedes, os números irracionais não foram claramente definidos. 
A evolução histórica do conceito de número. 
A necessidade de contar e de fazer cálculos matemáticos esteve sempre acompanhada de uma 
evolução social e, se assim podemos dizer, econômica das sociedades humanas. A partir do 
momento em que os nossos ancestrais, além de cuidar da agricultura, partiram para fazer trocas e 
mais adiante, comercializar seus produtos, os primeiros números surgiram, naturalmente, como 
consequência deste processo. 
Surgia, então, o que chamamos hoje números naturais, originados não apenas por um exercício 
intelectual dos homens, mas extremamente associados às suas necessidades diárias. 
O número natural nasceu da necessidade de se compararem umas grandezas às outras. Muitos 
séculos se passaram, até chegarmos à Grécia antiga e à escola pitagórica. É neste momento que os 
números deixam apenas de servir às contagens e passam a assumir um caráter abstrato, por vezes 
místico e esotérico, em que as leis matemáticas traduziam a harmonia universal, construindo os 
alicerces da moderna teoria dos números. 
Com a evolução das relações sociais, a humanidade passou a ter não só a necessidade de contar, 
mas também a de medir. O sistema de produção baseava-se na agricultura, e assim era preciso 
medir comprimentos e áreas de terrenos, além de determinar o tempo para o plantio, para a 
colheita dentre outras necessidades cotidianas. Entendemos aqui medir, como o ato de comparar 
duas grandezas, uma sendo referência para a determinação da outra. Ressaltamos que a questão da 
medida está intimamente ligada ao modo contínuo de construção da noção de número por meio de 
uma comparação (a é maior que b ou a é menor que b). 
Acontece, porém, que a relação entre a grandeza a ser medida e o padrão estabelecido pode resultar 
em um número inteiro ou não. Para expressarmos esta nova medida, o campo numérico dos 
números naturais já não é mais suficiente. Faz-se necessária a utilização de subdivisões e para tal, 
apresentam-se os números fracionários. E foi através deste caminho que eles se defrontaram com 
os números irracionais. 
Coloquemos então a definição utilizada por Dedekind: chamemos número real ao elemento de 
separação das duas classes de um corte qualquer no conjunto dos números racionais. Se existir um 
número racional separando estas duas classes, o número real coincide com esse racional; se não 
existe tal número, este será chamado irracional. 
Contribuições para o ensino de números. 
O surgimento e a evolução da noção de número natural não estiveram somente ligados à contagem 
de elementos individuais, na famosa associação entre o número de ovelhas em um rebanho e a 
quantidade de pedrinhas em um saco. Na verdade, o uso do número natural sempre esteve 
vinculado também a atividades envolvendo medidas de grandezas contínuas, e de uma forma mais 
simples à noção de ordenação, que supõe a comparação entre grandezas diferentes. 
Cada vez que introduzimos um novo conceito, precisamos defini-lo em termos de conceitos, cujos 
significados já são por nós conhecidos, sendo quase impossível estar retornando sempre a definição 
de todos os conceitos anteriores. A construção do conjunto dos números reais ocupa um papel de 
destaque na História da Matemática que inicia na matemática grega e vai até o século XIX. 
O conjunto dos números inteiros {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} são construídos a partir de situações como: 
qual é o resultado da operação 2 - 5? Ou resolver equações do tipo x + 5 = 2. 
Ao introduzirmos a ideia do negativo (ou simétrico) de um número, podemos resolver questões 
relacionadas a débitos e com esta extensão, obtemos um conjunto no qual a subtração de números é 
sempre um número do conjunto. A extensão das operações dos números naturais para o conjunto 
dos números inteiros é feita de modo que todas as propriedades da adição e multiplicação 
continuam valendo. 
No Ensino Fundamental, o conjunto dos números racionais foi construído gradativamente. Partindo 
dos números naturais, construímos os números inteiros e em seguida os números racionais.Os 
números naturais {1,2,3,4,.....} estão associados a problemas de contagem e sabe-se que muito 
tempo passou até chegarmos à notação decimal que hoje usamos. A introdução dessa notação 
permite o desenvolvimento de métodos práticos (algoritmos) para efetuar operações com números 
naturais e resolver problemas que vão além da simples contagem. 
Os números racionais são aqueles que podem ser representados por uma fração, ou seja, são os 
números da forma a / b, com a e b números inteiros e b i 0. 
Assista ao Vídeo da BBC “A História da Matemática - 2 - O Gênio do Oriente (4/6)” e responda a 
questão a seguir. 
Usando as noções de trigonometria e a informação de que sen (1/7)° = 0,0025, os matemáticos 
indianos, demonstraram que a distância entre a Terra e o Sol vale, aproximadamente, _________ vezes 
a distância entre a Terra e a Lua. 
( ) 200 ( ) 300 ( x ) 400 ( ) 500 ( ) 600 
AULA 08: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA AULA 08: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA AULA 08: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA AULA 08: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ---- A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE 
GEOMETRIA.GEOMETRIA.GEOMETRIA.GEOMETRIA. 
Nesta aula, apresentaremos os dois primeiros matemáticos gregos historicamente conhecidos, 
Tales de Mileto e Pitágoras, até chegarmos a Euclides e sua obra bem sucedida, Os Elementos, 
trazendo um cenário da importância desta obra desde sua época até os dias atuais para a evolução 
do conceito de Geometria. 
Tales de Mileto (624 a.C. - 547 a.C.). 
É descrito, em algumas lendas, como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou 
estadista de visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida. Viajando muito pelos centros 
antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática, aprendendo 
Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as 
primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que, em 585 a.C., conseguiu predizer o 
eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se 
apoiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com 
quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade. 
Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e 
caldeus, e recebe o título, comumente, de “primeiro matemático” verdadeiro, tentando organizar a 
Geometria de forma dedutiva. 
Teorema de Tales. 
Acredita-se que, durante sua viagem à Babilônia, estudou o resultado que chega até nós como 
"Teorema de Tales", segundo o qual um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto. A ele 
também se devem outros quatro teoremas fundamentais: 
- Um circulo é bissectado por uma diâmetro. 
- Os ângulos da base de um triângulo isóceles são iguais. 
- Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortma são iguais. 
- Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e 
um lado do outro, então eles são congruentes. 
Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito, observando o 
comprimento das sombras, no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual á sua altura. 
Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas ideias e foi o primeiro homem da História a 
quem se atribuem descobertas matemáticas especificas e, como disse Aristóteles, "para Tales a 
questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos''. 
Pitágoras (571 a.C. ou 570 a.C. - 497 a.C. ou 496 a.C.). 
Pitágoras nasceu na ilha de Samos - Grécia, no mar Egeu, e é provável que tenha viajado pela Ásia 
Menor e pelo Egito, como fizeram muitos filósofos gregos. Supõe-se também que tenha sido aluno 
de Tales. Frequentemente, é descrito como o primeiro matemático puro. É uma figura 
extremamente importante no desenvolvimento da matemática e ainda hoje sabemos relativamente 
pouco sobre suas realizações matemáticas. 
Teorema de Pitágoras. 
Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado, cujo lado é a hipotenusa, é igual à soma das 
áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos. Se a é a medida da hipotenusa e se b 
e c são as medidas dos catetos, o enunciado do Teorema de Pitágoras equivale a dizer que: a² = b² 
+ c². 
Essa “verdade” geométrica é ensinada no Ocidente como sendo o enunciado básico do teorema que 
hoje leva o nome de Pitágoras. 
Segue a demonstração clássica. 
Dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, considere o quadrado cujo lado é b + c. 
 
 
Na figura da esquerda, retiramos do quadrado de lado b + c quatro triângulos iguais ao triângulo 
retângulo dado, restando um quadrado de lado a. Na figura da direita, retiramos também do 
quadrado de lado b + c os quatro triângulos iguais ao triângulo retângulo dado, restando um 
quadrado de lado b e um quadrado de lado c. Logo, a área do quadrado de lado a é igual à soma das 
áreas dos quadrados cujos lados medem b e c. 
Euclides (325 a.C. — 265 a.C.). 
O espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, 
manteve-se incólume no pensamento matemático medieval e renascentista. Somente nos tempos 
modernos, puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas. 
Euclides viveu em Alexandria, em pleno florescimento da cultura helenística, quando essa cidade 
era o centro do saber da época. Entre os poucos dados de que se dispõe sobre sua vida, sabe-se que 
ensinou matemática e fundou uma escola em Alexandria, durante o reinado de Ptolomeu I. A 
essência de seu legado escrito, contudo, foi de tal magnitude que ele foi considerado o mais 
importante matemático da antiguidade greco-romana. 
A base da geometria, que hoje é ensinada nas escolas, é descendente dos ensinamentos de Euclides, 
matemático grego que viveu por volta de 300 a.C. em Alexandria, sede da grande biblioteca da 
Antiguidade. Euclides é conhecido por ter compilado um dos mais famosos trabalhos no campo da 
matemática, Os Elementos, um compêndio em treze volumes que ainda constitui a base de muitos 
cursos de geometria. O que tornou esse seu livro famoso foi o método usado, de dedução lógica de 
teoremas a partir de conceitos básicos, axiomas e de outros teoremas. Passou então a demonstrar 
teoremas e a resolver problemas de construção. 
Dois métodos de argumentação se destacavam: 
- O método da exaustão (devido a Eudoxo), que é exemplificado pela obtenção (aproximada) da 
área de um círculo pela geração de polígonos regulares inscritos com cada vez mais lados; 
- O método da redução ao absurdo, no qual se nega a tese a ser provada e deduz-se uma contradição 
ou absurdo (por exemplo, a tese de que o número de primos é infinito). 
Os cinco postulados de Euclides. 
Os cinco postulados ou axiomas básicos de Euclides são: 
- Uma reta pode ser desenhada de um ponto a outro ponto qualquer. 
- Uma linha finita pode ser estendida continuamente numa reta. 
- Um círculo pode ser descrito com qualquer centro e qualquer raio. 
- Todos os ângulos retos são iguais. 
- Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos de um mesmo lado, cuja soma é 
menor que dois retos, então estas duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram 
naquele lado cuja soma dos ângulos internos é menor que dois retos. 
O que impressiona a quem lê Os Elementos de Euclides é que se possa deduzir tanta coisa destes 
aparentemente simples cinco postulados. O quinto postulado, por sua vez, que é uma definição de 
paralelismo entre retas, é o mais complexo deles e levou séculos para ser devidamente analisado 
em profundidade. 
Assista ao Vídeo da BBC “A História da Matemática - 2 - O Gênio do Oriente (5/6)”e responda a 
questão abaixo. 
Como se denominava a biblioteca e instituto de estudos em Bagdá que era uma instituição-chave na 
Tradução Movimento (movimento este em que se traduzia Aristóteles e grande parte da literatura 
clássica do Persa para o Árabe). Essa biblioteca agiu como uma sociedade, fundada pelo califa 
abássida Harun al-Rashid e chegou ao seu auge no reinado do califa Al-Ma'mun, que reinou de 813 a 
833 d.C. e é creditado como sua a instituição. Muitos dos maiores eruditos muçulmanos fizeram 
parte desta investigação de excelência nesse instituto de ensino, pois era um centro incomparável 
para o estudo das ciências humanas e exatas, incluindo matemática, astronomia, medicina, química, 
zoologia e geografia. 
( ) Casa das Ciências Humanas. ( ) Casa da Filosofia. ( ) Casa das Ciências Exatas. 
( ) Casa do Movimento. ( x ) Casa da Sabedoria. 
AULA 09: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE AULA 09: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE AULA 09: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE AULA 09: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE 
ÁLGEBRAÁLGEBRAÁLGEBRAÁLGEBRA.... 
A história da matemática afirma que os Árabes deram inicio a uma ciência chamada álgebra e 
começaram a resolver problemas matemáticos por meio de equações. Equação é uma maneira de 
resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. Por isso 
na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: “o x da questão”. Ela é utilizada quando 
temos um problema dentro de uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é 
o valor que não se conhece. Os Árabes chamavam o valor desconhecido de uma situação 
matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra coisa era pronunciada como xay. Daí surge o x como 
tradução simplificada da palavra “coisa” em árabe. 
A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro al-jabr wa-l-
muqābala, ou A arte de reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no 
século IX por Al-Khwarizmi, o mesmo matemático árabe que introduz o sistema decimal e os 
algarismos indianos no Ocidente. 
Começa a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações com uma ou mais incógnitas 
a partir do século XI, quando a obra de Al-Khwarizmi é traduzida para o latim. Este livro escrito por 
Al-Khwarizmi é considerado o livro fundador da Álgebra. 
Durante muitíssimo tempo, a palavra Álgebra designava aquela parte da matemática que se 
ocupava de estudar as operações entre números e, principalmente, da resolução de equações. Nesse 
sentido, pode-se dizer que esta ciência é tão antiga quanto a própria história da humanidade, se 
levamos em conta que esta última se inicia a partir da descoberta da escrita. 
PapirPapirPapirPapiro de Rhind.o de Rhind.o de Rhind.o de Rhind. 
Os problemas algébricos mais antigos hoje conhecidos datam do século XVII a.C. Estão registrados 
em um papiro descoberto em 1858 na cidade de Luxor, no Egito, por um antiquário escocês 
chamado Henry Rhind. Seus enunciados têm a seguinte forma: "Ah, seu inteiro, seu sétimo, fazem 
19". Em álgebra moderna, a expressão pode ser traduzida por: x + x/7 = 19. O número 
desconhecido ou incógnita, é representado por um símbolo, neste caso o x, manipulado até seu 
valor ser determinado. O intervalo de tempo transcorrido entre a escrita do Papiro de Rhind e a 
elaboração desta forma de apresentar as equações algébricas (x + x/7 = 19) é de 34 séculos. 
Equações algébricas e notação.Equações algébricas e notação.Equações algébricas e notação.Equações algébricas e notação. 
A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, 
caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral 
coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a 
resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações 
polinomiais em geral feito por François Viète (1540-1603). 
O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o 
sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a 
notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo 
de Isaac Newton. 
Álgebra no Egito.Álgebra no Egito.Álgebra no Egito.Álgebra no Egito. 
A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo em que na Babilônia, mas faltavam à álgebra 
egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações 
resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca 
de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período 
anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma 
estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente 
deram o nome um tanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da 
Babilônia, era retórica. 
Papiro de Moscou – Escrito por volta de 1850 a.C. tem dimensões de 8 cm por 5m e conta com 25 
problemas de geometria e matemática. 
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, 
ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI 
tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente 
além dos resultados babilônios de resolução de equações. 
Álgebra Álgebra Álgebra Álgebra geométrica gregageométrica gregageométrica gregageométrica grega.... 
A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por 
exemplo, o que nós escrevemos como a² + 2ab + b² = (a + b)² era concebido pelos gregos em 
termos do diagrama abaixo e curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, 
proposição 4. 
 
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos 
quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm. Isto é: a² 
+ 2ab + b² = (a + b)². Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, 
de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou 
registrados esses resultados pitagóricos. 
Álgebra na Europa.Álgebra na Europa.Álgebra na Europa.Álgebra na Europa. 
A álgebra que entrou na Europa (via Liber Abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido tanto 
em estilo como em conteúdo. A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram 
devidos aos seguintes fatores: 
- Facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, 
muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco; 
- Invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a 
melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição; 
- Ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e 
viagens, facilitando o intercâmbio de ideias tanto quanto de bens. 
Em 1545 a forma de resolução das equações cúbicas (3º grau) torna-se conhecida com a publicação 
de Ars Magna de Girolamo Cardano. A publicação dessa obra causou tal impacto que o ano de 1545 
é frequentemente tomado como marco inicial do período moderno da matemática. Deve-se frisar 
que Cardano não foi o descobridor original das soluções das equações cúbicas (3º grau), pois ele 
próprio admitiu isso em seu livro. Quem foi o descobridor das equações cúbicas? 
( ) Aristóteles. ( ) Tales de Mileto. ( ) Pitágoras. 
( ) Euclides. ( x ) Tartaglia. 
AULA 10: ASESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE AULA 10: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE AULA 10: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE AULA 10: AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE 
GEOMETRIA ANALÍTICA.GEOMETRIA ANALÍTICA.GEOMETRIA ANALÍTICA.GEOMETRIA ANALÍTICA. 
René Descartes René Descartes René Descartes René Descartes ---- filósofo e matemático francês (1596 filósofo e matemático francês (1596 filósofo e matemático francês (1596 filósofo e matemático francês (1596 ---- 1650)1650)1650)1650).... 
Descartes tinha uma concepção mecanicista do universo: para ele, tudo podia ser descrito como se 
fosse constituído de componentes mais simples, tais como pontos, distâncias e movimentos. Mesmo 
ao discorrer sobre o corpo humano, buscou descrevê-lo como um sistema mecânico. Com uma 
opinião bastante incomum para época, afirmava que a própria alma estaria situada fora do corpo e 
que o intercâmbio entre ambos se processara através da glândula pineal, localizada no cérebro. 
Na matemática, foi o primeiro a utilizar sistematicamente as letras do alfabeto para representar as 
constantes, as variáveis e as incógnitas. Também estabeleceu o uso dos expoentes e o símbolo da 
raiz quadrada. 
Conta-se que sua criação mais famosa nesse campo ocorreu enquanto se achava na cama e 
observava uma mosca voando. Deu-se conta, então, de que toda posição ocupada pela mosca podia 
ser determinada pela intersecção de três planos ortogonais, paralelos às faces do aposento. Isso o 
levou a desenvolver o sistema de coordenadas que até hoje utilizamos para produzir gráficos bi e 
tridimensionais. 
Esse princípio levou ao desenvolvimento de uma geometria inteiramente baseada nele: a Geometria 
Analítica. Com isso, pela primeira vez na história da Matemática, conseguia-se integrar totalmente a 
Álgebra à Geometria, abrindo um novo campo de explorações que teria desdobramentos enormes 
nos séculos seguintes. 
Descartes é anunciado como o pai da Geometria Analítica, por ter escrito sua mais famosa obra: 
Discours de la méthode por bien conduire sa raison et chercher la verité dans les science (Discurso 
do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências). 
Geometria analíticaGeometria analíticaGeometria analíticaGeometria analítica.... 
Os antigos egípcios, em agrimensura, e os antigos gregos, na elaboração de seus mapas, usavam 
métodos que, através de coordenadas convenientes, podiam fixar a posição de um ponto. Ao longo 
da história, vários trabalhos sugerem usos de coordenadas e aplicações de álgebra, ainda que 
rudimentar, à geometria. Já, no século XIV, vamos encontrar Nicole Oresme (1323-1382). Oresme 
escreveu várias obras. Um tratado sobre a Origem, Natureza e Mudanças das Moedas, que o torna 
pioneiro como economista político daquela época. Escreveu, também, sobre Astrologia, mas na área 
da matemática, entre outros, é que ele nos deixou um trabalho original. 
Natural da diocese de Bayeux, na França, Oresme se tornou bispo de Lisieux, na Normandia, em 
1377. Ele foi estudante e professor da Universidade de Paris. 
Tudo o que é mensurável, escreveu Oresme, é imaginável na forma de quantidade contínua; por 
isso ele traçou um gráfico da velocidade por tempo para um corpo que se move com aceleração 
constante. Ao longo de uma reta horizontal, ele marcou pontos, representando instantes de tempo 
(ou longitudes), e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de longitudes um 
segmento de reta (latitude), cujo comprimento representava a velocidade. 
As extremidades desses segmentos, ele percebeu, jazem ao longo de uma reta; e se o movimento 
uniformemente acelerado parte do repouso, a totalidade dos segmentos velocidade (que chamamos 
ordenadas) preencherá um triângulo retângulo. Como a área desse triângulo representa a distância 
percorrida, Oresme forneceu, assim, uma verificação geométrica da regra de Merton, pois a 
velocidade no ponto médio do intervalo de tempo é a metade da velocidade final. 
Pierre de Fermat (1601Pierre de Fermat (1601Pierre de Fermat (1601Pierre de Fermat (1601----1665)1665)1665)1665).... 
Contemporâneo de Descartes, o advogado francês Pierre de Fermat (1601-1665) foi um grande 
nome na História da Matemática. 
Fermat se dedicava, nas suas horas livres, à ciência e à matemática e, assim, não se preocupou em 
publicar nenhum de seus estudos e descobertas. Seus trabalhos foram divulgados através de 
correspondência a amigos e a outros intelectuais. Em 1629, ele iniciou um trabalho de recompor as 
obras perdidas da Antiguidade, fazendo pesquisas e se baseando em tratados clássicos. Uma das 
obras reconstruídas por ele foi Lugares Planos, de Apolônio. Acredita-se que ao reconstruir a obra 
de Apolônio ele se inspirou para chegar ao princípio fundamental da geometria analítica. Ele 
escreveu Ad locus planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos), que só foi 
publicado depois da sua morte. 
Neste pequeno ensaio, ele trata das equações de retas e cônicas, referidas a um sistema de eixos, em 
geral, perpendiculares. Usando a álgebra, resolveu problemas geométricos. No seu livro, 
encontramos as equações gerais de retas, circunferências e equações mais simples de parábolas, 
elipses e hipérboles, sendo que também apresenta reduções de equações do primeiro e segundo 
graus através de translações e rotações de eixos. 
Fermat, analisando observações a respeito do teorema de Pitágoras, se depara com a equação: 
x² + y² = z² 
Substituindo o 2 por 3 percebeu que não havia solução, e substituindo o valor da potência por 
números maiores que 3 a equação continuava não apresentando solução. 
A Parti daí Fermat chegou a uma equação mais geral: 
rs + ts = us 
 onde n representa 3, 4, 5, ..., que também não possuíam solução, ou seja, Fermat pegou um 
problema específico e o transformou em algo mais amplo capaz de representar uma gama maior de 
soluções que ainda precisavam ser demonstradas, já que n não está definido, a não ser pelo fato de 
ser maior que 2, sendo x, y e z números inteiros. 
A dificuldade em se encontrar a solução foi suficiente para manter o interesse dos matemáticos 
sobre tema por mais de 350 anos. 
A busca pela solução do problema de FermatA busca pela solução do problema de FermatA busca pela solução do problema de FermatA busca pela solução do problema de Fermat.... 
Dentre os grandes matemáticos, ao longo dos tempos, que tentaram solucionar o problema 
podemos citar: Euler, Dirichlet (1828), Legendre (1830), Gabriel Lamé (1839), Sophie Germain, 
Kummer e, mais recentemente, Wagstaff (1980). 
Em 1908, foi oferecido pelo professor Paul Wolfskehl, da Real Academia de Göttingen, Alemanha, 
um prêmio de 100.000 marcos à primeira pessoa que desse uma demonstração completa da 
conjectura de Fermat. Fato que não ocorreu, apesar de muitas provas terem sido enviadas, todas 
estavam incorretas, inclusive de matemáticos profissionais que chegaram a publicá-las. 
A primeira contribuição importante para o problema foi dada por dois matemáticos: Yutaka 
Taniyama e Goro Shimura. A conjectura apresentada pelos dois serviu de base para solução 
definitiva do problema, infelizmente um dos matemáticos, Yutaka Taniyama, cometeu suicídio em 
1958, adiando ainda mais o desenvolvimento da solução. 
A conjectura feita pelos dois matemáticos diz que para cada equação elíptica há uma forma modular 
correspondente; a relevância dessa conjectura reside no fato de que se a mesma estiver correta ela 
poderia ser aplicada ao Último Teorema de Fermat, provando a sua veracidade. Ou seja, para 
provar se o Último Teorema de Fermat era ou não verdadeiro, deveria se provar primeiro a 
conjectura Taniyama-Shimura, e foi exatamente isso que Andrew Wiles fez. 
Hoje, conhecem-se, aproximadamente quantascasas decimais de π? 
( ) Mais de 1 trilhão de decimais. ( ) Mais de 2 trilhões de decimais. 
( ) Mais de 3 trilhões de decimais. ( ) Mais de 4 trilhões de decimais. 
( x ) Mais de 5 trilhões de decimais.