ESTAT_MÓDULO_05

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ESTATÍSTICA-MÓDULO-05 MANUEL 1 
MÓDULO - 05 - PROBABILIDADE 
 
Introdução - Os jogos de azar, que se caracterizam por ações como girar uma roleta, lançar 
dados ou retirar carta de baralho tem duas características básicas: a incerteza e a regularidade. 
Assim, por exemplo, toda vez que se joga um dado, pode ocorrer qualquer uma das faces. No 
entanto, o jogo, embora incerto tem regularidade. Se forem feitos muitos lançamentos espera-
se que todas as faces ocorram igual número de vezes. Essas características de jogos de azar, 
percebidas há muito tempo, criaram a idéia de que seria possível achar uma “fórmula” ou um 
“método”, que permitisse ao jogador ganhar sempre, ou pelo menos, ganhar na maioria das 
vezes. Isso não é possível, mas foi essa idéia que incentivou o estudo de tais jogos, o que 
levou a formulação da teoria da probabilidade, base da estatística moderna. 
 
Experimento Aleatório - é aquele que repetido sob as mesmas condições indefinidamente 
apresenta variações nos resultados. 
 
Exemplos: 
 
E1 - retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o resultado. 
E2 - retirar com reposição bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e 6 pretas. 
E3 - jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras. 
 
Espaço Amostral (S) - é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. 
 
Exemplos: 
 
- Lançamento de uma moeda : S = {Ca , Co} 
- Lançamento de um dado : S = {1,2,3,4,5,6} 
 
Evento - é qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. 
 
Exemplo: No lançamento de um dado, o espaço amostral é S = {1,2,3,4,5,6} , assim: 
 
A = {2,4,6}  S é um evento de S 
B = {1,2,3,4,5,6} é um evento de S 
C = {4} é um evento de S 
D = ø  S é um evento impossível 
 
Um evento é sempre definido por uma sentença, logo, os eventos acima podem ser assim 
definidos: 
 
A - obter um número par na face superior 
B - obter um número menor ou igual a 6 na face superior 
C - obter o número 4 na face superior 
D - obter um número maior que 6 na face superior 
 
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Probabilidade - chama-se probabilidade de um evento A, A  S ao número real P(A) tal que: 
 
P(A) = 
n A
n S
( )
( )
 , onde: 
 
n(A) = nº de elementos de A 
n(S) = nº de elementos de S 
 
Exemplo-1: Qual é a probabilidade de se obter cara no lançamento de uma moeda ? 
 
Temos: 
Espaço Amostral S = {Ca, Co} n(S) = 2 
Seja A o evento - aparecer cara, então, A é dado por: A = {Ca} e n(A) = 1 
Logo, P(A) = n(A)/n(S) P(A) = ½ = 0,5 ou 50%. 
 
Exemplo-2: Qual é a probabilidade de aparecer uma face ímpar (número ímpar) no lançamento 
de um dado ? 
 
Temos: 
Espaço Amostral S {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 
Face ímpar, evento A = {1,3,5} n(A) = 3 
P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 = ½ = 0,5 ou 50% 
 
Exemplo-3: Qual é a probabilidade de se tirar um rei em um baralho de 52 cartas ? 
 
Evento A - aparecer um rei 
n(A) = 4 - (nº de reis do baralho) 
n(S) = 52 - (nº de cartas do baralho) 
P(A) = n(A)/n(S) = 4/52 = 1/13 
 
OBS: A probabilidade de um evento A é também assim definida: 
 
P(A) = 
NTC
AdeNCF 
 onde: 
 
NCF - nº de casos favoráveis a ocorrência do evento A. 
NTC - nº total de casos. 
 
Eventos Complementares - um evento pode ocorrer ou não ocorrer. Sendo p a probabilidade 
que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo 
evento existe sempre a relação. 
 
p + q = 1  q = 1 - p 
 
Exemplo: Se a probabilidade de ocorrer 4 no lançamento de um dado é p = 1/6, a probabilidade 
de não ocorrer 4 é, q = 1 - 1/6 = 5/6. 
 
 
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Eventos Independentes - dois eventos são independentes quando a realização ou não 
realização de um deles não afeta a probabilidade de realização ou não do outro e vice-versa. 
Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do 
resultado obtido no outro. 
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes é igual ao produto 
das probabilidades de realização dos dois eventos. Se p1 e p2 são respectivamente as 
probabilidades do primeiro e do segundo evento, a probabilidade para que tais eventos se 
realizem simultaneamente é dada por: 
 
p = p1  p2 
 
Exemplo: Lançamento de dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é p1 = 
1/6. A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é p2 = 1/6. A probabilidade de obtermos 
simultaneamente 1 no primeiro e 5 no segundo é: 
p = 1/6  1/6 = 1/36 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos - dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos se a 
realização de um excluir a realização do outro ou dos outros. 
Exemplo: No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são 
mutuamente exclusivos já que ao se realizar um deles o outro não pode se realizar. 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos a probabilidade para que um ou outro se realize é 
igual a soma das probabilidades para que cada um deles se realize. 
 
p = p1 + p2 
 
Exemplo: Lançamento de um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é: 
p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 
 
Propriedades 
 
1 - A probabilidade de um evento A é um número maior ou igual a zero e menor ou igual a 1. 
 0  P(A)  1 
 
2 - A probabilidade de um evento certo é igual a 1. P(S) = 1 
 
3 - A probabilidade de um evento impossível é igual a zero. P() = 0 
 
4 - Regra da Soma - Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, (A  B) =  então: 
P(AB) = P(A + B) = P(A) + P(B) 
 
5 - Se A e B não são mutuamente exclusivos, então: 
 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) 
 
6 - Se B é o evento complementar de A então : 
 P(B) = 1 - P(A) 
 
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7- Probabilidade Condicional - Se A e B são eventos de um espaço amostral S com P(B)  0, 
então a probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B é indicada por P(A/B) 
e dada por: 
 
P(A/B) = 
P A B
P B
( )
( )

 P A B
NCF B
NCF
( / ) 
 ao evento A
 ao evento B
 
Exemplo: Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. 
 
Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o número 6 ? 
Temos: 
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}  Espaço Amostral 
 
A = {o número 6} 
B = {o número par} 
 
Temos então: 
7
1
B evento ao 
A evento ao 
)/( 


NCF
BNCF
BAP 
 
Obs: Sem a informação da ocorrência de B, P(A) seria 1/15. 
 
8 - Regra do Produto 
 
 P(AB) = P(B)  P(A/B) 
 
 ou 
 
 P(AB) = P(A)  P(B/A) 
 
Exemplo: Retiram-se sem reposição duas peças de um lote de 10 peças onde 4 são boas. Qual 
a probabilidade de que ambas sejam defeituosas ? 
 
Temos: 
 
A - { a 1ª peça ser defeituosa } 
B - { a 2ª peça ser defeituosa } 
 
Precisamos calcular P(AB) (ocorrência simultânea) 
 
Temos, P(AB) = P(A)  P(B/A) 
 
P(A) = 6/10 P(B/A) = 5/9 (a 1ª era defeituosa - sobram 5 defeituosas em um total de 9) 
 
Então , P(AB) = 6/10  5/9 = 30/90 = 1/3 
 
9 - Regra do Produto para dois eventos independentes 
 
 P(AB) = P(A)  P(B) 
 
Exemplo: Retiram-se com reposição duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a 
probabilidade de que ambas sejam de “paus” ? 
Temos: 
A = {a 1ª carta é de paus} P(A) = 13/52 
B = {a 2ª carta é de paus} P(B) = 13/52 
 
P(AB) = 13/52  13/52 = ¼  ¼ = 1/16