12a Aula CV Plano tangente reta normal

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12a Aula de CV para EEMA
“A AULA DE HOJE DEVE SER ESTUDADA HOJE”
Orientação: Após a leitura desta nota de aula, assistir às vídeo-aulas 33 e 45
Obs1: Uma função 
 é denominada função escalar ou campo escalar. Destaca-se que a cada ponto de U associa-se um escalar, formando assim um campo de escalares em U. 
Uma função 
 é denominada uma função vetorial ou campo vetorial. Destaca-se que a cada ponto de U associa-se um vetor, formando um campo de vetores em U.
Ex : Temperatura em uma placa, força gravitacional no espaço,...
Obs2 : Portanto, sendo f uma função escalar do Rn, o Grad(f) é um campo vetorial do Rn em Rn.
B) (continuação da aula anterior) ATENÇÃO Fixado P, o vetor 
 também é fixo. Logo, pode-se calcular a taxa de variação de f em P em qualquer direção, variando-se u. Em qual direção e sentido ocorre a taxa de variação máxima ? E a mínima ?
Exercícios :
1) Determine 
, a DD de f em P na direção de u e a direção em que a taxa em P é máxima:
a) 
, 
 b) 
c) Em cada item acima, determine o valor da máxima taxa de variação da função em cada ponto indicado.
2) Seja
uma função diferenciável. Mostre que 
é perpendicular à curva de nível de f que passa por (x,y). (Sol: Considere uma curva de nível z = k, com equação
tal que 
...)
3) A equação da superfície de uma montanha é 
, onde a distância é medida em metros, o eixo x aponta para o leste e o eixo y aponta para o norte. Uma alpinista está no ponto correspondente a (-10,5,850). (a) Neste ponto, qual a direção em que a subida é mais íngreme ? (b) Se a alpinista se move na direção leste, ela está subindo ou descendo, e qual a sua taxa ? (c) E na direção sudoeste ? (d) Em que direção ela estará sobre uma curva de nível ?
4) Se f(x,y,z) = senh(x+z)cosh(y) ache a taxa de variação de f em relação à distância, em R3, no ponto P(1,1,0) na direção de PQ se Q = (-1,0,2).
Planos Tangentes e Retas Normais
Seja w=F(x,y,z) uma função diferenciável então existem as derivadas parciais de F em relação a x, a y e a z. 
Suponha que F(x,y,z) = 0 seja a equação de uma superfície S em R3.
 Ex1 : Se F(x,y,z) = x2+y2+z2-1, então F(x,y,z) = 0 é a equação de uma esfera ;
 Ex2 : Se F(x,y,z) = x2+y2- z2-1, então F(x,y,z) = 0 é a equação de um hiperbolóide de uma folha; 
 Ex3 : Se z = f(x,y) é uma função diferenciável, então seu gráfico é uma superfície em R3.
 Basta considerar a função diferenciável F(x,y,z) = z - f(x,y). 
Definição de vetor tangente a uma superfície S em 
: Vimos que uma curva em R3 é a imagem de uma função vetorial r(t) = (x(t), y(t), z(t)) e que r’(t) = (x’(t),y’(t),z’(t)) é o vetor tangente à curva no ponto r(t).
Seja F(x,y,z) = 0 uma superfície S em R3;
Seja P(x0, y0, z0) um ponto de S ;
Seja r(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável contida em S, que passa por P(x0,y0,z0). Suponha que r(t0) = P ;
Já vimos que o vetor r’(t0) = ( x’(t0), y’(t0), z’(t0)) é tangente à curva r(t) em P(x0,y0,z0).
O vetor r’(t0) é denominado VETOR TANGENTE à SUPERFÍCIE S EM P.
Definição de Plano Tangente a uma superfície S em 
 : Considerando todas as curvas diferenciáveis que estão sobre S e que passam por P, obtemos o conjunto de todos os vetores tangentes à S em P.
Estes vetores são coplanares, isto é, estão sobre um mesmo plano.
Este plano é denominado : PLANO TANGENTE à SUPERFÍCIE S em P.
Perguntas naturais : 
(i) Qual o vetor normal ao plano tangente à S em P?
Obs : O vetor normal ao plano tangente à S em P é denominado também vetor normal à S em P.
 (ii) Qual a equação do plano tangente à S em P?
Respostas:
Vamos mostrar que um vetor normal à S em P é o vetor grad(F) = ( Fx(P), Fy(P), Fz(P)).
Ou seja, o vetor grad(F) é perpendicular à superfície S.
A equação do plano tangente à S em P(x0, y0, z0) é Fx(P)(x-x0)+Fy(P)(y-y0)+Fz(P)(z-z0) = 0
Resumindo :
TEOREMA : Seja w=F(x,y,z) uma função diferenciável. Suponha que F(x,y,z) = 0 seja a equação de uma superfície S em R3. Se P é um ponto de S e se gradF(P) não é o vetor nulo, então gradF(P) é um vetor normal à S em P.
COROLÁRIO : A equação do plano tangente ao gráfico de z = f(x,y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é dado por
fx(x0, y0)(x-x0)+ fy(x0, y0)(y-y0)- (z-z0) = 0.
 OBS : Se z = f(x,y), o vetor grad(f)=(fx, fy) calculado em P(x,y) é normal à curva de nível de f que passa por P.
Exercícios :
Ache uma equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto P :
 b) 
 c) 
 d) 
Mostre que as superfícies xyz = 36 e 
 são tangentes em (3,6,2).
Mostre que se o campo vetorial G(x,y) = (M,N) é o gradiente de uma função f em um disco aberto B e se 
 são funções contínuas em B então
 .
Obs1 : Portanto, se 
então G = (M, N) não pode ser o gradiente de nenhuma função.
Obs2 : A recíproca dessa implicação também é verdadeira, quer dizer : dado G(x,y) = (M,N) um campo definido em um disco B tal que 
 são contínuas e que 
, então G é o gradiente de alguma função f.
Determine se cada campo vetorial dado é o campo gradiente de uma função. Em caso afirmativo, ache uma função cujo gradiente é o campo dado :
G(x,y) = 4xi-3yj c) G(x,y) = y2i+3x2j e) G(x,y) = (2xy+y2+1, x2+2xy+x)
G(x,y) = 2xsec(2y)i+2x2 sec(2y)tg(2y)j d) G(x,y) = (2x+ln(y))i+(y2+x/y)j 
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