Estudo Dirigido Estatística Básica UFRRJ

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO - UFRRJ
Departamento de Matemática - Professor: Renato Nunes
3o Estudo dirigido
Parte 1: Variáveis Aleatórias Contínuas
A característica principal de uma variável aleatória contínua é que, sendo resultado de uma mensuração, o seu
valor pode ser pensado como pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente observado. Por exemplo,
quando dizemos que a altura de uma pessoa é 175cm, estamos medindo sua altura usando cm como unidade de
medida e portanto o valor observado é, na realidade, um valor entre 174,5cm e 175,5cm.
Praticando
Q1.Suponha que estamos atirando dardos num alvo circular de raio 10cm, e seja X a distância do ponto atingido
pelo dardo ao centro do alvo. A f.d.p de X é
f(x) =
{
kx, se 0 ≤ x ≤ 10
0, caso contrário
(a) Qual a probabilidade de acertar o centro do alvo, se esse for um círculo de 1cm de raio?
Q2. Encontre o valor da constante c, se
f(x) =
{
c
x2
, se x ≥ 10
0, caso contrário
for uma densidade. Encontre P (X > 15).
Q3. A v.a. contínua X tem f.d.p.
f(x) =
{
3x2, se − 1 ≤ x ≤ 0
0, caso contrário
(a)Se b for um número que satisfaz −1 < b < 0, calcule P (X > b|X < b2).
(b)Calcule P (−1 < X < −12) e P (X > −12).
(c) Calcule E(X) e Var(X).
Parte 2: Distribuição Normal e Distribuição Amostral da Média
Então, pretende ser um doador de sangue?
Se você Tem:
Entre 16 e 68 anos (doadores entre 16 e 17 anos com consentimento formal do responsável legal) e pesa acima de 50
kg, desde que sejam observadas algumas condições, a fim de garantir a segurança e a qualidade do procedimento,
você poderá doar sangue no Brasil.
Procedimentos
A coleta de sangue para doação consiste na retirada de cerca de 450ml de sangue, através do uso de material
descartável, de uso único e estéril. O tempo de permanência do doador no Banco de Sangue, incluindo coleta e
triagem, é de aproximadamente 12 minutos.
No Brasil, o Ministério da Saúde exige a realização de alguns procedimentos específicos antes e depois da doação,
a fim de prevenir complicações para o doador e contaminação para o receptor durante o período de janela imuno-
lógica de doenças. Antes da doação, o candidato irá passar por uma entrevista de triagem clínica, na qual podem
ser detectadas algumas condições adicionais que possam impedir a doação. Após cada doação serão realizados os
1
seguintes exames no sangue coletado:
Tipagem sanguínea ABO e Rh
Pesquisa de anticorpos eritrocitários irregulares (PAI)
Teste de Coombs Indireto
Fenotipagem do Sistema Rh Hr (D,C,E.c,e), Fenotipagem de outros sistemas
Testes sorológicos para: Hepatite B, Hepatite C, Doença de Chagas, Sífilis, HIV (AIDS), HTLV I/II
Esse procedimento se repetirá após cada doação e os resultados serão comunicados ao doador.
Por que pessoas com peso inferior a 50kg não podem doar sangue?
O volume de sangue total a ser coletado é diretamente relacionado ao peso do doador. Para os homens não pode
exceder a 9ml / kg peso e, para as mulheres, a 8ml / kg peso. O anticoagulante presente na bolsa de coleta liga-se
ao sangue impedindo que este coagule. O volume de anticoagulante da bolsa é padronizado para um mínimo de
400ml de sangue. Logo, uma pessoa com peso inferior a 50 kg não poderia doar o volume mínimo.
As restrições como quanto ao peso são importantes na doação de sangue, na participação em certos brinquedos em
parques de diversão, entre outras atividades. Em tais casos é de grande utilidade o conhecimento na distribuição
não só dos pesos como de outras medidas físicas importantes.
Por exemplo, é possível calcularmos a percentagem das mulheres brasileiras que tem peso acima de 50kg? Ou
dos homens que enquadram nessa faixa? Nesta parte de exercícios, usaremos alguns métodos para calcular tais
percentagens.
OBS: Os pacientes que necessitam de transfusão podem contar somente com a solidariedade de pessoas, que
têm o privilégio de ser saudáveis e que se dispõem a DOAR O SEU SANGUE, através de um ato de amor ao
próximo. Doe Sangue.
Praticando
Q4. Seja X ∼ N(5, 4). Determine:
(a)P (X ≤ 6)
(b)P (7 < X < 8)
(c)P (2 ≤ X < 5)
(d)P (−1 ≤ X ≤ 2)
(e)P (X ≤ −1)
(f)P (−2 ≤ X ≤ −1)
Q5. Para X ∼ N(100, 100), calcule:
(a) P (|X − 100| ≤ 10);
(b) O valor a tal que P (100− a ≤ X ≤ 100 + a) = 0.95
Q6. As alturas de 10 000 alunos de um colégio tem distribuição aproximandamente Normal, com média 170cm e
desvio padrão 5 cm.
(a)Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165cm?
(b)Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos?
Q7. Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição Normal de
média 130 Kg e desvio padrão 20 Kg. Para efeito de determinar o tratamento mais adequado, os 25% pacientes de
menor peso são classificados de "magros", enquanto os 25% de maior peso de "obesos". Determine os valores que
delimitam cada uma dessas classificações.
Q8. Para uma distribuição N(5, 10) coletou-se uma amostra de tamanho 25. calcule:
(a)P (X¯ ≤ 4, 8)
(b)P (4, 5 ≤ X¯ ≤ 5, 3)
2
(c)P (X¯ ≤ 4, 7 ou X¯ ≥ 5, 1)
Q9. Uma máquina enche pacotess de café com um peso que se comporta como uma variável aleatória Normal
de média 200 gramas e desvio padrão 10 gramas. Uma amostra de 25 pacotes é sorteada e pergunta-se:
(a) Qual é o número esperado de pacotes da amostra com peso inferior 205 gramas?
(b) Qual é a probabilidade de que o peso total dos pacotes da amostra não exceda 5125 gramas?
Parte 3:Inferência Estatística - Estimação Intervalar
A Inferência Estatística consiste em generalizar para a população aquilo que se observou na amostra com o objetivo
de obter conclusões. Faz parte da inferência estatística a estimação, que estuda como prever parâmetros popula-
cionais desconhecidos a partir de resultados amostrais. O processo de estimação intervalar consiste em definir o
intervalo em que esperamos encontrar o parâmetro populacional (média), a dada probabilidade, tendo em conta um
conjunto de resultados amostrais (Milone, 2004).
Nesta parte do estudo dirigido, você usará alguns conceitos de seu estudo de estatística inferencial. Por exem-
plo, a partir de uma média de uma amostra em colheitas recentes, a secretaria de agricultura de um determinado
estado do Brasil pode estimar a média atingida pela colheita como sendo de 43 toneladas por alqueire para todo
trigo no outono de 2010. Uma vez que esta estimativa consiste em um único número ela pode ser chamada de
estimativa pontual. O problema com o uso de estimativa pontual é que ela raramente se iguala ao parâmetro exato
(média, desvio padrão, proporção, etc) da população. O Objetivo neste momento é trabalhar com uma estimativa
mais significativa por meio da especificação do intervalo de valores junto com uma afirmativa da confiança que
você tem de que o intervalo contém o parâmetro populacional.
Suponha que a secretaria de agricultura deste estado em estudo deseje ter 95% de confiança de que sua estima-
tiva para a média atinja todo o trigo de 2010. Vamos aplicar as técnicas estudadas em sala de aula para construir
uma estimativa intervalar. Assim, determinamos a média de uma amostra aleatória, determinamos a margem de
erro, as extremidades dos intervalos, formamos uma estimativa intervalar.
Praticando
Q10. Seja X ∼ N(µ, 36).
(a) Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18,5. Construa intervalos com confiança de 91%,
96% e 99% para µ.
(b) Para uma confiança de 94%, construa intervalos de confiança supondo três tamanhos de amostra, 25, 50 e 100
(Admita que todos forneceram a mesma média amostral igual a 18,5).
(c) Comente sobre a precisão dos intervalos construídos em (a) e (b).
Q11. O consumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros dependendo do tipo de veículo. Suponha
que, para um certo automóvel, o desvio padrão do consumo seja conhecido e igual a 2km/l. Porém precisamos in-
formações sobre o consumo médio. Paratal, coletamos uma amostra de 40 automóveis desse modelo e observamos
o seu consumo.
(a) Quem seria um estimador do consumo médio para todos os automóveis desse tipo?
(b) Se a amostra forneceu um consumo médio de 9,3km/l, construa um intervalo de confiança (94%) para a média
de consumo desses carros.
(c) Se a amplitude de um intervalo de confiança, construído a partir dessa amostra, é de 1,5; qual teria sido o coefi-
ciente de confiança?
Q12. Desejamos coletar uma amostra de uma variável aleatória X com distribuição Normal de média desconhecida
e variância 30. Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com 0,92 de probabilidade, a média amostral não
difira da média da população por mais de 3 unidades.
3
Respostas
Q1.(a)1/100
Q2.(a)c=10; 2/3
Q3.(a)−7b
3
8+b3
(b)7/8; 1/8
(c)-3/4; 3/80
Q4.(a)0,6915
(b)0,0919
(c)0,4332
(d)0,0655
(e)0,0013
(f)0,0011 Q5.(a)0,6826
(b)a=19,6
Q6.(a) 8413
(b)(164,25;175,75)
Q7.magro = 116,6kg. obeso = 143,4kg
Q8.(a)0,3745
(b)0,4660
(c)0,7556
Q9. (a)17,29
(b)0,9938
Q10.(a)[17,11; 19,89]; [16,76; 20,24]; [16,32; 20,68]
(b)[16,244; 20,756]; [16,905; 20,095]; [17,22; 19,78]
Q11.(a)Média Amostral
(b)[8,71;9,89]
(c)' 98%
Q12.11
4