Prova de Limites e Derivadas

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CDI0001 (ELE141-01U) PROVA III 18/11/2015
Prof. Helder Geovane Gomes de Lima
Nome do(a) aluno(a):
ˆ Identifique-se em todas as folhas.
ˆ Mantenha o celular e os demais equipamentos eletrônicos desligados durante a prova.
ˆ Justifique cada resposta com cálculos ou argumentos baseados na teoria estudada.
ˆ Resolva (integralmente) apenas os itens de que precisar para somar 10,0 pontos.
1. (3,0) Calcule os seguintes limites, utilizando as regras de L’Hôpital quando for apropriado.
(a) lim
𝑥→∞
𝑥+ sin(𝑥)
𝑥
(b) lim
𝑥→+∞
(𝑥+ 1)
1
ln 𝑥
(c) lim
𝑥→0+
ln(𝑒2𝑥)− ln(sen(𝑒𝑥))
2. (1,0) Explique o erro (com um exemplo simples que mostre o problema) no seguinte
raciocínio:
“Como a derivada da função 𝑓 no ponto 𝑎 é zero e a segunda derivada de 𝑓 em 𝑎 também
é zero, este não é um ponto de máximo, nem um ponto de mínimo.”
3. (3,0) Esboçar 𝑓(𝑥) = 𝑥 |𝑥| − 2𝜋𝑥, explicitando o domínio, simetrias, zeros, intervalos de
crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidade, pontos de infle-
xão, assíntotas e limites que forem relevantes. Não esqueça de justificar suas afirmações!
4. (1,5) Determine as equações de todas as assíntotas (horizontais, verticais e/ou oblíquas)
da função 𝑓(𝑥) = tanh(𝑥) + |𝑥|+ 2, sabendo que tanh(𝑥) = senh(𝑥)
cosh(𝑥)
=
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
.
5. (2,0) Uma bateria de voltagem fixa 𝑉 e resistência interna fixa 𝑟 está ligada a um circuito
de resitência variável 𝑅. Pela Lei de Ohm, a corrente no circuito é 𝐼 = 𝑉
𝑅+𝑟
. Se a potência
é dada por 𝑃 = 𝐼2𝑅, mostre que a potência máxima ocorre quando 𝑅 = 𝑟.
6. (1,5) Faça um esboço do gráfico de 𝑓 , assumindo que𝑓 : [−4,+∞)→ R seja uma função
derivável cujo gráfico passa por 𝐴 = (−4,−4), e cuja derivada tem o seguinte gráfico:
Respostas e observações
1. Calcule os seguintes limites, utilizando as regras de L’Hôpital quando for apropriado.
(a) lim
𝑥→∞
𝑥+ sen(𝑥)
𝑥
lim
𝑥→∞
𝑥+ sen(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
sen𝑥 = 1 + 0 = 1,
pois sen𝑥 é uma função limitada, e lim𝑥→∞ 1𝑥 = 0.
Obs: Não é permitido aplicar a regra de L’Hôpital neste caso, pois para que ocorresse
lim
𝑥→∞
(𝑥+ sen(𝑥))′
𝑥′
= lim
𝑥→∞
1 + cos(𝑥)
1
= lim
𝑥→∞
1 + cos 𝑥
seria preciso que este último limite existisse. Mas cos(𝑥) é uma função periódica tal
que, para todo 𝑘 ∈ Z, tem-se cos(𝑘 · 2𝜋) = 1 e cos(𝜋 + 𝑘 · 2𝜋) = −1. Portanto não
existe lim𝑥→∞ 1 + cos 𝑥.
(b) lim
𝑥→+∞
(𝑥+ 1)
1
ln 𝑥
Seja 𝐿 = lim𝑥→+∞(𝑥+ 1)
1
ln 𝑥
. Então:
ln(𝐿) = ln
(︂
lim
𝑥→+∞
(𝑥+ 1)
1
ln 𝑥
)︂
= lim
𝑥→+∞
ln
(︁
(𝑥+ 1)
1
ln 𝑥
)︁
= lim
𝑥→+∞
1
ln𝑥
ln (𝑥+ 1)
= lim
𝑥→+∞
ln(𝑥+ 1)
ln𝑥
= lim
𝑥→+∞
1
𝑥+1
1
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥+ 1
= lim
𝑥→+∞
1
1 + 0
= 1.
Como ln(𝐿) = 1, conclui-se que 𝐿 = 𝑒ln(𝐿) = 𝑒1 = 𝑒.
(c) lim
𝑥→0+
ln(𝑒2𝑥)− ln(sen(𝑒𝑥))
lim
𝑥→0+
ln(𝑒2𝑥)− ln(sen(𝑒𝑥)) = lim
𝑥→0+
ln
(︂
𝑒2𝑥
sen(𝑒𝑥)
)︂
= ln
(︂
lim
𝑥→0+
𝑒2𝑥
sen(𝑒𝑥)
)︂
= ln
(︂
lim
𝑥→0+
𝑒2
𝑒 cos(𝑒𝑥)
)︂
= ln
(︂
𝑒
cos(0)
)︂
= ln (𝑒) = 1.
2. Explique o erro (com um exemplo simples que mostre o problema) no seguinte raciocínio:
“Como a derivada da função 𝑓 no ponto 𝑎 é zero e a segunda derivada de 𝑓 em 𝑎 também
é zero, este não é um ponto de máximo, nem um ponto de mínimo.”
É preciso mais informações sobre a função para poder concluir que 𝑎 não é ponto de
máximo nem de mínimo, pois o teste da segunda derivada é inconclusivo sobre os pontos
críticos em que ela zera. Por exemplo:
ˆ Uma função como 𝑓(𝑥) = 𝑥4, para a qual 𝑓 ′(𝑥) = 4𝑥3 e 𝑓 ′′ = 12𝑥2, satisfaz ambas
as condições 𝑓 ′(0) = 0 e 𝑓 ′′(0) = 0, mas tem um ponto de mínimo em 𝑥 = 0, pois
o sinal da primeira derivada é negativo para 𝑥 < 0 e positivo para 𝑥 > 0 (ou seja,
𝑓 é decrescente antes da origem e crescente depois dela, passando por um ponto de
mínimo).
ˆ Caso 𝑓 esteja sendo considerada apenas em um intervalo fechado, que tem 𝑎 como
um de seus extremos, ele ainda poderia ser um ponto de máximo ou de mínimo.
Considere por exemplo a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 em qualquer intervalo [0, 𝑏] (com 𝑏 ∈ R*+).
Tem-se 𝑓 ′(𝑥) = 3𝑥2 e 𝑓 ′′(𝑥) = 6𝑥, de modo que 𝑓 ′(0) = 𝑓 ′′(0) = 0. Mas 𝑓 é crescente
em [0, 𝑏], pois 𝑓 ′(𝑥) > 0 para 𝑥 ̸= 0.
2
3. Esboçar 𝑓(𝑥) = 𝑥 |𝑥| − 2𝜋𝑥, explicitando o domínio, simetrias, zeros, intervalos de cres-
cimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidade, pontos de inflexão,
assíntotas e limites que forem relevantes. Não esqueça de justificar suas afirmações!
Observe inicialmente que 𝑓(𝑥) =
{︃
𝑥2 − 2𝜋𝑥, se 𝑥 ≥ 0
−𝑥2 − 2𝜋𝑥, se 𝑥 < 0 está definida em todos os
números reais, isto é, Dom (𝑓) = R. Além disso, tem-se
𝑓(−𝑥) = −𝑥 |−𝑥| − 2𝜋(−𝑥) = −(𝑥 |𝑥| − 2𝜋𝑥) = −𝑓(𝑥),
ou seja, 𝑓 é uma função ímpar (seu gráfico é simétrico em relação à origem). A função
possui trez zeros, pois
𝑓(𝑥) = 0⇔ 𝑥 |𝑥| − 2𝜋𝑥 = 0⇔ 𝑥(|𝑥| − 2𝜋) = 0⇔ 𝑥 = 0 ou |𝑥| = 2𝜋.
Como 𝑓 é contínua em R, não há nenhum ponto 𝑎 ∈ R tal que lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ±∞, logo
não existem assíntotas verticais.
Também ocorre que
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→±∞
𝑥 |𝑥| − 2𝜋𝑥
𝑥
= lim
𝑥→±∞
|𝑥| − 2𝜋 = +∞.
Logo, não existem assíntotas oblíquas nem horizontais.
Em relação às derivadas de 𝑓 , tem-se
𝑓 ′(𝑥) =
{︃
(𝑥2 − 2𝜋𝑥)′, se 𝑥 > 0
(−𝑥2 − 2𝜋𝑥)′, se 𝑥 < 0
=
{︃
2𝑥− 2𝜋, se 𝑥 > 0
−2𝑥− 2𝜋, se 𝑥 < 0
= 2 |𝑥| − 2𝜋, para 𝑥 ̸= 0
E se 𝑥 = 0 tem-se
𝑓 ′(0) = lim
ℎ→0
(ℎ |ℎ| − 2𝜋ℎ)− 0
ℎ
= lim
ℎ→0
|ℎ| − 2𝜋 = −2𝜋 = 2 |0| − 2𝜋
(ou, por L’Hôpital, 𝑓 ′(0) = lim𝑥→0
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥
= lim𝑥→0
𝑓 ′(𝑥)
1
= lim𝑥→0 2 |𝑥| − 2𝜋 = −2𝜋).
Logo, 𝑓 ′(𝑥) = 2 |𝑥| − 2𝜋 para todo 𝑥 ∈ R, inclusive no zero. Como a derivada de 𝑓 está
definida em toda a reta (é contínua), os únicos pontos críticos de 𝑓 serão os zeros de 𝑓 ′:
𝑓 ′(𝑥) = 0⇔ 2 |𝑥| − 2𝜋 = 0⇔ |𝑥| = 𝜋 ⇔ 𝑥 = 𝜋 ou 𝑥 = −𝜋.
Além disso,
𝑓 ′(𝑥) < 0⇔ 2 |𝑥| − 2𝜋 < 0⇔ |𝑥| < 𝜋 ⇔ −𝜋 < 𝑥 < 𝜋.
de modo que 𝑓 é decrescente em (−𝜋, 𝜋) e crescente em (−∞,−𝜋) ∪ (𝜋,+∞). Con-
sequentemente, 𝑓 tem um ponto de máximo local em 𝑥 = −𝜋 e um ponto de mínimo
3
local em 𝑥 = 𝜋 (nenhum deles é global, pois lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = ∞ e lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = −∞).
A concavidade de 𝑓 fica determinada pelo sinal de 𝑓 ′′. Tem-
se
𝑓 ′′(𝑥) = 2
|𝑥|
𝑥
=
{︃
2, se 𝑥 > 0
−2 se 𝑥 < 0
Portanto, 𝑓 tem concavidade para baixo em (−∞, 0) e para
cima em (0,+∞), o que significa que há um ponto de infle-
xão em 𝑥 = 0.
4. Determine as equações de todas as assíntotas (horizontais, verticais e/ou oblíquas) da
função 𝑓(𝑥) = tanh(𝑥) + |𝑥|+ 2, sabendo que tanh(𝑥) = senh(𝑥)
cosh(𝑥)
=
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
.
Como 𝑓 é uma soma/composição de funções contínuas em R, ela também é contínua em
R, e não há nenhum ponto 𝑝 ∈ R tal que lim𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) = ±∞. Logo não existem assíntotas
verticais. Por outro lado, tem-se
lim
𝑥→+∞
tanh(𝑥) = lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥 − 1
𝑒𝑥
𝑒𝑥 +
1
𝑒𝑥
= lim
𝑢→+∞
𝑢− 1
𝑢
𝑢+
1
𝑢
= lim
𝑢→+∞
1 +
1
𝑢2
1− 1
𝑢2
=
1 + 0
1− 0 = 1.
Por simetria (já que tanh é ímpar), tem-se
lim
𝑥→−∞
tanh(𝑥) = lim
𝑢→+∞
tanh(−𝑢) = lim
𝑢→+∞
− tanh(𝑢) = − lim
𝑢→+∞
tanh(𝑢) = −1.
Consequentemente, se 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏 é uma assíntota em +∞, então
𝑎 = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
tanh(𝑥) + |𝑥|+ 2
𝑥
= lim
𝑥→+∞
tanh(𝑥) + 2
𝑥
+ lim
𝑥→+∞
|𝑥|
𝑥
= 0 + lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥
= 1
e além disso,
𝑏 = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)− 𝑎𝑥 = lim
𝑥→+∞
(tanh(𝑥) + |𝑥|+ 2)− 𝑥 = lim
𝑥→+∞
tanh(𝑥) + 𝑥+ 2− 𝑥
= lim
𝑥→+∞
tanh(𝑥)
+ 2 = 1 + 2 = 3
Logo, 𝑦 = 𝑥 + 3 é a equação da assíntota oblíqua em +∞. A assíntota 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 em
−∞ é obtida de forma análoga:
𝑎1 = lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→−∞
tanh(𝑥) + |𝑥|+ 2
𝑥
= lim
𝑥→−∞
tanh(𝑥) + 2
𝑥
+ lim
𝑥→+∞
|𝑥|
𝑥
= 0 + lim
𝑥→−∞
−𝑥
𝑥
= −1
𝑏1 = lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)−𝑎1𝑥 = lim
𝑥→−∞
tanh(𝑥)+(−𝑥)+2−(−𝑥) = lim
𝑥→−∞
tanh(𝑥)+2 = −1+2 = 1
Logo, 𝑦 = −𝑥+ 1 é a assíntota de 𝑓 em −∞.
4
5. Uma bateria de voltagem fixa 𝑉 e resistência interna fixa 𝑟 está ligada a um circuito de
resitência variável 𝑅. Pela Lei de Ohm, a corrente no circuito é 𝐼 = 𝑉
𝑅+𝑟
. Se a potência
é dada por 𝑃 = 𝐼2𝑅, mostre que a potência máxima ocorre quando 𝑅 = 𝑟.
No contexto deste problema pode-se assumir que 𝑉 > 0, 𝑅 > 0 e 𝑟 > 0.
Solução 1: A potência é dada em função da resistência por 𝑃 = 𝑃 (𝑅) =
(︀
𝑉
𝑅+𝑟
)︀2
𝑅 =
𝑉 2 𝑅
(𝑅+𝑟)2
. Para encontrar a potência máxima, basta encontrar um ponto crítico de 𝑃 , tal
que 𝑃 seja crescente antes deste ponto, e decrescente depois dele. Tem-se
𝑃 ′(𝑅) = 𝑉 2
(︂
𝑅
(𝑅 + 𝑟)2
)︂′
= 𝑉 2
(𝑅 + 𝑟)2 − 2𝑅(𝑅 + 𝑟)
(𝑅 + 𝑟)4
= 𝑉 2
(𝑅 + 𝑟)− 2𝑅
(𝑅 + 𝑟)3
= 𝑉 2
𝑟 −𝑅
(𝑅 + 𝑟)3
Assim, 𝑃 ′(𝑅) = 0 ⇔ 𝑉 2
(𝑅+𝑟)3
(𝑟 − 𝑅) = 0 ⇔ 𝑟 − 𝑅 = 0, e conclui-se que 𝑅 = 𝑟 é o único
ponto crítico de 𝑃 . É claro que se 𝑅 > 𝑟, tem-se 𝑟 − 𝑅 < 0 e 𝑃 ′(𝑅) < 0. Isso significa
que 𝑃 é decrescente em (𝑟,+∞). Analogamente, se 𝑅 < 𝑟, tem-se 𝑟−𝑅 > 0 e 𝑃 ′(𝑅) > 0,
ou seja, 𝑃 é crescente em (−∞, 𝑟). Portanto, 𝑅 = 𝑟 maximiza a potência do circuito.
Solução 2: Como 𝐼 = 𝑉
𝑅+𝑟
, resulta que 𝑅 = 𝑉
𝐼
− 𝑟. Então a potência é dada em função
da corrente por 𝑃 = 𝑃 (𝐼) = 𝐼2𝑅 = 𝐼2
(︀
𝑉
𝐼
− 𝑟)︀ = 𝐼𝑉 − 𝐼2𝑅. Para encontrar a potência
máxima, basta encontrar um ponto crítico de 𝑃 , tal que 𝑃 seja crescente antes deste
ponto, e decrescente depois dele. Tem-se
𝑃 ′(𝐼) = 𝑉 − 2𝐼𝑅
Assim, 𝑃 ′(𝐼) = 0 ⇔ 𝑉 − 2𝐼𝑅 = 0 ⇔ 𝑉 = 2𝐼𝑅, e conclui-se que 𝐼 = 𝑉
2𝑅
é o único ponto
crítico de 𝑃 , e como 𝑃 ′′(𝐼) = −2𝑅 < 0, ele é um ponto de máximo. Neste caso,
𝑅 =
𝑉
𝐼
− 𝑟 = 𝑉 · 2𝑅
𝑉
− 𝑟 = 2𝑅− 𝑟,
ou seja, 𝑅 + 𝑟 = 2𝑅, e consequentemente a potência do circuito é maximizada quando
𝑅 = 𝑟.
5
6. Faça um esboço do gráfico de 𝑓 , assumindo que 𝑓 : [−4,+∞) → R seja uma função
derivável cujo gráfico passa pelo ponto 𝐴, e cuja derivada tem o seguinte gráfico:
O gráfico de 𝑓 ′ indica que:
ˆ 𝑓 é crescente de 𝐴 até 𝐷, e de 𝐹 em diante,
pois 𝑓 ′ é positiva nestes intervalos
ˆ 𝑓 é decrescente de 𝐷 até 𝐹 , pois 𝑓 ′ é negativa
neste intervalo
ˆ 𝑓 tem concavidade para baixo de 𝐴 até 𝐵, de
𝐶 até 𝐸 e de 𝐺 em diante, pois 𝑓 ′ é decres-
cente nestes intervalos
ˆ 𝑓 tem concavidade para cima de 𝐵 até 𝐶 e
de 𝐸 até 𝐺, já que 𝑓 ′ é crescente nestes in-
tervalos.
ˆ 𝐵, 𝐶, 𝐸 e 𝐺 são pontos de inflexão, devido
às mudanças de concavidade nestes pontos
ˆ 𝐷 é um ponto de máximo local de 𝑓 , devido à
mudança de crescente para decrescente neste
ponto
ˆ 𝐹 um ponto de mínimo local de 𝑓 , devido à
mudança de decrescente para crescente neste
ponto
6