Lista_III_-_Funcoes_vetoriais

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LISTA III – Funções vetoriais 
 
1) Calcule as integrais indefinidas das seguintes funções vetoriais: 
a) 𝑟(𝑡) = 3 𝑖 + (4𝑡) 𝑗 
b) 𝑟(𝑡) = [𝑐𝑜𝑠(𝑡)] 𝑖 + [𝑠𝑒𝑛(𝑡)] 𝑗 
c) 𝑟(𝑡) = [𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡)] 𝑖 + 𝑗 
d) 𝑟(𝑡) =< 𝑡𝑒𝑡 , 𝑙𝑛(𝑡) > 
e) 𝑟(𝑡) = < 𝑡² , −2𝑡 ,
1
𝑡
> 
f) 𝑟(𝑡) =< 𝑒−𝑡 , 𝑒𝑡 , 3𝑡² > 
1) Calcule as integrais definidas: 
a) ∫ (< 𝑐𝑜𝑠(3𝑡) , −𝑠𝑒𝑛(3𝑡) >)
𝜋
3
0
𝑑𝑡 
b) ∫ [(𝑡2)𝑖 + (𝑡3)𝑗]
1
0
𝑑𝑡 
c) ∫ ‖(𝑡)𝑖 + (𝑡2)𝑗‖
2
0
𝑑𝑡 
d) ∫ [< (3 − 𝑡)
3
2, (3 + 𝑡)
3
2, 1 >]
3
−3
𝑑𝑡 
e) ∫ [(𝑡
1
2) 𝑖 + (𝑡−
1
2) 𝑗]
9
1
𝑑𝑡 
f) ∫ [(𝑒2𝑡)𝑖 + (𝑒−𝑡)𝑗 + (𝑡)�⃗⃗�]
1
0
𝑑𝑡 
2) Resolva o problema de valor inicial vetorial para 𝑟(𝑡) integrando e usando as condições iniciais para 
determinar as constantes de integração. 
a) 𝑟′(𝑡) = (𝑡2)𝑖 + (2𝑡)𝑗 ; 𝑟(0) = 𝑖 + 𝑗 
b) 𝑟′(𝑡) = [𝑐𝑜𝑠(𝑡)]𝑖 + [𝑠𝑒𝑛(𝑡)]𝑗 ; 𝑟(0) = 𝑖 − 𝑗 
c) 𝑟′′(𝑡) = 𝑖 + (𝑒𝑡)𝑗 ; 𝑟(0) = 2𝑖 ; 𝑟′(0) = 𝑗 
d) 𝑟′′(𝑡) = (2𝑡2)𝑖 − (2𝑡)𝑗 ; 𝑟(0) = 2𝑖 − 4𝑗 ; 𝑟′(0) = 0 
3) Encontre a distância percorrida por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante 
o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo: 
a) 𝑟(𝑡) =< 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑡) , 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) > ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
b) 𝑟(𝑡) =< 𝑎[𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)], 𝑎[𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡)] > ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
c) 𝑟(𝑡) =< 𝑠𝑒𝑛(𝑡) , 𝑡, 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡) > ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
d) 𝑟(𝑡) < 𝑡, 3𝑡², 6𝑡³ > ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
e) 𝑟(𝑡) = < 𝑡 , 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐(𝑡)) , 𝑙𝑛 (𝑠𝑒𝑐(𝑡) + 𝑡𝑔(𝑡)) > ; 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
4
 
 
 
 
4) Uma curva tem equação 𝑦² = 𝑥³. Encontre o comprimento da curva do ponto (1, −1) ao ponto (1,1). 
5) Calcule o comprimento da curva definida por 𝑟(𝑡) =< 𝑡, 1 − 𝑡2, 1 > do ponto (0,1,1) ao ponto (1,0,1). 
6) Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por: 
𝑟(𝑡) = [𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡)]𝑖 + [1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡)]𝑗 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
a) Determine os instantes 𝑡1, 𝑡2 ∈ [0,2𝜋] onde 𝑣(𝑡) = 1. 
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [𝑡1, 𝑡2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
Questão 1: 
 
 
Questão 2: 
 
 
 
 
Questão 3: 
 
 
Questão 4: 
 
Questão 5: Questão 6: Questão 7: