Parametrização pelo Comprimento de Arco

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Universidade do Estado de Santa Catarina
Departamento de Engenharia de Petro´leo
Ca´lculo III
Parametrizac¸a˜o pelo Comprimento de Arco
Conforme comentamos em sala, a vantagem de parametrizar uma curva pelo seu comprimento de arco
e´ que esta parametrizac¸a˜o e´ u´nica. Para exemplificar esta afirmac¸a˜o, vamos tomar duas parametrizac¸o˜es
distintas do semi c´ırculo superior de raio 2, que denotaremos por C.
• Primeira Parametrizac¸a˜o: coordenadas polares.
~r1(t) = 2 cos(t)~i+ 2sen(t)~j, 0 ≤ t ≤ pi
Esta parametrizac¸a˜o supo˜e que a curva C e´ orientada do ponto A(2, 0) ao ponto B(−2, 0).
Para realizar esta parametrizac¸a˜o, precisamos relacionar o comprimento de arco s com t, e o fazemos
com a func¸a˜o comprimento de arco dada por
s(t) =
∫ t
0
|~r1′(u)|du (1)
Calculando ~r1
′(u):
~r1
′(u) = −2sen(u)~i+ 2 cos(u)~j
Calculando |~r1′(u)|:
|~r1′(u)| =
√
(−2sen(u))2 + (2 cos(u))2
=
√
4sen2(u) + 4 cos2(u)
=
√
4(sen2(u) + cos2(u)) = 2
Substituindo em (1), temos
s(t) =
∫ t
0
|~r1′(u)|du =
∫ t
0
2du = 2t
Segue de s = 2t que t = s/2. Desta forma, a parametrizac¸a˜o da curva C pelo comprimento do arco sera´
~r1(s) = 2 cos(s/2)~i+ 2sen(s/2)~j, 0 ≤ s ≤ 2pi
• Segunda Parametrizac¸a˜o: coordenadas cartesianas.
Sabemos que a equac¸a˜o do c´ırculo de centro na origem e raio 2 e´ x2 + y2 = 4. Como so´ estamos
interessando no semi c´ırculo superior, podemos isolar y e, assim, encontrar uma func¸a˜o para esta curva:
y =
√
4− x2. Agora vamos nos preocupar com a orientac¸a˜o de C. Para que a parametrizac¸a˜o va´ do
ponto A(2, 0) para o ponto B(−2, 0), tomaremos
~r2(t) = −t~i+
√
4− t2~j, −2 ≤ t ≤ 2
Voceˆ pode facilmente verificar que a parametrizac¸a˜o acima corresponde a` curva C, parametrizada por ~r1.
Consideremos a func¸a˜o comprimento de arco dada por
s(t) =
∫ t
−2
|~r2′(u)|du (2)
Calculando ~r2
′(u):
~r2
′(u) = −1~i− u√
4− u2
~j
Calculando |~r2′(u)|:
|~r2′(u)| =
√
(−1)2 +
( −u√
4− u2
)2
=
√
1 +
u2
4− u2
=
√
(4− u2) + u2
4− u2
=
2√
4− u2
Substituindo em (2), temos
s(t) =
∫ t
−2
2√
4− u2 du
Para resolver esta integral, precisamos fazer uma mudanc¸a de varia´veis: tomemos u = 2 cos θ. Enta˜o
(∗)

u = 2 cos θ
du = −2senθdθ {
u = −2 =⇒ 2 cos θ = −2 =⇒ cos θ = −1 =⇒ θ = pi
u = t =⇒ 2 cos θ = t =⇒ cos θ = t/2 =⇒ θ = arccos(t/2)
Segue que
s(t) =
∫ t
−2
2√
4− u2 du
(∗)
=
∫ arccos(t/2)
pi
2√
4− 4 cos2 θ (−2senθ)dθ
=
∫ arccos(t/2)
pi
2
2senθ
(−2senθ)dθ
=
∫ arccos(t/2)
pi
−2dθ
= −2(arccos(t/2)− pi)
Assim,
s = −2(arccos(t/2)− pi) ⇐⇒ −s
2
= arccos(t/2)− pi
⇐⇒ −s
2
+ pi = arccos(t/2)
⇐⇒ t = 2 cos
(
pi − s
2
)
Agora
cos
(
pi − s
2
)
= cos (pi) cos
(
−s
2
)
− sen (pi) sen
(
−s
2
)
= − cos
(s
2
)
− 0
= − cos
(s
2
)
=⇒ t = −2 cos
(s
2
)
Substituindo t na parametrizac¸a˜o, temos
~r2(s) = − (−2 cos(s/2))~i+
√
4−
(
−2 cos
(s
2
))2
~j
= 2 cos(s/2)~i+ 2sen(s/2)~j
Falta analisar o intervalo de t:{
t = −2 =⇒ −2 cos ( s2) = −2 =⇒ cos ( s2) = 1 =⇒ s2 = 0 =⇒ s = 0
t = 2 =⇒ −2 cos ( s2) = 2 =⇒ cos ( s2) = −1 =⇒ s2 = pi =⇒ s = 2pi
Desta forma, a parametrizac¸a˜o da curva C pelo comprimento do arco sera´
~r1(s) = 2 cos(s/2)~ı + 2sen(s/2)~, 0 ≤ s ≤ 2pi