Atividade Online 1 gabarito

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UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
Disciplina: Geometria Anal´ıtica I Semestre: 2018.1
Professora: E´rica Maceˆdo Data de Entrega: 23.04.2018
Aluno:
Atividade Online 01 - Gabarito
Valor: 5, 0
Questa˜o 1 (0,4). Classifique em verdadeiro ou falso as afirmac¸o˜es, justificando sua resposta.
a. ( ) Dois vetores sempre sa˜o linearmente dependentes.
b. ( ) Todo vetor tem infinitos representantes.
c. ( ) Treˆs vetores sa˜o sempre uma base.
d. ( ) A soma de dois versores e´ um versores.
a.(F) Apenas vetores que sa˜o paralelos sa˜o L.D.
b.(V) Um vetor e´ um conjunto infinito de segmentos equipolentes; cada um destes segmentos e´ um
representante para este vetor.
c.(F) Treˆs vetores so´ formam uma base se forem L.I.
d.(F) A soma de dois versores nem sempre e´ um versor, pois o mo´dulo do vetor soma pode na˜o ser
igual a 1.
Questa˜o 2 (0,6). Os ve´rtices de um triaˆngulo sa˜o os pontos P = (1,−1, 0), Q = (−2,−2, 4) e
R = (3,−1,−2). Calcule a medida de cada lado deste triaˆngulo e seu per´ımetro.
Os lados do triaˆngulo sa˜o representados pelos vetores ~PQ = Q − P = (−3,−1, 4), ~QR = R − Q =
(5, 1,−6) e ~PR = R− P = (2, 0,−2). As medidas dos lados sera˜o os mo´dulos dos vetores.
| ~PQ |=
√
(−3)2 + (−1)2 + (4)2 = √9 + 1 + 16 = √26
| ~QR |=
√
(5)2 + (1)2 + (−6)2 = √25 + 1 + 36 = √62
| ~PR |=
√
(2)2 + (0)2 + (−2)2 = √4 + 0 + 4 = √8 = 2√2
Seu per´ımetro e´ dado pela soma dos lados: 2p =
√
26 +
√
62 + 2
√
2u.c.
Questa˜o 3 (1,0). Dados os vetores ~u = (1, a,−2a − 1), ~v = (a, a − 1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determine o
valor de a para que seja satisfeita a igualdade ~u · ~v = (~u+ ~v) · ~w.
~u · ~v = (~u+ ~v) · ~w
(1, a,−2a− 1) · (a, a− 1, 1) = ((1, a,−2a− 1) + (a, a− 1, 1)) · (a,−1, 1)
a+ a(a− 1) + 1(−2a− 1) = (1 + a, 2a− 1,−2a) · (a,−1, 1)
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!
UNEB - Universidade do Estado da Bahia
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a+ a2 − a− 2a− 1 = a(1 + a)− (2a− 1)− 2a
a2 − 2a− 1 = a+ a2 − 2a+ 1− 2a
a = 2
Questa˜o 4 (1,0). Determine os valores poss´ıveis para m sabendo que os vetores ~u = (−4,m + 3, 1) e
~v = (1−m2, 1, 0) sa˜o ortogonais.
Dois vetores sa˜o ortogonais se o produto escalar entre eles e´ zero.
~u · ~v = 0→ (−4,m+ 3, 1) · (1−m2, 1, 0) = 0
−4(1−m2) + 1(m+ 3) + 0 · 1 = 0
−4 + 4m2 +m+ 3 + 0 = 0
4m2 +m− 1 = 0
Logo, temos m =
−1 +√17
8
ou m =
−1−√17
8
.
Questa˜o 5 (0,8). Dados os pontos A = (1,−2, 3), B = (5, 2, 5) e M = (−2, 4, 9). Obtenha as coorde-
nadas dos pontos C e D, tal que A,B,C,D (nesta ordem) seja um paralelogramo, onde M e´ o ponto
me´dio do segmento AC.
Veja que ~AC = 2 · AM . Temos enta˜o ~AM = M − A = (−3, 6, 6) e ~AC = 2 · AM = 2 · (−3, 6, 6) =
(−6, 12, 12); como ~AC = C −A, temos que C = A+ ~AC = (1,−2, 3) + (−6, 12, 12) = (−5, 10, 15).
Como temos um paralelogramo, enta˜o ~AB = ~DC e ~DC = (4, 4, 2). Da´ı ~DC = C − D, ou seja,
D = C − ~DC = (−5, 10, 15)− (4, 4, 2) = (−9, 6, 13).
Questa˜o 6 (1,2). Sa˜o dados os seguintes vetores: ~u = (2, 3,−1), ~v = (0, 2,−1), ~w = (3, 0, 0) e
~r = (5, 1, 2). Fac¸a o que se pede.
a. Determine um vetor que tenha o sentido contra´rio e o dobro do tamanho do vetor ~r.
b. Determine o vetor ~a = −3~u+ 4~v − ~w + 5~r.
c. Verifique se ~v e ~w sa˜o vetores paralelos.
d. Verifique se os vetores ~u, ~v e ~w formam uma base para o espac¸o (R3).
a. ~x = −2 · ~r = −2 · (5, 1, 2) = (−10,−2,−4)
b. ~a = −3~u+4~v− ~w+5~r = −3(2, 3,−1)+4(0, 2,−1)− (3, 0, 0)+5(5, 1, 2) = (−6,−9, 3)+ (0, 8,−4)−
(3, 0, 0) + (25, 5, 10) = (16, 4, 9)
c. Os vetores ~v e ~w na˜o sa˜o paralelos pois na˜o sa˜o mu´ltiplos. Na˜o existe escalar t tal que ~v = t · ~w.
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!
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d. Temos que
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∣
2 3 −1
0 2 −1
3 0 0
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∣
= 0 − 9 + 0 − 0 − 0 + 6 = −3. Logo, os vetores formam uma base para o
espac¸o pois na˜o sa˜o coplanares.
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!