LISTA DE EXERCICIOS PROB E ESTATISTICA VARIAVEIS E DISTRIBUICAO NORMAL 20180612 2046

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Lista de Exercícios – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
2º BIMESTRE
 
1 - O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de 0,002 polegada e um desvio padrão de 0,0004 polegada. 
a) Qual é a probabilidade de o diâmetro de um ponto exceder 0,0026 polegada? 
b) Qual deve ser o desvio padrão do diâmetro para termos uma probabilidade de 95,053% de o diâmetro não exceder 0,0023 polegada?
2 - Suponha que a probabilidade de que uma peça, produzida por determinada máquina, seja defeituosa é 0,2. Se 10 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais de uma defeituosa seja encontrada?
3 - Num certo ano o Instituto Brasileiro do Meio Ambiente e dos Recursos Naturais Renováveis (IBAMA) registrou, numa área de reserva do litoral catarinense, 18 mortes de golfinhos.
 a) Qual é a probabilidade de, num determinado mês do próximo ano, ocorrerem pelo menos duas mortes? 
 b) Qual é a probabilidade de, num determinado semestre do próximo ano, ocorrerem quatro mortes?
4 - O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 e variância 0,0004. 
a) Qual é a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0,81? 
b) Suponha que esse cabo seja considerado defeituoso se o diâmetro diferir de sua média em mais de 0,025. 
5 - Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação a norma especificada pelo mercado e uma variável aleatória X com a seguinte função de densidade de probabilidade:
a) Calcule o valor de k.
b) Determine a função de distribuição de X.
c) Calcule a probabilidade de que seja necessário extrair exatamente duas peças da produção da máquina para que apareça uma peça com um desvio positivo em relação a norma.
d) Obtenha a função densidade de probabilidade do valor absoluto do referido desvio da medida de uma peça.
6 – Uma caixa contém 6 iogurtes dos quais 2 estão estragados. Retiram-se ao acaso e sem reposição 3 iogurtes.
a) Qual a probabilidade de obter quando muito um iogurte estragado?
b) Designe por X a variável aleatória que representa o número de iogurtes estragados nas 3 extrações. Determine a função de probabilidade de X.
c) Responda novamente as alíneas (a), mas agora admitindo que as 3 extrações foram feitas com reposição.
7 - Suponha que X, a carga de ruptura de um cabo (em kg), tenha distribuição N (100, 16). Cada rolo de 100 m de cabo dá um lucro de $25, desde que X > 95. Se X ≤ 95, o cabo poderá ser utilizado para uma finalidade diferente, obtendo-se um lucro de $10 por rolo. Determinar o lucro esperado por rolo.
8 - Um posto de transformação permite uma carga total de 2800KW. Sabe-se que esse posto de transformação alimenta uma fábrica com consumo permanente de 2500KW e além disso o mesmo posto de transformação alimenta 100 consumidores domésticos. Estes gastam em média 2KW em eletrodomésticos (sendo o desvio padrão igual a 0.5KW) e 0.5KW com a iluminação (sendo o desvio padrão de 0.25KW). Determine a probabilidade do transformador disparar por excesso de carga, admitindo que os vários tipos de consumos domésticos são independentes e gaussianamente distribuídos.
9 - Sabe-se que o número de viajantes por veículos tipo VAN em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,3. 
a) Calcule o número médio de ocupantes por veículo;
b) A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira: se o veículo transporta uma pessoa apenas (só o motorista) é cobrado R$ 5,2; se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, R$ 3,8; e se tiver mais do que 3 ocupantes, R$ 2,0. Calcular a arrecadação diária, sabendo-se que em média passam 300 veículos por dia neste pedágio.
10 - Um fabricante de filmes produz 10 rolos de um filme especialmente sensível, cada ano. Se o filme não for vendido dentro do ano, ele deve ser refugado. A experiência passada diz que, a (pequena) procura desse filme, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com parâmetro 8. Se um lucro de $7 for obtido para cada rolo vendido, enquanto um prejuízo de $3 é verificado para cada rolo refugado, calcule o lucro esperado que o fabricante poderá realizar com os 10 rolos que ele produz.
11 - O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma variável aleatória normal com valor esperado μ (mm) e variância σ² (mm²). Uma peça é defeituosa se o seu comprimento diferir do valor esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das peças produzidas tem comprimento inferior a 2.5 mm e 47.5% das peças produzidas tem comprimento entre 2.5 mm e 3.42 mm.
(a) Calcule μ e σ.
(b) Determine a probabilidade de que uma peça seja não defeituosa.
12 – O nº médio de aeronaves que aterrissa num determinado aeroporto é de 3 em cada 2 minutos. Sabe-se que o nº de aviões que aterrissam no aeroporto é bem modelado por uma distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de em uma hora, 73 aeronaves aterrissarem nesse aeroporto?
13 – Num lote de 500 peças existem 50 defeituosas. Desse lote retira-se ao acaso e com reposição uma amostra. O lote é rejeitado se tal amostra incluir mais do que duas peças defeituosas. Calcule:
a) A probabilidade de rejeição do lote se a amostra tiver dimensão 10.
b) Nas condições da alínea (a) e se existirem 100 lotes nas condições indicadas, qual o valor esperado, o desvio padrão e a moda do número de lotes em que há rejeição?
14 – O tempo de vida, X, de um aparelho elétrico tem distribuição normal com media µ, desvio padrão de 500 dias e primeiro quartil igual a 1500 dias. Se o aparelho tem garantia de 365 dias, Qual a porcentagem das vendas que exigirá substituição?
15 – Suponha que a variável X represente o valor de determinado tributo que é cobrado mensalmente aos comerciantes, em um determinado município. Sabe-se que X é uma variável aleatória com distribuição normal com média e desvio padrão dados, respectivamente, por 800 reais e 200 reais. Os comerciantes foram divididos em 3 categorias: baixo faturamento, médio faturamento e alto faturamento. Os valores limites das classes de tributo dependem da categoria de comerciante, são estabelecidos por probabilidades da variável X e estão apresentados na tabela abaixo: 
Calcule os valores de A e B.