Gabarito Lista Semanal 5 Calculo 2

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CÁLCULO II
Prof. Juaci Picanço | Prof. Jerônimo Monteiro
Lista Semanal 5 - 20/04/2018
Questão 1. Dizemos que uma curva δ : [a, b] → Rn, com derivada contínua, está parametrizada pelo
comprimento de arco se ||δ′(s)|| = 1, para todo s ∈ [a, b]. Verifique se δ(s) =
(
s√
2
,
2s√
2
)
, com s ≥ 0 está
parametrizada pelo comprimento de arco.
Solução:
Para verificar se a curva δ(s) está parametrizada pelo comprimento de arco, deve-se primeiro derivar a curva
em relação a s, assim:
δ′(s) =
(
1√
2
,
2√
2
)
E a norma de δ′(s) é:
||δ′(s)|| =
√(
1√
2
)2
+
(
2√
2
)2
=
√
1
2
+
4
2
=
√
5
2
Desse modo, como ||δ′(s)|| 6= 1, tem-se que a curva δ(s) não está parametrizada pelo seu comprimento de
arco.
1
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Questão 2. Considere a curva
r(t) =
(
1
t
,
1
t
, t2
)
.
(a) Determine a equação da reta tangente à trajetória da curva no ponto t = 2.
Solução:
A equação da reta tangente à curva, para um ponto cujo parâmetro é t0, é da forma:
~P = r(t0) + r
′(t0).λ
Assim,
r′(t) =
(−1
t2
,
−1
t2
, 2t
)
→ r′(2) =
(−1
4
,
−1
4
, 4
)
Além disso,
r(2) =
(
1
2
,
1
2
, 4
)
Logo, a equação da reta tangente à trajetória de r(t), para t = 2, é:
~P =
(
1
2
,
1
2
, 4
)
+ λ
(−1
4
,
−1
4
, 4
)
, λ ∈ R
(b) Faça o esboço da curva, exibindo a reta tangente obtida no item (a).
Solução:
Sendo A(12 ,
1
2 , 4), o ponto da reta para quando t = 2, tem-se:
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Questão 3. Dada a função
f(x, y) =
2xy2
x2 + y4
.
(a) Determine o domínio de f .
Solução:
O domínio D de f,é o conjunto formado pelos pontos do R2 tal que x2+y4 6= 0, ou seja, D = {(x, y) ∈
R2; (x, y) 6= (0, 0)}
(b) Esboce as curvas de nível de f .
Para descobrirmos as curvas de nível da função, igualamos f(x, y) à uma constante, logo:
2xy2
x2 + y4
= k → kx2 − 2y2x+ ky4 = 0
Assim, explicitando x em função de y, na eguação acima, tem-se:
x =
2y2 ±
√
4y4 − 4k.ky4
2k
=
2y2 ± 2y2√1− k2
2k
→ x = y
2(1±√1− k2)
k
Para k = 0.5 (linha contínua) e k = −0.5 (linha tracejada), tem-se, no plano yx:
(c) Determine a imagem de f .
Solução:
Como k representa os valores da imagem de f(x, y), tem-se, da equação explícita para as curvas de
nível, a restrição para k, pois
√
1− k2 → 0 ≤ 1 − k2 → −1 ≤ k ≤ 1. Note que, para a equação
explícita não está definida para k = 0, logo a equação não se comporta muito bem para tal valor.
Contudo, percebe-se que para o ponto (x, y) = (0, 1) a imagem é f(0, 1) = 0, assim, 0 faz parte da
imagem de f(x, y). Logo, a imagem de f(x, y) é: If = [−1, 1].
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(d) Esboce graficamente a interseção do gráfico de f com o plano x = 1.
Solução:
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Questão 4. Associe cada função ao esboço das suas superfícies de nível. Justifique sua escolha.
(a) f(x, y, z) = x+ 3y + 5z
Solução:
Fazendo (x, y, z) = k, tem-se que k = x + 3y + 5z. Assim, as superfícies de níveis dessa função são
planos, cujo vetor normal é ~n = (1, 3, 5). Logo, associa-se tal superfície de nível com a figura III.
(b) f(x, y, z) =
√
2− x2 − y2 − z2
Solução:
Fazendo f(x, y, z) = k → k =
√
2− x2 − y2 − z2 → x2+ y2+ z2 = (√2− k2)2. Logo, as superfícies
de nível dessa função são esferas com centro na origem e raio R = (
√
2− k2)2. Assim, associa-se tal
superfície de nível com a figura IV .
(c) f(x, y, z) = y2 + z2
Solução:
Fazendo f(x, y, z) = k → z2 + y2 = k → z2 + y2 = (√k)2. Logo, as superfícies de nível dessa função
são cilindros concêntricos ao eixo x, com raio R =
√
k. Assim, associa-se tal superfície de nível com a
figura I.
(d) f(x, y, z) = x2 − y2 − z2
Solução:
Fazendo f(x, y, z) = k, tem-se:
→ x
2
k
− y
2
k
− z
2
k
= 1→
(
x√
k
)2
−
(
y√
k
)2
−
(
z√
k
)2
= 1
Logo, as superfícies de nível representam um hiperbolóide elíptico. Logo, associa-se tal superfície de
nível com a figura II
I)
II)
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III)
IV )
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Questão 5. Seja f uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja (x0, y0) um ponto no domínio
de f .
(a) Defina a continuidade de f no ponto (x0, y0).
Solução:
De forma análoga à uma função de uma variável, tem-se que a função f é contínua em (x0, y0) ∈ Df
se forem satisfeitas as condições:
i) f(x0, y0) Existe.
ii) lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) Existe.
iii) lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0).
Dessa forma, para a função ser contínua em um determinado ponto (x0, y0) ∈ Df , tem-se: Por i)
a função deve estar definida no ponto (x0, y0). Por ii) a função deve possuir limite para quando
(x, y)→ (x0, y0) e, por iii), o limite deverá ser igual a função aplicada no ponto.
(b) Determine o conjunto de pontos de continuidade da função
f(x, y) =
xy
1 + ex−y
.
Solução:
Para uma função de duas variáveis, a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas resulta
em uma função contínua, logo:
Como xy é o produto de duas funções polinominais, logo, xy é contínua. Como 1+ ex−y é o quociente
de duas funções exponenciais (
ex
ey ) somadas com uma função polinomial, logo, 1 + e
x−y
é contínua.
Note que 1 + ex−y 6= 0 ∀ (x, y) ∈ R2. Assim, o conjunto D que descreve os pontos onde a função
f(x, y) é contínua, é: D = R2
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