Gabarito Lista semanal 4 Calculo 2

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CÁLCULO II
Prof. Juaci Picanço | Prof. Jerônimo Monteiro
Lista Semanal 4 - 13/04/2018
Questão 1. Considere a curva cuja equação equação vetorial é dada por:
r(t) = (2sen t)i+ (2 cos t)j + e−tk.
(a) Determine o domínio de r(t).
Solução:
O domínio I de uma curva é dado pela interseção dos domínios das funções coordenadas. Logo, se-
jam I1, I2...In os domínios das funções coordenadas de uma dada curva r(t), tem-se, I = I1∩I2∩...∩In
Como r(t) = (2sen t)i+ (2 cos t)j + e−tk, I1 = R, I2 = R, I3 = R, então, I = I1 ∩ I2 ∩ I3 = R
(b) Esboce o gráfico da curva.
Solução:
(c) Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
Solução:
1
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Questão 2. A trajetória de uma formiga ao longo do tempo t é descrita pela equação
r(t) = (4 + sen 20t)(cos t)i+ (4 + sen 20t)(sen t)j + (cos 20t)k.
Existe algum valor de t em que esta trajetória é interrompida? Justifique sua resposta.
Solução:
Para a trajetória ser interrompida, o vetor posição descrito pela curva não deve variar, ou seja, sua derivada
tem que ser nula em algum ponto t0, para que isso ocorra. Logo, verificando:
r′(t) = [(4+sen 20t)′(cos t)+(4+sen 20t)(cos t)′]i+[(4+sen 20t)′(sen t)+(4+sen 20t)(sen t)′]j+(cos 20t)′k.
r′(t) = [20(cos 20t)(cos t)+(4+sen 20t)(−sen t)]i+[20(cos 20t)(sen t)+(4+sen 20t)(cos t)]j−20(sen 20t)k.
Desse jeito, fazendo r′(t0) = (0, 0, 0), tem-se:
[20(cos 20t0)(cos t0) + (4 + sen 20t0)(−sen t0)] = 0
[20(cos 20t0)(sen t0) + (4 + sen 20t0)(cos t0)] = 0
−20(sen 20t0) = 0
Assim, como
(sen 20t0) = 0→ 20t0 = kpi → t0 = kpi
20
, k = 0, 1, 2...
Logo, para quando t0 é da forma t0 =
kpi
20 , t0 não é solução da equação [20(cos 20t0)(cos t0) +
(4 + sen 20t0)(−sen t0)] = 0 , pois o termo 20(cos 20t0)(cos t0) nunca será 0 para termos t0 da forma
apresentada. Assim, não existe nenhum t0 ∈ R tal que r′(t0) = (0, 0, 0). Logo, a trajetória da formiga
nunca é interrompida.
Outro modo de ver se a trajetória possui interrupções é verificar se a curva r(t) é contínua. Note que
as funções coordenadas de r(t) são compostas por funções trigonométricas do tipo seno e cosseno, e de
funções constantes, as quais são contínuas em R. Assim, como a soma, subtração e produto de funções
contínuas resulta em uma função contínua, tem-se que r(t) é uma função contínua. Logo, por ser contínua,
a trajetória descrita pela formiga não pode apresentar interruções, então, não existe nenhum valor de t ∈ R
para que a trajetória descrita pela formiga seja interrompida.
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Questão 3. Considere a curva r(t) e t =
1
4
:
r(t) =
(
3
2
t
)
i+ (t2)j + (e−t)k.
(a) Encontre r′(t).
Solução:
Para derivar a curva r(t) é preciso derivar cada uma de suas funções coordenadas, desse modo:
r′(t) =
(
3
2
t
)′
i+ (t2)′j + (e−t)′k. =
(
3
2
)
i+ (2t)j + (e−t)k.
(b) Encontre o vetor posição r(t) e o vetor tangente r′(t) para o valor de t dado.
Solução:
Para encontrar os vetores r(t) e r′(t), substitui-se o valor t =
1
4
, dado anteriormente, assim:
r
(
1
4
)
=
3
2
(
1
4
)
i+
(
1
4
)2
j + (e−
1
4 )k =
3
8
i+
1
16
j + e−
1
4k
Além disso, substitui-se o valor t =
1
4
na derivada da curva, assim:
r′
(
1
4
)
=
(
3
2
)
i+
(
2.
1
4
)
j + (e−
1
4 )k =
3
2
i+
1
2
j + e−
1
4k
(c) Determine o vetor tangente unitário para o valor de t dado.
Solução:
O vetor tangente vˆ, para o ponto dado, é definido como: vˆ = r
′(t)
||r′(t)|| , logo:
vˆ =
r′(t)
||r′(t)|| =
3
2 i+
1
2j − e−
1
4k√
(32)
2 + (12)
2 + (−e− 14 )2
=
3
2
√
5
2 + e
−1
2
i+
1
2
√
5
2 + e
−1
2
j − e
− 1
4√
5
2 + e
−1
2
k
(d) Esboce o gráfico da curva, exibindo o vetor tangente encontrado no item (b).
Solução:
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Questão 4. Seja r(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k uma curva no espaço, com a ≤ t ≤ b.
(a) Descreva um método para calcular o comprimento de arco de r(t) em [a, b].
Solução:
Seja r(t) = (x(t), y(t), z(t)) contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b). Seja P a partição de
tal intervalo, com P da forma: P = a = t0, t1...tn−1, tn = b. O comprimento dos n sub-intervalos é
∆i = ti− ti−1, i = 1, 2...n. Seja o vetor ~vi o vetor que liga o ponto (x(ti−1), y(ti−1), z(ti−1)) ao ponto
(x(ti), y(ti), z(ti)), logo: vi = (x(ti)− x(ti−1), y(ti)− (ti−1), z(ti)− (ti−1)). Assim, a norma de cada
vetor vi é igual ao comprimento da curva no sub-intervalo ∆i. Desse modo, o comprimento da curva
r(t),representado por S, é aproximadamente a soma das normais dos vetores vi, com i = 1, 2..n. Logo:
S '
n∑
i=1
||vi||
Contudo, tal método da um valor aproximado para o comprimento de arco. Para o cálculo exato, faz-se
a norma de vi tender a 0. Além disso, como a curva r(t) satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor
Médio, tem-se que existe um ci,di e ei que pertemcem à ∆i, tal que:
x(ti)− x(ti−1) = x′(ci)∆i ; y(ti)− y(ti−1) = y′(di)∆i ; z(ti)− z(ti−1) = z′(ei)∆i (1)
E como ||vi|| =
√
(x(ti)− x(ti−1))2 + (y(ti)− y(ti−1))2 + (z(ti)− z(ti−1))2. Substituindo o resul-
tado (1), fica:
S = lim
∆i→0
n∑
i=1
√
(x′(ci)∆i)2 + (y′(di)∆i)2 + (z′(ei)∆i)2 = lim
∆i→0
n∑
i=1
√
(x′(ci))2 + (y′(di))2 + (z′(ei))2∆i
Assim, intuitivamente, percebe-se a analogia de lim∆i→0
∑n
i=1 com a integral de Riemann (embora não
seja, necessariamente) e
√
(x′(ci))2 + (y′(di))2 + (z′(ei))2 com a norma da derivada de r(t). Logo, o
comprimento de curva de r(t) no intervalo [a, b] é:
S =
∫ b
a
||r′(t)||dt
(b) A partir do método descrito em (a), calcule o comprimento de arco da curva
Solução:
r(t) = (b cos t)i+ (bsen t)j + (
√
1− b2)k,
com 0 ≤ t ≤ 2pi.
Encontrando primeiramente a derivada da curva: r′(t) = (−b sen(t), b cos(t), 0). Logo, ||r′(t)|| =√
b2sen2(t) + b2cos2(t) = b, Assim, o comprimento de arco da curva r(t) no intervalo [0, 2pi] é:
S =
∫ 2pi
0
||r′(t)||dt =
∫ 2pi
0
b dt = 2pi b u.c.
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Questão 5. Nos itens a seguir, faça o que se pede.
(a) Responda: o que é uma função de duas variáveis?
Solução:
Seja f : A ⊂ R2 → B ⊂ R; (x, y) 7→ f(x, y). Uma função de duas variáveis é um conjunto de ternas
da forma (x, y, f(x, y)), cuja associação de cada par (x, y) com um f(x, y) é feita a partir de uma lei
de associação f , com a condição de que um (x, y) se associe a somente um f(x, y). Ou seja, de forma
prática, o conceito é análogo ao de uma função de uma varivável. Assim, x e y atuariam como variáveis
independentes e z = f(x, y) seria a variável dependende (pois depende de x e y).
Além disso, como o domínio é um subconjunto do R2 e a imagem um subconjunto do R, o gráfico de
f(x, y) é formado pelo conjunto de pontos da forma (x, y, f(x, y)), logo, está no R3.
(b) Descreva dois métodos para visualizar uma função de duas variáveis.
Solução:
Pode-se reconhecer uma função de duas variáveis, por uma tabela de dados. Assim, dada uma tabela
de dados, a condição para que tal tabela possa representar uma função é que a associação entre os
dados seja tal que cada elemento do domínio (das variáveis independentes) esteja associado a somente
um elemento da imagem (da variável dependente).
Exemplo: Seja a tabela de dados abaixo, que expressa a temperatura de uma sala de aula (em um dado
momento) em função da posição, de uma sala que possui dimensões de 4 metros de comprimento e 4
metros de largura e o condicionador de ar, que está em um dos cantos da sala, está no ponto (0, 0).
Posição(x,y) Temperatura (
◦
C)
(0,0) 16
(0,2) 18
(0,4) 19
(2,0) 18
(4,0) 19
(2,2) 19
(4,4) 20
Um modo bastante comum paraa visualização de uma função de duas variáveis é a partir de seu gráfico,
ou seja, dada uma função f(x, y), cujos valores de x e y pertencem ao conjunto D, o gráfico de f(x, y)
é o conjunto de pontos S = {(x, y, f(x, y));x, y ∈ D}. O gráfico da função é um modo geométrico
de visualizá-la.
Exemplo: Dada a função f(x, y) = x2 + y2, o conjunto de pontos que descreve o seu gráfico é:
Outro método para se visualizar a função é o método das curvas de nível. Mais precisamente, o método
das curvas de nível permite identificar o comportamento gráfico da função. O método baseia-se em
fazer "cortes"no gráfico de f(x, y) e projetá-los no plano xy. Ou seja, dada a função f(x, y), faz-se a
interseção de tal função com o plano z = k, o que implica dizer que se projeta no plano xy o conjunto de
pontos que satisfaz f(x, y) = k. Com tal método pode-se identificar se a superfície formada pelo gráfico
está ficando mais "inclinada"(se as curvas de nível estiverem mais próximas) ou mais "achatada"(se as
curvas de nível estiverem mais afastadas).
Exemplo: Seja f(x,y)=
√
x2 + y2. O seu gráfico é:
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Fazendo f(x, y) = k, para descrever as suas curvas de nível, tem-se:√
x2 + y2 = k → x2 + y2 = k2
Logo, são circunferências de centro C(0, 0) cujos raios são iguais a k. Segue a imagem das curvas de
nível referentes aos níveis, 1, 2 e 3.
(c) Dê um exemplo do quotidiano em que você identifica a presença de uma função de duas variáveis.
Faça uma breve explicação informando as variáveis envolvidas e o possível comportamento da função
envolvida.
Solução:
Dado que uma determinada pessoa foi ao mercado fazer compras e que o preço do kilo do arroz é R$ 3, 00
e o preço do kilo do feijão é R$ 4, 00, tem-se que o quanto de dinheiro que ela irá gastar é dado pela
função gasto, que depende da quantidade comprada de arroz e de feijão ( os quais eu irei representar
por x e y, respectivamente). Desse modo, a função gasto, G(x, y), é dada por: G(x, y) = 3x + 4y.
Logo, a quantidade comprada de arroz (x) e a comprada de feijão (y), são as variáveis independentes
(desconsiderando as mudanças de preços ocasionadas por fatores externos) e a variável z = G(x, y) é
a variável dependente. Note que G(x, y) é uma função crescente, ou seja, conforme compra-se uma
maior quantidade de arroz e/ou feijão, o gasto aumenta, e caso se compre uma quantidade menor de
arroz e/ou feijão, o gasto diminui.
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