AP3 2017.1 Gabarito

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AP3 – 2017-1 Gabarito Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Avaliação Presencial 3 
 GABARITO 
Pré-Cálculo 
 
Nas questões (1), (2) e (3) considere as funções 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 + 3 e 𝑔(𝑥) = √ 
𝑝(𝑥)
 2−|𝑥| 
 
Questão 1: [1,0 pt] 
Fatore em ℝ o polinômio 𝑝(𝑥). Justifique todas as suas contas 
Para isso escreva 𝑝(𝑥) como produto de fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos 
irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). 
RESOLUÇÃO: 
Seja 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 + 3. Vamos buscar inicialmente as possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) , que estão 
entre os divisores do termo independente 3 . As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são: ±1 , ±3 . 
Testando as possíveis raízes: 
𝑝(−1) = −2(−1)3 + 3(−1)2 − 4(−1) + 3 = 2 + 3 + 4 + 3 = 12 ≠ 0 , logo 𝑥 = −1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(1) = −2(1)3 + 3(1)2 − 4(1) + 3 = −2 + 3 − 4 + 3 = 0 , logo 𝑥 = 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 1. Usando Briot-Ruffini: 
Portanto, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(−2𝑥2 + 𝑥 − 3). 
Buscando as raízes do trinômio de 2º grau 𝑞(𝑥) = −2𝑥2 + 𝑥 − 3 : 
O discriminante ∆ = (1)2 − 4. (−2). (−3) = −23 < 0 , logo 𝑞(𝑥) = −2𝑥2 + 𝑥 − 3 é irredutível, não possui 
raízes reais. 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: , 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(−2𝑥2 + 𝑥 − 3). 
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Questão 2: [1,4 pt] 
Encontre o domínio da função 𝑦 = 𝑔(𝑥). Responda o domínio na forma de união de pontos ou na 
forma de união de intervalos disjuntos. 
Lembre-se de usar a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 + 3 que você encontrou na 
Questão 1. 
RESOLUÇÃO: 
Para calcular o domínio de 𝑔(𝑥) = √ 
𝑝(𝑥)
 2−|𝑥| 
 = √ 
(𝑥−1)(−2𝑥2+𝑥−3)
 2−|𝑥| 
 é preciso que o radicando 
 
(𝑥−1)(−2𝑥2+𝑥−3)
 2−|𝑥| 
 seja positivo ou nulo e o denominador 2 − |𝑥| não se anule. 
O denominador 2 − |𝑥| = 0 ⟺ |𝑥| = 2 ⟺ 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 2 . 
Logo, temos que ter 𝑥 ≠ −2 𝑒 𝑥 ≠ 2 . 
 
 −2 3 −4 +3 
1 −2 −2 + 3 = 1 1 − 4 = −3 −3 + 3 = 0 
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Vamos fazer uma tabela de sinais para estudar o sinal do radicando 
(𝑥−1)(−2𝑥2+𝑥−3)
 2−|𝑥| 
 . 
Justificativas da construção da tabela: 
▪ 𝑥 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 > 1 , 𝑥 − 1 < 0 ⟺ 𝑥 < 1 ; 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 
▪ −2𝑥2 + 𝑥 − 3 < 0 para 𝑥 ∈ ℝ , pois o discriminante ∆ = (1)2 − 4. (−2). (−3) = −23 < 0 e o 
coeficiente do termo 𝑥2 é negativo. 
▪ 2 − |𝑥| > 0 ⟺ 2 > |𝑥| ⟺ |𝑥| < 2 ⟺ −2 < 𝑥 < 2 
 2 − |𝑥| < 0 ⟺ 𝑥 < −2 ou 𝑥 > 2 
Tabela de sinais: 
 (−∞,−2) −2 (−2, 1) 1 (1 , 2) 2 (2, +∞) 
𝑥 − 1 − − − − − − − 0 ++ + + + ++ + + 
−2𝑥2 + 𝑥 − 3 − − − − − − − − −− − − − − − − − 
2 − |𝑥| − − − 0 + + + + ++ + + 0 − − − − 
(𝑥 − 1)(−2𝑥2 + 𝑥 − 3)
 2 − |𝑥| 
 − − − 𝑛𝑑 + + + 0 − − − 𝑛𝑑 ++ + + 
 
Assim, o radicando 
(𝑥−1)(−2𝑥2+𝑥−3)
 2−|𝑥| 
 ≥ 0 ⟺ −2 < 𝑥 ≤ 1 ou 𝑥 > 2 . 
Portanto, 
 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −2 < 𝑥 ≤ 1 ou 𝑥 > 2 } = (−2 , 1] ∪ (2 , +∞) . 
__________________________________________________________________________________________ 
Questão 3 [0,6 pt] 
Determine os intervalos do domínio de 𝑔(𝑥) em que 𝑔(𝑥) ≥ 0. Justifique sua resposta! 
RESOLUÇÃO: 
Temos que: 
✓ 𝑔(𝑥) = √ 
𝑝(𝑥)
 2−|𝑥| 
 = 0 ⟺ 
𝑝(𝑥)
 2−|𝑥| 
 = 0 ⟺ 𝑝(𝑥) = 0 𝑒 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ⟺ 𝑥 = 1. 
✓ Como 𝑔(𝑥) = √ 
𝑝(𝑥)
 2−|𝑥| 
 , então 𝑔(𝑥) > 0 , ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 𝑒 𝑔(𝑥) ≠ 0 . 
Portanto, 𝑔(𝑥) ≥ 0 ⟺ {𝑥 ∈ ℝ ∶ −2 < 𝑥 ≤ 1 ou 𝑥 > 2 } 
 
 
 
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Nas questões (4) e (5) considere 𝐹(𝜃) = tan(𝜃) + sec2(𝜃) 
Questão 4: [0,6 pt] 
Determine o domínio da função 𝐹(𝜃) = tan(𝜃) + sec2(𝜃). 
RESOLUÇÃO: 
Como tan(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 e sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
 , a restrição do domínio é: cos(𝜃) ≠ 0. 
cos(𝜃) ≠ 0 ⟺ 𝜃 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . 
Portanto, 𝑑𝑜𝑚 (𝐹) = {𝜃 ∈ ℝ; 𝜃 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
__________________________________________________________________________________________ 
Questão 5: [1,4 pt] 
Mostre que 1 + tan2(𝜃) = sec2(𝜃) . Use essa identidade trigonométrica e determine os valores de 𝜃 
sabendo que 𝐹(𝜃) = 1 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 
RESOLUÇÃO 
• Mostrando que 1 + tan2(𝜃) = sec2(𝜃). 
Por definição tan(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 , logo, tan2(𝜃) =
sen2(𝜃)
cos2(𝜃)
 . Lembramos também que pela identidade 
trigonométrica fundamental, sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 . Logo, temos: 
1 + tan2(𝜃) = 1 +
sen2(𝜃)
cos2(𝜃)
 = 
cos2(𝜃) + sen2(𝜃)
cos2(𝜃)
 = 
1
cos2(𝜃)
 = sec2(𝜃) 
• Resolvendo 𝐹(𝜃) = 1 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
tan(𝜃) + sec2(𝜃) = 1 ⟺ tan(𝜃) + 1 + tan2(𝜃) = 1 ⟺ tan(𝜃)+tan2(𝜃) = 0 
⟺ tan(𝜃) (1 + tan(𝜃)) = 0 ⟺ tan(𝜃) = 0 𝑜𝑢 1 + tan(𝜃) = 0 . 
Resolvendo cada equação, 
• tan(𝜃) = 0 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ⟺ 𝜃 = 0 𝑜𝑢 𝜃 = 𝜋 𝑜𝑢 𝜃 = 2𝜋. 
• 1 + tan(𝜃) = 0 ⟺ tan(𝜃) = −1 . 
tan(𝜃) = −1 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ⟺ 𝜃 = 𝜋 −
𝜋
4
=
3𝜋
4
 𝑜𝑢 𝜃 = 2𝜋 −
𝜋
4
=
7𝜋
4
 
Solução: {0 ,
3𝜋
4
 , 𝜋 ,
7𝜋
4
 , 2𝜋}. 
 
Questão 6: [1,0 pt] 
Considere a função ℎ(𝑥) = ln (−2 + √𝑥2 − 1 
3
). 
Calcule o domínio da função ℎ . Justifique a resolução.. Dê a resposta na forma de intervalo ou de união de 
intervalos disjuntos. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
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Determinando o domínio de ℎ(𝑥) = ln (−2 + √𝑥2 − 1 
3
). 
Como a raiz cúbica está definida para todos reais, então a única restrição é −2 + √𝑥2 − 1 
3
 > 0 , pois ln só 
está definido para valores positivos. 
Assim, 
−2 + √𝑥2 − 1 
3
 > 0 ⟺ √𝑥2 − 1 
3
> 2 
 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 
𝑐𝑢𝑏𝑜
 
⇔ ( √𝑥2 − 1 
3
)
3
> 23 ⟺ 𝑥2 − 1 > 8 
 ⟺ 𝑥2 − 9 > 0 ⟺ 𝑥 > 3 𝑜𝑢 𝑥 < −3 
Assim, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ( −∞ , −3) ∪ (−3 , +∞). 
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Questão 7: [1,0 pt] 
Resolva a equação ln(−2 + √𝑥2 − 1 
3
) = 0 . Justifique a resolução. 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo ln(−2 + √𝑥2 − 1 
3
) = 0 . 
ln (−2 + √𝑥2 − 1 
3
) = 0 ⟺ −2 + √𝑥2 − 1 
3
= 1 ⟺ √𝑥2 − 1 
3
= 3 
𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜
𝑑𝑒 
𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎
⇔ 
 𝑥2 − 1 = 33 = 27 ⟺ 𝑥2 = 28 ⟹ 𝑥 = −√28 = −2√7 ou 𝑥 = √28 = 2√7 
Portanto, o conjunto solução é 𝑆 = { −2√7 , 2√7 }. 
 
Questão 8: [1,1 pt] 
Para a função quadrática 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 8, se possível, calcule as coordenadas dos pontos de interseção 
com os eixos coordenados e calcule as coordenadas do seu vértice. Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), indique no 
gráfico os pontos citados acima. 
RESOLUÇÃO: 
Interseção com eixo 𝒚: 𝑦 = 𝑓(0) = −0 − 0 + 8 = 8. 
Logo, o gráfico corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = 8. 
Interseção com eixo 𝒙: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 8 = 0 . Resolvendo, 
−𝑥2 − 2𝑥 + 8 = 0 ⟺ 𝑥 =
2±√(−2)2−4(−1)(8)
2(−1)
=
2±√4+32
−2
=
2±6
−2
 ⟺ 𝑥 =
8
−2
= −4 𝑜𝑢 𝑥 =
−4
−2
= 2. 
Logo, o gráfico corta o eixo 𝑥 em 𝑥 = −4 ou𝑥 = 2. 
Determinando as coordenadas do vértice 𝑉 = (𝑥𝑉 , 𝑦𝑉). 
𝑥𝑉 é o ponto médio das interseções com o eixo 𝑥, logo, 
𝑥𝑉 =
−4+2
2
=
−2
2
= −1. 
𝑦𝑉 = 𝐹(𝑥𝑉) = 𝐹(−1) = −(−1)
2 − 2(−1) + 8 = −1 + 2 + 8 = 9. 
Logo, vértice: 𝑉 = (−1, 9). O gráfico de 𝑓 está esboçado ao lado. 
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Questão 9: [1,1 pt] 
Para a função 𝑔(𝑥) = 8 − √𝑥, se possível, calcule as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos 
coordenados. Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥), indique no gráfico o ponto onde o gráfico corta ou toca o eixo 𝑦. 
Justifique a construção do gráfico através de transformações a partir do gráfico da função 𝑦 = √𝑥. 
RESOLUÇÃO: 
Interseção com eixo 𝒚: 𝑦 = 𝑔(0) = 8 − √0 = 8. 
Logo, o gráfico corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = 8. 
Interseção com eixo 𝒙: 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 8 − √𝑥 = 0 . Resolvendo, 
8 − √𝑥 = 0 ⟺ √𝑥 = 8 ⟺ 𝑥 = 64. 
Logo, o gráfico corta o eixo 𝑥 em 𝑥 = 64. 
O gráfico de 𝑔 pode ser obtido pela sequência de transformações sobre os gráficos auxiliares: 
 
 
 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
 
 
 
 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
8 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
 
 
 
 
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Questão 10: [0,8 pt] 
Considere a função ℎ(𝑥) = {
−𝑥2 − 2𝑥 + 8, − 5 ≤ 𝑥 < 0
8 − √𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 9
 
Para a função 𝑦 = ℎ(𝑥), dê o domínio e esboce o seu gráfico. Para justificar a construção do gráfico, use parte 
do gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) da questão 8 e parte do gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) da questão 9. Observe o 
gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) e dê a imagem da função ℎ. 
RESOLUÇÃO: 
O gráfico da função ℎ coincide com o gráfico da função 𝑓 
na parte do gráfico em que −5 ≤ 𝑥 < 0. 
O gráfico da função ℎ coincide com o gráfico da função 𝑔 
na parte do gráfico em que 0≤ 𝑥 ≤ 9. 
Calculando os valores de ℎ(𝑥) nos extremos dos 
intervalos [−5,0) e [0, 9]: 
ℎ(−5) = −(−5)2 − 2(−5) + 8 = −25 + 10 + 8 = −7. 
ℎ(0) = 8 − √0 = 8. 
ℎ(9) = 8 − √9 = 8 − 3 = 5. 
Vale lembrar que 𝑓(0) = 8 𝑒 𝑔(0) = 8 . 
Observando o gráfico da função ℎ, fazemos a projeção do 
seu gráfico no eixo 𝑦 para obter a imagem de ℎ, portanto, 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 (ℎ) = [−7, 9].