Livro MATEMÁTICA PARA ECONOMISTA II

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MATEMÁTICA 
PARA 
ECONOMISTA II
Professor Dr. Doherty Andrade
Revisora Técnica Me. Taís Saito
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; ANDRADE, Doherty. 
 
 Matemática para Economista II. Doherty Andrade.
 Reimpressão 
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2018. 
 257 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Cálculo. 2. Diferencial. 3. Integral. 4. EaD. I. Título.
ISBN: 978-85-459-0715-2
CDD - 22 ed. 515.5
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
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Iconografia
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Projeto Gráfico
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José Jhonny Coelho
Arte Capa
Arthur Cantareli Silva
Editoração
Matheus Felipe Davi
Revisão Textual
Yara Martins Dias
Daniela Ferreira dos Santos
Ilustração
Marta Sayuri Kakitani
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. 
Ou seja, acesse regularmente o Studeo, que é o seu 
Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns 
e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das dis-
cussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe 
de professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
A
U
TO
R
Professor Dr. Doherty Andrade
Pós-doutorado pelo Laboratório Nacional de Computação Científica 
(LNCC/1998). Doutorado em Matemática pela Universidade de São Paulo 
(USP/1994). Mestrado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica 
do Rio de Janeiro (PUC-Rio/1984). Licenciatura em Matemática pela 
Universidade Federal do Espírito Santo (UFES/1980). É professor aposentado 
da Universidade Estadual de Maringá (UEM).
APRESENTAÇÃO
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTA IIAPRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo(a) à segunda disciplina de Cálculo. Neste texto, vamos estender
os conceitos e resultados apresentados na disciplina Cálculo I para funções de
várias variáveis. Essa extensão cria algumas dificuldades que vamos superá-las
com exemplos, interpretações físicas e geométricas. Não é o objetivo deste livro
apresentar as demonstrações de todos os resultados estudados aqui, em muitos
casos, procuraremos dar boas justificativas para eles.
Os exemplos e exercícios propostos estão distribuídos ao longo das unidades e
fazem parte do plano de estudos. Ao final de cada unidade, apresentamos uma
lista de atividades e suas respostas.
Muitos dos resultados abordados aqui podem ser estendidos para o espaço geral
R
n, mas nos limitaremos a enunciá-los e utilizá-los nos espaços R2 e R3.
Na unidade I, estudaremos um pouco sobre curvas parametrizadas, funções reais
de variáveis reais e os três sistemas de coordenadas: polares, cilíndricas e es-
féricas. Para função de duas e três variáveis, vamos aprender a determinar seu
domínio e a esboçar as curvas de nível e quando possível, o seu gráfico. As curvas
de nível ajudam na tarefa de visualizar o gráfico e o comportamento da função.
Na Unidade II, apresentaremos as noções de limites e continuidade de funções
reais de duas e três variáveis reais. Veremos a definição de limite e apresentamos
as suas principais propriedades. Mostraremos, também, uma breve introdução aos
conceitos topológicos do plano e do espaço, tais como ponto interior, ponto de
i
acumulação e fronteira de um conjunto; conjuntos abertos e conjuntos fechados. 
No estudo das funções contínuas, apresentaremos o conceito e suas principais 
propriedades, bem como o teorema de Weierstrass, que garante
a existência de, ao 
menos, um ponto de máximo e de um ponto de mínimo para funções contínuas e 
definidas sobre conjuntos limitados e fechados do R2 ou R3.
A terceira unidade é dedicada à noção de derivada parcial e suas aplicações. Apre-
sentaremos nesta unidade, a definição de derivada parcial, introduziremos as nota-
ções mais usuais, as propriedades da derivação que são as mesmas, basicamente, 
do Cálculo I. Conheceremnos a regra da cadeia, que nos mostra como derivar 
funções compostas, a noção de derivada direcional e o vetor gradiente. Estudare-
mos a determinação de planos tangentes ao gráfico de superfícies e de máximos e 
mínimos para funções reais de duas ou três variáveis. Também estudaremos a 
técnica dos multiplicadores de Lagrange que trata da determinação de máximos e 
mínimos de funções com restrições impostas aos pontos do domínio.
Na unidade IV, trataremos do cálculo das integrais múltiplas. Por causa do te-
orema de Fubini, veremos que tudo se resume ao cálculo de integrais simples. 
Iniciaremos com a integral dupla, apresentaremos suas principais propriedades e 
alguns exemplos. Nesta unidade, aprenderemos a fazer mudança de variáveis em 
integrais duplas. Como aplicação, vamos aprender utilizar a integral dupla para 
calcular áreas e volumes de regiões bem gerais do plano e do espaço. Em se-
guida, estudaremos as integrais triplas: mudança de variáveis em integrais triplas, 
aplicações ao cálculo de volumes de regiões bem gerais do plano e do espaço. Na 
unidade V, estudaremos um pouco de cálculo vetorial. Veremos um pouco de 
campos vetoriais e apresentaremos três importantes teoremas: o Teorema de 
Green, o Teorema da divergência de Gauss e o Teorema de Stokes. Aprenderemos 
a integrar ao longo de uma curva e a integrar sobre uma superfície. Esses teoemas 
são generalizações do teorema fundamental do Cálculo. Considero que essa é a
ii
acumulação e fronteira de um conjunto; conjuntos abertos e conjuntos fechados.
No estudo das funções contínuas, apresentaremos o conceito e suas principais
propriedades, bem como o teorema de Weierstrass, que garante a existência de, ao
menos, um ponto de máximo e de um ponto de mínimo para funções contínuas e
definidas sobre conjuntos limitados e fechados do R2 ou R3.
A terceira unidade é dedicada à noção de derivada parcial e suas aplicações. Apre-
sentaremos nesta unidade, a definição de derivada parcial, introduziremos as nota-
ções mais usuais, as propriedades da derivação que são as mesmas, basicamente,
do Cálculo I. Conheceremnos a regra da cadeia, que nos mostra como derivar
funções compostas, a noção de derivada direcional e o vetor gradiente. Estudare-
mos a determinação de planos tangentes ao gráfico de superfícies e de máximos
e mínimos para funções reais de duas ou três variáveis. Também estudaremos a
técnica dos multiplicadores de Lagrange que trata da determinação de máximos e
mínimos de funções com restrições impostas aos pontos do domínio.
Na unidade IV, trataremos do cálculo das integrais múltiplas. Por causa do te-
orema de Fubini, veremos que tudo se resume ao cálculo de integrais simples.
Iniciaremos com a integral dupla, apresentaremos suas principais propriedades e
alguns exemplos. Nesta unidade, aprenderemos a fazer mudança de variáveis em
integrais duplas. Como aplicação, vamos aprender utilizar a integral dupla para
calcular áreas e volumes de regiões bem gerais do plano e do espaço. Em se-
guida, estudaremos as integrais tiplas: mudança de variáveis em integrais triplas,
aplicações ao cálculo de volumes de regiões bem gerais do espaço.
Na unidade V, estudaremos um pouco de cálculo vetorial. Veremos um pouco
de campos vetoriais e apresentaremos três importantes teoremas: o Teorema de
Green, o Teorema da divergência de Gauss e o Teorema de Stokes. Aprenderemos
a integrar ao longo de uma curva e a integrar sobre uma superfície. Esses teoemas
são generalizações do teorema fundamental do Cálculo. Considero que essa é a
ii
parte mais elegante do Cálculo.
Sugerimos fortemente que adote um sistema de computação algébrica para exer-
citar o que foi apresentado nesta disciplina e aproveitar o máximo do que a tecno-
logia pode oferecer e contribuir no seu aprendizado.
Tivemos a preocupação constante de tornar este texto bem compreensível e espe-
ramos facilitar e contribuir para a sua aprendizagem. Bons estudos!
1
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
15 Introdução
16 Vetores 
19 Curvas Parametrizadas 
29 Funções Reais de Variáveis Reais 
37 Sistemas Especiais de Coordenadas 
46 Considerações Finais 
52 Referências 
53 Gabarito 
UNIDADE II
LIMITES E CONTINUIDADE
61 Introdução
62 Conceitos Básicos 
65 Limites e Continuidade 
75 Considerações Finais 
79 Referências 
80 Gabarito 
SUMÁRIO
10
UNIDADE III
DERIVADAS PARCIAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS
85 Introdução
85 Derivadas Parciais 
96 Regra da Cadeia 
102 Máximos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis Reais 
111 Derivadas Direcionais 
119 Multiplicadores de Lagrange 
123 Considerações Finais 
127 Referências 
128 Gabarito 
UNIDADE IV
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
135 Introdução
136 Integrais Duplas 
178 Integrais Triplas 
199 Considerações Finais 
206 Referências 
207 Gabarito 
SUMÁRIO
11
UNIDADE V
CÁLCULO VETORIAL
211 Introdução 
212 Campos Vetoriais 
217 Integrais de Linha 
231 Teorema de Green 
234 Integrais de Superfícies 
241 Teorema de Stokes 
245 Teorema da Divergência de Gauss 
250 Considerações Finais 
254 Referências 
255 Gabarito 
 
256 CONCLUSÃO
U
N
ID
A
D
E I
Professor Dr. Doherty Andrade
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
VARIÁVEIS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Introduzir o conceito de curvas parameterizadas, funções reais de 
várias variáveis reais, domínio, gráfico e curvas de nível.
 ■ Introduzir os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Vetores
 ■ Curvas Parametrizadas
 ■ Funções Reais de Variáveis Reais
 ■ Sistemas Especiais de Coordenadas
INTRODUÇÃO 
Esta unidade é, principalmente, dedicada ao estudo dos elementos básicos para 
as funções reais, funções vetoriais de várias variáveis reais e questões de con­
tinuidade, diferenciabilidade e integrabilidade dessas funções que são assuntos 
típicos do Cálculo Diferencial e Integral. 
Como vamos trabalhar no plano e no espaço, precisaremos de vetores e operações 
com vetores, tais como produto interno, produto vetorial, produto misto, norma de 
vetores, distância entre pontos, retas e planos. Faremos, aqui, uma breve revisão 
desses assuntos, mas você terá a oportunidade de pôr em prática o que estudou na 
disciplina de Geometria Analítica. 
Muitas curvas e superfícies que encontraremos nesta unidade já são conhecidas 
de cursos de Geometria Analítica e de Cálculo, tais como circunferência, elipse, 
parábola, esfera, cilindro, elipsoide e paraboloide. Uma revisão desse conteúdo o 
ajudará no reconhecimento e na visualização de regiões com as quais trabalhare­
mos. Há uma pequena revisão sobre cônicas e superfícies quádricas na Leitura 
Complementar. 
Vamos aprender a parametrizar curvas e a determinar o seu comprimento e sua cur­
vatura. Apresentaremos o sistema de coordenadas polares, cilíndricas e o sistema 
de coordenadas esféricas que são formas alternativas de representação de pontos 
do plano e do espaço. 
Como o nome diz, coordenadas polares são recomendadas para representar curvas 
circulares, coordenadas cilíndricas que são mais indicadas para representar 
objetos cilíndricos
e as coordenadas esféricas, para representar objetos esféricos. 
Essas coordenadas serão muito úteis na resolução de integrais múltiplas. 
Vamos, então, dar início ao nosso plano de estudo. 
3 
Introdução
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15
INTRODUÇÃO 
Esta unidade é, principalmente, dedicada ao estudo dos elementos básicos para 
as funções reais, funções vetoriais de várias variáveis reais e questões de con­
tinuidade, diferenciabilidade e integrabilidade dessas funções que são assuntos 
típicos do Cálculo Diferencial e Integral. 
Como vamos trabalhar no plano e no espaço, precisaremos de vetores e operações 
com vetores, tais como produto interno, produto vetorial, produto misto, norma de 
vetores, distância entre pontos, retas e planos. Faremos, aqui, uma breve revisão 
desses assuntos, mas você terá a oportunidade de pôr em prática o que estudou na 
disciplina de Geometria Analítica. 
Muitas curvas e superfícies que encontraremos nesta unidade já são conhecidas 
de cursos de Geometria Analítica e de Cálculo, tais como circunferência, elipse, 
parábola, esfera, cilindro, elipsoide e paraboloide. Uma revisão desse conteúdo o 
ajudará no reconhecimento e na visualização de regiões com as quais trabalhare­
mos. Há uma pequena revisão sobre cônicas e superfícies quádricas na Leitura 
Complementar. 
Vamos aprender a parametrizar curvas e a determinar o seu comprimento e sua cur­
vatura. Apresentaremos o sistema de coordenadas polares, cilíndricas e o sistema 
de coordenadas esféricas que são formas alternativas de representação de pontos 
do plano e do espaço. 
Como o nome diz, coordenadas polares são recomendadas para representar curvas 
circulares, coordenadas cilíndricas que são mais indicadas para representar 
objetos cilíndricos e as coordenadas esféricas, para representar objetos esféricos. 
Essas coordenadas serão muito úteis na resolução de integrais múltiplas. 
Vamos, então, dar início ao nosso plano de estudo. 
3 
INTRODUÇÃO
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E16
Teorema 2 (Desig. triangular). Se u1 v E IR.2 , ou IR.3 ou IR.n , então, vale a 
seguinte desigualdade: 
llu+vll S llull + llvll-
Você deve se lembrar que o produto interno entre dois vetores u = (x1 ,)'1 1 z1) e 
v = (x2 1 y2,z2) é também dado por: 
U • V = [ [ U [ [ [ [ V [ [ COS ( 8)' 
em que e é o ângulo entre os vetores u e v, medido em radianos, com O::; e ::; n. 
Dizemos que dois vetores u e v são ortogonais se u · v = O. Note que os vetores da 
base canônica do IR.3 , i = (1,0,0),j = (O, 1,0) e k = (0,0, 1) são ortogonais entre 
si e todos de norma igual a 1. Além disso, o vetor nulo é ortogonal a todos os 
vetores. 
O produto vetorial entre u = (x1 SI ,Zl) e v = (x2,Y2, z2) é dado pelo determinante 
abaixo, observando as coordenadas i, j, k,
.l k
UXV= XI Yl Zl 
x2 Y2 z2 
Lembramos que o vetor resultante deu x v é um vetor ortogonal simultaneamente 
a u e v. 
Além disso, o produto vetorial entre u = (x1,Y1 ,z1) e v = (x2,Y2, z2) tem seu 
comprimento dado por: 
l[u x v[I = l[u[l l[v[I sen (8), 
em que 0 é o ângulo entre os vetores u e v é medido em radianos, com O ::; 0 ::; n. 
Se u e v são vetores não nulos e não paralelos, [lu x v[[ é a área de qualquer 
paralelogramo determinado por esses vetores. 
5 
1 V ETORES E CURVAS PARAMETRIZADAS 
A noção de vetor é uma ferramenta útil no estudo do cálculo diferencial e integral 
de funções de várias variáveis. Um vetor é um elemento de um espaço vetorial, 
aqui, os espaços vetoriais mais usados serão JR.2 e JR.3 .
Os vetores do JR.2 são representados por v = (x,y) e os vetores do JR.3 são repre­
sentados por v = (x,y,z). O produto interno ou produto escalar entre os vetores 
u = (x1,Y1,z1) e v = (x2,Y2,z2) é definido por: 
u · v = x1x2 + Y1Y2 + z1z2. 
O comprimento ou norma de um vetor v = (x,y,z) é definido por: 
Definição análoga para vetores do plano JR.2 , o comprimento ou norma de um vetor 
v = (x,y) é definido por: 
Teorema 1 (Cauchy-Schwartz). Se x, y E JR.2 , JR.3 são vetores, então: 
lx·yl � llxll · IIYII-
A demonstração é bem instrutiva e vamos apresentá-la. Seja t E JR., então: 
Logo, a equação quadrática tem no máximo uma raiz real e, portanto, 
de onde obtemos a desigualdade desejada. 
A seguinte desigualdade, conhecida como desigualdade triangular, será utilizada 
muitas vezes nesse texto. 
4 
VETORES
Vetores
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Teorema 2 (Desig. triangular). Se u1 v E IR.2 , ou IR.3 ou IR.n , então, vale a 
seguinte desigualdade: 
llu+vll S llull + llvll-
Você deve se lembrar que o produto interno entre dois vetores u = (x1 ,)'1 1 z1) e 
v = (x2 1 y2,z2) é também dado por: 
U • V = [ [ U [ [ [ [ V [ [ COS ( 8)' 
em que e é o ângulo entre os vetores u e v, medido em radianos, com O::; e ::; n. 
Dizemos que dois vetores u e v são ortogonais se u · v = O. Note que os vetores da 
base canônica do IR.3 , i = (1,0,0),j = (O, 1,0) e k = (0,0, 1) são ortogonais entre 
si e todos de norma igual a 1. Além disso, o vetor nulo é ortogonal a todos os 
vetores. 
O produto vetorial entre u = (x1 SI ,Zl) e v = (x2,Y2, z2) é dado pelo determinante 
abaixo, observando as coordenadas i, j, k,
.l k
UXV= XI Yl Zl 
x2 Y2 z2 
Lembramos que o vetor resultante deu x v é um vetor ortogonal simultaneamente 
a u e v. 
Além disso, o produto vetorial entre u = (x1,Y1 ,z1) e v = (x2,Y2, z2) tem seu 
comprimento dado por: 
l[u x v[I = l[u[l l[v[I sen (8), 
em que 0 é o ângulo entre os vetores u e v é medido em radianos, com O ::; 0 ::; n. 
Se u e v são vetores não nulos e não paralelos, [lu x v[[ é a área de qualquer 
paralelogramo determinado por esses vetores. 
5 
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E18
1.1 CURVAS PARAMETRIZADAS 
Suponha que urna partícula, representada por urn ponto, movimenta-se no espaço. 
Suas coordenadas x, y e z variam corn o tempo t. Os matemáticos pensam no 
movimento como uma função r que a cada instante t de um intervalo I e lR associa 
uma terna (x(t), y(t); z(t)) E JR.3.
Note que a função r(t) é também pensada como um vetor, e podemos representá-la 
por: 
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
ou simplesmente por: 
r(t) = (x(t),y(t);z(t)). 
As funções do tipo r são chamadas de funções vetoriais de variável real. As 
funções x(t), y( t) e z(t) são chamadas de funções componentes. 
A extensão da noção de funções vetoriais de variável real para o espaço JR.n é 
imediata. 
Definimos o limite da função r quando t tende a to, t -+ to, tomando simplesmente 
o limite das funções componentes:
limr(t) = lirnx(t)i+ limy(t)J+ limz(t)k. 
t----J,to t----J,to t----J,to t----J,to 
Ou equivalentemente: 
limr(t) = (limx(t). limy(t). limz(t)). 
/�to f----J,lo f�to f----J,to 
Isso nos permite definir continuidade de r em to. Dizemos que r é contínua em 
to se existe r(to) e se: 
lim r(t) = r(to). 
f----J,to 
É claro que dizer que r é contínua em to equivale dizer que as funções compo­
nentes são contínuas ern to. 
7 
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Figura 1: Area do paralelogramo determinado por esses vetores 
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Fonte: o autor. 
Outro resultado que iremos usar neste texto e que o volume de qualquer para­
lelepf
pedo determinado pelos vetores u, v e w, nao nulos e nao paralelos a um 
mesmo plano, e dado pelo valor absoluto de w · ( u x v), isto e, o volume do para­
lelepf pedo determinado pelos vetores u, v e w e dado por: 
V=lw·(uxv)I. 
Figura 2: volume do paralelepf pedo 
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Fonte: o autor. 
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Outro resultado que iremos usar neste texto e que o volume de qualquer para­
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mesmo plano, e dado pelo valor absoluto de w · ( u x v), isto e, o volume do para­
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Outro resultado que iremos usar neste texto e que o volume de qualquer para­
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mesmo plano, e dado pelo valor absoluto de w · ( u x v), isto e, o volume do para­
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Outro resultado que iremos usar neste texto e que o volume de qualquer para­
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Curvas Parametrizadas
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1.1 CURVAS PARAMETRIZADAS 
Suponha que urna partícula, representada por urn ponto, movimenta-se no espaço. 
Suas coordenadas x, y e z variam corn o tempo t. Os matemáticos pensam no 
movimento como uma função r que a cada instante t de um intervalo I e lR associa 
uma terna (x(t), y(t); z(t)) E JR.3.
Note que a função r(t) é também pensada como um vetor, e podemos representá-la 
por: 
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
ou simplesmente por: 
r(t) = (x(t),y(t);z(t)). 
As funções do tipo r são chamadas de funções vetoriais de variável real. As 
funções x(t), y( t) e z(t) são chamadas de funções componentes. 
A extensão da noção de funções vetoriais de variável real para o espaço JR.n é 
imediata. 
Definimos o limite da função r quando t tende a to, t -+ to, tomando simplesmente 
o limite das funções componentes:
limr(t) = lirnx(t)i+ limy(t)J+ limz(t)k. 
t----J,to t----J,to t----J,to t----J,to 
Ou equivalentemente: 
limr(t) = (limx(t). limy(t). limz(t)). 
/�to f----J,lo f�to f----J,to 
Isso nos permite definir continuidade de r em to. Dizemos que r é contínua em 
to se existe r(to) e se: 
lim r(t) = r(to). 
f----J,to 
É claro que dizer que r é contínua em to equivale dizer que as funções compo­
nentes são contínuas ern to. 
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CURVAS PARAMETRIZADAS
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
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IU N I D A D E20
Também podemos definir a derivada der em to. Dizemos quer é derivável em to
se o seguinte limite existe:
Ou equivalentemente:
'( ) 1. 
r(to+h)-r(to) r to = 1m .
h--+0 h 
'( ) 1. 
r(to+h)-r(to)r to = 1m 
h h--+0 
_ (i· x(to+h)-x(to) 1. y(to+h)-x(to) 1. z(to+h)-z(to))- 1m , 1m , 1m ------
h--+0 h h--+0 h h--+0 h 
= (x' (to) ,y' (to), z' (to)).
Podemos usar as seguintes notações r'(to) ou :/(to) para denotar a derivada de
uma curva no ponto to.
Se r está definida em um intervalo aberto I = ( a, b) e sua derivada r' é uma função
contínua em I, dizemos quer é uma função de classe C1 . Quando o domínio der
não é aberto, dizer que ela é de classe C1 significa dizer ela admite uma extensão
definida em um intervalo aberto que é de classe C1 . 
Finalmente, podemos definir curva parametrizada.
Definição 1. Uma curva parametrizada é uma função r: I-+ ]Rn de classe c1 , em
que n = 2,3, ....
As curvas são úteis para descrever o movimento de uma partícula no espaço. O
traço da curva parametrizada r : I -+ ]Rn é a imagem da curva parametrizada, isto
é, é o conjunto r(I). O traço é também chamado de curva.
• Exemplo 1
(a) Parametrização de uma reta: uma reta fica completamente determinada
quando se conhece um de seus pontos e seu vetor diretor. Assim, se
A = (xo,Yo,zo) é um ponto e v = (a,b,c) é um vetor diretor da reta r, todo
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ponto P = (x,y,z) da reta deve satisfazer P -A= tv, para algum real t. Ou 
 (x,y,z)- (xo,Yo:zo) = t(a,b,c), 
para algum escalar real t. Segue q ue: 
(x-xo i Y-Yo,z-zo) = t(a,b,c).
Ou equivalentemente: 
x= xo +ta 
y = Yo+tb 
z = zo + ct, t E R 
Essas sao as conhecidas equa96es parametricas da reta. Logo, 
e uma parametriza9ao da reta. 
(b) Parametriza<;ao do grafico de uma fun<;ao f : JR ---+ JR: consideremos coma
exemplo a fun9ao f(x) = x3 ,x E [-1, l ]. Uma parametriza<;ao para a curva
dada pelo seu grafico e a(t) = (t, t3), em que t E [-1 1 I].
Figura 3: Tra<;odacurvaa(t) = ((t3 ) 
-0.5 0.5 
-0.5 
-1 
Fonte: o autor. 
9 
ponto P = (x,y,z) da reta deve satisfazer P -A= tv, para algum real t. Ou 
 (x,y,z)- (xo,Yo:zo) = t(a,b,c), 
para algum escalar real t. Segue q ue: 
(x-xo i Y-Yo,z-zo) = t(a,b,c).
Ou equivalentemente: 
x= xo +ta 
y = Yo+tb 
z = zo + ct, t E R 
Essas sao as conhecidas equa96es parametricas da reta. Logo, 
e uma parametriza9ao da reta. 
(b) Parametriza<;ao do grafico de uma fun<;ao f : JR ---+ JR: consideremos coma
exemplo a fun9ao f(x) = x3 ,x E [-1, l ]. Uma parametriza<;ao para a curva
dada pelo seu grafico e a(t) = (t, t3), em que t E [-1 1 I].
Figura 3: Tra<;odacurvaa(t) = ((t3 ) 
-0.5 0.5 
-0.5 
-1 
Fonte: o autor. 
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FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
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IU N I D A D E22
Em geral, uma parametrização para a curva dada pelo gráfico de uma função 
f: (a,b)--+ � de classe C1 é a(t) = (t,f(t)), onde t E (a,b).
(c) Parametrização da circunferência: a curva a(t) = (rcos(t),rsen (t)), com 
r > O e t E� tem como traço a circunferência com centro na origem e raio r.
Para ver isso, basta verificar que x(t) = rcos(t) e y(t) = r sen (t) satisfazem 
.x2 + y2 = -r2. Observamos que essa circunferência se enrola sobre si mesma 
infinitas vezes no sentido horário, o intervalo [O, 21t] é suficiente para uma 
volta completa. 
Note que a(t) = (xo + rcos(t),yo + rsen (t)), com r > O e t E� tem como 
(d)
traço a circunferência com centro no ponto (xo,Yo) e raio r.
A equação paramétrica da elipse. A curva c(0) = (acos(0),bsen (0)), 
0 E [O, 21t] e a, b > O é uma elipse. Para identificar a curva, observamos que 
como x = acos(0) e y = b sen (0), temos que: 
X 
- = cos(0),
a 
r = sen (0). 
Elevando cada uma das expressões ao quadrado e somando, obtemos: 
que é uma elipse. Agora, fica mais fácil esboçar essa curva. 
(e) A equação paramétrica da hélice circular de raio a > O é dada por:
r(t) = (acos(t),a sen (t),mt),t E �,m > O. 
Seu traço é apresentado a seguir é a curva que se enrola no cilindro de 
raio a> O.
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Figura 4: Parte do tra<;o da helice circular 
Fonte: o autor. 
(f) A espiral logarítmica e a curva dada por a(t) = (et cos(t),et sen (t)),t ER
Seu tra<;o e apresentado a seguir:
Figura 5: Tra<;o da espiral logarítmica
Fonte: o autor. 
Propriedades 1. Sejam a e � curvas parametrizadas definidas em um mesmo
intervalo I. Sejam A e µ numeros reais. Valem as seguintes propriedades:
d 
(a)
d/
11,a+µ�)(to) = 11,a'(to) +µW(to).
(b) :
t 
(a·�) (to) = �(to) · a' (to)+ a(to) · W (to).
d 
( c) 
dt 
(ax�) (to) = a' (to) x �(to)+ a(to) x W (to).
11 
Figura 4: Parte do tra<;o da helice circular 
Fonte: o autor. 
(f) A espiral logarítmica e a curva dada por a(t) = (et cos(t),et sen (t)),t ER
Seu tra<;o e apresentado a seguir:
Figura 5: Tra<;o da espiral logarítmica
Fonte: o autor. 
Propriedades 1. Sejam a e � curvas parametrizadas definidas em um mesmo
intervalo I. Sejam A e µ numeros reais. Valem as seguintes propriedades:
d 
(a)
d/
11,a+µ�)(to) = 11,a'(to) +µW(to).
(b) :
t 
(a·�) (to) = �(to) · a' (to)+ a(to) · W (to).
d 
( c) 
dt 
(ax�) (to) = a' (to) x �(to)+ a(to) x W (to).
11 
Figura 4: Parte do tra<;o da helice circular 
Fonte: o autor. 
(f) A espiral logarítmica e a curva dada por a(t) = (et cos(t),et sen (t)),t ER
Seu tra<;o e apresentado a seguir:
Figura 5: Tra<;o da espiral logarítmica
Fonte: o autor. 
Propriedades 1. Sejam a e � curvas parametrizadas definidas em um mesmo
intervalo I. Sejam A e µ numeros reais. Valem as seguintes propriedades:
d 
(a)
d/
11,a+µ�)(to) = 11,a'(to) +µW(to).
(b) :
t 
(a·�) (to) = �(to) · a' (to)+ a(to) · W (to).
d 
( c) 
dt 
(ax�) (to) = a' (to) x �(to)+ a(to) x W (to).
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IU N I D A D E24
Quando pensarnos em urna curva pararnetrizada r corno sendo o rnovirnento de 
uma partfcula, a sua derivada r1 e a velocidade vetorial. A trajet6ria da partfcula 
e o conjunto descrito pelas furn;oes componentes (x(t),y(t),z(t)). A velocidade 
vetorial e tangente a trajet6ria da particula. Para ver isso, observe que o vetor 
r(to + h) - r(to) tende a ficar tangente. A figura a seguir ilustra o processo de 
limite para o vetor velocidade. 
r(t0 + h) - r(r0J
h 
Figura 6: Vetor velocidade 
h tend· 1.ero 
Fonte: o autor. 
limit h-0 
Assim, velocidade e a derivada no tempo do vetor posic;ao. E acelerac;ao e derivada 
no tempo do vetor velocidade. 
• Exemplo 2
Uma partfcula se move ao longo da cubica y = x3 . Dete,mine a velocidade e 
a acelarac;ao vetoriais, determine a velocidade e a acelerac;ao escalar no instante 
t = 1. Observarnos que o vetor posic;ao da particula e dado por r(t) = (t 1 t3 ). 
Assirn, suas velocidade e acelarac;ao vetoriais sao, respectivarnente, 
Quando t = 1 , temos que: 
v(t) r'(t) = (1,3t2) 
a(t) v' (t) = (0, 6t). 
v(l) (1 1 3) 
a(l) (0 1 6). 
12 
r(t0 + h) - r(r0J
h h tend· 1.ero 
Fonte: o autor. 
limit h-0 
Assim, velocidade e a derivada no tempo do vetor posic;ao. E acelerac;ao e derivada 
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Já a velocidade escalar é: v = llv(l)II = v'lÕ, enquanto a aceleração escalar é 
a= lla(l)II = v36 = 6. 
1.2 Integração de curvas 
A integral de uma função real com valores vetoriais é definida por analogia ao 
caso de função real de uma variável real, isto é, se r(t) = (x(t),y(t),z(t)) é uma 
curva parametrizada, então, 
t r(t)dt � (t x(t)dt, t y(t)dt, t z(t)dt).
As condições para a integrabilidade dessas funções recaem sobre a integrabilidade 
de cada função componente. 
Mais adiante, vamos retomar as curvas integrando uma função ao longo de uma 
curva. 
1.3 Comprimento de Arco 
Dada uma curva parametrizada r(t) = (x(t),y(t),z(t)), o comprimento de arco 
entre os pontos r( a) e r( b) é por definição dado por: 
s = 1b lx'(t) 1 2 + ly'(t) 1 2 + lz'(t) 1 2dt. 
Como a velocidade escalar v(t) é dada por llvll, isto é, 
segue que: 
• Exemplo 3
v(t) = llv(t)II = lx'(t)l2 + ly'(t)l2 + lz'(t)l2
s = 1
b 
v(t)dt. 
13 
Já a velocidade escalar é: v = llv(l)II = v'lÕ, enquanto a aceleração escalar é 
a= lla(l)II = v36 = 6. 
1.2 Integração de curvas 
A integral de uma função real com valores vetoriais é definida por analogia ao 
caso de função real de uma variável real, isto é, se r(t) = (x(t),y(t),z(t)) é uma 
curva parametrizada, então, 
t r(t)dt � (t x(t)dt, t y(t)dt, t z(t)dt).
As condições para a integrabilidade dessas funções recaem sobre a integrabilidade 
de cada função componente. 
Mais adiante, vamos retomar as curvas integrando uma função ao longo de uma 
curva. 
1.3 Comprimento de Arco 
Dada uma curva parametrizada r(t) = (x(t),y(t),z(t)), o comprimento de arco 
entre os pontos r( a) e r( b) é por definição dado por: 
s = 1b lx'(t) 1 2 + ly'(t) 1 2 + lz'(t) 1 2dt. 
Como a velocidade escalar v(t) é dada por llvll, isto é, 
segue que: 
• Exemplo 3
v(t) = llv(t)II = lx'(t)l2 + ly'(t)l2 + lz'(t)l2
s = 1
b 
v(t)dt. 
13 
Já a velocidade escalar é: v = llv(l)II = v'lÕ, enquanto a aceleração escalar é 
a= lla(l)II = v36 = 6. 
1.2 Integração de curvas 
A integral de uma função real com valores vetoriais é definida por analogia ao 
caso de função real de uma variável real, isto é, se r(t) = (x(t),y(t),z(t)) é uma 
curva parametrizada, então, 
t r(t)dt � (t x(t)dt, t y(t)dt, t z(t)dt).
As condições para a integrabilidade dessas funções recaem sobre a integrabilidade 
de cada função componente. 
Mais adiante, vamos retomar as curvas integrando uma função ao longo de uma 
curva. 
1.3 Comprimento de Arco 
Dada uma curva parametrizada r(t) = (x(t),y(t),z(t)), o comprimento de arco 
entre os pontos r( a) e r( b) é por definição dado por: 
s = 1b lx'(t) 1 2 + ly'(t) 1 2 + lz'(t) 1 2dt. 
Como a velocidade escalar v(t) é dada por llvll, isto é, 
segue que: 
• Exemplo 3
v(t) = llv(t)II = lx'(t)l2 + ly'(t)l2 + lz'(t)l2
s = 1
b 
v(t)dt. 
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IU N I D A D E26
De onde segue que: 
ds 
= 5. 
dt 
s 
Integrando, supondo que s = O quando t = O, obtemos que s = 5t e, portanto, t = 5. 
Quando substituímos t por t(s) na expressão da curva, temos: 
x(s) = 4cos (í), y(s) = 4 sen (í), 3s z(s) = 5, 
a parametrização da curva pelo comprimento de arco. 
Seja C uma curva parametrizada por r(t), dizemos que a parametrização é suave
no intervalo I se r' for contínua e r' ( t) #- O no intervalo I. 
A curva C é dita suave se admite uma parametrização suave. Como o nome diz, 
as curvas suaves não têm bicos e seu traço é suave. 
Se C é uma curva suave com parametrização dada por r(t), definimos o vetor 
tangente unitário T(t) dado por: 
r'(t) T(t) = .
llr'(t)II
Esse vetor é tangente ao traço da curva em cada ponto e indica a direção dela. 
Define-se a curvatura de uma curva em um ponto
como sendo a medida de quão 
rapidamente a curva muda de direção nesse ponto. Essa medida é dada por: 
IIT'(t)II K(t) = 
llr'(t) li 
.
= 1, então, T(t) · T(t) = IIT(t)ll2 = 1 e de-Observamos agora que, como IIT(t)II 
rivando, obtemos que: 
2T(t) · T'(t) = O. 
Segue que o vetor T'(t) é ortogonal ao vetor T(t). Esse vetor T'(t) sugere definir 
o vetor normal unitário principal N(t), como:
T'(t) 
N(t) = 
IIT'(t) 11 
·
15 
segue que
s=
ˆ b
a
v(t)dt.
• Exemplo 3
Como exemplo, vamos determinar o comprimento de arco de uma volta da hélice
circular (de t = 0 até t = 2pi), onde as componentes são
x(t) = acos(t), y(t) = a sen (t), z(t) = mt,m> 0.
Usando a fórmula do comprimento de arco, temos:
s=
ˆ b
a
√
|x′(t)|2+ |y′(t)|2+ |z′(t)|2dt =
ˆ 2pi
0
√
a2 sen 2(t)+a2 cos2(t)+m2dt
=
ˆ 2pi
0
√
a2+m2dt =
√
a2+m2
ˆ 2pi
0
1dt = 2pi
√
a2+m2.
Seja s(t) o comprimento de arco de uma curva parametrizada r do ponto inicial
r(a) até a um ponto arbitrário r(t). Logo, temos que:
s(t) =
ˆ t
a
v(τ)dτ.
O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que:
ds(t)
dt
= v(t).
Em outras palavras, a velocidade escalar do movimento de uma partícula é a taxa
de variação no tempo do seu comprimento de arco.
Se v(t)> 0 para todo t, então, a função s(t) é estritamente crescente como função
de t e portanto admite uma inversa t(s). Substituindo t por t(s) na equação para-
métrica da curva, obtemos o que chamamos de parametrização pelo comprimento
de arco:
x= x(s), y= y(s), z= z(s).
14
Já a velocidade escalar é: v = llv(l)II = v'lÕ, enquanto a aceleração escalar é 
a= lla(l)II = v36 = 6. 
1.2 Integração de curvas 
A integral de uma função real com valores vetoriais é definida por analogia ao 
caso de função real de uma variável real, isto é, se r(t) = (x(t),y(t),z(t)) é uma 
curva parametrizada, então, 
t r(t)dt � (t x(t)dt, t y(t)dt, t z(t)dt).
As condições para a integrabilidade dessas funções recaem sobre a integrabilidade 
de cada função componente. 
Mais adiante, vamos retomar as curvas integrando uma função ao longo de uma 
curva. 
1.3 Comprimento de Arco 
Dada uma curva parametrizada r(t) = (x(t),y(t),z(t)), o comprimento de arco 
entre os pontos r( a) e r( b) é por definição dado por: 
s = 1b lx'(t) 1 2 + ly'(t) 1 2 + lz'(t) 1 2dt. 
Como a velocidade escalar v(t) é dada por llvll, isto é, 
segue que: 
• Exemplo 3
v(t) = llv(t)II = lx'(t)l2 + ly'(t)l2 + lz'(t)l2
s = 1
b 
v(t)dt. 
13 
• Exemplo 4
Como exemplo, consideremos a hélice circular com parametrização dada por
r(t) = (4cos(t),4 sen (t),3t). Assim, a velocidade escalar v é dada por
v=
√
42 sen 2(t)+42 cos2(t)+32 =
√
42+32 =
√
25= 5.
De onde segue que:
ds
dt
= 5.
Integrando, supondo que s= 0 quando t = 0, obtemos que s= 5t e portanto t =
s
5
.
Quando substituímos t por t(s) na expressão da curva, temos
x(s) = 4cos
( s
5
)
, y(s) = 4 sen
( s
5
)
, z(s) =
3s
5
,
a parametrização da curva pelo comprimento de arco.
Seja C uma curva parametrizada por r(t), dizemos que a parametrização é suave
no intervalo I se r′ for contínua e r′(t) �= 0 no intervalo I.
A curva C é dita suave se admite uma parametrização suave. Como o nome diz,
as curvas suaves não têm bicos e seu traço é suave.
Se C é uma curva suave com parametrização dada por r(t), definimos o vetor
tangente unitário T (t) dado por
T (t) =
r′(t)
�r′(t)� .
Esse vetor é tangente ao traço da curva em cada ponto e indica a direção dela.
Define-se a curvatura de uma curva em um ponto como sendo a medida de quão
rapidamente a curva muda de direção nesse ponto. Essa medida é dada por
κ(t) =
�T ′(t)�
�r′(t)� .
Observamos agora que, como �T (t)� = 1, então, T (t) ·T (t) = �T (t)�2 = 1 e de-
rivando, obtemos que
2T (t) ·T ′(t) = 0.
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De onde segue que: 
ds 
= 5. 
dt 
s 
Integrando, supondo que s = O quando t = O, obtemos que s = 5t e, portanto, t = 5. 
Quando substituímos t por t(s) na expressão da curva, temos: 
x(s) = 4cos (í), y(s) = 4 sen (í), 3s z(s) = 5, 
a parametrização da curva pelo comprimento de arco. 
Seja C uma curva parametrizada por r(t), dizemos que a parametrização é suave
no intervalo I se r' for contínua e r' ( t) #- O no intervalo I. 
A curva C é dita suave se admite uma parametrização suave. Como o nome diz, 
as curvas suaves não têm bicos e seu traço é suave. 
Se C é uma curva suave com parametrização dada por r(t), definimos o vetor 
tangente unitário T(t) dado por: 
r'(t) T(t) = .
llr'(t)II
Esse vetor é tangente ao traço da curva em cada ponto e indica a direção dela. 
Define-se a curvatura de uma curva em um ponto como sendo a medida de quão 
rapidamente a curva muda de direção nesse ponto. Essa medida é dada por: 
IIT'(t)II K(t) = 
llr'(t) li 
.
= 1, então, T(t) · T(t) = IIT(t)ll2 = 1 e de-Observamos agora que, como IIT(t)II 
rivando, obtemos que: 
2T(t) · T'(t) = O. 
Segue que o vetor T'(t) é ortogonal ao vetor T(t). Esse vetor T'(t) sugere definir 
o vetor normal unitário principal N(t), como:
T'(t) 
N(t) = 
IIT'(t) 11 
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FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E28
Tendo o vetor tangente unitário T(t) e o vetor normal unitário principal N(t),
definimos o vetor binormal B(t) dado por:
B(t) = T(t) x N(t),
esse vetor é ortogonal a ambos T ( t) a N ( t).
O conjunto dos três vetores T(t),N(t) e B(t) é chamado de triedo de Frenet.
Conhecendo-se o triedro de Frenet determinamos completametne a curva que os 
possm.
• Exemplo 5
(a) Vamos calcular a curvatura do círculo r(t) = (acos(t),a sen (t)).
Como a curvatura é dada por K(t) = li'1�g]i'i', vamos determinar T'(t) e r'(t):
r'(t)
llr' (t) li
T(t) 
(-a sen (t),acos(t))
J a2 sen 2(t) + a2cos2(t) = a
r'(t) 
llr'(t)II 
= (- sen(t), cos(t)).
Logo, T'(t) = (- cos(t), - sen (t)). Assim,
IIT'(t)II 1 K(t) = llr'(t) li = �-
Observe que a curvatura é constante em cada ponto e, quanto menor o raio da
circuferência, maior é a curvatura e quanto maior o raio, menor é a curvatura.
(b) Determine a curvatura da hélice circular dada por r(t) = ( a cos(t), a sen (t), mt),
onde m >O.Novamente, como a curvatura é dada por K(t) = li'
1
::gJi'i', vamos 
determinar T' (t) e r' (t):
r'(t)
llr' (t) li
T(t) 
(-a sen (t), acos(t),m)
J a2 sen 2(t) +a2cos2(t) + m2 = J a2 + m2
r'(t) -a a m 
11 r' ( t) 11 
= ( v' a2 + m2 
sen ( t)' v' a2 + m2 
cos ( t)' v' a2 + m2 
) .
16
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) ,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos
2(t) + 
2 2 
sen 2(t) 
a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
K(t) -
IIT'(t)II 
-
U+m2 
- llr'(t)II - va2+m2 
a 
a2+m2· 
#REFLITA# 
Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
2 FUN(;OES REAIS DE VARIA.VEIS REAIS 
0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso
de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) ,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos
2(t) + 
2 2 
sen 2(t) 
a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
K(t) -
IIT'(t)II 
-
U+m2 
- llr'(t)II - va2+m2 
a 
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#REFLITA# 
Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
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0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
Funções Reais de Variáveis Reais
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Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) ,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos
2(t) + 
2 2 
sen 2(t) 
a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
K(t) -
IIT'(t)II 
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U+m2 
- llr'(t)II - va2+m2 
a 
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Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
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0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) ,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos
2(t) + 
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sen 2(t) 
a +m a +m 
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- llr'(t)II - va2+m2 
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cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
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0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEIS REAIS
Note que como: 
temos que: 
Logo, 
-a -a
T'(t) = ( cos(t), sen (t),O) ,Ja2+m2 ,Ja2+m2 
IIT'(t)II 
a2 a2 
2 2 cos
2(t) + 
2 2 
sen 2(t) 
a +m a +m 
� a v�- ,Ja2+m2" 
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- llr'(t)II - va2+m2 
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Entre as grandezas escalares e grandezas vetoriais, existem diferern;as que mere­
cem a nossa atern;ao e a devida reflexao sobre. 
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0 conceito de func;ao real de variaveis reais estende o conceito de func;ao real 
de uma variavel real ja visto no Calculo I. Assim, uma func;ao real de duas vari­
aveis reais e uma correspondencia f que, a cada par (x,y) de um subconjunto D
de JR.2 associa um uni co elemento real z. E usual representar z por z = f (x, y). ,
Chamamos o conj unto D de o dominio da func;ao f, x e y sao chamados de varia­
veis independentes e z de variavel dependente. 
Do mesmo modo, definimos uma func;ao real de tres (ou mais) variaveis reais. No 
caso de tres variaveis, e uma correspondencia f que, a cada tema (x,y,z) de um 
subconjunto D de JR.3 associa um unico elemento real w. Como antes, e usual ,
representar w por w = f(x,y,z). Chamamos o conjunto D de o domfnio da 
func;ao f, e x, y e z sao chamados de variaveis independentes e w de variavel 
dependente. 
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IU N I D A D E30
Representamos por f : D e JR.2 ----+ lR. para significar que f é uma função de duas 
variáveis reais com domínio D e com valores reais. Representação semelhante 
para funções de três variáveis. 
O trabalho com funções reais de várias variáveis reais fica mais fácil quando se 
conhece explicitamente uma expressão da função. Por exemplo, z = x2 -y2 ou 
z= �. 
Quando não mencionamos explicitamente o domínio de uma função, o seu domínio 
fica subentendido como sendo o maior conjunto possível. No exemplo, z = �, 
o domínio é o conjunto de pares (x, y) tais y- x � O ou y � x. Geometricamente, o
domínio é conjunto do plano JR.2 que inclui a reta bissetriz y = x e os pontos acima
dela. Ou seja,
D= {(x,y) E JR.2 ;y � x}.
O gráfico de uma função real f : D e JR.2 ----+ lR. de duas variáveis reais x e y é o 
conjunto dado por: 
Graf(f) = {(x,y,f(x,y)) E JR.3 ; (x,y) E D}. 
Observe que essa definição é uma extensão da definição de gráfico de função real 
de uma variável real visto na Cálculo 1. 
Embora possamos estender esse conceito para funções com mais de duas variáveis 
reais, a sua utilidade é restrita porque não conseguimos enxergar além da terceira 
dimensão: o gráfico de uma função real f : D e JR.3 ----+ lR. de três variáveis reais 
x, y e z é o conjunto dado por: 
Graf(f) = { (x,y,z,J(x,y,z)) E JR.4 ; (x,y,z) E D}. 
• Exemplo 6
(a) A função dada por z = y' a2 - x2 - y2 onde a > O tem como domínio o con-
junto
18 
0 seu grafico e a parte superior da esfera com centro na origem e raio a > 0, 
o hemisferio superior.
(b) A furn;ao z = xy e chamada de sela de cavalo. 0 seu grafico e apresentado a
segmr.
Figura 7: Parte do grafico de z = xy
Fonte: o autor. 
( c) A furn;;ao z = .x2 + y2 tern como domfnio todo o plano �2 . Para tra<;;ar o seu
grafico, observe que, se y = 0 obtemos no plano
xz uma parabola e, se x = 0,
obtemos no plano yz tambem uma parabola. Alem disso, para cada z � 0
fixado, obtemos uma circunferencia de centro em (0, 0, z) e raio vz. Assim, o
grafico e um parabol6ide circular. Veja a ilustra<;;ao do grafico.
19 
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0 seu grafico e a parte superior da esfera com centro na origem e raio a > 0, 
o hemisferio superior.
(b) A furn;ao z = xy e chamada de sela de cavalo. 0 seu grafico e apresentado a
segmr.
Figura 7: Parte do grafico de z = xy
Fonte: o autor. 
( c) A furn;;ao z = .x2 + y2 tern como domfnio todo o plano �2 . Para tra<;;ar o seu
grafico, observe que, se y = 0 obtemos no plano xz uma parabola e, se x = 0,
obtemos no plano yz tambem uma parabola. Alem disso, para cada z � 0
fixado, obtemos uma circunferencia de centro em (0, 0, z) e raio vz. Assim, o
grafico e um parabol6ide circular. Veja a ilustra<;;ao do grafico.
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FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
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Figura 8: Parte do grafico do paraboloide z = x2 + y2 
• y -:Z
Fonte: o autor. 
2.1 Graficos e Curvas de nivel 
Um conj unto que e util no tra<;;ado de graficos e o conj unto de nf vel. Consideremos, 
inicialmente, a fun<;;ao z = f(x,y). 0 conjunto de pontos do domfnio def nos 
quais f assume o mesmo valor k e chamado de conjunto de nfvel k. Para fun<;;5es 
z = f(x,y), esse conjunto pode ser uma curva, um conjunto vazio ou um ponto. 
Por isso, chamamos esse conj unto de curva de nf vel k da fun<;;ao. 
Geometricamente, a curva de nfvel k de z = f(x,y) e o conjunto de pontos obtidos 
interceptando o plano z = k com o grafico de f e projetando-os sobre o domfnio 
de f, no plano xy. Veja a ilustra<;;ao do grafico. 
20 
Figura 8: Parte do grafico do paraboloide z = x2 + y2 
• y -:Z
Fonte: o autor. 
2.1 Graficos e Curvas de nivel 
Um conj unto que e util no tra<;;ado de graficos e o conj unto de nf vel. Consideremos, 
inicialmente, a fun<;;ao z = f(x,y). 0 conjunto de pontos do domfnio def nos 
quais f assume o mesmo valor k e chamado de conjunto de nfvel k. Para fun<;;5es 
z = f(x,y), esse conjunto pode ser uma curva, um conjunto vazio ou um ponto. 
Por isso, chamamos esse conj unto de curva de nf vel k da fun<;;ao. 
Geometricamente, a curva de nfvel k de z = f(x,y) e o conjunto de pontos obtidos 
interceptando o plano z = k com o grafico de f e projetando-os sobre o domfnio 
de f, no plano xy. Veja a ilustra<;;ao do grafico. 
20 
• y -:Z
Figura 9: Ilustra<;;ao da curva de nivel 
Fonte: o autor. 
No caso dew= f(x,y,z), o conjunto de pontos do domfnio que satisfazemf(x,y,z) = 
k e uma superficie de nf vel, mas continuamos a chamar de curva de nf vel. Por e­
xemplo, se f(x,y,z) = x+y+z-5, a curva de nfvel k = 0 e o conjunto de pontos 
(x,y,z) E �3 tais que x+ y+ z-5 = 0, ou seja, x+y+z = 5, que e um plano. 
As curvas de nfvel nos ajudam a esbo<;;ar o grafico de uma fun<;;ao. Por exemplo, 
o parabol6ide circular, a seguir, ver figura, tern como curvas de nfvel cfrculos
concentricos. 
Figura 10: Paraboloide circular. 
Fonte: o autor. 
• Exemplo 7
21 
Figura 11: Curvas de nf vel. 
Para 
constr!Jir 
a superfide, 
cadacUJVB 
f{x,yJ=ke 
colocadana 
altura k, 
Fonte: o autor. 
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Figura 9: Ilustra<;;ao da curva de nivel 
Fonte: o autor. 
No caso dew= f(x,y,z), o conjunto de pontos do domfnio que satisfazemf(x,y,z) = 
k e uma superficie de nf vel, mas continuamos a chamar de curva de nf vel. Por e­
xemplo, se f(x,y,z) = x+y+z-5, a curva de nfvel k = 0 e o conjunto de pontos 
(x,y,z) E �3 tais que x+ y+ z-5 = 0, ou seja, x+y+z = 5, que e um plano. 
As curvas de nfvel nos ajudam a esbo<;;ar o grafico de uma fun<;;ao. Por exemplo, 
o parabol6ide circular, a seguir, ver figura, tern como curvas de nfvel cfrculos
concentricos. 
Figura 10: Paraboloide circular. 
Fonte: o autor. 
• Exemplo 7
21 
Figura 11: Curvas de nf vel. 
Para 
constr!Jir 
a superfide, 
cadacUJVB 
f{x,yJ=ke 
colocadana 
altura k, 
Fonte: o autor. 
Figura 9: Ilustra<;;ao da curva de nivel 
Fonte: o autor. 
No caso dew= f(x,y,z), o conjunto de pontos do domfnio que satisfazemf(x,y,z) = 
k e uma superficie de nf vel, mas continuamos a chamar de curva de nf vel. Por e­
xemplo, se f(x,y,z) = x+y+z-5, a curva de nfvel k = 0 e o conjunto de pontos 
(x,y,z) E �3 tais que x+ y+ z-5 = 0, ou seja, x+y+z = 5, que e um plano. 
As curvas de nfvel nos ajudam a esbo<;;ar o grafico de uma fun<;;ao. Por exemplo, 
o parabol6ide circular, a seguir, ver figura, tern como curvas de nfvel cfrculos
concentricos. 
Figura 10: Paraboloide circular. 
Fonte: o autor. 
• Exemplo 7
21 
Figura 11: Curvas de nf vel. 
Para 
constr!Jir 
a superfide, 
cadacUJVB 
f{x,yJ=ke 
colocadana 
altura k, 
Fonte: o autor. 
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Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E34
(a) Consideremos a func;ao f dada por f(x,y) = x2 -y2 . Suas curvas de nfvel sao
dadas por x2 -y2 = k. Ou, de outro modo,
y=±�. 
Quando k = 0 temos um par de retas y = x e y = -x. 
Note que as curvas de nfvel da func;ao sao hiperboles. Ilustramos algumas 
curvas de nfvel e a superficie. 
Figura 12: Ilustrac;ao das curvas de nivel do parabol6ide hiperb6lico 
Fonte: o autor. 
(b) Consideremos a func;ao f dada por f(x,y) = 25 -x2 -y2 . Suas curvas de
nfvel sao dadas por x2 + y2 = k- 25. Ou, de outro modo, se k 2: 25 temos
circunferencias concentricas de raio r = Jk- 25. Quando k = 25, temos o
ponto (0,0). Quando k < 25, as curvas de nfvel sao conjuntos vazios.
22 
Figura 9: Ilustra<;;ao da curva de nivel 
Fonte: o autor. 
No caso dew= f(x,y,z), o conjunto de pontos do domfnio que satisfazemf(x,y,z) = 
k e uma superficie de nf vel, mas continuamos a chamar de curva de nf vel. Por e­
xemplo, se f(x,y,z) = x+y+z-5, a curva de nfvel k = 0 e o conjunto de pontos 
(x,y,z) E �3 tais que x+ y+ z-5 = 0, ou seja, x+y+z = 5, que e um plano. 
As curvas de nfvel nos ajudam a esbo<;;ar o grafico de uma fun<;;ao. Por exemplo, 
o parabol6ide circular, a seguir, ver figura, tern como curvas de nfvel cfrculos
concentricos. 
Figura 10: Paraboloide circular. 
Fonte: o autor. 
• Exemplo 7
21 
Figura 11: Curvas de nf vel. 
Para 
constr!Jir 
a superfide, 
cadacUJVB 
f{x,yJ=ke 
colocadana 
altura k, 
Fonte: o autor. 
0,5
0,5
1
1
1
1
1
1
-0,5
0
0
0,5-0,5
-0,5
0,5
1-1
-1
1
(a) Consideremos a func;ao f dada por f(x,y) = x2 -y2 . Suas curvas de nfvel sao
dadas por x2 -y2 = k. Ou, de outro modo,
y=±�. 
Quando k = 0 temos um par de retas y = x e y = -x. 
Note que as curvas de nfvel da func;ao sao hiperboles. Ilustramos algumas 
curvas de nfvel e a superficie. 
Figura 12: Ilustrac;ao das curvas de nivel do parabol6ide hiperb6lico 
Fonte: o autor. 
(b) Consideremos a func;ao f dada por f(x,y) = 25 -x2 -y2 . Suas curvas de
nfvel sao dadas por x2 + y2 = k- 25. Ou, de outro modo, se k 2: 25 temos
circunferencias concentricas de raio r = Jk- 25. Quando k = 25, temos o
ponto (0,0). Quando k < 25, as curvas de nfvel sao conjuntos vazios.
22 
(a) Consideremos a func;ao f dada por f(x,y) = x2 -y2 . Suas curvas de nfvel sao
dadas por x2 -y2
= k. Ou, de outro modo,
y=±�. 
Quando k = 0 temos um par de retas y = x e y = -x. 
Note que as curvas de nfvel da func;ao sao hiperboles. Ilustramos algumas 
curvas de nfvel e a superficie. 
Figura 12: Ilustrac;ao das curvas de nivel do parabol6ide hiperb6lico 
Fonte: o autor. 
(b) Consideremos a func;ao f dada por f(x,y) = 25 -x2 -y2 . Suas curvas de
nfvel sao dadas por x2 + y2 = k- 25. Ou, de outro modo, se k 2: 25 temos
circunferencias concentricas de raio r = Jk- 25. Quando k = 25, temos o
ponto (0,0). Quando k < 25, as curvas de nfvel sao conjuntos vazios.
22 
Outro ponto importante é observar a simetria: uma função y = f (x) é dita par se
f (−x) = f (x),∀x ∈ R; isso significa que é seu gráfico é simétrico com relação ao
eixo y.
Uma função y = f (x) é dita ímpar se f (−x) = − f (x),∀x ∈ R; isso significa que
seu gráfico é simétrico com relação a origem, isto é, se já temos o gráfico de f
para x≥ 0 obtemos o gráfico inteiro girando 1800 graus em torno da origem. Para
funções de duas variáveis, observamos a simetria com relação aos eixos x e y.
Outra observação que ajuda no esboço de gráficos é a multiplicação por uma cons-
tante c real. Se é c> 1 real, então,
1. y= c f (x) alonga verticalmente o gráfico de y= f (x) pelo fator c.
2. y=− f (x) reflete o gráfico de y= f (x) em torno do eixo x.
3. y= f (cx) comprime horizontalmente o gráfico de y= f (x) pelo fator c.
4. y= f (−x) reflete o gráfico de y= f (x) em torno do eixo y.
5. y= 1c f (x) comprime verticalmente o gráfico de y= f (x) pelo fator c.
6. y= f ( xc) alonga horizontalmente o gráfico de y= f (x) pelo fator c.
Essas observações ajudam no esboço do gráfico de uma função de duas variáveis.
Por exemplo, como vimos, a função z= x2+4x+ y2−6y+12 pode ser escrita
como z= (x+2)2+(y−3)2−1 tem como superfície um parabolóide transladado
duas unidades à esquerda em x, 3 unidades a direita em y e uma unidade para
baixo em z.
24
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Figura 13: Ilustrac;ao das curvas de nfvel e do paraboloide 
Fonte: o autor. 
Esboc;ar o grafico de func;ao pode nao ser tarefa simples. Por isso, devemos 
conhecer os graficos das func;oes mais comumente utilizadas em calculo. 
Alem disso, observar as translac;oes do grafico ajuda no seu trac;ado. Por 
exemplo, quando o grafico da func;ao y = f(x) e transladado h unidades para 
a direita e k unidades para cima, o grafico resultante e obtido substituindo x por x 
- h e y por y-k.
Assim, a func;ao y = x2 - 4x + 12 pode ser escrita como y = (x - 2)2 + 8 que e 
igual a y - 8 = (x - 2)2 sendo claramente uma parabola voltada para cima com 
vertice V(2, 8), transladada 2 unidades para a direita e 8 unidades para cima. 
Do mesmo modo, a func;ao z = x2 + y2 -4x - 6y + 12 pode ser escrita como 
z = (x-2)2 + (y- 3) 2 + 1 que e claramente um paraboloide de vertice C (2, 3, -1 ), 
um parabo1oide padrao transladado 2 unidades para direita em x, 3 unidades a 
direita em ye uma unidade para baixo em z.
Outro ponto importante e observar a simetria: uma func;ao y = f(x) e dita par se 
f(-x) = f(x), Vx E JR; isso significa que e seu grafico e simetrico com relac;ao ao 
e1xo y.
Uma func;ao y = f(x) e dita fmpar se f(-x) = -f(x),Vx E JR; isso significa que
23 
y
x
Figura 13: Ilustrac;ao das curvas de nfvel e do paraboloide 
Fonte: o autor. 
Esboc;ar o grafico de func;ao pode nao ser tarefa simples. Por isso, devemos 
conhecer os graficos das func;oes mais comumente utilizadas em calculo. 
Alem disso, observar as translac;oes do grafico ajuda no seu trac;ado. Por 
exemplo, quando o grafico da func;ao y = f(x) e transladado h unidades para 
a direita e k unidades para cima, o grafico resultante e obtido substituindo x por x 
- h e y por y-k.
Assim, a func;ao y = x2 - 4x + 12 pode ser escrita como y = (x - 2)2 + 8 que e 
igual a y - 8 = (x - 2)2 sendo claramente uma parabola voltada para cima com 
vertice V(2, 8), transladada 2 unidades para a direita e 8 unidades para cima. 
Do mesmo modo, a func;ao z = x2 + y2 -4x - 6y + 12 pode ser escrita como 
z = (x-2)2 + (y- 3) 2 + 1 que e claramente um paraboloide de vertice C (2, 3, -1 ), 
um parabo1oide padrao transladado 2 unidades para direita em x, 3 unidades a 
direita em ye uma unidade para baixo em z.
Outro ponto importante e observar a simetria: uma func;ao y = f(x) e dita par se 
f(-x) = f(x), Vx E JR; isso significa que e seu grafico e simetrico com relac;ao ao 
e1xo y.
Uma func;ao y = f(x) e dita fmpar se f(-x) = -f(x),Vx E JR; isso significa que
23 
y
x
(b) Consideremos a função f dada por f (x,y) = 25− x2− y2. Suas curvas de
nível são dadas por x2+ y2 = k− 25. Ou, de outro modo, se k ≥ 25 temos
circunferências concêntricas de raio r =
√
k−25. Quando k = 25, temos o
ponto (0,0). Quando k < 25, as curvas de nível são conjuntos vazios.
Figura 13: Ilustração das curvas de nível e do parabolóide
Fonte: o autor.
Esboçar o gráfico de função pode não ser tarefa simples. Por isso, devemos co-
nhecer os gráficos das funções mais comumente utilizadas em cálculo. Além
disso, observar as translações do gráfico ajuda no seu traçado. Por exemplo,
quando o gráfico da função y = f (x) é transladado h unidades para a direita e
k unidades para cima, o gráfico resultante é obtido substituindo x por x−h e y por
y− k.
Assim, a função y = x2− 4x+ 12 pode ser escrita como y = (x− 2)2+ 8 que é
igual a y− 8 = (x− 2)2 sendo claramente uma parábola voltada para cima com
vértice V (2,8), transladada 2 unidades para a direita e 8 unidades para cima.
Do mesmo modo, a função z= x2+ y2−4x−6y+14 pode ser escrita como
z= (x−2)2+(y−3)2+1 que é claramente um parabolóide de vérticeC(2,3,1),
um parabolóide padrão transladado 2 unidades para direita em x, 3 unidades a
direita em y e uma unidade para cima em z.
23
Figura 13: Ilustrac;ao das curvas de nfvel e do paraboloide 
Fonte: o autor. 
Esboc;ar o grafico de func;ao pode nao ser tarefa simples. Por isso, devemos 
conhecer os graficos das func;oes mais comumente utilizadas em calculo. 
Alem disso, observar as translac;oes do grafico ajuda no seu trac;ado. Por 
exemplo, quando o grafico da func;ao y = f(x) e transladado h unidades para 
a direita e k unidades para cima, o grafico resultante e obtido substituindo x por x 
- h e y por y-k.
Assim, a func;ao y = x2 - 4x + 12 pode ser escrita como y = (x - 2)2 + 8 que e 
igual a y - 8 = (x - 2)2 sendo claramente uma parabola voltada para cima com 
vertice V(2, 8), transladada 2 unidades para a direita e 8 unidades para cima. 
Do mesmo modo, a func;ao z = x2 + y2 -4x - 6y + 12 pode ser escrita como 
z = (x-2)2 + (y- 3) 2 + 1 que e claramente um paraboloide de vertice C (2, 3, -1 ), 
um parabo1oide padrao transladado 2 unidades para direita em x, 3 unidades a 
direita em ye uma unidade para baixo em z.
Outro ponto importante e observar a simetria: uma func;ao y = f(x) e dita par se 
f(-x) = f(x), Vx E JR; isso significa que e seu grafico e simetrico com relac;ao ao 
e1xo y.
Uma func;ao y = f(x) e dita fmpar se f(-x) = -f(x),Vx E JR; isso significa que
23 
y
x
Outro ponto importante é observar a simetria: uma função y = f (x) é dita par se
f (−x) = f (x),∀x ∈ R; isso significa que é seu gráfico é simétrico com relação ao
eixo y.
Uma função y = f (x) é dita ímpar se f (−x) = − f (x),∀x ∈ R; isso significa que
seu gráfico é simétrico com relação a origem, isto é, se já temos o gráfico de f
para x≥ 0 obtemos o gráfico inteiro girando 1800 graus em torno da origem. Para
funções de duas variáveis, observamos a simetria com relação aos eixos x e y.
Outra observação
que ajuda no esboço de gráficos é a multiplicação por uma cons-
tante c real. Se é c> 1 real, então,
1. y= c f (x) alonga verticalmente o gráfico de y= f (x) pelo fator c.
2. y=− f (x) reflete o gráfico de y= f (x) em torno do eixo x.
3. y= f (cx) comprime horizontalmente o gráfico de y= f (x) pelo fator c.
4. y= f (−x) reflete o gráfico de y= f (x) em torno do eixo y.
5. y= 1c f (x) comprime verticalmente o gráfico de y= f (x) pelo fator c.
6. y= f ( xc) alonga horizontalmente o gráfico de y= f (x) pelo fator c.
Essas observações ajudam no esboço do gráfico de uma função de duas variáveis.
Por exemplo, como vimos, a função z= x2+4x+ y2−6y+12 pode ser escrita
como z= (x+2)2+(y−3)2−1 tem como superfície um parabolóide transladado
duas unidades à esquerda em x, 3 unidades a direita em y e uma unidade para
baixo em z.
24
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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seu grafico e simetrico com rela<;ao a origem, isto e, se ja temos O grafico def 
para x 2: 0 obtemos o grafico inteiro girando 180º graus em torno da origem. Para 
fun<;5es de duas variaveis, observamos a simetria com rela<;ao aos eixos x e y. 
Outra observa<;ao que ajuda no esbo<;o de graficos e a multiplica<;ao por uma cons­
tante c real. Se e c > 1 real, entao, 
1. y = cf(x) alonga verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
2. y = -f(x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo x.
3. y = f(cx) comprime horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
4. y = f( -x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo y.
5. y = if(x) comprime verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
6. y = JG) alonga horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
Essas observa<;5es ajudam no esbo<;o do grafico de uma fun<;ao de duas variaveis. 
Por exemplo, a fun<;ao z = .x2 + 4x + y2 - 6y + 12 pode ser escrita como
z = ( x + 2) 2 + (y - 3) 2 - 1 tern como superficie um paraboloide transladado duas 
unidades a esquerda em x, 3 unidades a direita em y e uma unidade para baixo em
z. 
Figura 14: Ilustra<;ao de transla<;ao de superficies 
Fonte: o autor. 
24 
seu grafico e simetrico com rela<;ao a origem, isto e, se ja temos O grafico def 
para x 2: 0 obtemos o grafico inteiro girando 180º graus em torno da origem. Para 
fun<;5es de duas variaveis, observamos a simetria com rela<;ao aos eixos x e y. 
Outra observa<;ao que ajuda no esbo<;o de graficos e a multiplica<;ao por uma cons­
tante c real. Se e c > 1 real, entao, 
1. y = cf(x) alonga verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
2. y = -f(x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo x.
3. y = f(cx) comprime horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
4. y = f( -x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo y.
5. y = if(x) comprime verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
6. y = JG) alonga horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
Essas observa<;5es ajudam no esbo<;o do grafico de uma fun<;ao de duas variaveis. 
Por exemplo, a fun<;ao z = .x2 + 4x + y2 - 6y + 12 pode ser escrita como
z = ( x + 2) 2 + (y - 3) 2 - 1 tern como superficie um paraboloide transladado duas 
unidades a esquerda em x, 3 unidades a direita em y e uma unidade para baixo em
z. 
Figura 14: Ilustra<;ao de transla<;ao de superficies 
Fonte: o autor. 
24 
Sistemas Especiais de Coordenadas
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37
#SAIBA MAIS# 
Aqui estão alguns comandos do software Maple para plotar o gráfico de funções. 
> with(plots) :f:=ax->x"2;
> plot({f(x),f(x+l) },x=-2 .. 2);
> c:=2; plot ({c*f(x), (1/c) *f(x) },x=-3 .. 3);
> plot({f(x)-2,f(x+l)+2},x=-2 .. 2);
> g: =x->(x-2)"2+16;plot(g(x),x=-2 .. 4);
> f:"" (x, y) -> (x"2+5*y"2) / (x"2+2*x"2+ 1);
> plot3d(f(x,y) ,x=-2 .. 2,y=-2 .. 2);
Mais sobre o Maple, consulte: <www.dma.uem.br/kit>. 
Fonte: o autor. 
3 SISTEMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS 
3.1 Coordenadas Polares 
Urna maneira familiar de representar urn ponto no plano ou na espaço é especifi­
cando as suas coordenadas retangulares (x,y) no plano e no espaço por (x,y,z). 
Ou seja, por meio de um sistema de eixos perpendiculares. 
Em algumas situações, é mais adequado localizar um ponto do plano por meio de 
suas coordenadas polares. As coordenadas polares de um ponto dão a sua posição 
em função de um ponto referencial O chamado de polo e de um raio chamado de 
eixo polar corn origem ern O. 
25 
SISTEMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS
#SAIBA MAIS# 
Aqui estão alguns comandos do software Maple para plotar o gráfico de funções. 
> with(plots) :f:=ax->x"2;
> plot({f(x),f(x+l) },x=-2 .. 2);
> c:=2; plot ({c*f(x), (1/c) *f(x) },x=-3 .. 3);
> plot({f(x)-2,f(x+l)+2},x=-2 .. 2);
> g: =x->(x-2)"2+16;plot(g(x),x=-2 .. 4);
> f:"" (x, y) -> (x"2+5*y"2) / (x"2+2*x"2+ 1);
> plot3d(f(x,y) ,x=-2 .. 2,y=-2 .. 2);
Mais sobre o Maple, consulte: <www.dma.uem.br/kit>. 
Fonte: o autor. 
3 SISTEMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS 
3.1 Coordenadas Polares 
Urna maneira familiar de representar urn ponto no plano ou na espaço é especifi­
cando as suas coordenadas retangulares (x,y) no plano e no espaço por (x,y,z). 
Ou seja, por meio de um sistema de eixos perpendiculares. 
Em algumas situações, é mais adequado localizar um ponto do plano por meio de 
suas coordenadas polares. As coordenadas polares de um ponto dão a sua posição 
em função de um ponto referencial O chamado de polo e de um raio chamado de 
eixo polar corn origem ern O. 
25 
#SAIBA MAIS# 
Aqui estão alguns comandos do software Maple para plotar o gráfico de funções. 
> with(plots) :f:=ax->x"2;
> plot({f(x),f(x+l) },x=-2 .. 2);
> c:=2; plot ({c*f(x), (1/c) *f(x) },x=-3 .. 3);
> plot({f(x)-2,f(x+l)+2},x=-2 .. 2);
> g: =x->(x-2)"2+16;plot(g(x),x=-2 .. 4);
> f:"" (x, y) -> (x"2+5*y"2) / (x"2+2*x"2+ 1);
> plot3d(f(x,y) ,x=-2 .. 2,y=-2 .. 2);
Mais sobre o Maple, consulte: <www.dma.uem.br/kit>. 
Fonte: o autor. 
3 SISTEMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS 
3.1 Coordenadas Polares 
Urna maneira familiar de representar urn ponto no plano ou na espaço é especifi­
cando as suas coordenadas retangulares (x,y) no plano e no espaço por (x,y,z). 
Ou seja, por meio de um sistema de eixos perpendiculares. 
Em algumas situações, é mais adequado localizar um ponto do plano por meio de 
suas coordenadas polares. As coordenadas polares de um ponto dão a sua posição 
em função de um ponto referencial O chamado de polo e de um raio chamado de 
eixo polar corn origem ern O. 
25 
seu grafico e simetrico com rela<;ao a origem, isto e, se ja temos O grafico def 
para x 2: 0 obtemos o grafico inteiro girando 180º graus em torno da origem. Para 
fun<;5es de duas variaveis, observamos a simetria com rela<;ao aos eixos x e y. 
Outra observa<;ao que ajuda no esbo<;o de graficos e a multiplica<;ao por uma cons­
tante c real. Se e c > 1 real, entao, 
1. y = cf(x) alonga verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
2. y = -f(x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo x.
3. y = f(cx) comprime horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
4. y = f( -x) reflete o grafico de y = f(x) em torno do eixo y.
5. y = if(x) comprime verticalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
6. y = JG) alonga horizontalmente o grafico de y = f(x) pelo fator c.
Essas observa<;5es ajudam no esbo<;o do grafico de uma fun<;ao de duas variaveis. 
Por exemplo, a fun<;ao z = .x2 + 4x + y2 - 6y + 12 pode ser escrita como
z = ( x + 2) 2 + (y - 3) 2 - 1 tern como superficie um paraboloide transladado duas 
unidades a esquerda em x, 3 unidades a direita