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APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
DE 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
NÚMEROS NATURAIS 
 
Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos 
escrevendo o conjunto dos números naturais, representados 
pela letra IN: 
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um 
número natural sempre possui um sucessor e a partir do zero 
um sucessor. 
 
Exemplos: 
o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9. 
o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003. 
Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n 
é n - 1. 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Um número natural e seu sucessor chamam-se 
consecutivos. Escreva todos os pares de números 
consecutivos entre esses números: 
2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255 
Resolução: 
0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256 
 
2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha 
que Reinivaldo. As idades de Reinivaldo e Thaís são 
números consecutivos. A minha idade é um número que é o 
sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos 
Hudson tem? 
 
Resolução: 
Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são 
números consecutivos, então se Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 
46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de 46, 
então esta idade será 48 anos. 
 
3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 
e menores que 7. 
 
Resolução: 
Seja o conjunto: A = {x  IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade 
específica o enunciado do exercício ficará escrito desta forma, 
ilustrando todos os elementos fica assim: 
A = {4, 5, 6} 
 
ADIÇÃO 
 
Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. 
Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo-se que a 
distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que 
Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o 
automóvel irá percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma 
pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as 
distâncias: 285 + 120 = 405 km. 
Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só 
número, todas as unidades de dois, ou mais, números dados. 
O resultado da operação chama-se soma ou total, e 
os números que se somam, parcelas ou termos. 
 
Propriedades 
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2 
 
 
Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um 
número natural. Ex: 8 + 6 = 14 
 
Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um 
número natural, o resultado é o próprio número natural, isto é, 
o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0 = 3 
 
Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma. 
 
Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16 
 
Associativa - A soma de vários números não se altera se 
substituirmos algumas de suas parcelas pela soma efetuada. 
Os sinais empregados para associações são denominados: 
 
 ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves 
 
Exemplos: 
8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16 
13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27 
 
De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c 
 
Nota: 
Estudando-se as línguas, verificamos a importância da 
colocação das vírgulas para entendermos o significado das 
sentenças. 
 
Exemplo: 
1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 
2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro." 
 
Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam 
significados diferentes, pelo fato da vírgula ter sido 
deslocada. 
 
Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de 
associação (parênteses, colchetes e chaves) podem 
funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais 
na sequência: 
 
( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves 
 
Exemplo: 
 
A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, 
são diferentes, daí a importância da associação. 
 
Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela 
por outra cuja soma seja igual a ela. Esta propriedade é de 
sentido contrário da anterior. 
 
Exemplo: 
 
9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi 
dissociado em dois outros 5 e 4). 
De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c. 
Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode 
ser retirado. 
 
Exemplo: 
20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3 
 
SUBTRAÇÃO 
 
Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta 
bancária. Quando retirou um extrato, observou que seu novo 
saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em sua 
conta antes do depósito? 
Para saber, efetuamos uma subtração: 
 2 137 
 1 200 
 
 R$ 937,00 
 minuendo 
 
 subtraendo 
 
 resto ou 
diferença 
 
 
Denomina-se subtração a diferença entre dois 
números, dados numa certa ordem, um terceiro número que, 
somado ao segundo, reproduz o primeiro. A subtração é uma 
operação inversa da adição. 
O primeiro número recebe o nome de minuendo e o 
segundo de subtraendo, e são chamados termos da 
subtração. A diferença é chamada de resto. 
 
Propriedades 
 
Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo 
dos números naturais, não existe a diferença entre dois 
números quando o primeiro é menor que o segundo. Ex: 3 - 
5 
Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9 - 0  
0 - 9 
 
Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) 
- 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 15 - 5 = 10 
 
Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos 
termos de uma subtração, a diferença não se altera. 
 
Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus 
dois termos, teremos (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Multiplicar é somar parcelas iguais. 
 
Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15 
 
Nesta adição a parcela que se repete (5) é 
denominada multiplicando e o número de vezes que o 
multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é 
chamado de produto. 
 
Então: 
 5 
  3 
 
 15 
multiplicando 
multiplicador 
 
produto 
 
Multiplicação é a operação que tem por fim dados 
dois números, um denominado multiplicando e outro 
multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro tantas 
vezes quando forem as unidades do segundo. O 
multiplicando e o multiplicador são chamados de fatores. 
 
Propriedades 
 
1) Fechamento - O produto de dois números naturais é 
sempre um número natural. 
Ex: 5 x 2 = 10 
 
2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de 
elemento neutro da multiplicação porque não afeta o produto. 
Ex: 10 x 1 = 10 
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3 
 
 
3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. 
Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20 
 
4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se 
multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um 
número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos 
por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se 
os resultados. 
 
Exemplo: 
1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27 
 
2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15 
 
Essa propriedade é chamada distributiva porque o 
multiplicador se distribui por todos os termos. 
 
Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada 
parcela da primeira pelas parcelas da segunda e somar os 
produtos obtidos. 
 
Exemplo: 
(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63 
 
DIVISÃO 
 
 Divisão Exata 
Divisão exata é a operação que tem por fim, dados 
dois números, numa certa ordem, determinar um terceiro que, 
multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação 
dessa operação é feita com os sinais ou que se lê: dividido 
por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo 
divisor e o resultado da operação, quociente. 
 
Exemplo: 
15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 
Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente. 
 
 Divisão Aproximada 
No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, 
observa-se que não se encontra um número inteiro que, 
multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor que 
53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53. 
O número 8, que é o maior número que multiplicado 
por 6 não ultrapassa o dividendo 53, é denominado quociente 
aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro 
que se comete, quando se toma o número 8 para o 
quociente, é menor que uma unidade. Temos, assim, a 
seguinte definição: chama-se resto de uma divisão 
aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do 
quociente aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão 
é feita assim: 
 
 
 
DIVIDENDO = DIVISOR QUOCIENTE + RESTO 
 
Exemplo: 
 
 53 = 6  8 + 5 
 
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS 
 
É um conjunto de números reunidos entre si por 
sinais de operações. 
A partir do estudo da adição e subtração, já 
podemos começar a resolver expressões aritméticas, 
envolvendo adições e subtrações. 
O cálculo dessas expressões é feito na ordem em 
que é indicada, devendo observar-se que são feitas 
inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em 
seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as 
indicadas entre chaves. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o valor da expressão aritmética 
35 - [4 + (5 - 3)] 
efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses 
obtemos 
35 - [4 + 2] 
efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes 
temos 
35 - 6 = 29 
 
2) Calcular o valor da expressão aritmética 
86 - {26 - [8 - (2 + 5)]} 
efetuando-se as operações indicadas nos parênteses 
obtemos 
86 - {26 - [8 - 7]} 
efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos 
86 - {26 - 1} 
efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que 
86 - 25 = 61 
 
3) Calcular o valor da expressão aritmética 
53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]} 
53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]} 
53 - {52 - 0} 
53 - 52 = 1 
 
O cálculo das expressões aritméticas que contém as 
4 operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) deve 
obedecer a seguinte ordem: 
Inicialmente as multiplicações e divisões e em 
seguida, as adições e subtrações, respeitando-se a ordem de 
se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os 
colchetes e finalmente as chaves. 
 
Exemplo: 
54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ] 
efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que 
estão indicadas nos parênteses temos: 
54 - 3 x [ 10 - 7 ] 
efetuando-se os colchetes vem que 
54 - 3 ´ [ 3 ] 
54 - 9 = 45 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Resolva a seguinte expressão aritmética 
{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12 
 
 
Resolução: 
{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 
{ [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 
{ [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 
{ 23 x 2 - 2} x 2 + 12 
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4 
 
{ 46 - 2 } x 2 + 12 
44 x 2 + 12 
88 + 12 
100 
 
DIVISIBILIDADE 
 
Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um 
número é ou não divisível por outro. 
Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível 
por 3, e no entanto será que 762 é divisível por 2? E por 3? 
 
 
 
Todo número que é par é divisível por 2. 
Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc. 
 
 
 
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for 
um número divisível por 3, então o número inicial o será também. 
 
Exemplos: 
762, pois 7 + 6 + 2 = 15 
3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 
53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24 
 
 
 
Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar 
numa dezena divisível por 4 o número será divisível por 4. 
 
Exemplos: 
 764, pois 64 é divisível por 4. 
1 572, pois 72 é divisível por 4. 
3 300, pois o número termina em dois zeros. 
 
 
 
Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será 
divisível por 5. 
 
Exemplos: 
760, 1 575, 3 320. 
 
 
 
Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será 
também, divisível por 6. 
Exemplos: 
762, 1 572, 33 291. 
 
 
 
Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 
3 passos: 
1O. Separe a casa das unidades do número; 
2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2; 
3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado 
for divisível por 7, então o número original também o será. 
 
Exemplos: 

378 é divisível por 7, pois 
 
Passo1: 37 ........ 8 
Passo 2: 8 2 = 16 
Passo 3: 3716 = 21 
 
Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é. 
 
4 809 é divisível por 7, pois 
 
Passo1: 480 ........ 9 
Passo 2: 9  2 = 18 
Passo 3: 480  18 = 462 
 
Repetindo os passos para o número encontrado: 
 
Passo1: 46 ........ 2 
Passo 2: 2  2 = 4 
Passo 3: 46  4 = 42 
 
Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é. 
 
 
 
Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena 
divisível por 8 então o número original também será. 
 
Exemplos: 
1 416, 33 296, 57 800, 43 000. 
 
 
 
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for 
um número divisível por 9, então o número inicial o será também. 
 
Exemplos: 
3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 
53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27 
945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36 
 
 
 
Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 
10. 
 
Exemplos: 
760, 3 320, 13 240. 
 
 
 
Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma 
dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem 
ímpar tiver como resultado um número divisível por 11. 
 
Exemplos: 
2 937, pois: 
soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16 
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5 
fazendo a diferença: 16 - 5 = 11 
 
28 017, pois: 
soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9 
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9 
fazendo a diferença: 9 - 9 = 0 
 
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MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural 
por outro natural. 
 
Exemplos: 
24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24. 
20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 
0 
 
 Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um 
divisor de x. 
 
Exemplos: 
8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8. 
21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21. 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o 
próprio número e a unidade; ele será considerado um número primo, 
são eles: 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... 
 
RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO 
Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números 
que formam a série dos números primos, até encontramos um 
coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma dessas 
divisões seja exata, então o número é primo. 
 
Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar 
algumas dessas divisões. 
 
Exemplo: 
Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os 
critérios da divisibilidade, podemos verificar que 193 não é divisível 
por 2, 3, 5, 7. 
Então, dividindo: 
 
 193 11 193 13 193 17 
 83 17 63 1423 11 
 6 11 6 
 
 
 
Quociente menor que o divisor  11 < 17, e não houve divisão 
exata, então o número 193 é primo. 
 
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
Quando um número não é primo, pode ser decomposto 
num produto de fatores primos. 
A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os 
fatores primos divisores de um número natural. 
 
Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor 
primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o quociente 
pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até 
encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto 
de todos os divisores encontrados que serão números primos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL 
 
Podemos determinar o total de divisores de um número, 
mesmo não se conhecendo todos os divisores. 
 
 Regra: O número total de divisores de um número é igual 
ao produto dos expoentes dos seus fatores primos 
aumentados (cada expoente) de uma unidade. 
 
Exemplo: 
Vamos determinar o total de divisores de 80. 
Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 
51 
 
Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: 
4 + 1 = 5 
1 + 1 = 2 
Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados 
 5 2 = 10 
Portanto, o número de divisores de 80 é 10. 
 
Nota: 
Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos 
encontrando apenas os divisores positivos desse número. 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) 
 
Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais 
números naturais não nulos, ao maior número natural que divide a 
todos simultaneamente. 
 
Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, 
pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o 
maior dos divisores simultâneos dos números dados. 
 
 
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida 
escolhe-se os fatores primos comuns com os menores expoentes e 
em seguida efetua-se o produto destes expoentes. 
 
Exemplo: 
1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280 
 
 
Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números 
que decompomos, com os menores expoentes. Os fatores comuns 
aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores 
expoentes são : 
 22  5 = 4  5 = 20 
 
Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte 
forma: 
 MDC (60, 280) = 20 
 
2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188 
 
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O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser 
escolhido aquele que tiver o menor expoente, então temos 22 = 4 
mdc (480, 188) = 4 
 
MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
(MÉTODO DE EUCLIDES) 
 
Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280. 
 
1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na 
primeira lacuna (do meio) e o menor na segunda lacuna (do meio): 
 
 
 
2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de 
cima do 60 e o resto na lacuna abaixo do 280: 
 
 
 
3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado 
direito de 60 e repete-se os passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto 
zero. 
 
 
4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc. 
 
mdc (60, 280) = 20 
 
Nota: 
"Números Primos entre Si" 
Dois ou mais números são considerados primos entre si se e 
somente o Máximo Divisor Comum entre esses números for igual a 
1. 
 
Exemplo: 
 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1 

 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 
144 e 160, a fim de obtermos quocientes iguais. 
 
Resolução: 
Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160 
 
 
 
 mdc (144, 160) = 24 = 16 
 
Então: 
144  16 = 9 
O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9, 
Vem que 160  16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 
10 o menor quociente. Logo os números procurados são 9 e 10 
pois 144  9 = 16 e 160 10 = 16. 
 
2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 
metros de frente e 56 metros de fundo. Qual deve ser o comprimento 
de um cordel que sirva para medir exatamente as duas dimensões? 
 
Resolução: 
 
 
 
Então: 
 mdc ( 56, 24) = 8 
 
Resposta: 
O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir 
as dimensões do terreno deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 
8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24. 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) 
 
"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não 
nulos é o menor dos múltiplos, não nulo, comum a esses números." 
 
Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 
e outro constituído pelos múltiplos de 9. 
 
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} 
M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...} 
 
Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, 
verificamos que existem números que aparecem em ambos, isto é, 
são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto é: 
 
M(6)  M(9) = {0, 18, 36, ...} 
 
Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, 
isto é, estes números são divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9. 
Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 
18, isto é: 
 
APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
7 
 
mmc (6, 9) = 18 
 
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, 
obtém-se decompondo simultaneamente este números e efetuando-
se o produto dos fatores primos comuns e não comuns escolhidos 
com seus maiores expoentes. 
 
Exemplo: 
Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180. 
Fatorando os números: 
 
 
 
 70 2 140 2 180 2 
 35 5 70 2 90 2 
 7 7 35 5 45 3 
 1 7 7 15 3 
 1 5 5 
 1 
 
 
Então temos: 
70 = 2 x 5 x 7 
140 = 22 x 5 x 7 
180 = 22 x 32 x 5 
 
Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três 
fatorações são 2e 5.O número 7 não é fator primo comum porque só 
aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 também 
não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 
180. Logo: 
 
fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 
5. 
 
Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 
32 e 7. 
 
mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260 
 
MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
 
 
 
Então: 
 
mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260 
 
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC 
 
O produto de dois números dados é igual ao produto do 
M.D.C. desses números. 
 
mmc (a, b) mdc (ab) = a x b 
 
Exemplo: 
 
Sejam os números 18 e 80 
Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80)  mdc (18, 80) 
O produto é 18  80 = 1440. 
 
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números. 
 
 
 
80, 18 2 
40, 9 2 
20, 9 2 
10, 9 2 
 5, 9 3 
 5, 3 3 
 5, 1 5 
 1, 1 
 
 
 
mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720 
 
Logo: 
mdc(80, 18) = 1440  mmc(18, 80) = 1440  720 = 2 
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido 
através do M.M.C. temos algumas indicações importantes. 
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos,significa que estes fatos são múltiplos; 
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns; 
III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o 
M.M.C. 
 
Exemplo: 
 
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 
15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando 
acontecerá o novo encontro? 
 
Resolução: 
Existe a ideia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se 
encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?" 
 Múltiplo 
"Encontrar-se-ão num determinado dia" 
 Comum 
"Quando acontecerá o novo encontro" 
 Mínimo 
 
Portanto 
 
 
15, 20, 25 2 
15, 10, 25 2 
15, 5, 25 3 
 5, 5, 25 5 
 1, 1, 5 5 
 1, 1 1 
 
 300 
 
 
 
APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
8 
 
Resposta: 
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias. 
 
NÚMEROS INTEIROS (Z) 
 
Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um 
comerciante desejando ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg 
de trigo existente num saco, escreve no saco: "- 3", a partir daí um 
novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números 
Inteiros, hoje, representamos pela letra Z. 
 
Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem 
começo nem fim. Concluímos, então, que todos os números inteiros 
possuem um antecessor e um sucessor. 
 Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, 
ilustraremos exemplos da adição e multiplicação. 
 
ADIÇÃO 
 
Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. 
 
Exemplos: 
(+2) + (+3) = +5 
(-2) + (-3) = - 5 
 
Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal 
do maior número em módulo. 
 
Exemplos: 
(-2) + (+3) = +1 
(+2) + (-3) = -1 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Calcule a soma algébrica: 
 
Resolução: 
 
-150 - 200 + 100 + 300 
-150 - 200 + 100 + 300 
-350 + 100 + 300 
-250 + 300 
50 
 
2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com 
Marcelo e perdeu 7 figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao 
jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com Hudson ganhou 1 e 
perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do 
jogo? 
 
Resolução: 
 
Representando em soma algébrica: 
20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0 
 
Resposta: Nenhuma. 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a 
seguinte regra: 
(+) . (+) = (+) 
(+) . (-) = (-) 
(-) . (+) = (-) 
(-) . (-) = (+) 
Exemplos: 
(+2)  (+3) = (+6) 
(+2) (- 3) = (- 6) 
(-2)  (+ 3) = (- 6) 
(-2)  (- 3) = (+ 6) 
 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Calcule o valor da expressão abaixo: 
{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1) 
 
Resolução: 
 
{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1) 
{12 + [-6 - 7]}  [-12 -(-16)] + (-14) - (-3) 
{12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3 
{12 - 13} . 4 - 14 + 3 
{-1}.4 - 14 + 3 
-4 - 14 + 3 
-18 + 3 
-15 
 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES 
 
São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas 
frações positivas e negativas. Número racional é todo número 
indicado pela expressão b
a
 , com b  0 e é representado 
pela letra Q. 
 
 
 
 
 
Atenção: 
 
I) Todo número natural é um racional. 
 
 
 
II) Todo número inteiro relativo é racional. 
 
 
 
 
FRAÇÕES 
 
Número fracionário ou fração é o número que 
representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida 
em partes iguais. 
 
Exemplos: 
 
1 hora = 60 minutos 
¼ hora = 15 minutos 
APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
9 
 
 4
2
 hora = 30 minutos 
 4
3
 hora = 45 minutos 
 
 Representação 
 
Uma fração é representada por meio de dois 
números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o 
segundo diferente de zero, chamados respectivamente de 
numerador e denominador, e que constituem os termos da 
fração. 
 
 
 
 
 
O denominador indica em quantas partes foi dividida 
a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas. 
As frações podem ser decimais e ordinárias. 
 
FRAÇÕES DECIMAIS 
 
Quando o denominador é representado por uma 
potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc. 
 
Exemplo: 
 
 
 
FRAÇÕES ORDINÁRIAS 
 
São todas as outras frações: 
 
 
 
 
TIPOS DE FRAÇÕES 
 
a) Frações Próprias: O numerador é menor que o 
denominador. Nesse caso a fração é menor que a unidade. 
 
Exemplo: 
 
 
 
b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que 
o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o 
numerador divisível pelo denominador e que são chamadas 
de frações aparentes. Porque são iguais aos números 
internos que se obtém dividindo o numerador pelo 
denominador. 
 
Exemplo: 
 
 
 
d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma 
mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois 
seus dois termos são números primos entre si, e por esta 
razão não têm mais nenhum divisor comum. 
 
Exemplo: 
 
 
Simplificando-se 
36
24
, temos 
3
2
 (fração irredutível) 
 
 
 
REDUÇÕES DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR 
 
1) Reduzem-se as frações à forma irredutível 
2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas 
frações 
3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo 
numerador o resultado da divisão. 
 
Exemplo: 
 
 
 
1-) 
 
6
3
 = 
2
1
 
 
 
2-) 
 mmc (2, 5, 7) = 70 
 
3-) 
 
5
2
,
2
1
 , 
7
4
  
70
, 
70
, 
70
  
70
28
, 
70
35
, 
70
40
 
 
 
 
PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES 
 
 
APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
10 
 
1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma 
fração por um certo número diferente de zero, o valor de 
fração fica multiplicado ou dividido por esse número. 
 
Exemplo: 
Seja a fração 10
3
. Se multiplicarmos o numerador por 2, 
obteremos a fração 10
6
, que é duas vezes maior que 10
3
, 
pois se em 10
6
 tomamos 6 das 10 divisões da unidade, em 
10
3
 tomamos apenas três. 
 
Ilustração: 
 
 
 
Observando a ilustração, verificamos que 10
3
 é duas vezes 
menor que 10
6
. 
 
2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma 
fração por um número diferente de zero, o valor da 
fração fica dividido ou multiplicado por esse número. 
 
Exemplo: 
Seja a fração 5
2
. Multiplicando o denominador por 2, 
obtemos a fração 10
2
, que é duas vezes menor que 5
2
, pois 
em 5
2
 dividimos a unidade em 5 partes iguais e das cinco 
tomamos duas, enquanto que em 10
2
, a mesma unidade foi 
dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas duas em dez. 
 
Ilustrações: 
 
 
 
 
Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que 5
2
 é 
duas vezes maior que 10
2
. 
 
3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um 
número diferente de zero, o valor da fração não se altera. 
 
Exemplo: 
 
 
 
5
2
  
2
2


5
2
 
10
4
 
 
 
Logo: 
5
2
 = 
10
4
 
 
 
Ilustrações: 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS MISTOS 
 
Número misto é aquele formado por um número 
inteiro e umafração. 
Para transformarmos um número misto em uma 
fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria 
pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o 
numerador. 
 
Exemplo: 
 
 
7
4
6 = 
7
442
 = 
7
46
 
 
 
 
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos 
APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
11 
 
qual é a maior e qual a menor. Para isto, devemos conhecer 
os critérios de comparação: 
1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a 
maior é a que tem maior numerador. 
 
Exemplo: 
 
 
10
4
> 
10
3
 > 
10
1
 
 
2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é 
a que tem menor denominador. 
 
Exemplo: 
 
 
5
4
> 
7
4
 > 
10
4
 
 
3) Quando as frações têm numeradores e denominadores 
diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo 
denominador ou ao mesmo numerador. 
 
Exemplo: 
 
 
5
2
<
2
1
< 
7
4
  
70
28
< 
70
35
< 
70
40
 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, 
empregando o sinal <. 
 
5
4
, 
10
7
, 
5
2
, 
2
1
, 
3
6
 
 
 
Resolução: 
 
Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e para 
tanto o mmc 
(2, 3, 5, 10) = 30: 
 
 
5
4
, 
10
7
, 
5
2
, 
2
1
, 
3
6
  
30
, 
30
, 
30
, 
30
, 
30
 
 
30
24
, 
30
21
, 
30
12
, 
30
15
, 
30
60
 
Logo: 
30
12
<
30
15
<
30
21
<
30
24
<
30
60
 
5
2
<
2
1
<
10
7
<
5
4
<
3
6
 
 
 
 
FRAÇÕES EQUIVALENTES 
 
São frações que representam a mesma parte do 
inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor. 
 
 
 
Na figura acima temos:
2
1
=
6
3
=
4
2
 
 
 logo são frações 
equivalentes. 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Significa obter uma outra fração equivalente na qual 
o numerador e o denominador são números primos entre si. 
Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o 
denominador pelo mesmo número. 
 
 
1
O
. M o d o :
48
36
  
4
4
48
36



12
9

3
3
12
9


 
4
3
 
 
 
4
3
 está na sua forma irredutível. 
 
2O. Modo: 
Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. 
(máximo divisor comum) entre o mdc (48,36) = 12 
 
 
12
12
48
36


 
4
3
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
1) Obter 3 frações equivalentes a 5
3
. 
 
Resolução: 
Basta tomar os termos da fração 5
3
multiplicá-lo por um 
mesmo número diferente de zero: 
 
3
3
5
3


=
15
9
 
7
7
5
3


=
35
21
 
12
12
5
3


=
60
36
 
 
 
 
 
ADIÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Temos dois casos à considerar: 
 
Caso 1: 
Denominadores Iguais 
 
"Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador 
comum". 
 
Exemplo: 
 
 
5
11
 + 
5
9
 + 
5
2
 = 
5
2911 
= 
5
22
 
 
 
Caso 2: 
Denominadores Diferentes 
 
"Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e 
aplica-se a regra anterior ". 
 
Exemplo: 
 
APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
12 
 
 
5
4
+ 
10
7
+ 
5
2
 + 
2
1
+ 
3
6
  
30
24
+
30
21
+ 
30
12
+ 
30
15
+
30
60
 
 
30
6015122124 
=
30
132
 
 
Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua 
forma irredutível: 
 
6
6
30
132


= 
5
22
 
 
 
Nota: 
Em caso da adição de frações envolver números mistos, 
transformamos os números mistos em frações impróprias. 
 
 
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição 
(Caso 1 e Caso 2). 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não 
importando se os numeradores e denominadores são iguais 
ou diferentes, vamos sempre: 
 
Multiplicar os numeradores entre si, assim como os 
denominadores. 
 
Exemplos: 
 
 
 
5
3
 
7
6
 = 
75
63


= 
35
18
 
 
5
4

10
7

5
2
 = 
5105
274


=
250
56
= 
2
2
250
56


=
125
28
 
 
 
Nota: 
 
Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido 
feitas durante o produto, observe: 
 
5
4

10
7

5
2
= 
5
2

5
7

5
2
= 
125
28
 
 
, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro. 
 
DIVISÃO DE FRAÇÕES 
 
Na divisão de duas frações, vamos sempre: 
 
Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da 
segunda. 
 
Exemplo: 
 
 
 
5
3
 
7
6
 = 
5
3
 
6
7
 = 
5
1
 
2
7
 =
25
71


= 
10
7
 
 
 
 
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS 
 
 
O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, 
que são conjuntos de frações ligadas por sinais de operações 
é feito na segunda ordem: 
 
1º) As multiplicações e divisões 
 
2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos 
parênteses, colchetes e chaves. 
 
Exemplo: 
Vamos resolver a seguinte expressão: 
 
 



















6
5
2
1
3
4
7
11
3
11
5
2
2
4
1
2
9
= 
= 
















 

6
5
6
4
11
7
3
11
5
210
4
1
2
9
= 
= 












5
6
6
4
3
7
5
12
4
1
2
9
= 












5
4
3
7
5
3
2
9
= 
= 




 





 
15
1235
10
645
 = 
15
47
10
39
 = 
47
15
10
39
 = 
=
47
3
2
39
 = 
47
3
2
39
 = 
94
117
 
 
NÚMEROS REAIS (IR) 
 
A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem 
ao conjunto dos números reais, representado pela letra IR. 
 
Observe o diagrama: 
 
 
 
 
Observação  "Números Irracionais" 
 
A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - 
Q representa o conjunto dos números irracionais, e estes por 
sua vez são aqueles que não podem ser escritos na forma de 
fração: 
 
Exemplos: 
 
 2 , 3 , etc. 
 
NÚMEROS DECIMAIS 
 
Os números decimais fazem parte do conjunto dos 
números racionais, e no entanto, estes números merecem 
uma atenção especial, que aparecem muito em nosso 
cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de 
provas de concursos públicos. 
 
ADIÇÃO 
APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
13 
 
 
Escrevem-se os números decimais uns sobre os 
outros de modo que as vírgulas se correspondam; somam-se 
os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula 
na soma, em correspondência com as parcelas. 
 
Exemplo: 
 
 
13,8 + 0,052 + 2,9 = 
 
13,8 13,800 
 0,052 ou 0,052 
 2,9 2,900 
 
16,752 16,752 
 
 
 
SUBTRAÇÃO 
 
Escreve-se o subtraendo sob o número de modo 
que as vírgulas se correspondam. Subtraem-se os números 
como se fossem inteiros, e coloca-se a vírgula no resultado 
em correspondência com os dois termos. 
 
Exemplo: 5,08 - 3,4852 = 
 
 5,0800 
 3,4852 
 
 1,5948 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Para se efetuar o produtoentre números na forma decimal, 
deve-se multiplicar normalmente, como se fossem números 
inteiros e após conta-se a quantidade de casas decimais que 
cada um dos fatores apresenta somando em seguida e 
transferindo para o resultado do produto. 
 
Exemplo: 
 
 
 
1,23  0,4 = 0,492; 12,345  5,75 = 70,98375 
 
 
DIVISÃO 
 
Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo 
número de casas decimais, desprezam-se as vírgulas de 
ambos, e efetua-se a divisão como se fossem inteiros. Obtido 
o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua 
direita e um zero a sua esquerda do resto, a fim de continuar 
a divisão. 
Os demais algarismos do quociente serão sempre 
obtidos colocando-se um zero a direita de cada resto. 
 
 
Exemplo: 
 
72,2379  5,873 
 
 
Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor 
temos: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que 
não seja divisível por 5 ? 
 
P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para 
que resulte um número divisível por 3 ? 
 
P3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 para 
que resulte um número divisível por 5 ? 
 
P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem 
contadas de 9 em 9 não sobra nenhuma e se forem contadas 
de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as bolinhas? 
 
P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 
15 ; então podemos afirmar que o conjunto A tem : 
a) 5 elementos b) 6 elementos 
c) 7 elementos d) 8 elementos 
 
P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 
para se obter um número divisível por 252? 
 
P7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 
para se obter um número divisível por 1050? 
 
P8) Assinalar a alternativa correta. 
a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos 
b) Todo número primo é divisível por 1 
c) Às vezes um número primo não tem divisor 
d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor 
 
P9) Assinalar a alternativa falsa: 
a) O zero tem infinitos divisores 
b) Há números que tem somente dois divisores: são os 
primos; 
c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo; 
d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é 
zero. 
 
P10) Para se saber se um número natural é primo não: 
a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números 
primos; 
b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos; 
c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos; 
d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos. 
 
P11) Determinar o número de divisores de 270. 
 
P12) Calcule o valor das expressões abaixo: 
a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7) 
b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2 
c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7 
d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ] 
e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2 
f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13 
 
P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos 
dividir 180 e 204, a fim de que os quocientes sejam iguais. 
a) 15 e 17 b) 16 e 18 
c) 14 e 18 d) 12 e16 
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14 
 
 
P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, 
respectivamente, 90, 108 e 144 metros, em partes iguais e do 
máximo tamanho possível. 
Determinar então, o número das partes de cada peça e 
os comprimentos de cada uma. 
9, 8, 6 partes de 18 metros 
8, 6, 5 partes de 18 metros 
9, 7, 6 partes de 18 metros 
10, 8, 4 partes de 18 metros 
e) e) e) 
 
P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima 
distância comum, um terreno de forma quadrilátera. Quantas 
árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 
3150,1980, 1512 e 1890 metros? 
a) 562 árvores b) 528 árvores 
c) 474 árvores d) 436 árvores 
 
P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos 
em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 3 anos. 
Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano 
deverão ser realizadas novamente eleições para esses 
cargos? 
 
P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes 
respectivamente. Cada roda tem um dente esmagador. Se 
em um instante estão em contato os dois dentes 
esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente 
o encontro? 
 
P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo 
sentido. O primeiro percorre em 36 segundos, e o segundo 
em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-
se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente no 
ponto de partida e quantas voltas darão cada um? 
 
P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem 
respectivamente 60 e 75 dentes, sendo que os dentes são 
todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 
10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior, 
estes dentes estarão juntos novamente? 
 
P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o 
produto deles, podemos afirmar que: 
a) os números são primos 
b) eles são divisíveis entre si 
c) os números são primos entre si 
d) os números são ímpares 
 
P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, 
ônibus a cada 8 minutos; para Campinas a cada 20 minutos e 
para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã 
partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que 
horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas? 
 
P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São 
Paulo a cada 20 minutos, para o Sul do país a cada 40 
minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da 
manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as 
outras horas, quando os embarques coincidem até as 18 
horas. 
 
P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 
ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais serão necessários para 
ladrilhar 3/8 do mesmo pátio? 
 
P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. 
Quais são os números? 
 
P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. 
Uma tarde recebeu uma peça de linho de 45 metros para 
vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 
do que sobrou. Quantos metros restaram por vender? 
 
P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O 
primeiro recebeu 3/4 do que tocou ao segundo e este, 2/3 do 
que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um ? 
 
P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três 
fregueses. O primeiro comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. 
O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o 
terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros 
tinha a peça ? 
 
P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 
1/5 do valor e outro, 1/7. Juntando ao que possuem 
R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do 
terreno ? 
 
P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 
3/5 do resto. Ficou com R$80,00. Quanto possuía? 
 
P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4? 
 
P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em 
seguida mais 3/5 do restante. Quanto falta para atingir o 
cume? 
 
P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando 
se acrescentam 3 unidades? 
 
P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 
1 hora e 30 minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a 
outra uma viagem de trem? 
 
P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa 
mesma maçã. Qual das duas comeu mais e quanto sobrou? 
 
P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para 
quociente 49. Qual é esse número? 
 
P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três 
meninos. Quantas balas couberam a cada um, se o primeiro 
deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo deu ½ do 
que possuía ao terceiro? 
 
P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três 
herdeiros. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o 
restante. Qual recebeu a maior quantia? 
 
P38) Uma torneira leva setehoras para encher um tanque. Em 
quanto tempo enche 3/7 desse tanque? 
 
P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro 
recebe ½, o segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os 
restantes recebem partes iguais. Quanto recebeu cada 
pobre? 
 
P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo 
combate morrem mais 1/7 do que restou e ainda sobram 
30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando? 
 
P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são 
pereiras; há ainda mais 24 árvores diversas. Quantas árvores 
há no pomar? 
 
P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma 
estrada faz mais cinco quilômetros e assim corre 2/3 do 
percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e qual 
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15 
 
o total do percurso, em quilômetros? 
 
P43) Efetuar as adições: 
 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 
 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 
 
P44) Efetuar as subtrações: 
 1º) 6,03 - 2,9456 
 2º) 1 - 0,34781 
 
P45) Efetuar as multiplicações 
 1º) 4,31 x 0,012 
 2º) 1,2 x 0,021 x 4 
 
P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta. 
 1º) 56 por 17 a menos de 0,01 
 2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1 
 3º) 5 por 7 a menos de 0,001 
 
P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. 
Nestas condições: 
Escreva a representação decimal do número de acertos; 
Transformar numa fração decimal; 
Escreva em % o número de acertos de Luciana. 
d) d) d) 
P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica 
lembrando a ordem das operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005). 
 
P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a 
fração decimal que representa o número 0,081 na forma de 
fração decimal, Toninho escreveu 10
81
; Ele acertou ou errou a 
resposta. 
 
P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, 
quais tem o mesmo valor ? 
 
P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o 
resultado por 3 dá o mesmo resultado que multiplicar 804 por 
0,75? 
 
P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor 
de 4 - x . 
 
P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem 
de 1,5 litro que custa R$ 7,50. Uma indústria B vende o 
mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que custa R$ 5,40. 
Qual das duas vende o suco mais barato? 
 
P54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a 
fila única de clientes de um banco, tem um comprimento de 9 
metros em média, e a distância entre duas pessoas na fila é 
0,45m. 
Responder: 
a) Quantas pessoas estão na fila? 
b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser 
atendida, em quanto tempo serão atendidas todas as 
pessoas que estão na fila? 
 
 
GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
P1) 1,2,3,4 
P2) 2 
P3) 2 
P4) 45 
P5) B 
P6) 7 
P7) 10 
P8) B 
P9) D 
P10) B 
P11) 16 
P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357 
f) 682 
P13) A 
P14) B 
P15) C 
P16) 1941 
P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor 
P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos 
P19) Após 4 voltas 
P20) C 
P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h 
P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h 
P23) 24.339 
P24) 72 e 48 
P25) 12 metros 
P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00 
P27) 90 metros 
P28) R$420.000,00 
P29) R$300,00 
P30) 155/4 
P31) 2/7 
P32) 24 
P33) 9 h 
P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada 
P35) 35 
P36) 6,6,15 
P37) R$35.000,00 
 
P38) 3horas 
P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 , 
3º 4º e 5º R$16,00 
P40) 45.000 
P41) 105 
P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros 
P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791 
P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219; 
P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008; 
P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714; 
P47) a) 0,85 b) 100
85
 c) 85% 
P48) 0,05 
P49) Errou, a resposta é 81/1000 
P50) 2,03; 2,030 e 2,0300 
P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603 
P52) 13,6256 
P53) a indústria A 
P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos. 
 
MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 
A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é 
m. 
 
O metro é um padrão adequado para medir a largura de 
uma rua, o comprimento de um terreno, a altura de uma sala. 
 
Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de 
metro e que são maiores que ele, como por exemplo medir a 
extensão de uma estrada. 
 
Há também unidades derivadas do metro e que servem 
para medir pequenos comprimentos, como por exemplo o 
comprimento de um prego. 
 
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16 
 
Observe a tabela que representa os múltiplos e 
submúltiplos do metro. 
 
 Nome Símbolo Relação 
Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m 
 hectômetro hm 100 m 
 quilômetro km 1000 m 
Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m 
 centímetro cm 0,01 m 
 milímetro mm 0,001 m 
 
Nota: 
Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do 
metro, realizando sucessivas multiplicações ou divisões por 10. 
 
MUDANÇA DE UNIDADE 
 
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a 
escada de unidades abaixo representada: 
 
 
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros 
para centímetros, vamos multiplicar o número por 100, pois 
estaremos descendo dois degraus. 
Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada 
(metros pra hectômetro por exemplo), iríamos dividir o número por 
100. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que 
vamos escolher o fator múltiplo de dez. 
 
Exemplo1: 
 
Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros. 
hm  m   100 (Desce 2 degrau) 
424,286 100 = 42428,6 m 
 
 
Exemplo2: 
 
Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros. 
dm  km   10.000 (Sobe 4 degraus) 
 5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km 
 
 
 
 
OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS 
RELACIONADAS AO METRO 
 
Polegada = 2,54 cm 
 Pé = 30,48 cm 
Milha = 1609 metros 
 
 
 
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 
P1) Reduzir 28,569 hm a metros. 
 
P2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros. 
 
P3) Quantos metros existem em 8 dm? 
 
P4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que 
essa distância equivale, em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o 
raio da terra mede 6.370.000 m). 
 
P5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos 
quilômetros ele fez, em média, por hora? 
 
P6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo 
empregará esse homem para percorrer 4.240 km de uma estrada, 
sabendo-se que anda à razão de 100 passos por minuto? 
 
P7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 
84,00 o metro. Se esta fazenda foi medida com uma régua que era 1 
cm mais curta que o metro verdadeiro; pergunta-se: 
1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu? 
2º) Quanto pagou a mais? 
 
P8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao 
teto. Nos prédios de apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. 
Qual a altura aproximada de um prédio de 15 andares? 
 
P9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em 
diagonal por polegadas. Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. 
Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16 polegadas? 
 
P10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de 
comprimento, 50 cúbitos de largura e 30 cúbitos de altura. 
Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da arca de 
Noé. 
 
P11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se 
que a distância real de São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 
400 km, essa distância corresponde a quantos cm no mapa? 
 
 P12) A figuraa seguir mostra parte de um mapa onde estão 
localizadas as cidades A, B, C< D e as distâncias (em km) entre elas. 
Um automóvel percorria uma menor distância saindo de A, 
passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e 
chegando a D? 
 
 
 
P13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de 
mesmo comprimento. Qual deverá ser o comprimento de cada 
pedaço? 
 
P14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que 
tem 52,5 km de comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a 
cidade C por uma estrada cujo comprimento é igual a 2/3 da 
distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um veículo 
que sai de A, passa por B e atinge C? 
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17 
 
 
P15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala 
que tem 7,40m de comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem 
três portas, duas delas com 90 cm de vão cada uma e a outra com 
130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no 
vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé: 
a) 16m 
b) 17m 
c) 18 m 
d) 19 m 
e) 20 m 
 
GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 
P1) 2856,9 
 
P2) 0,00456835 
 
P3) 0,80 
 
P4) 382.200 km 
 
P5) 4,8 km/h 
 
P6) 53.000 minutos 
 
P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80 
 
P8) 40,50 m 
 
P9) 40 cm 
 
P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura 
 
P11) 16 cm 
 
P12) Passando por C 
 
P13) 1,62 m 
 
P14) 87,5 km 
 
P15) E 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
INTRODUÇÃO 
 
Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de 
figuras planas, vamos revisar alguns conceitos básicos da 
Geometria Plana. 
 
ÂNGULOS 
 
"Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem". 
 
 
Ângulo: BOˆA 
 
 
BISSETRIZ 
 
"É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o 
divide em 2 ângulos congruentes". 
 
 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
 
"São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos 
lados do outro, como ilustra a figura". 
 
 
TEOREMA: ba ˆˆ  
 
 
 
CLASSIFICAÇÕES 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS ADJACENTES 
 
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18 
 
 
 
 
TRIÂNGULOS 
 
"Os Triângulos são Polígonos de três lados". 
 
CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOS 
 
 
 
CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOS 
 
 
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
 
"Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados". 
 
TRAPÉZIO 
 
"Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos 
consecutivos (agudo e obtuso) suplementares". 
 
Trapézio ABCD: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

AD // BC 
 Aˆ + Bˆ = 180O 
 Cˆ + Dˆ = 180º 
 
 
PARALELOGRAMO 
 
 
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos 
opostos iguais e consecutivos suplementares". 
 
Paralelogramo ABCD: 
 
 
 
AB // CD e AC // BD 
 Aˆ + Bˆ = 180O 
 Cˆ + Dˆ = 180º 
 Aˆ = Dˆ e Cˆ = Bˆ 
 
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19 
 
LOSANGO 
 
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, 
ângulos opostos iguais e ângulos consecutivos 
suplementares". 
 
Losango ABCD: 
 
 
AB // CD e AC // BD 
AB =BC = CD = AD 
 Aˆ + Bˆ = 180O 
 Cˆ + Dˆ = 180º 
 Aˆ = Cˆ e Dˆ = Bˆ 
 
 
RETÂNGULO 
 
 
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos 
internos de medida igual a 90O". 
 
Retângulo ABCD: 
 
 
AB // CD e 
AD // BC 
 Aˆ = Bˆ = Cˆ = Dˆ =90O 
 
QUADRADO 
 
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, 
ângulos internos de medida igual a 90O". 
 
Quadrado ABCD: 
 
 
AB // CD e AD // BC 
AB = BC = CD = AD 
 Aˆ = Bˆ = Cˆ = Dˆ = 90O 
 
POLÍGONOS DIVERSOS 
 
Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de 
lados maiores que 4, que é o caso do Pentágono (5 lados), 
Hexágono (6 lados), e assim sucessivamente. Observe a 
tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos: 
 
Nomenclatura 
 
Número de lados 
 3 Triângulo 
 4 Quadrilátero 
 5 Pentágono 
 6 Hexágono 
 7 Heptágono 
 8 Octógono 
 9 Eneágono 
 10 Decágono 
 11 Undecágono 
 12 Dodecágono 
 20 Icoságono 
 
Exemplos: 
 
Pentágono 



Hexágono 
 
 
 
 Notas: 

"Polígonos Regulares" 
 
Os polígonos são ditos regulares quando seus lados e 
ângulos são iguais entre si. Por exemplo, um polígono regular 
de três lados é triângulo equilátero, ou de quatro lados, o 
quadrado. 

Perímetro dos Polígonos 
 
Para a obtenção do perímetro de qualquer figura plana é 
necessário apenas, soma os lados da figura em questão. 
 
 
EXERCÍCIOS / FIGURAS PLANAS 
 
P1) Um terreno é retangular. As medidas dos seus lados são 58 m e 
22,5 m. Se esse terreno precisa ser murado em todo o seu contorno, 
determine: 
a) Quantos metros de muro devem ser construídos? 
b) Quantos tijolos serão usados na construção do muro, se para cada 
m de muro são usados 45 tijolos? 
 
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20 
 
P2) Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 62,5m 
nestas condições: 
a) Se Manoel der 3 voltas completas em torno do jardim, quantos m 
ele andará? 
b) Se Helena andar a metade da medida do contorno desse jardim, 
quantos m ela andará? 
 
P3) Um jardim é retangular. O maior lado desse jardim mede 150 m 
e o lado menor mede 3/5 do maior. Nestas condições. 
a) Quanto mede o menor lado do jardim? 
b) Qual a medida do contorno desse jardim? 
 
P4) Raul tem 100 m de tela de arame para fazer uma cerca. Nessas 
condições: 
a) Ele poderia fazer uma cerca de 23 m de lado? 
b) Ele poderia fazer uma cerca retangular de 32 m de comprimento 
por 12 m de largura? 
 
P5) Usando um pedaço de barbante, Helena mediu o contorno de 
uma mesa quadrada e encontrou ao todo 8 pedaços. Se esse pedaço 
de barbante mede 24 polegadas, calcule: 
a) Quantas polegadas mede o contorno da mesa? 
b) Quantos cm mede o contorno dessa mesa, se uma polegada mede 
2,5 cm. 
 
P6) Um hexágono regular tem 6 lados, todos com a mesma medida. 
Se o perímetro desse hexágono é 51 cm, quanto mede cada lado 
desse hexágono? 
 
GABARITO - PERÍMETROS 
 
P1) a) 161 m b) 7245 tijolos 
 
P2) a) 750 m b) 125 m 
 
P3) a) 90 m b) 480 m 
 
P4) a) sim b) sim 
 
P5) a) 192 polegadas b) 480 cm 
 
P6) 8,5 cm 
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE 
 
"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta 
ou por linhas curvas. Medir uma superfície é compará-la com outra 
tomada como unidade". 
 
Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da 
área do sistema métrico internacional, cuja unidade básica é o metro 
quadrado (m2) e que corresponde a um quadrado de 1 metro de lado. 
 
 
 
Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a 
unidade imediatamente inferior. 
O metro quadrado foi criado para medir grandes 
superfícies, como por exemplo, a superfície de uma fazenda. 
Para medir grandes superfícies foram criadas unidades 
maiores que o metro quadrado, bem como, foram criadas unidades 
menores que o metro quadrado para medir pequenas superfícies. 
 
Múltiplos do Metro Quadrado 
 
Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área 
quadrada de 1 dam de lado, equivalendo a 100 m2. 
 
Hectômetro Quadrado (hm2) - que correspondea uma área 
quadrada de 1 hm de lado, equivalendo a 10.000 m2. 
 
Quilômetro Quadrado (km2) - que corresponde a uma 
região quadrada de 1 km de lado, equivalendo a 1.000.000 m2. 
 
 
Submúltiplos do Metro Quadrado 
 
Decímetro Quadrado (dm2) - que corresponde a uma 
região quadrada de 1 dm de lado, equivalendo a 0,01 m2. 
 
Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área 
quadrada de 1 cm de lado, equivalendo a 0,0001 m2. 
 
Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área 
quadrada de 1 mm de lado, equivalendo a 0,000001 m2 
 
 
QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE 
 
As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, 
qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade 
imediatamente superior. 
 
 
MUDANÇA DE UNIDADE 
 
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, 
utilizaremos a escada de unidades abaixo representada: 
 
 
 
 
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros 
quadrados para centímetros quadrados, vamos multiplicar o número 
por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus. Por outro lado, se 
fôssemos subir dois degraus desta escada (metros quadrados pra 
decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 
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21 
 
10.000. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é 
que vamos escolher o fator múltiplo de cem. 
 
 
MEDIDAS AGRÁRIAS 
 
São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, 
fazendas, etc. 
As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem 
designações especiais. 
A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo 
é a, equivale a 1 dam2 ou seja 100 m2. 
O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo: 
O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro 
quadrado. Seu símbolo é ha. 
O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor 
corresponde a 0,01 are e equivale a 1m2. 
 
 
Múltiplo hectare ha Hectômetro 
quadrado 
10.000 
m2 
 are a Decâmetro 
quadrado 
100 m2 
Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2 
 
 
Observação: 
 
Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico 
decimal. 
 
Alqueire Paulista = 24.200 m2 
Alqueire Mineiro = 48.400 m2 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS 
 
P1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2? 
 
P2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa 
reserva em ha? 
 
P3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área 
dessa plantação em km2? 
 
P4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa 
gleba foi reservada para pasto. Quantos m2 de pasto foram formados 
nessa gleba? 
 
P5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele 
comprou? 
 
P6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram 
formados 50 alqueires (mineiros) de pasto de excelente qualidade. 
Quantos m2 de pasto foram formados nessa fazenda? 
 
P7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. 
Qual é, em m2, a superfície ocupada pela plantação? 
 
GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS 
 
P1) 60.000 m2 
 
P2) 12,28 ha 
 
P3) 4,06 km2 
 
P4) 3750 m2 
 
P5) 145.20 m2 
 
P6) 2.420.000 m2 
 
P7) 420.000 m2 
 
ÁREAS DE POLÍGONOS 
 
Quando medimos superfícies tais como um terreno, 
ou piso de uma sala, ou ainda uma parede, obtemos um 
número, que é a sua área. 
 
"Área é um número real, maior ou igual a zero, que 
representa a medida de uma superfície." 
 
Obteremos, portanto, as relações que vão nos 
auxiliar a encontrar as áreas dos polígonos mais comuns. 
 
RETÂNGULO (SR) 
 
A área de uma região retangular de altura h e base b é dada 
por b  h unidades de área, ou seja: 
 
 
SR = b  h 
 
QUADRADO (SQ) 
 
A área de uma região quadrada 
de lado a é dada por (a  a = a2) 
unidades de área, ou seja: 
 
 
SQ = 
a  a = a2 
 
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22 
 
 
PARALELOGRAMO (SP
 
 
Vamos recortar o triângulo ADH e coloca-lo no 
espaço existente no lado BC: 
 
Como as duas áreas são iguais, podemos dizer que a área 
da região limitada por um paralelogramo é dada 
multiplicando-se o comprimento (ou base) b pela largura (ou 
altura) h, ou seja: 
 
SP = b  h 
 
TRIÂNGULO (S) 
 
 Para chegarmos na fórmula para cálculo da área limitada por 
um triângulo vamos primeiramente dividir um retângulo por 
uma das diagonais, encontrando assim dois triângulos 
retângulos congruentes: 
 
 
Observando a figura acima, concluímos que a área 
de um triângulo pode ser obtida pela metade da área de um 
retângulo: 
 
 
 
S = 
2
SR
 = 
2
hb
 
 
 
 
SD =
2
hb
 
 
 
LOSANGO (SL) 
 
 
Seja o Losango MNPQ abaixo de diagonal maior D e 
diagonal menor d. 
 
 
Para deduzirmos qual a fórmula para cálculo da sua área 
vamos separa-lo em dois outros triângulos (MNP e MQP) 
de base D e altura d/2 congruentes entre si: 
 
 
Logo: SL = 2  S1 = 2 x
2
.D
2
d
 = 2  
4
d.D
 = 
2
d.D
 
 
 2
d.D
S
L
 
 
 
TRAPÉZIO (ST) 
 
Seja o Trapézio abaixo de base menor b, base maior 
B e altura h. 
 
 
Para deduzirmos a fórmula para o cálculo da área 
limitada por um trapézio, vamos inverter sua posição e 
"encaixar" num segundo trapézio idêntico ao primeiro, 
observe: 
 
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23 
 
 
Desta forma, encontramos um paralelogramo, e para calcular 
a área de um paralelogramo basta multiplicar a sua base pela 
sua altura, logo: 
 
 
SP = 2  ST  ST = 
2
SP  ST =
2
alturabase 
 
 

 
 
ST = 
2
b).h(B
 
 
 
CÍRCULO 
 
A área de um círculo de raio r é dada por: 
 
 S =  . r2 
 
 
SETOR CIRCULAR 
 
Se  é dado em graus, a área do setor circular pode ser 
calculada por: 
 
 SSC = 
2r
360
α 
 
 
 
COROA CIRCULAR 
 
A área da Coroa Circular pode ser calculada pela diferença 
da área do círculo maior pela área do círculo menor. 
 
 SCC =  (R2  r2) 
 
Observação: 
 
"Comprimento da Circunferência" 
 
O comprimento de uma circunferência é calculado a partir da 
fórmula: 
 
C = 2..R 
 
Não confunda circunferência com o círculo: para você 
enxergar a diferença basta você imaginar uma pizza, a sua 
borda será a circunferência e o todo o seu recheio será o 
círculo. 
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS) 
 
P1) Uma parede tem 27m2 de área. Sabendo-se que já foram 
pintados 15m2 dessa parede, quantos m2 de parede ainda resta 
pintar? 
 
P2) Em um terreno de 5.000m2, 42% da área foi reservada ara 
construções, ficando o restante como área livre. Quantos metros 
quadrados restaram de área livre? 
 
P3) Uma parede dever ser revestida com azulejos. A parede tem 
20m2 de área e cada azulejo tem 0,04m2 de área. Quantos azulejos 
devem ser comprados para revestir totalmente essa parede? 
 
P4) Uma região retangular tem 6 m de comprimento por 4 de 
largura, uma região quadrada tem 5m de lado. Qual das duas 
regiões tem a maior área? 
 
P5) Consideremos uma região retangular que tem 27m de 
comprimento e 8 de largura. Essa região foi dividia em duas outras 
regiões A e B, de forma que a área da região A corresponde a 1/3 
da área da região que foi dividida. Calcule a área de cada região. 
 
P6) Uma região circular tem 5m de raio. Essa região foi dividida 
em duas outras, A e B, de modo que a área da região B corresponde 
a 40%da área da região original. Calcule a área de cada uma 
dessas regiões. 
 
P7) Foram confeccionadas 1.500 flâmulas triangulares. Cada 
flâmula tem 0,40m de base de 0,15m de altura. Quantos metros 
quadrados foram usados na confecção dessas flâmulas? 
 
P8) Uma peça de madeira tem a fórmula de losango. A diagonal 
maior mede 50cm e a diagonal menor 20cm. Qual a área desse 
losango? 
 
P9) Calcular a base de um paralelogramo cuja a área é de 
8,8336dm2 e a altura 1,52dm. 
 
P10) A área de um losango mede 2,565 dm2 e uma das suas 
diagonais tem 2,7dm. Quanto mede a outra diagonal? 
 
P11) A base maior de um trapézio mede 2,4m e a menor é igual a 1/3 
da maior. Qual é a sua área em m2. Sabendo-se que a altura mede 
8,5dm? 
 
P12) O comprimento de uma circunferência é 25,12cm. Qual é a 
área da circunferência? 
 
P13) A medida do raio de uma circunferência é igual a metade da 
medida do diâmetro dessa circunferência. Esta afirmação é falsa ou 
verdadeira? 
 
P14) A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Quando a roda 
desse automóvel der 5.000 voltas completas, de quantos metros será 
a distância percorrida pelo automóvel? 
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24 
 
 
P15) Uma circunferência tem 80 cm de raio. Se eu dividi-la por 
pontos em 4 partes de mesmo comprimento, qual será o 
comprimento de cada uma dessas 4 partes? 
 
P16) Determinar o valor do raio de uma circunferência cujo 
comprimento é 12,56 dm. 
 
P17) Cada uma das rodas, de 0,30 m de raio, de um automóvel, deu 
4.500 voltas percorrendo um certo trajeto. Quantos quilômetros 
percorreu este automóvel? 
 
GABARITO - MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS) 
 
P1) 12m2 
 
P2) 2900 m2 
 
P3) 500 azulejos 
 
P4) A quadrada pois 25 m2 > 24 m2 
 
P5) 144 m2 para B e 72 m2 para A 
 
P6) A região A = 47,10m2 e a região B = 31,40m2. 
 
P7) 45 m2 
 
P8) 500 cm2 
 
P9) 5,8116 dm 
 
P10) 1,9 dm 
 
P11) 1,36 m2 
 
P12) 50,21 cm2 
 
P13) Verdadeiro 
 
P14) 9425 m 
 
P15) 125,66 cm 
 
P16) 2 dm de raio 
 
P17) 8,478 km 
 
MEDIDAS DE CAPACIDADE 
 
" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em 
seu interior". 
 
Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de 
água mineral cabe meio litro, estamos medindo a quantidade de 
líquido que a garrafa pode conter. 
 
 
Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as 
unidades de volume para medir os líquidos. Mas para este fim, 
utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que se 
abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 
dm de aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro 
cúbico. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, 
um consumo de 25m3 de água. Quantos litros de água foram 
consumidos nessa casa? 
 
25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l 
 
 
MUDANÇA DE UNIDADE 
 
Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 
em 10, pode-se concluir que as mudanças de unidades são feitas 
como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se a vírgula 
de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou 
ainda, como foi dito, utilizando a escada de transformações 
representada abaixo: 
 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE 
 
P1) Expressar 2l em ml. 
 
P2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3. 
 
P3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o 
consumo do último mês foi de 36m3, quantos litros de água foram 
consumidos? 
 
P4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina 
que deve ser colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas 
ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina? 
 
P5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 
85m3. Quantos litros de combustível essa carreta pode transportar 
quando totalmente cheia? 
 
P6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente 
cheio quando deles foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi 
retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas condições, 
quantos litros ainda restam no reservatório? 
 
P7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 
12cm3. Qual é a capacidade máxima em ml desta ampola? 
 
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25 
 
P8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo 
volume interno é de 0,24m3? 
 
 
 
GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE 
 
P1) 2000ml 
 
P2) 250000 cm3 
 
P3) 36.000 litros 
 
P4) 40.000 ampolas 
 
P5) 85.000l de combustível 
 
P6) 5200 litros 
 
VOLUME DOS SÓLIDOS 
 
 
"As abelhas em virtude de uma certa intuição geométrica sabem, 
que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo e conterá 
mais mel com o mesmo gasto de material..." 
Papus de Alexandria 
 
 
 
As abelhas, na realidade, não fazem hexágonos em suas colmeias 
como disse o Matemático Papus de Alexandria, elas constroem 
Prismas Hexagonais. 
 
 Os prismas são figuras geométricas consideradas sólidos 
geométricos, assim como as Pirâmides, Cilindros, Cones, Esferas. 
 
Nesta parte de nossos estudos daremos uma atenção 
especial para os sólidos geométricos. Até agora, quando estudamos 
quadrados, triângulos; falávamos apenas das áreas ou perímetros 
dessas figuras, e agora poderemos calcular o volume desses sólidos. 
 
 
PIRÂMIDES 
 
Para estudarmos as Pirâmides, vamos partir de um prisma: 
 
 
 
 
Observe que a pirâmide se encaixa perfeitamente 
dentro de um prisma (desde que suas dimensões, como a 
base, altura e propriedades sejam as mesmas, no nosso caso 
um prisma quadrangular e uma pirâmide quadrangular). 
Se pudéssemos completar um prisma com areia, e após 
completar uma pirâmide concluiríamos que com o volume de 
areia contido no prisma poderíamos encher três vezes a 
pirâmide, daí o volume desse prisma seria o triplo do volume 
da mesma pirâmide. 
Na realidade é isso que acontece, o volume do prisma 
quadrangular da figura acima é numericamente igual ao triplo 
do volume da pirâmide, portanto o volume de uma pirâmide 
pode ser pegando o volume de um prisma e dividindo por 
três. 
 Podemos ainda identificar outros elementos da pirâmide, 
observe a figura abaixo: 
 
 
 
VOLUME: V = 3
HAb 
 
 
ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab 
 
RELAÇÃO: ap2 = ab2 + H2 
 
 
Onde: 
ap apótema da pirâmide; 
ab  apótema da base; 
H  altura da pirâmide. 
 
 
Exercício Resolvido 
 
R2) Calcule o volume e a área lateral de uma pirâmide 
regular, sabendo que seu apótema mede 5 cm e a sua base 
é um quadrado sujo lado mede 8 cm. 
 
Resolução: 
 
Para encontrarmos o volume dessa pirâmide precisamos 
saber a sua altura: 
ap2 = ab2 + H2  52 = ( 2
8
)2 + H2  H2 = 25  16 
H2 = 9  H = 3 cm 
 
Logo: 
 
 
3
HA
V b

  V = 
3
382 
 V = 64 cm3 
 
 
Para se chegar na área lateral devemos saber quantas são 
as faces laterais e qual a área de uma face. Como a base é 
um quadrado de lado 8cm e cada face de uma pirâmide é um 
triângulo, fica ilustrada uma face lateral da seguinte forma: 
 
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26 
 
 
ap = 5cm 
 b = 8cm 
 . 
apótema da 
 pirâmide 
 
AF = 
2
58 
 = 20 cm
2
 
 
 
AL = 4  20 = 80 cm2 
 
PRISMAS 
 
Observe os Prismas abaixo: 
 
 
 
Observe agora apenas o Prisma Hexagonal: 
 
 
 
Você deve ter observado que de acordo com a base