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1
Prof. Zaudir Dal Cortivo
Aula ao Vivo 2
Noções de Geometria 
Analítica
É o conjunto de todos 
os pontos de um 
plano equidistantes 
de um ponto fixo
Definição: circunferência
r
O
Uma circunferência 
com centro no ponto 
ࡼሺࢇ, ࢈ሻ	e raio ࢘ tem 
equação
ሺ࢞ െ ࢇሻ૛൅ሺ࢟ െ ࢈ሻ૛ൌ ࢘૛
(equação reduzida)
Equação da circunferência
1. Encontre a equação 
da circunferência de 
centro C(1,2) 
e raio 3
ሺ࢞ െ ૚ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૛ሻ૛ൌ ૢ
Exemplos
2. Qual é a equação da 
circunferência de 
centro na origem 
e passando pelo 
ponto A(1,2)?
Temos
࡯ሺ૙, ૙ሻ	ࢋ	࢞ ൌ ૚	ࢋ	࢟	 ൌ ૛, 
pois A é um ponto 
da circunferência
Qual é a equação da 
circunferência de 
centro na origem 
e passando pelo 
ponto A(1,2)?
ሺ૚ െ ૙ሻ૛൅ሺ૛ െ ૙ሻ૛ൌ ࢘૛
૚ ൅ ૝ ൌ ࢘૛ ⟹ ࢘ ൌ ૞
Então,
࢞૛ ൅ ࢟૛ ൌ ૞
2
3. Ache a equação da 
circunferência de centro 
࡯ሺെ૚, ૜ሻ,	que é tangente ao 
eixo das abscissas
Como a 
circunferência 
tange o eixo dos x, 
então o ponto é 
(–1,0) e o raio é igual 
a 9
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૜ሻ૛ൌ ૜૛
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૜ሻ૛ൌ ૢ
Seja a equação da 
circunferência 
ሺ࢞ െ ࢇሻ૛൅ሺ࢟ െ ࢈ሻ૛ൌ ࢘૛
Desenvolvendo-a
࢞૛ ൅ ࢟૛ െ ૛ࢇ࢞ െ ૛࢈࢟
൅	ࢇ૛ ൅ ࢈૛ ൌ ࢘૛
Equação geral da circunferência 
1. Determine a 
equação geral da 
circunferência com 
centro ࡯ሺെ૜, ૛ሻ	e raio 
࢘	 ൌ 	૜
Exemplos
Substituindo na equação:
ሺ࢞ ൅ ૜ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૛ሻ૛ൌ ૜૛
࢞૛ ൅ ૟࢞ ൅ ૢ ൅ ࢟૛ െ ૝࢟ ൅ ૝ ൌ ૢ
࢞૛ ൅ ࢟૛ ൅ ૟࢞ െ ૝࢟ ൅ ૝ ൌ ૙
2. Determine as 
coordenadas do 
centro e o raio da 
circunferência
࢞૛ ൅ ࢟૛ ൅ ૛࢞ െ ૟࢟ െ ૛ૠ ൌ ૙
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛െ૚ ൅ ࢟ െ ૜ ૛ െ ૢ െ
૛ૠ ൌ ૙
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛൅ ࢟ െ ૜ ૛ ൌ ૜ૠ
࡯ െ૚, ૜ e raio ࢘ ൌ ૜ૠ
3
Segundo método
Seja a equação do 
segundo grau em x e y:
࡭࢞૛ ൅ ࡮࢟૛ ൅ ࡯࢞࢟ ൅ࡰ࢞ ൅ ࡱ࢟ ൅ ࡲ ൌ ૙
Dividindo por A:
࢞૛ ൅ ࡮࡭ ࢟
૛ ൅ ࡯࡭࢞࢟ ൅
ࡰ
࡭ ࢞ ൅
ࡱ
࡭࢟ ൅
ࡲ
࡭ ൌ ૙
Comparando com 
a equação geral
࢞૛ ൅ ࢟૛ െ ૛ࢇ࢞ െ ૛࢈࢟ ൅ ࢇ૛ ൅ ࢈૛ ൌ ࢘૛
࡭ ൌ ࡮ ് ૙ e ࡯ ൌ ૙
ࡰ
࡭ ൌ െ૛ࢇ,
ࡱ
࡭ ൌ െ૛܊	e 
ࡲ
࡭ ൌ ࢇ
૛ ൅ ࢈૛ െ ࢘૛
	࢞૛൅࢟૛ ൅ ૛࢞ െ ૟࢟ െ ૛ૠ ൌ ૙
െ૛ࢇ ൌ ૛		 ⇒ ࢇ ൌ െ૚
െ૛࢈ ൌ െ૟		 ⇒ ࢈ ൌ ૜
ࡲ
࡭ ൌ ࢇ
૛ ൅ ࢈૛ െ ࢘૛ ൌ െ૛ૠ
ሺെ૚ሻ૛൅૜૛ െ ࢘૛ ൌ െ૛ૠ
࢘૛ ൌ ૜ૠ ⇒ ࢘ ൌ ૜ૠ
3. Ache a equação da 
circunferência, sendo 
A(3,2) e B(–1,0) as 
extremidades de um 
diâmetro. 
 Dado que AB é o 
diâmetro da 
circunferência, então o 
ponto médio de AB é o 
centro ࡯ ૜ି૚૛ ,
૛ା૙
૛ ൌ ࡯ ૚, ૚
O raio é ࢊ ࡯, ࡭ ൌ
ሺ૜ െ ૚ሻ૛൅ሺ૛ െ ૚ሻ૛ൌ
૝ ൅ ૚ ൌ ૞
ሺ࢞ െ ૚ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૚ሻ૛ൌ ૞૛
ሺ࢞ െ ૚ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૚ሻ૛ൌ ૞
Determine a equação da 
circunferência que passa 
por ࡹሺૢ,െ૝ሻ	e da qual o 
centro está na interseção 
das retas de equações 
࢞ ൅ ࢟ െ ૚ ൌ ૙ e ࢞ െ ࢟ ൅ ૜ ൌ ૙
ቊ ࢞ ൅ ࢟ ൌ ૚࢞ െ ࢟ ൌ െ૜
૛࢞ ൌ െ૛		 ⇒ ࢞ ൌ െ૚	ࢋ	࢟ ൌ ૛
࡯ െ૚, ૛
4
O raio é ࢊ ࡯,ࡹ ൌ
ሺૢ ൅ ૚ሻ૛൅ሺെ૝ െ ૛ሻ૛ൌ
૚૙૙ ൅ ૜૟ ൌ ૚૜૟
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૛ሻ૛ൌ ૚૜૟
࢞૛ ൅ ૛࢞ ൅ ૚ ൅ ࢟૛ െ ૝࢟ ൅ ૝ െ ૚૜૟ ൌ ૙
࢞૛ ൅ ࢟૛ ൅ ૛࢞ െ ૝࢟ െ ૚૜૚ ൌ ૙
As posições de um 
ponto ࡼሺ࢞, ࢟ሻ	do plano 
em relação a uma 
circunferência de 
centro ࡯ e raio ࢘:
Exterior ሺࢊ ࡼ, ࡯ ൐ ࢘ሻ, 
interior ሺࢊ ࡼ, ࡯ ൏ ࢘ሻ,
ou pertence à 
circunferência 
ሺࢊ ࡼ, ࡯ ൌ ࢘ሻ
Posições relativas entre ponto e 
circunferência no plano 
cartesiano
1. Indique a posição 
do ponto A(–1,2) 
em relação à 
circunferência 
a. ሺ࢞ െ ૛ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૜ሻ૛ൌ ૢ
࡯ሺ૛, ૜ሻ	ࢋ	࢘	 ൌ ૜
Exemplos ࢊ ࡭, ࡯
ൌ 	 ሺ૛ ൅ ૚ሻ૛൅ሺ૜ െ ૛ሻ૛
ൌ ૢ ൅ ૚ ൌ ૚૙
ࢊ ࡭, ࡯ ൐ ࢘ exterior
b. ሺ࢞ ൅ ૛ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૛ሻ૛ൌ ૝
࡯ሺെ૛, ૛ሻ	ࢋ	࢘	 ൌ ૛
ࢊ ࡭ሺെ૚, ૛ሻ, ࡯
ൌ 	 ሺെ૛ ൅ ૚ሻ૛൅ሺ૛ െ ૛ሻ૛
ൌ ૚ ൅ ૙ ൌ ૚
ࢊ ࡭, ࡯ ൏ ࢘ interior
c. ሺ࢞ ൅ ૜ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૚ሻ૛ൌ ૞
࡯ሺെ૜, ૚ሻ	ࢋ	࢘	 ൌ ૞
ࢊ ࡭, ࡯ ൌ 	 ૝ ൅ ૚ ൌ ૞
2. Calcule o valor de m, 
se o ponto B(1,1) 
pertence à 
circunferência 
cuja equação é:
࢞૛ ൅ ࢟૛ ൅࢓࢞ െ ૛࢟ ൅࢓૛ ൌ ૙
Substituindo x=1 e y=1,
૚૛ ൅ ૚૛ ൅࢓. ૚ െ ૛. ૚ ൅࢓૛ ൌ ૙
࢓૛ ൅࢓ ൌ ૙ ࢓ ൌ ૙	࢕࢛	࢓ ൌ	െ૚
5
3. Os pontos 
ࡹሺെ૜,െ૜ሻ	ࢋ	ࡻሺ૞, ૞ሻ
são os extremos da 
diagonal MN do 
quadrado MNOP.
Determine a equação 
da circunferência 
inscrita no quadrado
Primeiro, devemos 
determinar o 
comprimento da 
diagonal do 
quadrado
ࢊ ࡹ,ࡻ ൌ 	 ሺെ૜ െ ૞ሻ૛൅ሺെ૜ െ ૞ሻ૛ൌ
૟૝ ൅ ૟૝ ൌ ૚૛ૡ ൌ ૡ ૛
O lado do quadrado é 
ࢊ ൌ ࢒ ૛ ⇒ ૡ ૛ ൌ ܔ ૛ ⇒ ࢒ ൌ ૡ
Então, ܚ ൌ ࢒૛ ൌ
ૡ
૛ ൌ ૝ ૛
O centro é o ponto 
médio da diagonal 
࡯ െ૜ ൅ ૞૛ ,
െ૜ ൅ ૞
૛ ൌ ࡯ሺ૚, ૚ሻ
A equação da 
circunferência é
ሺ࢞ െ ૚ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૚ሻ૛ൌ ૜૛
As posições de 
uma	reta ࢙, com 
ࡼ ࢞, ࢟ 	∈ ࢙, em relação 
a uma circunferência 
de centro ࡯ e raio ࢘, 
no mesmo plano:
Posições relativas entre reta e 
circunferência no plano 
cartesiano
ࢊ ࡼ, ࡯ ൐ ࢘, ࢙ é exterior 
à circunferência 
ࢊ ࡼ, ࡯ ൏ ࢘, ࢙ é secante 
à circunferência
ࢊ ࡼ, ࡯ ൌ ࢘ , ࢙	é 
tangente à 
circunferência
Verifique se a 
reta de equação 
࢞ ൅ ࢟ ൅ ૞ ൌ ૙ é externa, 
tangente ou secante 
à circunferência 
dada por 
࢞૛ ൅ ࢟૛ െ ૝࢞ ൅ ૜ ൌ ૙
6
1. Verifique se a 
reta de equação 
࢞ ൅ ࢟ ൅ ૞ ൌ ૙ é externa, 
tangente ou secante 
à circunferência 
dada por 
࢞૛ ൅ ࢟૛ െ ૝࢞ ൅ ૜ ൌ ૙
Exemplos
൝࢞૛ ൅ ࢟૛ െ ૝࢞ ൅ ૜ ൌ ૙ ࢞ ൅ ࢟ ൅ ૞ ൌ ૙
࢟ ൌ െ࢞ െ ૞
 ࢞૛ ൅ ሺെ࢞ െ ૞ሻ૛െ૝࢞ ൅ ૜ ൌ ૙
૛࢞૛ ൅ ૟࢞ ൅ ૛ૡ ൌ ૙
ઢ ൌ ࢈૛ െ ૝ࢇࢉ ൌ ૜૟ െ ૝. ૛. ૛ૡ ൌ
െ ૚ૡૡ
Se ઢ ൏ ૙,	a reta é externa
2º método: o coeficiente 
angular da reta 
perpendicular é:
࢓૚ ൌ െ ૚࢓૛ ൌ െ
૚
ି૚ ൌ ૚
O centro da 
circunferência: 
െ૛ࢇ ൌ െ૝	 ⇒ ࢇ ൌ ૛	
െ૛࢈ ൌ ૙	 ⇒ ࢈ ൌ ૙	
࡯ሺ૛, ૙ሻ
Equação da reta perpendicular:
࢟ െ ૙ ൌ ૚. ࢞ െ ૛ 	
࢟ ൌ ࢞ െ ૛
Determinamos a 
interseção das retas:
ቊ࢟ ൌ െ࢞ െ ૞࢟ ൌ ࢞ െ ૛ ⇒ ࢟ ൌ െ
ૠ
૛ 	ࢋ	࢞ ൌ െ
૜
૛
Calculamos a distância 
de ࡯ ૛, ૙ 	ࢋ	ࡼ െ ૜૛ , െ
ૠ
૛
ࢊ ࡯,ࡼ ൌ ሺ૛ ൅ ૜૛ሻ૛൅ሺ૙ ൅
ૠ
૛ሻ૛ൌ
ૠ
૛ ૛
ࢇ૛ ൅ ࢈૛ െ ࢘૛ ൌ ૜
૛૛ ൅ ૙૛ െ ࢘૛ ൌ ૜
࢘૛ ൌ ૚
Como ࢊ ൐ ࢘	 a 
reta é externa
Determine os pontos 
de interseção da reta 
࢞ ൅ ࢟ െ ૜ ൌ ૙ com a 
circunferência
࢞૛ ൅ ࢟૛ െ ૛࢞ െ ૛࢟ െ ૜ ൌ ૙
ቊ ࢞ ൅ ࢟ െ ૜ ൌ ૙࢞૛ ൅ ࢟૛ െ ૛࢞ െ ૛࢟ െ ૜ ൌ ૙ 
࢟ ൌ െ࢞ ൅ ૜
࢞૛ ൅ ሺ૜ െ ࢞ሻ૛െ૛࢞ െ ૛ሺെ࢞ ൅
૜ሻ െ ૜ ൌ ૙
૛࢞૛ െ ૟࢞ ൌ ૙ ⇒ ૜, ૙ 	ࢋ	 ૙, ૜
7
Determine a equação 
da circunferência 
com centro no ponto 
ܥሺ1,3ሻ, e que é 
tangente à reta de 
equação 
࢞ ൅ ࢟ ൅ ૛ ൌ ૙
࢞૛ ൅ ࢟૛ െ ૛࢞ െ ૟࢟ െ ૡ ൌ ૙
4. Determine o centro e 
o diâmetro da 
circunferência ࢞૛ ൅ ࢟૛ െ
ૡ࢞ ൅ ૝࢟ ൅ ૚૚ ൌ ૙
ሺ࢞ െ ૝ሻ૛െ૚૟ ൅ ࢟ ൅ ૛ ૛ െ
૝ ൅ ૚૚ ൌ ૙
ሺ࢞ െ ૝ሻ૛൅ ࢟ ൅ ૛ ૛ ൌ ૢ
࡯ ૝, െ૛ 	ࢋ	ࢊ ൌ ૟
5. Verifique entre os 
pontos A(–1, 3), B(–1, 
2), C(–2, 3) e D(7, 2) 
quais pertencem à 
circunferência de 
equação ሺ࢞	– 	૜ሻ²	 ൅ 	ሺ࢟	 ൅
	૚ሻ²	 ൌ 	૛૞
࡭: െ૚	– 	૜ ଶ ൅	 ૜	 ൅ 	૚ ଶ ൌ ૚૟ ൅
૚૟ ൌ ૜૛ ് 	૛૞
࡮:	 െ૚	– 	૜ ଶ ൅	 ૛	 ൅ 	૚ ଶ ൌ ૚૟ ൅
ૢ ൌ 	૛૞
࡯:	 െ૛	– 	૜ ଶ ൅	 ૜	 ൅ 	૚ ଶ ൌ ૛૞ ൅
૚૟ ൌ ૝૚ ് 	૛૞
ࡰ: ૠ	– 	૜ ଶ ൅	 ૛	 ൅ 	૚ ଶ ൌ ૚૟ ൅
ૢ ൌ ૛૞
B e D
6. Determine a distância 
entre os centros das 
circunferências 
(x – 3)2 + y2 = 11 e 
x2 + y2 + 2x – 6y – 12 = 
0
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛൅ሺ࢟ െ ૜ሻ૛ൌ ૛૛
࡯૚ ૜, ૙ 	ࢋ	࡯૛ െ૚, ૜
ࢊ ൌ ሺ૜ ൅ ૚ሻ૛൅ሺ૜ െ ૙ሻ૛ൌ ૞