Fotogrametria Digital: Reconstrução 3D a partir de imagens

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Fotogrametria Digital 
 
Objetivo da Fotogrametria: Reconstrução de um espaço tridimensional (espaço objeto), a partir de imagens 
bidimensionais (espaço imagem). 
Espaço Objeto: Qualquer elemento, ou conjunto de elementos tridimensionais a serem imageados. 
 
OBS: O sistema tridimensional representa o sistema de coordenadas do terreno sobre o qual obtém-se as 
imagens, o qual pode estar sendo representado em coordenadas geodésicas (latitude, longitude e altura ou 
altitude), planialtimétricas (E, N e altitude) ou cartesianas (X, Y, Z). 
 
Objetivo da Fotogrametria Digital: Reconstrução automática do espaço tridimensional (espaço objeto), a 
partir de imagens bidimensionais (espaço imagem). 
 
OBS: Na imagem digital, a resolução espacial está diretamente relacionada com o “tamanho do pixel”. 
Quanto menor o tamanho do pixel, maior é a resolução espacial da imagem digital. Cada pixel equivale a um 
quadrado de 1m x 1m no terreno. 
 
Métodos de aquisição de imagens fotogramétricas digitais: Scanners ou partir de câmaras fotogramétricas 
digitais. 
 
ORIENTAÇÃO INTERIOR: É a reconstrução do feixe perspectivo, ou seja, o referenciamento da imagem 
em relação à câmara. A orientação interior consiste em colocar as imagens em posição semelhante à que 
exerciam no momento em que foram tiradas em um sistema de coordenadas métrico. Pixels  Unidade 
métrica. 
 Razões para transformação de Pixels  Milímetros 
 Uniformização das unidades utilizadas, uma vez que o sistema fotográfico é expresso em 
milímetros, que são unidades métricas; 
 O terreno também é expresso em unidades métricas (metros, por exemplo); 
 Desde a criação da fotogrametria digital considerava-se um sistema métrico para a imagem, 
definido pelo certificado de calibração da câmara; 
 Serve para corrigir vários erros de aquisição das imagens e erros sistemáticos: 
 Má colocação do diafilme no scanner, 
 Deformações no filme, 
 Efeitos atmosféricos não-modelados, 
 Distorção na digitalização via scanner ou aquisição da imagem digital via câmera; 
 Refração atmosférica e efeitos da curvatura da Terra (erros sistemáticos). 
 
 Em fotogrametria digital, a orientação interior constitui-se no cálculo dos parâmetros de 
transformação entre o sistema de coordenadas da imagem digital (linha e coluna do pixel) e o sistema 
fotográfico. 
 
 Há três modelos fundamentais de transformação utilizados: afim, ortogonal e isogonal, sendo as duas 
últimas particularizações da primeira; 
 
 
 MODELOS MATEMÁTICOS PARA A ORIENTAÇÃO INTERIOR 
 
1. Transformação Afim Geral - Mantém o paralelismo 
 Modela seis parâmetros. 
 
1.1.Não-ortogonalidade dos eixos (1) 
Embora o sistema de coordenadas de uma imagem digital sempre seja ortogonal, pode haver distorções 
sistemáticas do scanner ou câmara como se a imagem estivesse ortogonal e os eixos distorcidos. 
 
1.2.Rotação da imagem (1) 
Caso em que a imagem esteja rotacionada, tornando o sistema pixel rotacionado de mesmo ângulo do 
sistema fotográfico. 
 
1.3.Translação em x e y (2) 
Causado devido à não coincidência dos centros dos dois sistemas. 
 
1.4.Escalas Diferentes em x e em y (2) 
Os sistemas de imagem digital e analógica têm unidades diferentes. 
 
 Formulação genérica para os seis parâmetros: 
 
 
 Forma Linear: 
 
OBS: Resolução através de ajustamento de observações. O modelo paramétrico é o mais adequado, uma vez 
que ajusta simultaneamente as observações e os parâmetros (incógnitas). 
a0, a1, a2, b0, b1 e b2 = Incógnitas. 
A0 = Translação em x 
A1 = Fator de escala em x e rotação 
A2 = Fator de escala em y e rotação 
B0 = Translação em y 
B1 = Fator de escala em x, rotação e não-ortogonalidade 
B2 = Fator de escala em y, rotação e não-ortogonalidade. 
Valores de “x” e “y” = Marcas fidúcias do certificado de calibração. 
Seus equivalentes linha e coluna: identificados automaticamente por softwares. 
4 marcas fiduciais = 8 coordenadas (x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4 e y4), e (linha1, coluna1 - linha2, coluna2 - 
linha3, coluna3 - linha4, coluna4) 
 
 MÉTODO PARAMÉTRICO 
 
Xa é o vetor dos parâmetros ajustados a0, a1, a2, b0, b1, b2. 
 
A é a matriz dos coeficientes dos parâmetros (coordenadas pixel das marcas fiduciais) 
 
Lb é o vetor das observações (coordenadas em mm das marcas fiduciais). 
 
P é a matriz peso das observações (Matriz identidade). 
V é a matriz dos resíduos. 
La é o vetor das observações ajustadas. 
 
 
2. Transformação ortogonal ou afim ortogonal - Mantém o comprimento 
É uma variante da afim geral para o caso em que ambos os sistemas são ortogonais ( = 0). 
 
Parâmetros: (1) Rotação e (2) Translação 
 Ajustamento pelo modelo paramétrico não-linear. 
 
3. Transformação Isogonal - Mantém a forma 
Trata-se de uma variação do caso ortogonal. Considera-se que o fator de escala é constante, ou seja, 
Cx = Cy. 
Parâmetros: (1) Rotação, (2) Translação e (1) Fator de Escala 
 
 Formulação geométrica 
 
 Forma Linear 
 
 Forma Matricial 
 
 
 SOLUÇÃO AO PROBLEMA DE REBATIMENTO DO EIXO Y 
 
 Forma Linear 
 
 Forma matricial 
 
 
 QUALIDADE DO AJUSTAMENTO 
TESTE 1: utilização dos parâmetros em uma transformação a partir das coordenadas pixel das marcas 
fiduciais. As diferenças entre as coordenadas obtidas com os parâmetros de transformação e as 
coordenadas do certificado de calibração devem ser pequenas. 
 
TESTE 2: Verificação do desvio padrão dos resíduos. Valores empíricos entre 0,3 e 0,4 pixel para estes 
desvios-padrão indicam um bom ajustamento. 
OBS: Obtém-se o desvio padrão dos resíduos a partir das variâncias dos resíduos que estão contidas na 
diagonal principal da matriz, extraindo-se a raiz de tais valores. 
 
 Conversão Milímetros  Pixels 
Sabe-se que: 
 
Ou seja, em 1 mm há 23,62 px. Para um desvio-padrão de um dos resíduos igual a 0,019 mm, 
por exemplo: 
 
Neste caso, o desvio padrão é igual a x = 0,4488 px. Está um pouco acima dos padrões desejáveis. 
 
O cálculo da variância da unidade de peso a posteriori pode ser calculado para cada imagem conforme 
equação 01 a seguir: 
 
Onde: 
V é o vetor dos resíduos; 
P é a matriz dos pesos (matriz identidade) 
n é o número de observações e 
m é o número de incógnitas. 
Desvio padrão dos resíduos= raiz quadrada da variância da unidade de peso a posteriori. 
 
 
ORIENTAÇÃO EXTERIOR 
O objetivo da orientação exterior é a obtenção da posição e atitude de cada foto em relação ao referencial do 
espaço objeto. 
 
Assim uma imagem está orientada exteriormente se são conhecidos os seus seis parâmetros de orientação 
exterior: coordenadas no espaço-objeto para o centro de perspectiva e ângulos de rotação do sensor (, e 
). 
 
OBS: Entre vários métodos para se obter os parâmetros de orientação exterior, ressaltam-se as soluções por 
ajustamentos por equações de colinearidade; 
 
 PARÂMETROS DA ORIENTAÇÃO EXTERIOR 
São definidos seis parâmetros, a saber: 
 
X0 - posição do centro de perspectiva no eixo X do espaço objeto. 
Y0 - posição do centro de perspectiva no eixo Y do espaço objeto. 
Z0 - posição do centro de perspectiva no eixo Z do espaço objeto 
 - rotação do eixo x em relação a X, contado no sentido anti-horário, não devendo ultrapassar 5º em valor 
absoluto. 
 - rotação do eixo y em relação a Y, contado no sentido anti-horário, não devendo ultrapassar 5º em valor 
absoluto. 
k - rotação do eixo z em relação a Z, contado no sentido é anti-horário. 
 
OBS: Os ângulos de Euler (, e ) representam rotações sofridas pelo sistema de coordenadas x, y ez 
do sensor, em relação ao sistema de coordenadas X, Y e Z do terreno. 
 
 
 EQUAÇÃO DE COLINEARIDADE: 
Relaciona os parâmetros da orientação exterior, as coordenadas fotográficas de um ponto e as 
coordenadas tridimensionais do mesmo ponto. 
Condição de Colinearidade: “No momento da tomada da fotografia, o ponto objeto (P), o centro de 
projeção (CP) e o ponto imagem (p') formam uma linha reta”. 
 
 RESSEÇÃO ESPACIAL 
A partir das equações de colinearidade, pode-se determinar os seis parâmetros de orientação exterior de 
uma fotografia (X0, Y0, Z0, , e ) a partir de, no mínimo três pontos de controle. 
Resumo: Resseção espacial é o método de obtenção dos seis parâmetros de orientação exterior para cada 
imagem. 
OBS: Através de pontos de controle é possível realizar os cálculos da orientação das imagens em relação ao 
sistema de coordenadas do terreno (processo de Orientação Exterior). 
 
Distância focal = c 
Coordenadas do ponto principal: 0e 
Coordenadas de 4 pontos (espaço imagem): 1e1,2e2,3e3,4e 
Coordenadas de 4 pontos (espaço objeto): X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2, X3, Y3, Z3, X4, Y4, Z4 
 
OBS: A ressecção espacial deve ser executada para cada uma das imagens fotogramétricas do projeto 
fotogramétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 INTERSEÇÃO ESPACIAL 
Conhecidos os parâmetros da orientação exterior para um par de fotografias com superposição (X01, Y01, 
Z01, 1, 1, 1, X02, Y02, Z02, , , ,) pode-se a partir das equações de colinearidade, gerar as coordenadas 
tridimensionais de um ponto. 
 
OBS: Interação de pontos homólogos no espaço objeto. 
 
OBS: Conhecidos os parâmetros da orientação exterior, pode-se conhecer as coordenadas de campo de 
qualquer ponto que se localize em, pelo menos, duas imagens. Este algoritmo é chamado de interseção 
espacial. 
 
 Para duas imagens têm-se os seguintes parâmetros: 
São conhecidos os parâmetros para cada foto, mais as coordenadas do ponto principal no sistema 
fotográfico e a distância focal. 
X01, Y01, Z01, 1, 1, 1, 01e01, f 
X02, Y02, Z02, 2, 2, 2, 02e02, f 
 
 
 AEROTRIANGULAÇÃO ANALÍTICA (POR AJUSTAMENTO DE FEIXES 
PERSPECTIVOS) 
A FOTOTRIANGULAÇÃO POR AJUSTAMENTO DE FEIXES PERSPECTIVOS (bundle 
adjustment) pode ser definida como sendo “a execução de uma resseção espacial simultaneamente à 
execução da interseção espacial para um conjunto de imagens digitais” 
 
OBS: Ajusta-se um bloco inteiro, simultaneamente, com diversas possibilidades de superposição, que podem 
localizar um determinado ponto em até seis imagens. 
 
OBS: Este método possibilita que todas as imagens tenham suas coordenadas do centro de perspectiva e 
ângulos de atitude ajustados de forma conjunta e simultânea. 
 
 O resultado final são os parâmetros da orientação exterior para todas as imagens do bloco, mais as 
coordenadas tridimensionais dos pontos fotogramétricos. 
 
OBS: A aerotriangulação trata-se de um processo de interpolação, permitindo obtenção de coordenadas de 
vários pontos no terreno a partir da interpolação de apenas alguns pontos de campo. 
 
OBS: É um método de densificação de pontos de campo. 
 
OBS: O método por ajustamento de feixes perspectivos é o único que pode ser considerado totalmente 
analítico. 
 
OBS: Os parâmetros obtidos na aerotriangulação são essenciais nas práticas posteriores da retificação, 
ortorretificação e restituição. 
 
OBS: Um processo utilizando ajustamento por feixes perspectivos, por exemplo, une as etapas da orientação 
exterior e aerotriangulação em uma só, permitindo resultados muito mais rápidos. 
 
RMSE: O erro médio quadrático também conhecido como RMSE (Root Mean Square Error) pode ser 
entendido como a medida do desvio dos valores calculados (pontos da imagem) em relação aos valores 
originais (pontos de controle). 
 
 
 RETIFICAR 
 
 Retificar uma imagem consiste em projetá-la, segundo seu próprio feixe perspectivo, para um 
plano horizontal. 
 
 Através da retificação, é possível modificar e até mesmo eliminar completamente os ângulos de 
atitude da câmara em relação a um dado referencial, bem como a distância focal da imagem 
resultante. 
 
 Retificação é a eliminação das distorções causadas pelos ângulos de atitude da câmara. 
 
 O objetivo da retificação para a fotogrametria aérea/orbital é gerar uma nova imagem vertical sem 
as distorções introduzidas pela atitude do sensor durante a tomada da imagem. 
 
 Formas para a realização das operações de retificação: 
 Transformações (afim, polinomial, projetiva, etc.) e 
 Princípio da colinearidade. 
 
 
 
 
 
 REAMOSTRAGEM 
Métodos mais utilizados: vizinho mais próximo, interpolação bilinear, splines bicúbicas e 
polinômios de Lagrange. 
 
1. Vizinho mais próximo 
Atribui o valor do nível de cinza de determinado pixel da imagem reamostrada ao pixel da imagem 
original que estiver mais próximo. Trata-se então, apenas de um arredondamento. 
 
2. Interpolação bilinear 
O valor do nível de cinza será determinado a partir dos quatro pixels da imagem inicial que a ele são 
vizinhos. Maior precisão geométrica e o desaparecimento de descontinuidades. 
 
3. Métodos de vizinhança 4 x 4 pixels 
Apresentam um resultado de melhor visualização, incorrendo em menos erros de interpolação. 
 
 
 NORMALIZAÇÃO DE IMAGENS 
 
A normalização é “orientada” ao par estereoscópico, porém sem restringir-se à área de superposição 
das imagens. 
O objetivo principal da normalização é gerar um novo par de imagens digitais que se adeque à assim 
chamada geometria epipolar. 
 
 
 
GERAÇÃO DE MODELOS NUMÉRICOS DE ELEVAÇÕES 
Os processos fotogramétricos extraem, geralmente, altitudes ou alturas. Por isso, neste capítulo, será tratada 
a extração de modelos numéricos de elevações apenas. 
 
MDT = Modelo Digital do Terreno: somente o relevo. 
MDS = Modelo Digital de Superfície: somente os elementos da superfície, altitude. 
“Qualquer representação numérica para uma determinada superfície física (relevo, por exemplo) do 
terreno a ser representada”. 
MDE = Modelo Digital de Elevação: altura dos elementos da superfície. (MDE = MDS - MDT) 
“Quando um MDS exprime altitudes, chama-se de MDE (modelo digital de elevações) ”. 
 
 
 
 Aquisição de dados via GPS para obtenção de MDE. 
 
 Método de extração fotogramétrica digital para obtenção de MDE. 
 
 Formas de aquisição de dados: 
 
1) Forma dispersa: não segue qualquer ordem de aquisição. Os pontos são adquiridos livremente no 
espaço a ser representado no MDE. 
2) Forma semi-regular: segue algum arranjo específico, sem, no entanto, possuir espaçamento 
constante entre os pontos. Exemplos: Coleta de pontos via GPS. 
3) Forma regular é aquela em que todos os pontos estão igualmente espaçados em X e Y. Só pode 
ser conseguida por meio de métodos de fotogrametria analítica ou digital. 
 
 
 
 EXTRAÇÃO FOTOGRAMÉTRICA DE UM MNE 
 
1) Conversão das imagens para o meio digital; 
 
2) Orientação interior; 
 
3) Orientação exterior - por resseção espacial; 
 
4) Normalização do par estereoscópico (Não obrigatório) 
 
5) Extração dos pontos tridimensionais propriamente ditos; 
 
6) Interseção espacial, chegando-se, ao final, às coordenadas tridimensionais para um conjunto de pontos 
 
 
 PROBLEMAS DA EXTRAÇÃO AUTOMÁTICA DO MNE 
 
1) Definição do espaçamento dos pontos da grade, bem como a direção que esta deve seguir. 
 
 Terrenos planos não exigem uma densidade muito grande de pontos; 
 
 Terrenos heterogêneos (acidentados) exigem uma densidade muito grande de pontos; 
 
 Estratégia: Dividira área heterogênea em áreas homogêneas onde não se exige uma densidade 
muito grande de pontos 
 
2) Áreas onde a correlação falha. 
 Solução: “extração manual”. 
 
 
 O processo de extração do Modelo Digital de Elevação (MDE) pode ser dividido em duas etapas: 
 
1) Obtenção de pontos homólogos de cada par estereoscópico de um projeto fotogramétrico, bem como 
extração e identificação dos pontos homólogos, e cálculo de suas coordenadas no espaço objeto [X, 
Y, Z]. 
 
2) Interpolação desses pontos para gerar uma grade regular. 
 
Após a execução da Extração do MDE, pode- se observar se as correlações estão boas ou ruins através do 
Painel Matchin Accuracy Histogram. Trata-se de um histograma de acurácia da extração automática. O 
que estiver relacionado ao valor 1 indica que foram perfeitos no processo, o que é raro acontecer. Geralmente 
a maior concentração está entre 0,7 e 0,8 de acurácia. 
 
OBS: Após a geração de um MDE pode-se observar em alguns casos uma grande concentração de “buracos” 
na área do projeto. Afim de melhorar o preenchimento desses buracos, sementes podem ser inseridas, 
aumentando assim o número de pares de pontos homólogos, e melhorando relativamente o resultado. Para 
que os resultados sejam mais satisfatórios, o usuário deve inserir mais sementes nas áreas de falhas até que o 
seu preenchimento seja dado de forma completa, e assim extrair um novo MDE. 
 
 
Condições de para se ter ESTEREOSCOPIA: 
 Fotos coplanares; 
 Escala constante; 
 Recobrimento de 50%; e 
 Afastamento mínimo. 
 
 
GERAÇÃO DE ORTO-IMAGENS 
Uma orto-imagem pode ser definida como uma imagem orto-retificada, ou seja, que passou pelo 
processo de orto-retificação. Orto-Imagem traz uma definição simples para o tema: imagens em perspectiva 
ortogonal. 
Orto-imagem é uma imagem retificada livre de distorções devido a geometria e deslocamento devido 
ao relevo. 
 
Orto-retificação: consiste na transformação da perspectiva cônica ou central de uma imagem 
fotográfica, numa perspectiva ortogonal, onde os raios projetivos que formam a orto-imagem são paralelos 
entre si. 
OBS: A ortoimagem não possui distorções devido ao relevo tampouco rotações devido à inclinação da 
câmara no momento da tomada das imagens originais. 
 
OBS: A qualidade do MNE utilizado influi diretamente na Ortoimagem final. 
 
Orto-retificação x Retificação 
A ortorretificação é “um passo a mais”, pois, além de retirar as distorções relativas à rotação da câmara, 
elimina a distorção relativa ao relevo (através da transformação da perspectiva cônica em ortogonal). 
Ortomosaico é um conjunto de ortofotos que com auxílio de pontos homólogos, possibilita a geração de 
um mosaico em perspectiva ortogonal. 
 
 
OBS: Uma imagem em perspectiva central não pode ser tomada como fonte de informação métrica segura, 
uma vez que possui erros devido à rotação do sensor e deslocamentos devido ao relevo. 
Perspectiva cônica ou central: 
 
Perspectiva ortogonal: 
 
 
 A ortorretificação é realizada através de transformações sobre números digitais dos inúmeros pixels 
das imagens origem e ortorretificadas. 
 
 Modelos Matemáticos: transformação afim / polinomial e a projetiva, e a retificação diferencial. 
 
1) Transformação afim: empregada quando o centro de perspectiva está bem longe do terreno imageado 
(ex.: imagens orbitais). É um método aproximado. 
2) Transformação projetiva: deve ser empregada quando trata-se de uma região bastante plana. É um 
método aproximado. 
 
3) Retificação diferencial: Seu objetivo é gerar uma nova imagem digital em perspectiva ortogonal, 
através da reconstrução dos feixes perspectivos. 
 
 Define-se uma “orto-matriz” vazia sobre o terreno; 
 Determinam-se as coordenadas tridimensionais conhecidas do centro de cada pixel da orto-
matriz vazia. 
 A partir dessas coordenadas, por meio das equações de colinearidade, determinam-se as 
coordenadas no espaço imagem para aquele ponto. 
 
 Erros das Ortoimagens digitais: 
 Má determinação de plano de voo; 
 Má resolução dos sistemas fotográficos; 
 Má resolução imagens digitais ou digitalizadas; 
 Má reamostragem dos níveis de cinza; 
 Incompatibilidade entre o modelo numérico de elevações empregado e a realidade do terreno. 
 
 
Ortofotocarta ou carta-ortoimagem: É a junção de uma imagem ortorretificada com uma carta. 
 
 Modelos empregados para a Orto-retificação 
 Transformação afim / polinomial 
 Transformação projetiva 
 Retificação diferencial. 
 
1. Transformação afim / polinomial 
É empregada quando o centro de perspectiva está longe do terreno imageado (ex.: imagens orbitais). 
É um método aproximado. 
 
2. Transformação projetiva 
Deve ser empregada quando se tratar de uma região bastante plana, como uma fachada de uma 
edificação ou um campo de futebol0d 
 
 MÉTODO DIRETO 
Consiste, inicialmente, em projetar os pixels da imagem de entrada para a retificada aplicando-se as 
correções de erros sistemáticos na equação de colinearidade inversa. 
 
Etapas: 
 Transformação do referencial da imagem digital para o referencial fotogramétrico; 
 Transformação do referencial fotogramétrico para o referencial da imagem retificada; 
 Reamostragem da malha da imagem retificada. 
 
 
 
 MÉTODO INDIRETO 
O método indireto realiza, em relação ao método direto, um processo inverso para transferência dos 
tons de cinza da imagem de entrada para a ortofoto digital. 
Método indireto consiste, inicialmente, na busca dos pixels da ortofoto digital na imagem digital 
original, através da equação de colinearidade direta, e um processo “inverso” de correção de erros 
sistemático 
 
No método inverso, utilizando as equações de colinearidade direta, parte-se de um pixel da imagem 
ortorretificada e procura-se na imagem original o pixel correspondente 
 
Etapas: 
 A segunda etapa desse método corresponde a primeira etapa do método direito, só que agora é 
realizado no sentido “inverso” permitindo a transformação dos pixels do referencial fotogramétrico 
para o referencial da imagem digital. 
 O resultado das 2 primeiras etapas é uma malha irregular a qual não coincide com a malha regular da 
imagem de entrada. 
 A terceira etapa deste método consiste na reamostragem dos pixels da ortofoto digital. 
 
 
 
 
 
 
 Transformação linear direta (DLT) 
Este modelo permite relacionar o espaço imagem ao espaço objeto mesmo sem o conhecimento prévio 
dos parâmetros de orientação interior e exterior do sensor. 
 
 É um modelo matemático usado para a correção geométrica de imagens. 
 
 É um método que permite o livre posicionamento e orientação das câmeras, exigindo a presença de 
uma adequada estrutura de calibração a ser previamente fotografada no espaço onde ocorrerá o evento. 
 
 Método pelo qual as coordenadas espaciais de pontos são obtidas através de uma transformação direta 
de coordenadas da imagem de um analisador para as coordenadas no espaço-objeto, utilizando 
princípios da estereofotogrametria. 
 
 
MOISAICAGEM 
Denomina-se Mosaico Fotogramétrico ao conjunto de fotografias aéreas, em que as fotos são montadas e 
ajustadas (cortadas e coladas) sistematicamente umas às outras, através dos detalhes do terreno, 
possibilitando uma visão global (completa) de toda a região fotografada. 
 
Mosaicos controlados: fotografias retificadas e devidamente posicionadas em relação ao datum tanto 
horizontal como vertical e suficiente número de pontos de controle para a retificação correta. 
 Mosaicos não controlados: usam fotos originais, eventualmente alterando-se a escala, sema preocupação de 
retificá-la sobre o terreno. Estas fotos não servem para os mapeamentos temáticos. 
Mosaicos semi-controlados: expressa uma coletânea de fotos não retificadas, mas de escala homogênea ou 
vice-versa