Autovalores e autovetores

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AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
Definição: Seja 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Um vetor v ∈V, v ≠ 0 , é dito 
autovetor, vetor próprio ou vetor característico do operador T, se existir 𝜆 ∈ℝ tal que 
𝑇(𝑣) = 𝜆 ⋅ 𝑣 . 
O escalar 𝜆 é denominado autovalor, valor próprio ou valor característico do operador 
linear T associado ao autovetor v. 
Exemplos: 
1) 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2 
T(x, y) = (4x + 5y, 2x + y) 
O vetor v = (5, 2) é vetor característico do operador linear, associado ao valor 
característico 𝜆 = 6, pois a 
T(v) = T(5, 2) 
T(5, 2) = (30, 12) = 6(5, 2) 
Já o vetor v = (2, 1) não é vetor característico deste operador T, pois a T(2, 1) = (13, 
5) ≠ 𝜆 (2, 1) para qualquer ℝ. 
 
2) 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2 
T (x, y) → (3x, 8x − y) 
(1,2) é autovetor de T associado ao autovalor λ=3, pois T(1,2) = (3,6) = 3⋅(1,2) . 
 
3) 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 
T (x, y, z) → (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z) 
(1,1,2) é autovetor de T associado ao autovalor λ=4 , pois T(1,1,2) =(4,4,8) =4.(1,1,2) 
(1,−1,1) é autovetor de T associado ao autovalorλ=1, pois T(1,−1,1) =(1,−1,1) =1.(1,−
1,1) . 
Propriedades 
 
1. Se v é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor 𝜆 então para todo k 
∈ℝ, k ≠ 0 , k ⋅v ∈V é autovetor de T associado ao autovalor 𝜆. 
 
Exemplo: Seja o operador linear T(x, y) = (3x,8x − y) . 
 O vetor v = (1,2) é autovetor associado ao autovalor λ = 3. 
 Então qualquer vetor k ⋅v, com k ∈ℝ, k ≠0 , é também autovetor associado 
ao autovalor 𝜆 =3 para o operador T. Assim, T(2 ⋅v) = T(2 ⋅(1,2)) = T(2,4) =(6,12) =3⋅ 
(2,4) , portanto (2,4) é outro autovetor de T associado a 𝜆 =3. 
 
2. Seja 𝜆 é um autovalor do operador linear T. O conjunto λ V de todos os autovetores 
associados a 𝜆 juntamente com o vetor nulo 0𝑣, é um subespaço vetorial de V, 
denominado autoespaço correspondente ao autovalor 𝜆. 
𝑉𝜆 = { 𝑣 ∈ 𝑉 | 𝑇(𝑣) = 𝜆 ⋅ 𝑣 } 
 
Corolário: Seja um operador linear T:V →V e V um espaço vetorial n-dimensional. Se 
T possui n autovalores distintos então existe uma base constituída por autovetores. 
 
Exemplo: O operador linear T(x, y) = (3x, 8x − y) admite dois autovalores distintos λ
𝜆1 = 3 e 𝜆2 = −1. 
Assim, 𝑉3 = {(𝑥, 2𝑥, 𝑥), 𝑥 ∈ ℝ} e 𝑉−1 = {(0, 𝑦), 𝑦 ∈ ℝ} 
Então, {(1,2), (0,1)} é uma base de autovetores do ℝ𝟐 pois, (1,2)∈𝑉3 e (0,1) ∈𝑉−1. 
 
 
 
Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços 
 
Seja o operador linear T:V →V tal que dim(V) = n. 
Por definição, T(v) =𝜆𝑣, com 𝑣∈V, 𝑣 ≠0𝑣 e 𝜆∈ℝ. 
Considere o operador identidade 𝐼𝑣: 𝑉 → 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐼𝑣(𝑣) = 𝑣. 
Assim, T(v) =𝜆𝐼𝑣(𝑣) e T(v) -𝜆𝐼𝑣(𝑣) = 0. 
Pela definição de multiplicação por escalar em transformações lineares, 
 𝑇(𝑣) − (𝜆𝐼𝑣)(𝑣) = 0𝑣. 
Pela definição de adição de transformações, (𝑇 − (𝜆𝐼𝑣))(𝑣) = 0𝑣. 
Então, o vetor v ∈V, v ≠ 0𝑣, deve pertencer ao núcleo do operador (𝑇 − (𝜆𝐼𝑣)), isto é, 
 𝑣 ∈ 𝑁(𝑇 − (𝜆𝐼𝑣)), com v ≠ 0 . 
 
Definição: Seja A uma matriz de ordem n sobre ℝ. Um autovalor da matriz A é um 
escalar 𝜆∈ℝ tal que a matriz (A − 𝜆𝐼𝑛) seja singular. 
 
Portanto, o operador linear (𝑇 − (𝜆𝐼𝑣)) não é injetivo, consequentemente, não é 
bijetivo, nem invertível. 
O fato do operador linear não ser invertível é equivalente ao do determinante de sua 
matriz associada, dada certa base, ser zero. 
A equação 𝑑𝑒𝑡([𝑇]𝐴 − (𝜆𝐼𝑛)) = 0, onde 𝐼𝑛 é a matriz identidade de ordem n, é 
denominada de equação característica. 
O polinômio 𝑑𝑒𝑡([𝑇]𝐴 − (𝜆𝐼𝑛)) é denominado polinômio característico de T. Suas 
raízes em ℝ são os autovalores do operador linear T. 
 
Definição: Sejam 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(ℝ). Dizemos que a matriz B é similar ou semelhante a 
matriz A, se existe uma matriz invertível P ∈ 𝑀𝑛(ℝ) de maneira que B = P
−1
AP. 
 
Teorema: Matrizes similares possuem o mesmo polinômio característico. 
 
Teorema: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ, T um operador 
linear sobre V, 𝛽 𝑒 𝛼 bases ordenadas de V. Então, 
 
[𝑇]𝛽
𝛽
= [𝐼]𝛽
𝛼[𝑇]𝛼
𝛼[𝐼]𝛼
𝛽
 
 
Corolário: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ, T um operador 
linear sobre V 𝛽 𝑒 𝛼, bases ordenadas de V. Então, 
𝑑𝑒𝑡[𝑇]𝛽
𝛽
= 𝑑𝑒𝑡[𝑇]𝛼
𝛼 
 
Exemplo: Seja 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2 tal que T(x, y) =(3x, 8x -y) e considere a base canônica do 
ℝ2. 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, [𝑇] = (
3 0
8 −1
) 𝑒 𝜆 ∙ 𝐼2 = 𝜆 (
1 0
0 1
) = (
𝜆 0
0 𝜆
). 
𝐸𝑛𝑡ã𝑜, [𝑇] − 𝜆 ∙ 𝐼2 = (
3 0
8 −1
) − (
𝜆 0
0 𝜆
) = (
3 − 𝜆 0
0 −1 − 𝜆
). 
𝑑𝑒𝑡([𝑇] − 𝜆 ∙ 𝐼2 ) = 𝑑𝑒𝑡 (
3 − 𝜆 0
0 −1 − 𝜆
) = (3 − 𝜆)(−1 − 𝜆). 
𝑑𝑒𝑡([𝑇] − 𝜆 ∙ 𝐼2 ) = 0 ∴ (3 − 𝜆)(−1 − 𝜆) = 0 ∴ {
𝜆1 = 3
𝜆2 = −1
. 
 
Logo, 𝜆1 = 3 e 𝜆2 = −1 são os autovalores do operador linear T. 
Tendo encontrado os autovalores 𝜆𝑖 , 𝑐𝑜𝑚 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑𝑖𝑚(𝑉) . 
Os autovetores são os vetores v ∈V, v ≠ 0𝑣 tais que (𝑇 − (𝜆𝐼𝑣))(𝑣) = 0𝑣. 
Considere uma base A para o espaço vetorial V e a equação matricial 
 ([𝑇]𝐴 − (𝜆 ⋅ 𝐼𝑛)[𝑣]𝐴) = 0𝑛×1, onde 0𝑛×1 é a matriz nula de ordem n ×1. 
Substituindo cada autovalor 𝜆𝑖 encontrado na equação matricial, obtém-se um sistema 
de equações lineares. 
Resolvendo-se cada um destes sistemas, os autovetores associados a cada um do 
autovalor são obtidos, e, consequentemente, os autoespaços 𝑉𝜆𝑖. 
 
Exemplo: Seja 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2 tal que T(x, y) =(3x, 8x -y) com autovalores 𝜆1 = 3 e 
 𝜆2 = −1 e a base canônica do ℝ
2. 
 
Para 𝜆1 = 3 : ([𝑇]𝐴 − (3𝐼2)) ∙ [𝑣] = 02×1 
 ((
3 0
8 −1
) − 3 (
1 0
0 1
)) ∙ (
𝑥
𝑦) = (
0
0
) 
 (
0 0
8 −4
) ∙ (
𝑥
𝑦) = (
0
0
) 
 8𝑥 − 4𝑦 = 0 ∴ 𝑦 = 2 
 𝑉𝟑 = { (𝑥, 2𝑥), 𝑥 ∈ ℝ} 
 
Para 𝜆1 = 3 − 1 : ([𝑇]𝐴 − (−1𝐼2)) ∙ [𝑣] = 02×1 
 ((
3 0
8 −1
) + 1 (
1 0
0 1
)) ∙ (
𝑥
𝑦) = (
0
0
) 
 (
4 0
8 0
) ∙ (
𝑥
𝑦) = (
0
0
) 
 8𝑥 = 4𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = 2 
 𝑉−𝟏 = { (0, 𝑦), 𝑦 ∈ ℝ} 
 
 Multiplicidade de Autovalores 
 
Exemplos: Considerando a base canônica do ℝ3. 
 
1) 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 tal que T(x, y, z) = (4x +2y +2z, 2x +4y +2z, 2x +2y +4z) 
 
[𝑇] = (
4 2 2
2 4 2
2 2 4
) 𝑒 [𝑇] − (𝜆 ∙ 𝐼3) = (
4 − 𝜆 2 2
2 4 − 𝜆 2
2 2 4 − 𝜆
) 
𝑑𝑒𝑡([𝑇] − (𝜆 ∙ 𝐼3)) = 0 ∴ 𝜆
3 − 12𝜆2 + 36𝜆 − 32 = 0 ∴ (𝜆 − 2)2(𝜆 − 8) = 0 
 
𝜆1 = 2 𝑒 𝑉2 = {(−𝑦 − 𝑧, 𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} 
𝜆2 = 8 𝑒 𝑉8 = {(𝑧, 𝑧, 𝑧), 𝑧 ∈ ℝ} 
O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico e o autoespaço 
possui dimensão igual a 2. Já o autovalor 8 ocorre única vez como raiz e dim 𝑉8=1. 
 
2) 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑥, 2𝑦, 𝑦 + 2𝑧) 
 
[𝑇] = (
3 0 0
0 2 0
0 1 2
) 𝑒 [𝑇] − (𝜆 ∙ 𝐼3) = (
3 − 𝜆 0 0
0 2 − 𝜆 0
0 1 2 − 𝜆
) 
 
𝑑𝑒𝑡([𝑇] − (𝜆 ∙ 𝐼3)) = 0 ∴ 𝜆
3 − 7𝜆 − 12 = 0 ∴ (𝜆 − 2)2(𝜆 − 3) = 0 
𝜆1 = 2 𝑒 𝑉2 = {(0,0, 𝑧), 𝑧 ∈ ℝ} 
𝜆2 = 3 𝑒 𝑉3 = {(𝑥, 0,0), 𝑥 ∈ ℝ} 
 
O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico e dim 𝑉2 =1 . O 
autovalor 3 ocorre única vez como raiz e dim 𝑉3 =1. 
 
Sejam V um espaço vetorial, T um operador linear em 𝑉 𝑒 𝜆 𝑖, ∈ ℝ 𝑐𝑜𝑚 1 ≤ 𝑖 ≤
 𝑑𝑖𝑚𝑉 , um autovalor deste operador. 
O número de vezes que (𝜆 − 𝜆i ) aparece como um fator do polinômio característico de 
T é denominado de multiplicidade algébrica de 𝜆i, cuja notação é 𝑚𝑎 (𝜆i ). 
A dimensão do autoespaço 𝑉𝜆i é denominada a multiplicidade geométrica de 𝜆i, cuja 
notaçãoé 𝑚𝑔 (𝜆i ). 
No exemplo 1: 𝑚𝑎 (2) = 2, 𝑚𝑔 (2) = 2 g , 𝑚𝑎 (8) =1 e 𝑚𝑔 (8) =1. 
No exemplo 2: 𝑚𝑎 (2) = 2, 𝑚𝑔 (2) =1, 𝑚𝑎(3) =1 a m e 𝑚𝑔(3) =1. 
 
 
 
 
Diagonalização de Operadores Lineares 
 
Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ e T um operador linear sobre V. 
Nosso objetivo é determinar sob que condições V possui uma base ordenada com 
relação a qual a matriz do operador T seja uma matriz diagonal, que é a forma mais 
simples de se representar um operador linear. A solução para o problema de 
Diagonalização de opera-dores lineares também nos leva naturalmente ao conceito de 
autovalores e autovetores do operador T. 
 
 
Teorema: Sejam 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ), 𝛽 uma base ordenada para o espaço vetorial ℝ
𝑛 e TA o 
operador linear sobre ℝ𝑛 associado a matriz A. Então, 
 
[𝑇𝐴]𝛽
𝛽
= 𝑃−1𝐴𝑃 
onde P é a matriz de mudança da base 𝛽 para a base canônica 𝛼 𝑑𝑜 ℝ𝑛. 
 
Exemplo: Sejam 𝛽 = { (1, 2), (1, 1) } uma base ordenada para ℝ2 e a matriz 𝐴 ∈
 𝑀2(ℝ) dada por: 
 𝐴 = (
3 1
0 1
), 
para uma ilustração do Teorema acima. 
 
Assim, temos que 
𝑃 = [𝐼]𝛼
𝛽
= [
1 1
2 1
] 𝑒 𝑃−1 = [
−1 1
2 −1
]. 
 
Desse modo, obtemos 
 
[𝑇𝐴]𝛽
𝛽
= 𝑃−1𝐴𝑃 = [
−1 1
2 −1
] [
3 1
0 1
] [
1 1
2 1
] = [
−3 −3
8 7
] 
 
o que completa a ilustração do Teorema acima. 
 
Teorema: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ, 𝛽 uma base 
ordenada para V, T um operador linear sobre V e B uma matriz semelhante a matriz 
[𝑇]𝛽
𝛽
. Então, existe uma base ordenada 𝛾 para V tal que 𝐵 = [𝑇]𝛾
𝛾
. 
 
Definição: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ e T um operador 
linear sobre V. Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base 
ordenada 𝛽 para V tal que [𝑇]𝛽
𝛽
 é uma matriz diagonal. 
 
Definição: Seja 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ). Dizemos que A é uma matriz diagonalizável se A é 
similar a uma matriz diagonal. 
 
Exemplo: Considere a matriz simétrica 𝐴 ∈ 𝑀2(ℝ)) dada por: 
 
 𝐴 = (
1 2
2 1
), 
 
Calculando os autovalores obteremos 𝜆1 = 3 𝑒 𝜆2 = −1 com os autovetores associados 
𝑥1 = (1,1) 𝑒 𝑥2 = (1, −1), respectivamente. 
 
Tomamos a matriz P e a matriz diagonal D dadas por: 
 
 𝑃 = (
1 1
1 −1
) 𝑒 𝐷 = (
3 0
0 −1
). 
Note que a matriz P foi construída a partir dos autovetores da matriz A e a matriz 
diagonal D foi construída com os autovalores da matriz A. 
 
Assim, temos que a matriz A é similar a matriz diagonal D, onde P é a matriz que 
realiza a transformação de similaridade, isto é, A = PDP
−1
 ou D = P
−1
AP. 
 
De fato, podemos verificar facilmente que 
 
 𝐴 = [
1 1
1 −1
] [
3 0
0 −1
] (
1
2
[
1 1
1 −1
]) 
 
Portanto, a matriz A é diagonalizável. 
 
Teorema: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ, 𝛽 uma base 
ordenada para V e T um operador linear sobre V . Então, T é um operador 
diagonalizável se, e somente se, [𝑇]𝛽
𝛽
 é uma matriz diagonalizável. 
 
Corolário- Sejam 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ) e TA o operador linear sobre ℝ
𝑛 associado a matriz A. 
Então, A é uma matriz diagonalizável se, e somente se, TA é um operador 
diagonalizável. 
 
Definição- Seja 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ). Dizemos que A é uma matriz simples se possui um 
conjunto de n autovetores linearmente independentes. 
 
Teorema- Seja 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ). Então, A é uma matriz simples se, e somente se, A é uma 
matriz diagonalizável. 
 
Exemplo: Considere o espaço vetorial real ℝ3. O operador linear T sobre o ℝ3 
definido por: T(x, y, z) = (3x − 4z, 3y + 5z, −z) é um operador diagonalizável. 
Temos que a matriz A = [𝑇]𝛽
𝛽
, onde 𝛽 é a base canônica do ℝ3, é dada por: 
 
𝐴 = (
3 0 −4
0 3 5
0 0 −1
) 
 
Assim, o polinômio característico do operador T é dado por: 
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = −(3 − 𝜆)3(1 + 𝜆) 
 
Portanto, os autovalores de T são 𝜆1 = 3, com multiplicidade algébrica igual a 2, e 
𝜆2= −1, com multiplicidade algébrica igual a 1. 
 
Podemos verificar facilmente que os autovetores associados ao autovalor 𝜆1 = 3 são do 
tipo v = (x, y, 0) para x, y ∈ ℝ não–nulos. Assim, podemos escolher os autovetores v1 = 
(1, 0, 0) e v2 = (0, 1, 0) associados ao autovalor 𝜆1 = 3. Logo, o autovalor 𝜆1= 3 tem 
multiplicidade geométrica igual a 2. 
 
Os autovetores associados ao autovalor 𝜆2 = −1 são do tipo v = (−4y, 5y,−4y) para 
y ∈ ℝ não–nulo. Assim, podemos escolher o autovetor v3 = (−4, 5,−4) associado ao 
autovalor 𝜆2 = −1. 
Portanto, temos que a matriz A = [𝑇]𝛽
𝛽
 é diagonalizável. Podemos verificar que 
 
𝐴 = [
1 0 −4
0 1 5
0 0 −4
] [
3 0 0
0 3 0
0 0 −1
] ([
1 0 −4
0 1 5
0 0 −4
])
−1
 
 
Assim, mostramos que T é um operador diagonalizável. 
 
De modo análogo, sabemos que T é um operador diagonalizável, pois 𝛾 = { v1, v2, v3 } 
é uma base para ℝ3 de modo que [𝑇]𝛾
𝛾
 é uma matriz diagonal. De fato, podemos 
verificar facilmente que 
[𝑇]𝛾
𝛾 = [
3 0 0
0 3 0
0 0 −1
] 
 
Teorema- Sejam V um espaço vetorial sobre ℝ e T um operador linear sobre V que 
possui autovalores distintos 𝜆1, . . . , 𝜆𝑛 com 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛 os autovetores associados, 
respectivamente. Então, { 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛 } ´e linearmente independente em V. 
 
Corolário- Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ, digamos que 
dim(V) = n, e T um operador linear sobre V que possui n autovalores distintos. Então, T 
é um operador diagonalizável. 
 
Note que o operador linear T pode possuir n autovetores linearmente independentes 
que não estão associados a autovalores distintos, isto é, algum autovalor pode possuir 
multiplicidade algébrica r maior do que 1, mas possui uma multiplicidade geométrica 
igual a r, como já vimos em exemplos anteriores. Desse modo, podemos introduzir o 
conceito de diagonalização para operadores lineares. 
 
Teorema- Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ e T um operador 
linear sobre V. Então, T é um operador diagonalizável se, e somente se, existe uma base 
ordenada 𝛽 para V cujos elementos são autovetores de T. 
 
Exemplo 1: 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑜 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 tal que T(x, y, z) =(4x +2y +2z, 2x 
+4y +2z, 2x +2y +4z). Mostre que T é um operador diagonalizável. 
 
[𝑇]𝐴 = (
4 0 1
−2 1 0
−2 0 1
) 
 
𝜆1 = 1 𝑒 𝑉1 = {(0, 𝑦, 0), 𝑦 ∈ ℝ} 𝑒 𝑣1 = (0,1,0) 
𝜆2 = 2 𝑒 𝑉2 = {(
−𝑧
2
, 𝑧, 𝑧) , 𝑧 ∈ ℝ} 𝑒 𝑣2 = (−1,2,2) 
𝜆3 = 3 𝑒 𝑉3 = {(−𝑧, 𝑧, 𝑧), 𝑧 ∈ ℝ} 𝑒 𝑣3 = (−1,1,1) 
 
A={(0,1,0), (−1,2,2), (−1,1,1)} é base de autovetores. 
 
Assim, 
[𝑇]𝐴 = (
1 0 0
0 2 0
0 0 3
) 
 
 
Exemplo 2: 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑜 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 tal que T(x, y, z) =(x +y +z, x +y +z , 
x +y +z). Mostre que T é um operador diagonalizável. 
 
[𝑇]𝐴 = (
1 1 1
1 1 1
1 1 1
) 
 
𝜆1 = 0 𝑒 𝑉0 = {(−𝑦 − 𝑧, 𝑦, 𝑧), 𝑦 𝑒 𝑧 ∈ ℝ} 𝑒 𝐴1 = {(−1,1,0), (−1,0,1)} 
𝜆2 = 3 𝑒 𝑉3 = {(𝑧, 𝑧, 𝑧), 𝑧 ∈ ℝ} 𝑒 𝐴2 = (1,1,1) 
𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 = {(−1,1,0), (−1,0,1), (1,1,1)} é 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠. 
 
Então, [𝑇]𝐴 = (
0 0 0
0 0 0
0 0 3
). 
 
Exemplo 3: Considere operador linear dado por 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2 tal que T(x, y) =(−3x + 
4y, −x + 2y). Mostre que T é um operador diagonalizável. 
 
Seja 𝛽 é a base canônica do ℝ2. Temos que a matriz A = [𝑇]𝛽
𝛽
 é dada por: 
 𝐴 = [
−3 4
−1 2
] 
Portanto, o polinômio característico do operador T é dado por: 
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = (−3 −𝜆)(2 − 𝜆) + 4 = 𝜆2 + 𝜆 − 2 
 
Assim, os autovalores de T são 𝜆1 = 1 e 𝜆2= −2. Como os autovalores são distintos, 
podemos garantir que existe uma base de autovetores 𝛾 para ℝ2 de modo que a matriz 
 
[𝑇]𝛾
𝛾 = Λ = diag (𝜆1 , 𝜆2) 
 
Os autovetores associados a 𝜆1 e 𝜆2 são v1 = (1, 1) e v2 = (4, 1), respectivamente. 
Assim, temos que 𝛾 = { v1, v2 } ´e uma base de autovetores para ℝ2. Sabemos que 
 
𝑥1 = (1,1) 𝑒 𝑥2 = (4,1) 
 
são os autovetores da matriz A associados aos autovalores 𝜆1 = 1 e 𝜆2 = −2, 
respectivamente. Podemos observar facilmente que AP = P Λ, onde 
 𝑃 = [
1 4
1 1
] ; Λ = [
1 0
0 −2
] 𝑒 𝑃−1 = 
1
2
[
−1 4
1 −1
] 
 
Desse modo, a matriz A = [𝑇]𝛽
𝛽
 pode ser representada da seguinte forma: 
A = P Λ P−1 ou Λ = P−1 AP , 
 
com a matriz P realizando a diagonalização da matriz A = [𝑇]𝛽
𝛽
. 
 
Exemplo 3: Determine a solução do seguinte sistema dinâmico 
{
𝑥′(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 2𝑦(𝑡)
𝑦′(𝑡) = 3𝑥(𝑡) − 4 𝑦(𝑡)
 
Com a condição inicial 
[
𝑥(0)
𝑦(0)
] = [
2
4
] 
 
Neste caso, a matriz do sistema dinâmico é dada por: 
 
𝐴 = [
1 −2
3 −4
] 
Vamos determinar os autovalores e os autovetores da matriz A. O polinômio 
característico da matriz A é dada por: 
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝜆2 + 3 𝜆 + 2 
Assim, os autovalores da matriz A são 𝜆1 = -1 e 𝜆2 = −2. Portando, a matriz A 
é diagonalizável. 
Podemos verificar facilmente que os autovetores da matriz A são 
𝑋1 = [
1
1
] 𝑒 𝑋2 = [
2
3
] 
 
associados aos autovalores 𝜆1 = -1 e 𝜆2 = −2, respectivamente. 
 
Portanto, a matriz P que realiza a diagonalização da matriz A, sua respectiva inversa e a 
matriz diagonal Λ são dadas por: 
 𝑃 = [
1 2
1 3
] ; Λ = [
−1 0
0 −2
] 𝑒 𝑃−1 = [
3 −2
−1 1
] 
 
Finalmente, sabemos que a solução do sistema dinâmico é dada por: 
 
𝑋(𝑡) = 𝑃𝑒Λ𝑡𝑃−1𝑋(0), para todo 𝑡 ≥ 0. 
Portanto, obtemos 
 
𝑋(𝑡) = [
𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡)
] = [−2𝑒
−𝑡 + 4𝑒−2𝑡
−2𝑒−𝑡 + 6𝑒−2𝑡
] para todo 𝑡 ≥ 0. 
 
Na Figura abaixo temos os gráficos das soluções do sistema dinâmico. A curva azul 
representa o gráfico da solução x(t) e a curva verde representa o gráfico da solução y(t), 
para 0 ≤ t ≤ 6. 
 
 
Exercícios 
1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores: 
a) ( 2,1) para [T ]= (
2 2
1 3
) . 
 
b) ( 2,1,3) para [T ]= (
1 −1 0
2 3 2
1 2 1
) 
 
2) Os vetores (1,1) e (2,−1) são autovetores de um operador linear 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2 
associados aos autovalores 𝜆1 = 5 e 𝜆2 = −1, respectivamente. Determinar T(4,1). 
 
3) Determinar o operador linear 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2cujos autovalores são 𝜆1 = 1 e 𝜆2 = 3 
associados aos autoespaços 𝑉1 = {(−𝑦, 𝑦), 𝑦 ∈ ℝ} 𝑒 𝑉2 = {(0, 𝑦), 𝑦 ∈ ℝ}. 
 
4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no ℝ2. 
a) T(x, y) =(x +2y, -x +4y) 
b) T(x, y) =(y , -x ) 
 
5) Dado o operador linear T no ℝ2 tal que T(x, y) = (−3x −5y, 2y) , encontrar uma base 
de autovetores. 
 
6) Verificar se existe uma base de autovetores para: 
a) 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 tal que T(x, y, z) =(x +y +z, 2y +z , 2y +3z) 
b) 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 tal que T(x, y, z) =(x , -2x -y ,2 x +y +2z) 
c) 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ3 tal que T(x, y, z) =(x,-2x +3y -z , -4y +3z) 
 
7) Seja 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ2tal que T(x, y) = (4x + 5y,2x + y) . Encontrar uma base que 
diagonalize o operador T. 
 
8) O operador linear 𝑇: ℝ4 ⟶ ℝ4 tal que T(x, y, z, t) = (x + y + z + t, x + y + z, y + z + 
t, x + y) é diagonalizável? 
9) Dê um exemplo de um operador linear diagonalizável T sobre ℝ3 cujo núcleo é 
gerado pelo elemento u = (1, 0, 1). 
 
10) Dê um exemplo de um operador linear diagonalizável T sobre ℝ3 cujo imagem é 
gerada pelos elementos u1 = (1, 1, 0) e u2 = (1, 0, 1). 
 
11) Determine o operador linear T sobre o ℝ4, diagonalizável, que satisfaz 
simultaneamente as seguintes condições: 
a) 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = { (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 / 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0 𝑒 𝑧 − 𝑡 = 0 }. 
b) T(0,0,1,0) = (0,0,2,0). 
c) (0,0,1,0) ∈ 𝐼𝑚(𝑇). 
d) 𝜆 = −3 é um autovalor do operador T. 
 
Respostas 
1) a) Sim b) Não 
2) T(x, y) = (x + 4y,2x + 3y) e T(4,1) = (8,11) 
5) {(1,−1), (1,0)} 
6) a) b) Sim c) Não 
3) T(x, y) = (x,2x + 3y) 
4) a) autovalores: 2 e 3 
b) não possui autovalores reais 
7) 𝐴 = {(−1,1), (5,2)} 𝑒 [𝑇 ]𝐴 = (
−1 0
0 6
)