estado plano tensoes

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Estado Plano de Tensões
Nota de aula 8 - Estado
Plano de Tensões -
Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011
Flávia Bastos RESMAT II 1/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Informações sobre este documento: Estes slides servem para
auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de
resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia
Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos RESMAT II 2/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Estado Plano de Tensões
Figura: Caso particular do problema 3D
Flávia Bastos RESMAT II 3/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Expressões Gerais
ρn˜ = σ˜˜ ·N˜ → Vetor tensão totalσn = ρn˜ ·N˜ → Tensão normal
τn =
√
|ρn˜|2 − σn2 → Tensão tangencial
No caso de problemas de estado plano de tensão, temos que:
σ˜˜ =
[
σxx τxy
τxy σyy
]
(1)
N˜ = [ lx ly ] = [ cosα senα ] (2)
α→ ângulo que N˜ faz com o eixo x.
Flávia Bastos RESMAT II 4/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Expressões Gerais
Temos então:{
ρnx
ρny
}
=
[
σxx τxy
τxy σyy
]{
cosα
senα
}
(3)
{
ρnx = σxxcosα+ τxysenα
ρny = τxycosα+ σyysenα
(4)
A tensão normal então fica:
σn = ρnxcosα+ ρnysenα
= (σxxcosα+ τxysenα)cosα+ (τxycosα+ σyysenα)senα
= σxxcos
2α+ 2τxysenαcosα+ σyysen
2α
(5)
Flávia Bastos RESMAT II 5/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Expressões Gerais
Como: {
cos2α = 1+cos2α2
sen2α = 1−cos2α2
(6)
Chegamos a:
σn =
σxx + σyy
2
+
σxx − σyy
2
cos2α+ τxysen2α (7)
Flávia Bastos RESMAT II 6/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Expressões Gerais
A tensão tangencial fica:
τn =
√
ρ2nx + ρ
2
ny − (ρnxcosα+ ρnysenα)2 (8)
τ2n = ρ
2
nx(1− cos2α) + ρ2ny(1− sen2α)− 2ρnxρnysenαcosα
= ρ2nxsen
2α+ ρ2nycos
2α− 2ρnxρnysenαcosα
= (ρnycosα− ρnxsenα)2
(9)
τn = ρnycosα− ρnxsenα (10)
Flávia Bastos RESMAT II 7/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Expressões Gerais
Substituindo as expressões de ρnx e ρny nesta fórmula:
τn = (τxycosα+ σyysenα)cosα− (σxxcosα+ τxysenα)senα
= τxycos
2α+ σyysenαcosα− (σxxcosαsenα+ τxysen2α)
(11)
O que nos leva a:
τn =
σyy − σxx
2
sen2α+ τxycos2α (12)
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Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Tensões Normais Principais
A determinação das tensões principais pode ser feita a partir
da equação característica para este caso. Sendo:
σ =
[
σxx τxy
τxy σyy
]
(13)
A equação característica que permite calcular as tensões
principais escreve-se:
det
(
σ˜˜ − σlI˜˜
)
= 0 (14)
onde σl é a tensão principal e I˜˜ é o tensor identidade de
segunda ordem→ I˜˜=
[
1 0
0 1
]
Flávia Bastos RESMAT II 9/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Tensões Normais Principais
Ficamos então com:∣∣∣∣ σxx − σl τxyτxy σyy − σl
∣∣∣∣ = 0 (15)
(σxx − σl)(σyy − σl)− τ2xy = 0 (16)
σ2l − (σxx + σyy)σl + σxxσyy − τ2xy = 0 (17)
cujas raizes são:
σξ =
σxx+σyy
2 +
√(
σxx−σyy
2
)2
+ τ2xy
ση =
σxx+σyy
2 −
√(
σxx−σyy
2
)2
+ τ2xy
Flávia Bastos RESMAT II 10/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Tensões Principais como valores
extremos
De:
σn =
σxx + σyy
2
+
σxx − σyy
2
cos2α+ τxysen2α (18)
dσn
dα
= 0→ −2σxx − σyy
2
sen2α+ 2τxycos2α = 0 (19)
Que resulta em:
tg2α =
2τxy
σxx − σyy (20)
que possui duas soluções α0 e α0 + pi2 .
Flávia Bastos RESMAT II 11/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Tensões Principais como valores
extremos
Para a determinação do valor de σn no plano com α dado pela
solução da equação trigonométrica acima construimos o
triângulo***:
sen2α =
2τxy√
(σxx − σyy)2 + 4τ2xy
(21)
cos2α =
(σxx − σyy)√
(σxx − σyy)2 + 4τ2xy
(22)
Flávia Bastos RESMAT II 12/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Tensões Principais como valores
extremos
Substituindo na expressão de σn resulta em:
σξ,η =
σxx + σyy
2
±
√(
σxx − σyy
2
)2
+ τ2xy (23)
O que mostra que as tensões principais são os valores
extremos (máximo e mínimo) entre todas as tensões normais
atuantes no ponto.
Flávia Bastos RESMAT II 13/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Tensões Tangenciais Máximas
A determinação dos valores extremos da tensão tangencial em
um ponto é obtido através de:
τn = −σxx − σyy
2
sen2α+ τxycos2α (24)
dτn
dα
= −2σxx − σyy
2
cos2α− 2τxysen2α = 0 (25)
que resulta em:
tg2α = −σxx − σyy
2τxy
(26)
que possui duas soluções α0′ e α0′ + pi2 .
Flávia Bastos RESMAT II 14/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Tensões Tangenciais Máximas
A determinação dos extremos é feita a partir do triângulo***
(mnemônico):
cos2α′ =
2τxy√
(σxx − σyy)2 + 4τ2xy
(27)
sen2α′ =
−(σxx − σyy)√
(σxx − σyy)2 + 4τ2xy
(28)
Flávia Bastos RESMAT II 15/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Tensões Tangenciais Máximas
que substituídos na expressão de τn resulta:
τnmax/min = ±
√(
σxx − σyy
2
)2
+ τ2xy (29)
Pode-se constatar, subtraindo σξ de ση, obtidos na página
anterior, que:
σξ − ση = 2
√(
σxx − σyy
2
)2
+ τ2xy (30)
De onde concluímos que:
|τmax| = |τmin| = σξ − ση
2
(31)
Flávia Bastos RESMAT II 16/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Posição relativa entre as direções de
σnmax e τmax
O ângulo α0 onde as tensões normais são máximas é dado
por:
tg(2α0) =
2τxy
σxx − σyy (32)
E o ângulo α0′ onde as tensões tangenciais são máximas é
dado por:
tg(2α0
′) = −σxx − σyy
2τxy
(33)
Multiplicando-se uma expressão pela outra, obtém-se:
tg(2α0)tg(2α0
′) = −1 (34)
Flávia Bastos RESMAT II 17/18
Estado Plano de Tensões Caso particular do problema 3D
Posição relativa entre as direções de
σnmax e τmax
Logo 2α0′ e 2α0′ diferem de pi2 isto é:
2α0 = 2α0
′ +
pi
2
(35)
ou
α0 = α0
′ +
pi
4
(36)
Logo concluimos que os planos nos quais ocorrem as tensões
normais extremas formam um ângulo de 45o com os planos
nos quais as tensões tangenciais são máximas.
Flávia Bastos RESMAT II 18/18
Estado Plano de Tensões
Nota de aula 9 - Estado
Plano de Tensões -
Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011
Flávia Bastos RESMAT II 1/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Informações sobre este documento: Estes slides servem para
auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de
resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia
Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos RESMAT II 2/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
O par (σn, τn) das tensões normal e tangencial em um plano
qualquer, num estado plano de tensões gera uma figura no
plano de coordenadas σ, τ que é conhecida como círculo de
Mohr. Temos que σn e τn podem ser determinados por:{
σn =
σxx+σyy
2 +
σxx−σyy
2 cos2α+ τxysen2α
τn = −σxx−σyy2 sen2α+ τxycos2α
(1)
Chamando σm =
σxx+σyy
2 temos:{
σn − σm = σxx−σyy2 cos2α+ τxysen2α
τn = −σxx−σyy2 sen2α+ τxycos2α
(2)
Flávia Bastos RESMAT II 3/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
Elevando cada um dos termos das igualdades anteriores ao
quadrado e somando-os obtém-se:
(σn − σm)2 + τ2n =
(
σxx − σyy
2
)2
+ τ2xy (3)
Chamando σn = σ; τn = τ e R =
√(
σxx−σyy2
)2
+ τ2xy,
chegamos a:
(σ − σm)2 + τ2 = R2 (4)
que é a equação de uma circunferência no plano (σ, τ) com
centro sobre o eixo σ no ponto σ = σm =
σxx+σyy
2 e cujo raio é
o valor de R acima descrito.
Flávia Bastos RESMAT II 4/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
M -> Ponto que repre-
senta as tensões em
torno de P na direção
α.
Da figura constata-
mos novamente que
a máxima tensão tan-
gencial vale:
τmax = R =
σξ − ση
2
(5)
Flávia Bastos RESMAT II 5/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Expressão do círculo de Mohr a partir
das tensões principais
Considerando como ponto de
partida as expressões de σn e
τn obtidas em função de σ1 e σ3
temos:
{
σn =
σξ+ση
2 +
σξ−ση
2 cos2θ
τn = −σξ−ση2 sen2θ
(6)
A figura ao lado esclarece o sig-
nificado dessas expressões.
Estas expressões são
obtidas das expressões
anteriormente vistas para
σn e τn nas quais fez-se
σxx = σξ, σyy = ση, τx,y = 0
e usamos θ no lugar de α.
Flávia Bastos RESMAT II 6/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Expressão do círculo de Mohr a partir
das tensões principais
Chamando σm =
σξ+ση
2 , σn = σ, τn = τ e elevando ambas as
expressões ao quadrado e somando-as resulta em:
(σ − σm)2 + τ2 =
(
σξ − ση
2
)2
(7)
ou (
σ − σξ + ση
2
)2
+ τ2 =
(
σξ − ση
2
)2
(8)
que descreve o mesmo círculo desenvolvido anteriormente já
que: 
σxx + σyy = σξ + ση
σξ−ση
2 =
√(
σxx−σyy
2
)2
+ τ2xy = R
(9)
Flávia Bastos RESMAT II 7/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Casos Particulares
i) Estado de tração simples
Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer
direção) são de tração. Neste caso:
τmax =
σξ
2 já que ση = 0!
Flávia Bastos RESMAT II 8/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Casos Particulares
ii) Estado de compressão simples
Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer
direção) são de compressão. Neste caso:
τmax =
ση
2 já que σξ = 0!
Flávia Bastos RESMAT II 9/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Casos Particulares
iii) Estado de cisalhamento simples
Todas as tensões principais são iguais e de sinal contrário.
τmax = |ση| = σξ.
Flávia Bastos RESMAT II 10/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Casos Particulares
iv) Estado de tensão uniforme ou hidrostático
Neste caso σξ = ση = σ e
τ = τmax = 0.
Flávia Bastos RESMAT II 11/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Dado um tensor de tensão σ˜˜, é possivel decompô-lo doseguinte modo:
σ˜˜ = σh˜˜ + σD˜˜ (10)
onde
σh˜˜ → Tensor de tensão hidrostático;
σD˜˜ → Tensor de tensão desviador.
Definindo-se σD˜˜ como um tensor tal que trσD˜˜ = 0 e, como já
visto (em qualquer sistema de eixos):
σh˜˜ =
 p 0 00 p 0
0 0 p
 (11)
Flávia Bastos RESMAT II 12/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
- Determinação das componentes σh˜˜ e σD˜˜ :
Se escolhemos as direções principais de σ para sua descrição
temos:
σ˜˜ =
 σ1 0 00 σ2 0
0 0 σ3
 (12)
Logo podemos escrever:
σ˜˜ =
 σ1 0 00 σ2 0
0 0 σ3
 = p
 1 0 00 1 0
0 0 1
+
 σ1 − p 0 00 σ2 − p 0
0 0 σ3 − p

(13)
Flávia Bastos RESMAT II 13/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Verificação: pela invariância da soma da diagonal principal do
tensor de tensão temos que:
σ1 + σ2 + σ3 = 3p+ (σ1 − p) + (σ2 − p) + (σ3 − p) (14)
Escolhendo para σD˜˜ tensor com traço nulo (soma da diagonal
principal), temos que:
σ1 + σ2 + σ3 = 3p (15)
e que
p =
σ1 + σ2 + σ3
3
(16)
Flávia Bastos RESMAT II 14/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Ficamos com (para qualquer sistema de eixos!):
σh˜˜ =
 p 0 00 p 0
0 0 p
 (17)
e
σD˜˜ = σ˜˜ − σh˜˜ (18)
Obs: A parcela σh é responsável pela variação de volume e a
parcela σD, chamada de tensor desviador, é responsável pela
mudança de forma como se verá no estudo das deformações.
Flávia Bastos RESMAT II 15/16
Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Concluindo, podemos afirmar que, se σ˜˜ =
 σxx τxy τxzτyx σyy τyz
τzx τzy σzz
,
então:
σh˜˜ = σxx + σyy + σzz3
 1 0 00 1 0
0 0 1
 (19)
e:
σD˜˜ =
 σxx − p τxy τxzτyx σyy − p τyz
τzx τzy σzz − p

com p =
σxx + σyy + σzz
3
(20)
Flávia Bastos RESMAT II 16/16
	Estado Plano de Tensões
	Caso particular do problema 3D
	Estado Plano de Tensões
	Círculo de Mohr