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1 Probabilidade condicional e independência; Teorema de Bayes 2 Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas; A informação que ocorreu em uma determinada etapa pode influenciar nas probabilidades das etapas seguintes; Neste caso, dizemos que ganhamos informação e podemos “recalcular” as probabilidades de interesse; Essas probabilidades “recalculadas” recebem o nome de probabilidade condicional, cuja definição é apresentada a seguir: Probabilidade Condicional e Independência 3 Definição de Probabilidade Condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é representada por P(A|B), e dada por: , com P(B) > 0 Caso P(B) = 0, a P(A|B) = P(A). Probabilidade Condicional e Independência )(BP BAP BAP 4 Prob. Condicional e Diagrama de Venn 5 Probabilidade Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: – ser da fábrica A; – ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A; – ser defeituosa; e – ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa. 6 Probabilidade Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: a) ser da fábrica A; ( )P A 100 1 600 6 b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A; ( / )P D A 1 10 2 7 Probabilidade Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: c) ser defeituosa (probabilidade total); ( )P D 10 10 3 23 600 600 8 conjuntos disjuntos eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Total A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 1 2 3 4 5 A A A A A S 1 2 3 4 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A P A P A P A P A 11 ( ) 1i i ii A S P A , i j A A i j i j 9 Probabilidade Total 1 2 5 ( ) ( ) ( )B A B A B A B 5 1 ( ) ( )i i P B P A B A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 B 5 1 ( ). ( / )i i i P A P B A Probabilidade Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: c) ser defeituosa; ( ) ( ) ( )D A D B D C D ( ) ( ) ( ) ( )P D P A D P B D P C D ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )P D P A P D A P B P D B P C P D C 600 23 600 31010 300 3 . 600 300 200 10 . 600 200 100 10 . 600 100 P(D) 11 Probabilidade Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa; Probabilidade Condicional ( / )P A D 10 23 12 Probabilidade Condicional • A ocorrência de um evento altera a probabilidade de ocorrência de outro evento. – Não estabelece relação de causa-efeito entre os eventos, simplesmente relaciona as probabilidades de os eventos ocorrerem. 3 13 Probabilidade Condicional ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) i i i i P A B P A P B A P B P A B ( ). ( / ) ( / ) ( ) i i i P A P B A P A B P B A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 B 5 1 /. /. )( i ii ii i ABPAP ABPAP BAP 14 Probabilidade Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa; ( ). ( / ) ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C 1 1 1 1 600 106 10 60( / ) 1 1 2 1 3 1 23 60 23 23 6 10 6 20 6 100 600 P A D 15 Considere a seguinte Distribuição Conjunta - Informação das duas variáveis ao mesmo tempo: Exemplo Homem Mulher Total Marca A 288 (0.24) 36 (0.03) 324 (0.27) Marca B 672 (0.56) 204 (0.17) 876 (0.73) Total 960 (0.80) 240 (0.20) 1200 (1.00) 16 Prob( H) = P(HA) + P(HB) = 0,24 + 0,56 = 0,80 Prob(M) = P(MA) + P(MB) = 0,03 + 0,17 = 0,20 Prob(A) = P(AH) + P(AM) = 0,24 + 0,03 = 0,27 Prob(B) = P(BH) + P(BM) = 0,56 + 0,17 = 0,73 Distribuição Marginal – Informação de uma e somente uma Variável Homem Mulher Total Marca A 288 (0.24) 36 (0.03) 324 (0.27) Marca B 672 (0.56) 204 (0.17) 876 (0.73) Total 960 (0.80) 240 (0.20) 1200 (1.00) 17 Queremos calcular probabilidades, mas restrito ao fato de ser homem. Isto é, dado que é homem, qual a probabilidade de preferir a Marca A? E de preferir a Marca B? Observe que agora o universo é 960 homens e temos 288 que preferem a Marca A e 672 que preferem a Marca B. Prob(A|H ) = P(AH) / P(H) = 0,24 / 0,8 = 0,30 Prob(B|H) = P(BH) / P(H) = 0,56 / 0,8 = 0,70 Probabilidade Condicional – Informação de uma e parte da outra 18 Observe que P(A|H) P(A) => P(A|H) = 0,30 P(A) = 0,27 Homem Mulher Total Marca A 288 (0.24) 36 (0.03) 324 (0.27) Marca B 672 (0.56) 204 (0.17) 876 (0.73) Total 960 (0.80) 240 (0.20) 1200 (1.00) Saber que é Homem muda a probabilidade de preferência da Marca A. Os dois eventos Sexo e Preferência de Marca estão relacionadas os eventos são dependentes. Eventos Dependentes 4 19 Se P(A|H) = P(A) controlar ou não controlar Sexo e Preferência de Marca daria no mesmo as variáveis são independentes. Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência de A, ou seja: P(A|B) = P(A), com P(B)>0; Caso contrário são dependentes. Eventos Independentes 20 Então, P(AB) = P(B) . P(A|B) P(AB) = P(A) . P(B|A) Se eventos independentes P(AB) = P(A) . P(B) Aplicaçãodireta da Probabilidade Condicional: Se P(A|B) = P(AB) / P(B) e P(B|A) = P(AB) / P(A) Lei Multiplicativa 21 Probabilidade Em épocas distintas a opinião sobre uma situação foi coletada como: Favorável, Contra e Indeciso. A fim de comparar a mudança de opinião entre as épocas, fez-se a tabulação cruzada, obtendo-se a seguinte matriz (pessoas). É p o c a 1 F C I É p o c a 2 F 100 0 0 C 0 150 50 I 20 30 100 Calcule a probabilidade de uma pessoa: a) ter sido favorável na época 1; b) ser favorável em ambas as épocas; c) ser contra em qualquer época; d) não ter mudado de opinião entre as épocas analisadas; e) ser contra na época 2, tendo sido indeciso na época 1; e f) ser contra na época 2, não tendo sido indeciso na época 1. 22 Probabilidade É p o c a 1 F C I É p o c a 2 F 100 0 0 C 0 150 50 I 20 30 100 a) ser favorável na época 1 100 200 150 120 180 150 450 100 200 150 120 180 150 1 ( )P F 120 450 23 Probabilidade É p o c a 1 F C I É p o c a 2 F 100 0 0 C 0 150 50 I 20 30 100 b) ser favorável em ambas as épocas 100 200 150 120 180 150 450 1 2 ( )P F F 100 450 24 Probabilidade É p o c a 1 F C I É p o c a 2 F 100 0 0 C 0 150 50 I 20 30 100 c) ser contra em qualquer época 100 200 150 120 180 150 450 1 2 ( )P C C 180 200 150 230 450 450 5 25 Probabilidade É p o c a 1 F C I É p o c a 2 F 100 0 0 C 0 150 50 I 20 30 100 d) não ter mudado de classe entre as épocas analisadas 100 200 150 120 180 150 450 100 150 100 350 450 450 ))()()(( 212121 IICCFFP 26 Probabilidade É p o c a 1 F C I É p o c a 2 F 100 0 0 C 0 150 50 I 20 30 100 e) ser contra na época 2, tendo sido indeciso na época 1 100 200 150 120 180 150 450 50 150 )/( 12 ICP 27 Probabilidade É p o c a 1 F C I É p o c a 2 F 100 0 0 C 0 150 50 I 20 30 100 f) ser contra na época 2, não tendo sido indeciso na época 1 100 200 150 120 180 150 450 0 150 150 120 180 300 12 / ICP )/(1 12 ICP Exemplo Num estudo de educação, alunos do primeiro e segundo graus foram questionados sobre atividades de sua preferência dentro de sala de aula. Grau Atividade Artística Leitura Total 1º (B) 27 3 30 2º (C) 5 15 20 TOTAL 32 18 50 Um aluno é selecionado aleatoriamente deste grupo: Qual a probabilidade de ele ser do 1º grau? Qual a probabilidade de ele preferir atividades artísticas? Se o aluno selecionado for do 1º grau, qual a probabilidade de ele preferir atividades artísticas? Se o aluno preferir atividades artísticas, qual a probabilidade de ele ser do 1º grau? 50 30 )( BP 50 32 )( AP 32 27 )( ABP 30 27 )( BAP 29 Visão Bayesiana Probabilidade a priori - estimativa inicial da probabilidade de um certo evento; Informação adicional - através dos dados obtém-se informação adicional sobre o evento; Probabilidade a posteriori - dada a informação adicional revisamos a probabilidade a priori para obter a probabilidade a posteriori. Teorema de Bayes 30 Fabricante de sorvete recebe 20% do leite da Fazenda 1, 30% da Fazenda 2 e 50% da Fazenda F3. Fiscalização observou que 20% do leite de F1 está contaminado enquanto que para F2 e F3 a proporção foi de 5% e 2%. O Fabricante armazena o leite em galões sem identificação da Fazenda. Um galão é escolhido ao acaso e sabemos que está contaminado, qual a probabilidade de ter vindo de F1? Exemplo 6 31 Escolha da Fazenda: P(F1) = 0,20 P(F2) = 0,30 P(F3) = 0,50 Probabilidade a priori 32 Sabendo que uma fazenda foi escolhida a probabilidade do leite estar contaminado - informação adicional: P(C|F1) = 0,20 P(C|F2) = 0,05 P(C|F3 ) = 0,02 Informação Adicional 33 Um galão é escolhido ao acaso e sabemos que está contaminado, qual a probabilidade de ter vindo de F1? P(F1|C ) = ? Em termos de probabilidade condicional, o que estamos interessados? Temos: P(F1) = 0,20 P(F2) = 0,30 P(F3) = 0,50 Probabilidades a priori: Informações adicionais: P(C|F1) = 0,20 P(C|F2) = 0,05 P(C|F3 ) = 0,02 Ser da F1 dado que está contaminado: Probabilidade a posteriori 34 Então, (F1|C) = P(CF1) / P(C) Em termos de probabilidade condicional: Em termos de Lei Multiplicativa: Então, P(CF1) = P(C) . (F1|C) e P(CF1) = P(F1) . (C|F1) Agora fica mais fácil ver o que queremos: P(F1|C) = ? P(AB) = P(B) . P(A|B) P(AB) = P(A) . P(B|A) e P(A|B) = P(AB) / P(B) P(B|A) = P(AB) / P(A) e Probabilidade a posteriori Um galão é escolhido ao acaso e sabemos que está contaminado, qual a probabilidade de ter vindo de F1? )( )1( )|1( CP CFP CFP Probabilidade a posteriori )3().3/()2().2/()1().1/( )3().3/()3( )2().2/()2( )1().1/()1( )3()2()1()( FPFCPFPFCPFPFCPCP FPFCPCFP FPFCPCFP FPFCPCFP CFPCFPCFPCP )3().3/()2().2/()1().1/( )1().1/( )/1( FPFCPFPFCPFPFCP FPFCP CFP 36 P(C|F1) = 0,20 P(C|F2) = 0,05 F1 P(F1) = 0,20 F2 P(F2) = 0,30 F3 P(F3) = 0,50 P(C|F3) = 0,02 P(CF1) = 0,04 P(CF2) = 0,015 P(CF3) = 0,010 Eventos Priori Prob. Condicional Conjunta Posteriori Prob. Prob. Prob. Total 1,00 P(F1|C) = 0,04/0,065 =0,615 P(C) = 0,065 P(F2|C) = 0,015/0,065 =0,231 P(F3|C) = 0,010/0,065 =0,154 1,00 Tabela Resumo 7 37 n i FiPFiCP FiPFiCP CFiP n i ,...,1 )()|( )()|( )|( 1 pa ra Visão Clássica Dizemos que os eventos F1, F2, ..., Fn formam uma partição de Ω se: (i) Os eventos são disjuntos; (ii) União dos eventos é Ω. Teorema de Bayes: Suponha que os eventos F1, F2,..., Fn formem uma partição de Ω. Suponha ainda que para um evento C se conheçam as probabilidades P(C|Fi) para i = 1, ..., n. Então para qualquer i temos:
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