Fortuna Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos

Prévia do material em texto

Tecnicas Computacionais
pard Din6"mica dos Fluidos
Conceitos Basicos e Aplicagoes
.\r-rttzrttrl<l cle ()livt:ir.lt Fot'ttrtt:r
ISF
Ilcu'n Jic(lucsltlircovr!.h
!:.! 
"di&,r .\dolpho J.)ju llclli
ledus[tI 
- 
Ei't:.iti{D\r.\t...R:ilr\t\FUi j\.,r'\ L
!'r-':.!c\:! llrrrio lvl.rrirrs Filh.' rt"r-rcrr't,.{.,
(,u'::;; i t),!::ornl Plirrro \lrrirri Filho rl,re,iJcrr.: r,r.,.r.:r,|,r
i ) :' r:,,,r t..!! i,)tt,t !
I t:r. : t :.: r ;,, tt: 
-.r. :.r !
l),-.;.,- I 1,.r,,:.,rr../j.. ,
L i: '"r .::; , i":
L.rurr.le \lello c S,rrzr
l,,si \lirrrllirr
()sil.'lJr l'.lulo F.'r.lIiili
'lirp,i Gonrcs (irrrri I
Silviri Brrni
Ulrarrr t.Jr.rlr,rr,rrirr
RriliL) Crll)!cjl
tJ I'r RiilJjir r l"n:!
Copyrigh( @ 2000 by Arnando dc Olivein Fortutra
Dados lntcrnacionais de Catalogaqio na Publiogio (ClP)
(Cinlara Brasilcira do Livro, SP, Brasil)
Fortuna. Armando de Olivcira
Tdcnicas Cooputacionais pan Dituimiq dos Fluidos: Con-
eilos Bisicos c Aplioq&s/Armando dc Olivein Fortuna 
-
Sio Paulo: Edirora da Univcrsidadc de Sio Paulo. 2000 
-(Acad€miq; 30)
ISBN:85--ll4-0526-2
l. Dinimicn dos tluidos 
- 
Simulagio em computadores
l. Tatulo ll S€rie.
1702 cDD-532.050r 13
lndi@s pnrn caiilogo sistenliilico:
l. Diniinrica dos tloidos compulacionais: Sirnulagio
nunrcriq: Fisica 532.050113
2- Sim!laEio n{nririca: Din;imiq dos tluidos
compulicional: Fisiq 532.050t l-3
Direitos rcseridos:'l
Edusp 
- 
Edilora da Univcrsidade de Sio Pnulo
Av. Prot- Lucaano Gualbeno, Travesa J, J74
6! andar 
- 
Fj. da Antiga Reiloria 
- 
Cidade Universitiirin
05503-900 
- 
S;io Paulo 
- 
SP 
- 
Bnsil Fax (0gl I ) 81 8-41 5 I
Tel. (0sl l) 818-4008 / 818-4150
rvww.usp.br/edusp 
- 
e-mnil: cdusp@du.usp.br
Printed in Brazil 2000
Foi feito o dep6silo legnl
Para meus pois
e minha esposa, Rachel
Copyrigh( @ 2000 by Arnando dc Olivein Fortutra
Dados lntcrnacionais de Catalogaqio na Publiogio (ClP)
(Cinlara Brasilcira do Livro, SP, Brasil)
Fortuna. Armando de Olivcira
Tdcnicas Cooputacionais pan Dituimiq dos Fluidos: Con-
eilos Bisicos c Aplioq&s/Armando dc Olivein Fortuna 
-
Sio Paulo: Edirora da Univcrsidadc de Sio Paulo. 2000 
-(Acad€miq; 30)
ISBN:85--ll4-0526-2
l. Dinimicn dos tluidos 
- 
Simulagio em computadores
l. Tatulo ll S€rie.
1702 cDD-532.050r 13
lndi@s pnrn caiilogo sistenliilico:
l. Diniinrica dos tloidos compulacionais: Sirnulagio
nunrcriq: Fisica 532.050113
2- Sim!laEio n{nririca: Din;imiq dos tluidos
compulicional: Fisiq 532.050t l-3
Direitos rcseridos:'l
Edusp 
- 
Edilora da Univcrsidade de Sio Pnulo
Av. Prot- Lucaano Gualbeno, Travesa J, J74
6! andar 
- 
Fj. da Antiga Reiloria 
- 
Cidade Universitiirin
05503-900 
- 
S;io Paulo 
- 
SP 
- 
Bnsil Fax (0gl I ) 81 8-41 5 I
Tel. (0sl l) 818-4008 / 818-4150
rvww.usp.br/edusp 
- 
e-mnil: cdusp@du.usp.br
Printed in Brazil 2000
Foi feito o dep6silo legnl
Para meus pois
e minha esposa, Rachel
CoNrBuoo
Prt,[icr,,
Pirrtt'[: Ilrtr()(lri(i.i(r,r Dirr;rnrit:rr tLis Firridos Cornprrtiri.ionrrl
l. Itttrrirlur;io
i.1 1;pr:r'r,rs Gr'r;ri;
l.:.) [i;r i,trrrr,,trt,r rlt: l lrrirlos
l..l Etirp;rs p;rrit ir SoIrl(;i-[o \rrrrtrilica
1.1 [nct.rl)rr.riLrr{L),r' liosrrlt;rrlos cla Sirnul;rq:io
l-1 \i.rili' ;ri:;1,, ,' \'alirlar;air do Sinrularlor .... ..
Ll; ['1 ,:,r,rrrr.rr 1,,'r.r DF('
l.; .\s1rt't.r,,. Hijr(;ri( ()s da DFC .
l.S Stttu;iri,,
1.9 Lcittrtlrs Srr'3r'rirl;r.;
l. l0 Exerr:ir:iu;
Erlrr;rqi,r's Diilri.rrt i;ris Itarciirrs
2.1 [riTr,,rlrr, i,,
2.J Pr,rl,IrirL.r.,l, F-rlrrilflrri,r........
l.:t [)1,1lrl.,rn;rs ll itrr.sii:rrte:
'-l-.i.l [i(lrrir(,().]i Parirbrilic;s ..
'1.;].1 Erlrrtr;,,r.s Hiperb<ilic:rs .
t9
t9
]:J
'19
3l
:|;
.t0
ll
l.l
{t
{9
t9
.'r0
:.)
i.l
17
CoNrBuoo
Prt,[icr,,
Pirrtt'[: Ilrtr()(lri(i.i(r,r Dirr;rnrit:rr tLis Firridos Cornprrtiri.ionrrl
l. Itttrrirlur;io
i.1 1;pr:r'r,rs Gr'r;ri;
l.:.) [i;r i,trrrr,,trt,r rlt: l lrrirlos
l..l Etirp;rs p;rrit ir SoIrl(;i-[o \rrrrtrilica
1.1 [nct.rl)rr.riLrr{L),r' liosrrlt;rrlos cla Sirnul;rq:io
l-1 \i.rili' ;ri:;1,, ,' \'alirlar;air do Sinrularlor .... ..
Ll; ['1 ,:,r,rrrr.rr 1,,'r.r DF('
l.; .\s1rt't.r,,. Hijr(;ri( ()s da DFC .
l.S Stttu;iri,,
1.9 Lcittrtlrs Srr'3r'rirl;r.;
l. l0 Exerr:ir:iu;
Erlrr;rqi,r's Diilri.rrt i;ris Itarciirrs
2.1 [riTr,,rlrr, i,,
2.J Pr,rl,IrirL.r.,l, F-rlrrilflrri,r........
l.:t [)1,1lrl.,rn;rs ll itrr.sii:rrte:
'-l-.i.l [i(lrrir(,().]i Parirbrilic;s ..
'1.;].1 Erlrrtr;,,r.s Hiperb<ilic:rs .
t9
t9
]:J
'19
3l
:|;
.t0
ll
l.l
{t
{9
t9
.'r0
:.)
i.l
17
Ti.cnius Compttocionais poro Dind,nico dos Ftuidos
2.4 Aspectos Matemdticos das EDPs...... ....... Sg
2.4.1 Classificagio Baseada nas Caracteristicas ............................. 60
2.4.2 Caracterfsticas e Equaq6es Hiperbdlicas ...... -...... . oJ
2.5 Condiqdes Auxiliares 
.... o/
2.6 Sumiirio 
......6g
2.7 Leituras Sugeridas ............ 69
2.8 Exercfcios 
.... 69
Equa46es de Diferengas Finitas ........ 
............. 73
3.1 AproximagSo por Diferengas Finitas ......... T3
3.1.1 Expans6es em S6rie de Taylor ........ Zs
3.1.2 Termos Difusivos Ndo-uniformes ..... g6
3.1.3 Est6ncil de uma Aproxinraqi.o ...-....... gz
3.1.4 Interpola4do Polinomial ................. gg
3.f .5 Tdcnica Geral .. -........ .... 9l
3.2 DiscretizaqSo de Equagoes Estaciondrias .... 97
3.3 Discretizagio Temporal 
...... 99
3.3.f DiscretizaqSo Explicita....... ........... 100
3.3.2 Discretiza4iolmplfcita.... 
............ 101
3.4 Discretiza4des fu[ultidimerrsionais.. ..... ...... 107
3.5 Volumes Finitos......... 
........... l0g
3.6 Consist6ncia,Converg€nciaeEstabilidade 
................... llg
3.6.1 Consistdncia 
.................119
3.6.2 Converg6ncia.. 
...... 120
3.6.3 Estabilidade... 
........... l2l
3.7 Outros Sistemas de Coordenadas .... I2S
3.8 Usando F6rmulas de 
-A,lta Ordem .... ........ l2g
3.9 Escolhendoa Discretizaqdo.A.propriada.... 
................... 130
3.9.1 Discretizaqdo Temporal e Sirnulagdes Tfansientes .................... 130
3.9.2 FormulaEio Pseudo-Transiente ...... .... t32
3.10 Sumdrio 
....... i33
3.ll teituras Sugeridas 
................... 134
3.12 Exercicios 
..............134
T6cnicasdeSolugdoNum6rica 
..........14I
4-l SoluEio de Sistemas Lineares 
............... . _. l{l
4.1.1 lvl6todos Diretos ......... 
.................. 142
4.1.2 M6todos lterativos 
....... I_lg
4.f.3 Erros no Processo de Solugdo 
. ....... I53
4.2 Bibliotecas lt{atem6ticas 
....... 15{
4.3 Bquag6es Parabrilicas.... 
........ 156
4.3.1 Discretiza46es Unidimensionais....._ ......... ......... 156
Conteddo .
4.3.2 Discretiza46es Multidimensionais ............. ........ f68
4.4 Equaqoes Elfpticas....... .....174
4.4.1 l\I6tododeGauss-Seidel ............... ................ lZ5
4.1.2 Gauss-SeidelporLinha ..,............ l7g
4.4.3 Sobre-relaxa4doSucessiva- SOR........ .............. f80
1.4.4 SORpor Linha.......... .............. fBJ
{.4.5 Condigio de Fronteira tipo Neumann. ................ l8S
4.{.6 Volumes Finitos ........ ............... f86
1.1.7 Compara,gSo entre os Mdtodos lterativos .... lgz
4.5 Equag6es Hiperb6licas... 
...-. f89
.1.5.1 Equagdo de ConvecgSo ....... 190
4.5.2 Equag6o da Onda ..... 207
4.5.3 N[6todos Implicitos para F,quagdes Hiperb<ilicas . 
- 
. . . 210
4.6 Sum6rio 
...... 2lf
4-7 Leituras Sugeridas ............ 213
4.8 Exercicios 
..... 214
Parte II: Equaqdes de Navier-Stokes 225
5. Equaqdes de Navier-Stokes .............. ............222
5.1 .A,s Equa4oes de Navier-Stokes............ ....222
5.2 Fluxo e Diverg6ncia 
.......--.228
5.3 Conserragdo de Massa....... .................. 234
5.4 Derirada Tota1........... ........ 236
5.5 Conservaqdo de lvlomento ........238
5.6 Conserraqdo da Energia..... .............. 242
5.7 Tens6es em Fluidos Newtonianos.. ...........244
5.8 Equaq6esdeEstado 
..........245
5.9 Sinrplificaqao das Equagoes............... ....246
5.10 Forma.{dimensional das Equag6es.. ......... 2S0
5.ll .4. Pressdo em Escoamentos Incompressil'eis............. ..... 252
5.12 FormulaEoes.A.lternativas 
........... 2b6
5.13 Condiqoes Auxiliares 
......... 2S8
5.14 Equaqdo de Convecgdo-Difusao....... ........... 266
5.15 Surniirio 
............262
5.16 Leituras Sugeridas 
............ 269
5.17 Exercicios 
...........269
6. r\{6todos Num6ricos para Navier-Stokes . ... .......221
6.1 Discretizagdo das EquaE6es 
....-... 223
6.1.1 Nlalha Deslocada............... 
.......278
11
t.
Ti.cnius Compttocionais poro Dind,nico dos Ftuidos
2.4 Aspectos Matemdticos das EDPs...... ....... Sg
2.4.1 Classificagio Baseada nas Caracteristicas ............................. 60
2.4.2 Caracterfsticas e Equaq6es Hiperbdlicas ...... -...... . oJ
2.5 Condiqdes Auxiliares 
.... o/
2.6 Sumiirio 
......6g
2.7 Leituras Sugeridas ............ 69
2.8 Exercfcios 
.... 69
Equa46es de Diferengas Finitas ........ 
............. 73
3.1 AproximagSo por Diferengas Finitas ......... T3
3.1.1 Expans6es em S6rie de Taylor ........ Zs
3.1.2 Termos Difusivos Ndo-uniformes ..... g6
3.1.3 Est6ncil de uma Aproxinraqi.o ...-....... gz
3.1.4 Interpola4do Polinomial ................. gg
3.f .5 Tdcnica Geral .. -........ .... 9l
3.2 DiscretizaqSo de Equagoes Estaciondrias .... 97
3.3 Discretizagio Temporal 
...... 99
3.3.f DiscretizaqSo Explicita....... ........... 100
3.3.2 Discretiza4iolmplfcita.... 
............ 101
3.4 Discretiza4des fu[ultidimerrsionais.. ..... ...... 107
3.5 Volumes Finitos......... 
........... l0g
3.6 Consist6ncia,Converg€nciaeEstabilidade 
................... llg
3.6.1 Consistdncia 
.................119
3.6.2 Converg6ncia.. 
...... 120
3.6.3 Estabilidade... 
........... l2l
3.7 Outros Sistemas de Coordenadas .... I2S
3.8 Usando F6rmulas de 
-A,lta Ordem .... ........ l2g
3.9 Escolhendoa Discretizaqdo.A.propriada.... 
................... 130
3.9.1 Discretizaqdo Temporal e Sirnulagdes Tfansientes .................... 130
3.9.2 FormulaEio Pseudo-Transiente ...... .... t32
3.10 Sumdrio 
....... i33
3.ll teituras Sugeridas 
................... 134
3.12 Exercicios 
..............134
T6cnicasdeSolugdoNum6rica 
..........14I
4-l SoluEio de Sistemas Lineares 
............... . _. l{l
4.1.1 lvl6todos Diretos ......... 
.................. 142
4.1.2 M6todos lterativos 
....... I_lg
4.f.3 Erros no Processo de Solugdo 
. ....... I53
4.2 Bibliotecas lt{atem6ticas 
....... 15{
4.3 Bquag6es Parabrilicas.... 
........ 156
4.3.1 Discretiza46es Unidimensionais....._ ......... ......... 156
Conteddo .
4.3.2 Discretiza46es Multidimensionais ............. ........ f68
4.4 Equaqoes Elfpticas....... .....174
4.4.1 l\I6tododeGauss-Seidel ............... ................ lZ5
4.1.2 Gauss-SeidelporLinha ..,............ l7g
4.4.3 Sobre-relaxa4doSucessiva- SOR........ .............. f80
1.4.4 SORpor Linha.......... .............. fBJ
{.4.5 Condigio de Fronteira tipo Neumann. ................ l8S
4.{.6 Volumes Finitos ........ ............... f86
1.1.7 Compara,gSo entre os Mdtodos lterativos .... lgz
4.5 Equag6es Hiperb6licas... 
...-. f89
.1.5.1 Equagdo de ConvecgSo ....... 190
4.5.2 Equag6o da Onda ..... 207
4.5.3 N[6todos Implicitos para F,quagdes Hiperb<ilicas . 
- 
. . . 210
4.6 Sum6rio 
...... 2lf
4-7 Leituras Sugeridas ............ 213
4.8 Exercicios 
..... 214
Parte II: Equaqdes de Navier-Stokes 225
5. Equaqdes de Navier-Stokes .............. ............222
5.1 .A,s Equa4oes de Navier-Stokes............ ....222
5.2 Fluxo e Diverg6ncia 
.......--.228
5.3 Conserragdo de Massa....... .................. 234
5.4 Derirada Tota1........... ........ 236
5.5 Conservaqdo de lvlomento ........ 238
5.6 Conserraqdo da Energia..... .............. 242
5.7 Tens6es em Fluidos Newtonianos.. ...........244
5.8 Equaq6esdeEstado 
..........245
5.9 Sinrplificaqao das Equagoes............... ....246
5.10 Forma.{dimensional das Equag6es.. ......... 2S0
5.ll .4. Pressdo em Escoamentos Incompressil'eis............. ..... 252
5.12 FormulaEoes.A.lternativas 
........... 2b6
5.13 Condiqoes Auxiliares 
......... 2S8
5.14 Equaqdo de Convecgdo-Difusao....... ........... 266
5.15 Surniirio 
............262
5.16 Leituras Sugeridas 
............ 269
5.17 Exercicios 
...........269
6. r\{6todos Num6ricos para Navier-Stokes . ... .......221
6.1 Discretizagdo das EquaE6es 
....-... 223
6.1.1 Nlalha Deslocada............... 
.......278
11
t.
I0 . Tdcnicas Computactonorc para Dindmrca d,os Fluid,os
.{spectos \latt:miiticos dtu EtlPs..
2.{. I Clas.sificaq:i.o Basearla rra.s Caracterisricits ..........
2. 1.2 Carar:terfst i<:l-s t Eqrrar;irt.s fliperbriiicas
Condigoes Auxiliarcs
Sumiirio
Leituras Sugeridas.
Conteido
{.:J-2 Discretizag6es
Eqrraqoos Elipticas.. .
{.{. I trldtodo de Gauss-Seidel 
..... .. ........ 175
l.{.2 Gauss-Seidel por Linha 
.... _.......... ... 179
l.{.J Sobre-rela-xaq5o Sucessira - SOR
.1.{.{ SOR por Linha
l.{.i Condigiio de Frorrteira r,ipo \eurrranlr.
1.-1.6 \blurnes Finitos ......... ................... lg6
,1.1.; Conrparaqio entre os tr[6to<los Iteratiros ......... ... lg7{.; F)tpaqoes Hiperb6licas.... 
.................,.. lg9
l.;. t Equagdo de Conr.ccgao 190
1.i.2 Equagin da Onda 
.. ......... ... 20;
-I.i.J 
.\l6todos Irnplicitos para Equagoes Hiperbtilir:is ...,.........,,....... 210
Surudrio 
..............211
l,eituras Sugeridas 
.... .... _. ... 2l:J
Exerc[cios 2t{
227
228
.)1 |
236
238
242
211
213
250
252
256
258
266
267
268
269
)7'l
Parte [[: Iiqua<;oes de \ar.ier-stokcs
5. Erlrragtics de Navier-Stokes
5.; Tensoes enr Fluidos Nervtonianos
i.J lirluaqoes dc Est;rdo . ...
{i. \fitotlos .\urn6ricos p;rra \avicr-stokes .....
I1
.lt
2.6
2.7
.)g
. 6t)
.6;
.6i
i\Iultidinrensionais l6il
l;-ll.l
6S
69
ii9
-l
:-l
99
180
183
l5.l
2.3 Exercic:ios
3. Equaqoes de Difereng:rs Firritas
3. I .tproxirnagi.o por Dil'erengas Firritas ............... ...
3. l. I Expans6es ern S6rit: dc Tal.lor . . .
3.1.2 Terrnos Difusivos \d.o-uniforrnes
3.I-3 Estcncil rltl rrrrra Aprusinraqart .. .
3.1.{ fttterpolagiio Polinornial
3. 1.5 T6cnica Geral
i;
J6
5/
ES
9l
3.-t
J.)
J.0
Discretizaqdo de Eqrraqoes Estacionirias
Discretizagilr Tt.rnpural .. .. . .. .
3.3.1 Discretizag:io Explicita . . .
3.3.2 Discretizaqiio firrplir.ittr...
Discretizaqoes \lultidirnensiurrars
+,t,
l-
-1. \
\blumes Finitos. ..
Consistdncia. Convt.r,4inci.r e Esrabiliclatle
I Ull
ll){
t0;
t{rs
I lJ
lt9
I lt)
llI
l2;
r'ls
l:t0
[:]tr
tj]l
l:l {
l;Il
HI
llI
I l.l
lis
I ;:j
I iti
r;ti
3.6.1 Consist6ncil .........
3.6.2 Converg6ncil.
3.6.3 Estabilidadtr..........
3.7 Outros Sisrem:rs de Coordenadas
3.8 Usando F<irrnulas de .{lta Ordern ..........
3.9 Escolhendo a Discretiz:rgeio .\propriada. 
. . .
3.9.1 Discretizaq:i.ti Tcrnporal c Sinrulagoes Transienres
3.9.2 FormulaqaoPst,urltrlrarrsrcrrIe
3.10 Surndrio
3.ll Leituras Sugeridas
3.12 Exercicios
T6cnicas de Solugio \umririca 
_..{.1 Soluqio de Sistern:r-s Lirreares
{. l. I \li'todos Diret,rs
{.1.2 \ldtodos Iterarirris
-1.1.3 Erros no Pror:es-io ile Soluqtio
1.2 Bibliotecas Nlatenritit ir.
{.3 Equag6es Parabolir:as..
4.3.1 Discretizagoes Unidinrensiorrais
5.1 .{s Equagoes de Navier-Stokcs .. ... ...,.
;.2 Fluxo e Diverg6ncia.............
i.3 Corrserrag5.o de trIa-ssa.......
;.1 Derilada Total .........,.,
i..-: Corrservaq;io de \lomerrto
i.6 C()nserr-aqio dir Energit.....
5.9 Sinrplificar;iiodas Equaq6es .
i.lt.) Forrn;r .{dimensional das Equagries..
5. I I -{ Pressio enr Escoamentos Inconrpressiu:is .. . . . .....,
5. l -l L-orrnulaq6es -\lternatiras
5. l:| 11r1',1it,;"r .\uxiliaresj.lJ Eqrraqtio de Convccgdo-DifusAo...
.i. Ii Surndri<r
5. l6 Leiruras Sugeritla.s
5. l7 Exercfcios .........
6.1 Disr:retizaqio das Erluaqoes
6.1.1 \[alha Deslocada...
I0 . Tdcnicas Computactonorc para Dindmrca d,os Fluid,os
.{spectos \latt:miiticos dtu EtlPs..
2.{. I Clas.sificaq:i.o Basearla rra.s Caracterisricits ..........
2. 1.2 Carar:terfst i<:l-s t Eqrrar;irt.s fliperbriiicas
Condigoes Auxiliarcs
Sumiirio
Leituras Sugeridas.
Conteido
{.:J-2 Discretizag6es
Eqrraqoos Elipticas.. .
{.{. I trldtodo de Gauss-Seidel 
..... .. ........ 175
l.{.2 Gauss-Seidel por Linha 
.... _.......... ... 179
l.{.J Sobre-rela-xaq5o Sucessira - SOR
.1.{.{ SOR por Linha
l.{.i Condigiio de Frorrteira r,ipo \eurrranlr.
1.-1.6 \blurnes Finitos ......... ................... lg6
,1.1.; Conrparaqio entre os tr[6to<los Iteratiros ......... ... lg7{.; F)tpaqoes Hiperb6licas.... 
.................,.. lg9
l.;. t Equagdo de Conr.ccgao 190
1.i.2 Equagin da Onda 
.. ......... ... 20;
-I.i.J 
.\l6todos Irnplicitos para Equagoes Hiperbtilir:is ...,.........,,....... 210
Surudrio 
..............211
l,eituras Sugeridas 
.... .... _. ... 2l:J
Exerc[cios 2t{
227
228
.)1 |
236
238
242
211
213
250
252
256
258
266
267
268
269
)7'l
Parte [[: Iiqua<;oes de \ar.ier-stokcs
5. Erlrragtics de Navier-Stokes
5.; Tensoes enr Fluidos Nervtonianos
i.J lirluaqoes dc Est;rdo . ...
{i. \fitotlos .\urn6ricos p;rra \avicr-stokes .....
I1
.lt
2.6
2.7
.)g
. 6t)
.6;
.6i
i\Iultidinrensionais l6il
l;-ll.l
6S
69
ii9
-l
:-l
99
180
183
l5.l
2.3 Exercic:ios
3. Equaqoes de Difereng:rs Firritas
3. I .tproxirnagi.o por Dil'erengas Firritas ............... ...
3. l. I Expans6es ern S6rit: dc Tal.lor . . .
3.1.2 Terrnos Difusivos \d.o-uniforrnes
3.I-3 Estcncil rltl rrrrra Aprusinraqart .. .
3.1.{ fttterpolagiio Polinornial
3. 1.5 T6cnica Geral
i;
J6
5/
ES
9l
3.-t
J.)
J.0
Discretizaqdo de Eqrraqoes Estacionirias
Discretizagilr Tt.rnpural .. .. . .. .
3.3.1 Discretizag:io Explicita . . .
3.3.2 Discretizaqiio firrplir.ittr...
Discretizaqoes \lultidirnensiurrars
+,t,
l-
-1. \
\blumes Finitos. ..
Consistdncia. Convt.r,4inci.r e Esrabiliclatle
I Ull
ll){
t0;
t{rs
I lJ
lt9
I lt)
llI
l2;
r'ls
l:t0
[:]tr
tj]l
l:l {
l;Il
HI
llI
I l.l
lis
I ;:j
I iti
r;ti
3.6.1 Consist6ncil .........
3.6.2 Converg6ncil.
3.6.3 Estabilidadtr..........
3.7 Outros Sisrem:rs de Coordenadas
3.8 Usando F<irrnulas de .{lta Ordern ..........
3.9 Escolhendo a Discretiz:rgeio .\propriada. 
. . .
3.9.1 Discretizaq:i.ti Tcrnporal c Sinrulagoes Transienres
3.9.2 FormulaqaoPst,urltrlrarrsrcrrIe
3.10 Surndrio
3.ll Leituras Sugeridas
3.12 Exercicios
T6cnicas de Solugio \umririca 
_..{.1 Soluqio de Sistern:r-s Lirreares
{. l. I \li'todos Diret,rs
{.1.2 \ldtodos Iterarirris
-1.1.3 Erros no Pror:es-io ile Soluqtio
1.2 Bibliotecas Nlatenritit ir.
{.3 Equag6es Parabolir:as..
4.3.1 Discretizagoes Unidinrensiorrais
5.1 .{s Equagoes de Navier-Stokcs .. ... ...,.
;.2 Fluxo e Diverg6ncia.............
i.3 Corrserrag5.o de trIa-ssa.......
;.1 Derilada Total .........,.,
i..-: Corrservaq;io de \lomerrto
i.6 C()nserr-aqio dir Energit.....
5.9 Sinrplificar;iio das Equaq6es .
i.lt.) Forrn;r .{dimensional das Equagries..
5. I I -{ Pressio enr Escoamentos Inconrpressiu:is .. . . . .....,
5. l -l L-orrnulaq6es -\lternatiras
5. l:| 11r1',1it,;"r .\uxiliaresj.lJ Eqrraqtio de Convccgdo-DifusAo...
.i. Ii Surndri<r
5. l6 Leiruras Sugeritla.s
5. l7 Exercfcios .........
6.1 Disr:retizaqio das Erluaqoes
6.1.1 \[alha Deslocada...
I2 - Tacn ar con tb.to^oi tun Dia,.i.' doz Fthnos
6.1.2 lDrcriracti ddr Termor CoN*fios.............-.............. .... 232
6.'J tldrodGExplicitGpau\avieFsloke-..................................... 293
6.2.1 lldtodoll.\C..........- ........ . ... .. . . . !9r
6.1.2 nGiodosola...-........ ..... ... . 318
d-2.1 Condi@r Iniciris Dda Escoan€ntos lraNi€oics. .. ..... .... tll
6.3 Un lldnxlo Imdicno Dda N.der-Stotes..,--... .... ... . ll:]J
6.1 lirlun$ Finitor........ -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Ii
6.i E$om'dror com Irfluancia da l€nDeratus ............................. -... 3t3
6.6 Estmio Br. T16 Dinfr3a€....,,,......-...........--...........-.....--... iE2
6.t Susirio .... ... ... 3j3
u-3 Leiiur6 suseridei.-...... 
. . . . . 
- 
. . . . . . . . . . . . . . 3r.l PREFACTO
6.9 Ee.cici6 ..... 3i6
Pa(P III: lDal'dice 36i
1 Conll,lelMtds ....... ........-.....................363
Ll FdrnnrlN.h Dituet||d FinitN........................... ........... ......... 363
:\.t.t ,lDrosnna(&r dc Prinena Orden! ... -.. . ., 363
l.l..l tprosimrdcs d€ Seslndr O.&!'....,., . . .. . ... ,6{
1.2 lldodo J€ Lr-$h iofi .. 365 Fluidc em horin.nb sti. p
r.3 Fodntcon*ratnr...... .. J66 na to.na da ci.cutaseo sdsninoi no
I.lo6tuqir'dlEquafeoparaaEnergiscnddc'''...'''-''''-.''',''''''.'''366nD|s'f6r&r.ris1icedottoginrntodosduidos'pdmip.lm6t€doacllaIa.
.\.t Equqidd,ij\-rrir-S@k€scroGDinmdes......................-........36i |.rr sido objeb de €srudos d.ede os enlpd m.ir rutrbrc, pois sio 6 8uid6 qm mais
r.6EqunaGnci.JG\litodcIlCeSo1a..............................36S direhnc.re oor aferanr. e o mouneno a" u n" *-ot ,, que o.igim 6 difq€nrer
.\.i Corc{,io de \ilocidadd Paro de F.onteir6..-....... 372 dhdiqi6 ctimdrnd sbie a su!€rtici€ da't€rrai o ded@n€nro da sa d€ um auiioA.8P€dlde\'el0cnlnde'''''''',.'..'',3i]lkatdJdotpoduzumsforc.1?I1icald.€[deiequeomd!t6Inemv1'
l 9 Dit'Fiizado Lnpliciia dd E{uac66 de \..s - os fen6mend reldiondo @o o rnovimentu de Huidos podem s bdrsr€ 6tr!l'l0corredolkMld'-'','''''''''''.''''''''''-333I'bxos,A['is6!ajrics'som€nie.aindAni.coMgu€md6c
l.llsoluadodoSirenrLnrs.doSCCS...............-.......................-390 four anequ&la, prilcipatm€nt trc p.obl€m6 d€ €ryFl.Izltodinca@€rnosi$en,adoSCCS.........._................................:j9l bhdi, por 6e .@ao, r€cores . ntrodG e\p€i,m.f,n, coso €@i6 em tr.eB de1I3ForQndodcon*..(i6{lelI89.,,.'',,.''''''-''.''''-3,3!€ni..Brr*cdnlp@nd€.'nelhor6{5fcn6m4s-Freqiidt€m€n'oo€d6eIpei|
I,1'rl.eryi.sDorI-ibhdosccs-''..'',..''.'..'''-''.'-'''''-''''''-'''.'''.''''-.395que*dis0€peao6tudo'm
1.1i Di$rctizl(rD IFr metu de \'olDG Fnitc. - . . . . . . . . . 303 or te!6n,aos qle ocoiieh dur&re a Mmenro de un fluido.
Bihliogrina'''''''.''',.,'''.',,,.,'''',,.',4l3
renratna pda a anil'* do n'o\in€nro dor nuidc: a sinuh$o numdi6. Eis dra
do conh€cim€nto, que @n,pledent5 N eili*s rdiriG € s lenic* elp€riohiais di
lnecanica dG nnidc. r@betr o none de dn'atnic. d€ nuidd mprt&ion.l (DFCI. .r.pe
s de ser $na:ir€a norn . DFC 6d eln pleno dMvohi@Dio e €xpdsio, j, *dd
nrilizad. por p.rqubador* ne ir€ar de, enire outrs, mediciM, metbrologia. eng€
nlBria ciril. &ron6nic& e nEcndicr. .\ DFC complenelt3 Btudos €n qu€ ddlises
iRtricts ou !cst6 em l.bomdrto n,, rto suticiedrca, po. r&d6 de corapldidade, cusio
I2 - Tacn ar con tb.to^oi tun Dia,.i.' doz Fthnos
6.1.2 lDrcriracti ddr Termor CoN*fios.............-.............. .... 232
6.'J tldrodGExplicitGpau\avieFsloke-..................................... 293
6.2.1 lldtodoll.\C..........- ........ . ... .. . . . !9r
6.1.2 nGiodosola...-........ ..... ... . 318
d-2.1 Condi@r Iniciris Dda Escoan€ntos lraNi€oics. .. ..... .... tll
6.3 Un lldnxlo Imdicno Dda N.der-Stotes..,--... .... ... . ll:]J
6.1 lirlun$ Finitor........ -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Ii
6.i E$om'dror com Irfluancia da l€nDeratus ............................. -... 3t3
6.6 Estmio Br. T16 Dinfr3a€....,,,......-...........--...........-.....--... iE2
6.t Susirio .... ... ... 3j3
u-3 Leiiur6 suseridei.-....... . . . . 
- 
. . . . . . . . . . . . . . 3r.l PREFACTO
6.9 Ee.cici6 ..... 3i6
Pa(P III: lDal'dice 36i
1 Conll,lelMtds ....... ........-.....................363
Ll FdrnnrlN.h Dituet||d FinitN........................... ........... ......... 363
:\.t.t ,lDrosnna(&r dc Prinena Orden! ... -.. . ., 363
l.l..l tprosimrdcs d€ Seslndr O.&!'....,., . . .. . ... ,6{
1.2 lldodo J€ Lr-$h iofi .. 365 Fluidc em horin.nb sti. p
r.3 Fodntcon*ratnr...... .. J66 na to.na da ci.cutaseo sdsninoi no
I.lo6tuqir'dlEquafeoparaaEnergiscnddc'''...'''-''''-.''',''''''.'''366nD|s'f6r&r.ris1icedottoginrntodosduidos'pdmip.lm6t€doacllaIa.
.\.t Equqidd,ij\-rrir-S@k€scroGDinmdes......................-........36i |.rr sido objeb de €srudos d.ede os enlpd m.ir rutrbrc, pois sio 6 8uid6 qm mais
r.6EqunaGnci.JG\litodcIlCeSo1a..............................36S direhnc.re oor aferanr. e o mouneno a" u n" *-ot ,, que o.igim 6 difq€nrer
.\.i Corc{,io de \ilocidadd Paro de F.onteir6..-....... 372 dhdiqi6 ctimdrnd sbie a su!€rtici€ da't€rrai o ded@n€nro da sa d€ um auiioA.8P€dlde\'el0cnlnde'''''''',.'..'',3i]lkatdJdotpoduzumsforc.1?I1icald.€[deiequeomd!t6Inemv1'
l 9 Dit'Fiizado Lnpliciia dd E{uac66 de \..s - os fen6mend reldiondo @o o rnovimentu de Huidos podem s bdrsr€ 6tr!l'l0corredolkMld'-'','''''''''''.''''''''''-333I'bxos,A['is6!ajrics'som€nie.aindAni.coMgu€md6c
l.llsoluadodoSirenrLnrs.doSCCS...............-.......................-390 four anequ&la, prilcipatm€nt trc p.obl€m6 d€ €ryFl.Izltodinca@€rnosi$en,adoSCCS.........._................................:j9l bhdi, por 6e .@ao, r€cores . ntrodG e\p€i,m.f,n, coso €@i6 em tr.eB de1I3ForQndodcon*..(i6{lelI89.,,.'',,.''''''-''.''''-3,3!€ni..Brr*cdnlp@nd€.'nelhor6{5fcn6m4s-Freqiidt€m€n'oo€d6eIpei|
I,1'rl.eryi.sDorI-ibhdosccs-''..'',..''.'..'''-''.'-'''''-''''''-'''.'''.''''-.395que*dis0€peao6tudo'm
1.1i Di$rctizl(rD IFr metu de \'olDG Fnitc. - . . . . . . . . . 303 or te!6n,aos qle ocoiieh dur&re a Mmenro de un fluido.
Bihliogrina'''''''.''',.,'''.',,,.,'''',,.',4l3
renratna pda a anil'* do n'o\in€nro dor nuidc: a sinuh$o numdi6. Eis dra
do conh€cim€nto, que @n,pledent5 N eili*s rdiriG € s lenic* elp€riohiais di
lnecanica dG nnidc. r@betr o none de dn'atnic. d€ nuidd mprt&ion.l (DFCI. .r.pe
s de ser $na:ir€a norn . DFC 6d eln pleno dMvohi@Dio e €xpdsio, j, *dd
nrilizad. por p.rqubador* ne ir€ar de, enire outrs, mediciM, metbrologia. eng€
nlBria ciril. &ron6nic& e nEcndicr. .\ DFC complenelt3 Btudos €n qu€ ddlises
iRtricts ou !cst6 em l.bomdrto n,, rto suticiedrca, po. r&d6 de corapldidade, cusio
1t . Tdcnicas Cotnputoctonats pora Drnd,mica d,os Fluidos
e/()u tetnpo. para possibilitar o entendirnento adequad<i dos fcrrtirnerros ffsicos enrolvidos.
Este livro foi escrito para possibilitar a alunos de graduagi-ro unr primeiro contato
corn t DFC. Por ser um texto de carii.tcr introdutdrio. os escoanlentos aqui tratados
sao aqueles de fluidcls inconrpressiveis. no regime larninar e ern rnalhas uniformes. 
-{.
irndlise tlesses escoalnelttos permite que o leitor se corrcentre rros conceitos e nas tdcnicas
nunrdriczu bdsica-s. proporcionando a necessti.ria experi0ncia para o rratamento de sirnu-
laq6es nrais elabor:rdas.
O conhecimento pr6vio de ciilculo nunr6rico 6 desejdvel, nras rrio necessd,rio_ O
rrresrno uale para a rnecanica de fluidos- No intuito de t<lrnar o rexto acessir€l ao leitor
iniciante na d.rezr de DFC. as ttlcnicas de solugdo nuurdrica rle equaq6es diferenciais parciais
e da-s erluagoes de ),iavier-Stokes sdo apresentadzrs de forrrra autocorrrirla. juntalnente com
os conceitos bdsit:os rle mecinica dos fluidos.
Esta tibra estd orBanizada trn 6 capftulos;
. Cilpitulo l: Defirrc as r:aracterisricas gerais dos fluidos e apresenra alguns dos prin-
r:iJrais asper:tos da DFC.
r CiiPitulo 2: -ltralisa o significado fisico e nraterndtico de algurnas EDPs utilizadzu
tra DFC.
. Capitulo 3: Conteirn as tdcnicas biisicas de discretizaqdo de e(tuaq6es difercncias par-
ciais perr diferenqu finitas e volunres finitos. Descreve (,s corrceitos de cstabilidadc.
consistencia e corrvergdncia dos rn6lodos nurn6ricos p:rra EDPs.
o Crrpitrrlo 1: .\plica, enr tiiversas equaqdes tliferenciais parciais. os conceitos desen-
rolr-klos rro capitulo arrterior.
. Capftulo .i: Farniliariza o leitor corn as equaqoes de )iar.ier-Stokes, apresentando
talnbdrn urlra and.lise do significado fisico de seus terrnol. \lostra as particularidades
d()s rneto(l()s dc solugao rrum6rica de escoantcntos irrr.onrprcssir.eis.
o Capitulo 6: Descreve diferentes t6cnicas de solugdo nurrrdrica para escoanlentos
irrcornpressiveis: os nr6todos explfcitos NI.{C e SOL.L, e o nrtirodo implicito SCGS.
O apirrdice detalha o nlaterial apresentado no texto principal.
-\o final dc cada capitulo. o leitor encontrard um:r lista de leitzras sugerid.os,
rlue conrplementa e expande os r,6picos tratados. Encontrari, tamb6rn exercicios, alguns
dos quais requerern a elaboraqio de programas de computador cspecificos. Em DFC,
:rprende-se rnuito rnais tendrt que projetar, itnplementar, corrigir e, finalmente, e\ecutar
urrr proliriunil. rlo que sinrplesmente utilizar urn cridigo c.;crito por outra pessoa. .{,,
Irtesllro tetrlp(). e intl)ortante que o leitor tenha acesso a sirnuladores que estimulcm sua
curiosirl:tdr: e seu dcsejo de criar ferramenta-; arlequadas i. su;r iirea. Corn esse objetivo.
algutts rLrs Ilteto(l()s Ittrtnericos aPresentados neste livr() estio diiponiveis. na forrrra de
progrirm:Li escrit(,s na linguagenr Fortran. na hotte pcAe do autor.
Pre'fdcio '
http: /,1r.rvrv. lcad.icnrc.sc.usp.br/-fortuna/DFC
lllntanrente com link.r para piiginiu com rnaterial sobre DFC na Internet.
Duiu instituiqries cctntribufrarrr decisivamente para que este livro se tornasse urrra
realidade- 
-\ Editora da unir-ersidade de Sio paulo (Edusp), com sua chamada de livros-
textos. o Departanrenro dt'ci€ncias de computagdo e Estatistica (sCE) do lnstituto (le
cirinciius \latemiticas e de cornputaqao (IC\lc) da usp, por conceder uma redugro da
carga diddtica ao autor para a elaboragi.o do manuscrito.
\-irios colegas tanrb6nr contribuiram para o contefdo desta obra- o autor agradece
as discus.s6es e sugesr6es recebida-s dos professores .{lexandre Roma, Antonio castelo Fr-
lho. Geraldo Lornbardi, \lurilo Fr.ncisco Tom6, Norberto r\fangiavacchi, Jodo Filgueiras
de 
-{zeredo, .fos6 Alberto curninato, Josmar Davilson pagliuso e paulo seleghirn Jr.
o autor agratlece tarrbdrn o apoio recebido do professor Nfarcos Nereu .{renales.
chefe do SCE, tlue fez r.irias sugestires sobre a elaboraqdo deste livro.
-\os alun.s qun curs.rarn, no 2q serne.stre de l9gg, a disciplina scE-5g02 hrtro-
dur;io i \Iecilnica dos Fluidos compuracional, e que apresentararn diversas suae-stdes
para o aperfeiqoarncnto do lir.ro.
-\gradece tarrrbdilr i. prrfessora Edna Alessio de Aguiar, que contribuiu corrr zr
relisao ortogrdfica e {rarnatical do texto,
t5
1t . Tdcnicas Cotnputoctonats pora Drnd,mica d,os Fluidos
e/()u tetnpo. para possibilitar o entendirnento adequad<i dos fcrrtirnerros ffsicos enrolvidos.
Este livro foi escrito para possibilitar a alunos de graduagi-ro unr primeiro contato
corn t DFC. Por ser um texto de carii.tcr introdutdrio. os escoanlentos aqui tratados
sao aqueles de fluidcls inconrpressiveis. no regime larninar e ern rnalhas uniformes. 
-{.
irndlise tlesses escoalnelttos permite que o leitor se corrcentre rros conceitos e nas tdcnicas
nunrdriczu bdsica-s. proporcionando a necessti.ria experi0ncia para o rratamento de sirnu-
laq6es nrais elabor:rdas.
O conhecimento pr6vio de ciilculo nunr6rico 6 desejdvel, nras rrio necessd,rio_ O
rrresrno uale para a rnecanica de fluidos- No intuito de t<lrnar o rexto acessir€l ao leitor
iniciante na d.rezr de DFC. as ttlcnicas de solugdo nuurdrica rle equaq6es diferenciais parciais
e da-s erluagoes de ),iavier-Stokes sdo apresentadzrs de forrrra autocorrrirla.juntalnente com
os conceitos bdsit:os rle mecinica dos fluidos.
Esta tibra estd orBanizada trn 6 capftulos;
. Cilpitulo l: Defirrc as r:aracterisricas gerais dos fluidos e apresenra alguns dos prin-
r:iJrais asper:tos da DFC.
r CiiPitulo 2: -ltralisa o significado fisico e nraterndtico de algurnas EDPs utilizadzu
tra DFC.
. Capitulo 3: Conteirn as tdcnicas biisicas de discretizaqdo de e(tuaq6es difercncias par-
ciais perr diferenqu finitas e volunres finitos. Descreve (,s corrceitos de cstabilidadc.
consistencia e corrvergdncia dos rn6lodos nurn6ricos p:rra EDPs.
o Crrpitrrlo 1: .\plica, enr tiiversas equaqdes tliferenciais parciais. os conceitos desen-
rolr-klos rro capitulo arrterior.
. Capftulo .i: Farniliariza o leitor corn as equaqoes de )iar.ier-Stokes, apresentando
talnbdrn urlra and.lise do significado fisico de seus terrnol. \lostra as particularidades
d()s rneto(l()s dc solugao rrum6rica de escoantcntos irrr.onrprcssir.eis.
o Capitulo 6: Descreve diferentes t6cnicas de solugdo nurrrdrica para escoanlentos
irrcornpressiveis: os nr6todos explfcitos NI.{C e SOL.L, e o nrtirodo implicito SCGS.
O apirrdice detalha o nlaterial apresentado no texto principal.
-\o final dc cada capitulo. o leitor encontrard um:r lista de leitzras sugerid.os,
rlue conrplementa e expande os r,6picos tratados. Encontrari, tamb6rn exercicios, alguns
dos quais requerern a elaboraqio de programas de computador cspecificos. Em DFC,
:rprende-se rnuito rnais tendrt que projetar, itnplementar, corrigir e, finalmente, e\ecutar
urrr proliriunil. rlo que sinrplesmente utilizar urn cridigo c.;crito por outra pessoa. .{,,
Irtesllro tetrlp(). e intl)ortante que o leitor tenha acesso a sirnuladores que estimulcm sua
curiosirl:tdr: e seu dcsejo de criar ferramenta-; arlequadas i. su;r iirea. Corn esse objetivo.
algutts rLrs Ilteto(l()s Ittrtnericos aPresentados neste livr() estio diiponiveis. na forrrra de
progrirm:Li escrit(,s na linguagenr Fortran. na hotte pcAe do autor.
Pre'fdcio '
http: /,1r.rvrv. lcad.icnrc.sc.usp.br/-fortuna/DFC
lllntanrente com link.r para piiginiu com rnaterial sobre DFC na Internet.
Duiu instituiqries cctntribufrarrr decisivamente para que este livro se tornasse urrra
realidade- 
-\ Editora da unir-ersidade de Sio paulo (Edusp), com sua chamada de livros-
textos. o Departanrenro dt'ci€ncias de computagdo e Estatistica (sCE) do lnstituto (le
cirinciius \latemiticas e de cornputaqao (IC\lc) da usp, por conceder uma redugro da
carga diddtica ao autor para a elaboragi.o do manuscrito.
\-irios colegas tanrb6nr contribuiram para o contefdo desta obra- o autor agradece
as discus.s6es e sugesr6es recebida-s dos professores .{lexandre Roma, Antonio castelo Fr-
lho. Geraldo Lornbardi, \lurilo Fr.ncisco Tom6, Norberto r\fangiavacchi, Jodo Filgueiras
de 
-{zeredo, .fos6 Alberto curninato, Josmar Davilson pagliuso e paulo seleghirn Jr.
o autor agratlece tarrbdrn o apoio recebido do professor Nfarcos Nereu .{renales.
chefe do SCE, tlue fez r.irias sugestires sobre a elaboraqdo deste livro.
-\os alun.s qun curs.rarn, no 2q serne.stre de l9gg, a disciplina scE-5g02 hrtro-
dur;io i \Iecilnica dos Fluidos compuracional, e que apresentararn diversas suae-stdes
para o aperfeiqoarncnto do lir.ro.
-\gradece tarrrbdilr i. prrfessora Edna Alessio de Aguiar, que contribuiu corrr zr
relisao ortogrdfica e {rarnatical do texto,
t5
PARTE I
INTRoDUeAo A ontAutcl Dos FLUrDos cotvtpttr.AcroNAL
PARTE I
INTRoDUeAo A ontAutcl Dos FLUrDos cotvtpttr.AcroNAL
Ivrnoouq.{o
Este capitulo tem por objetir.o apresentar ao leitor a Diniuilca de Fluidos Cotn-
putacionul (DFC). Inicialmente, abordanr-se alguns dos serrs ilslrp('t()s rrrais grr:tis. suar
relaqd.o corn a teoria da mecinica dos fluidos e corn os rnetorlos exJrerirnerrtais. Enr se:
guida. fu-se urn breve hist6rico sobre sua evoluqio. Firralrrrerrte. a st:qiio de leitur;r^s
sugeridas traz indicaq6es de rnaterial para corrsulters e estudos ar.arrqados.
1.I ASPECTOS GERAIS
O t:sttrtlo do rnovirnenlo dos fluidos 6 urna atividade (llre !'enr serrdo desenvolvida hi
tnuitos seculos. Egipcios tinharn rel<igios de dgua: .{ristdteles f<ri o prirneiro a descrcrer o
princflrio da ontinuidade; .,\,rquirrredes. pelo 
-seu prinr:ipio. <lehniu as corrdig6es para qlle
unl corpor quando mergulhado em um fluido, flutuasse ou lriitr. C)s rofil:r1os constrliranr
aquedutos para trarrsportar 6gua para as suas ciderdes. O gAnio Leorrardo da [inci, no
stjculo 
-\\:, sugeriu, entre outras coi.sas. fr;rnras que reduziarrr o :rrr&sto de barcos rra dgrra.
Ern 1586. Sitnotr Stevin publicou Estdtica e Hidrostrittca, uur trzrtado nratemdrico sobre
a nrec6.nica dos lluidos como era conhecida atd entao_
Historiciunente, a ntec6.nica dos fluidos preocupou-se cnr {rstu.lirr o conrportanlento
desses elemerttos de forma experirnental rrruito antes do <1rre de f(rrrnir trraterndtica. Isso
explica o surginrento da hidrdulica 
- 
qlre trata do nrolirnento rltt liquidos orn tubos.
canais e ourros dispositivos 
- 
antes da hidrodiniimica 
- 
que cstabelece rela<;oes erntre o
nlovimento dos fluidos e as forqas que causarn esse rnovirrrcnto.
Leonard Euler 6 considerado unr dos fundadores da hidrodin:irrrica. pois foi ele
querlr printeiro deduziu as equagdes de rnovinrerrtc de flrridos. irs chanradas equaqor:.s de
I
I
I
I
I
I
Ivrnoouq.{o
Este capitulo tem por objetir.o apresentar ao leitor a Diniuilca de Fluidos Cotn-
putacionul (DFC). Inicialmente, abordanr-se alguns dos serrs ilslrp('t()s rrrais grr:tis. suar
relaqd.o corn a teoria da mecinica dos fluidos e corn os rnetorlos exJrerirnerrtais. Enr se:
guida. fu-se urn breve hist6rico sobre sua evoluqio. Firralrrrerrte. a st:qiio de leitur;r^s
sugeridas traz indicaq6es de rnaterial para corrsulters e estudos ar.arrqados.
1.I ASPECTOS GERAIS
O t:sttrtlo do rnovirnenlo dos fluidos 6 urna atividade (llre !'enr serrdo desenvolvida hi
tnuitos seculos. Egipcios tinharn rel<igios de dgua: .{ristdteles f<ri o prirneiro a descrcrer o
princflrio da ontinuidade; .,\,rquirrredes. pelo 
-seu prinr:ipio. <lehniu as corrdig6es para qlle
unl corpor quando mergulhado em um fluido, flutuasse ou lriitr. C)s rofil:r1os constrliranr
aquedutos para trarrsportar 6gua para as suas ciderdes. O gAnio Leorrardo da [inci, no
stjculo 
-\\:, sugeriu, entre outras coi.sas. fr;rnras que reduziarrr o :rrr&sto de barcos rra dgrra.
Ern 1586. Sitnotr Stevin publicou Estdtica e Hidrostrittca, uur trzrtado nratemdrico sobre
a nrec6.nica dos lluidos como era conhecida atd entao_
Historiciunente, a ntec6.nica dos fluidos preocupou-se cnr {rstu.lirr o conrportanlento
desses elemerttos de forma experirnental rrruito antes do <1rre de f(rrrnir trraterndtica. Isso
explica o surginrento da hidrdulica 
- 
qlre trata do nrolirnento rltt liquidos orn tubos.
canais e ourros dispositivos 
- 
antes da hidrodiniimica 
- 
que cstabelece rela<;oes erntre o
nlovimento dos fluidos e as forqas que causarn esse rnovirrrcnto.
Leonard Euler 6 considerado unr dos fundadores da hidrodin:irrrica. pois foi ele
querlr printeiro deduziu as equagdes de rnovinrerrtc de flrridos. irs chanradas equaqor:.s de
I
I
I
I
I
I
20 . Tdcniw Computacionais parc Dindniu dos Fluidos
Euler. Por6m, as descriqdes matemdticas do comportamento dos fluidos s6 ganharam
forqa no sdculo XIX, na forma das equagdes de Nauier-Stoku, a partir dos trabalhos
pioneiros dos franceses Clarrde Navier (1822), Simeon Poisson (1829) e do inglds George
Stokes (1845). Dependendo das propriedades do fluido e do escoamento, &s equaqdes
de Navier-Stokes podem ser escritas de muitas formas. Em coordenadas cartesianas
bidimensionais, para escoamentos incompressfveis e isot6rmicos - a enfase deste livro -
elas sdo
(l.l)
em que u e u sao as velocidades nas direq6es r e y, respectivamente. .4. densidade do
fluido 6 p, p sua pressdoe y sua viscosidade cinemdtica. A primeira equa4So 6 conhecida
como equogdo do continuidade e reflete o princfpio ffsico da consen'aqdo de massa. .4,
segunda e a terceira sdo as equag6es d,e montento para as direqdes r e y, respectiramente,
e representam a aplica4So da segunda lei de Newton (F = m.a) ao fluido. A deduqio
dessas equa46es serd apresentada no capitulo 5.
Soluq6es analiticas para as equaqdes de Navier-Stokes sd foram determinadas para
alguns poucos casos, alguns deles apresentados em Lamb (1945). A dificuldade de se
encontrar solugdes analfticas decorre do fato de que as equagdes de Navier-Stokes si<.r
equag6es diferenciais parciais (EDPs) n5o-lineares, e a teoria matemdtica dessa classe
de equa46es ainda ndo est6 suficientemente desenvolvida para permitir a obtenqdo de
soluqdes analiticas em regides arbitrdrias e condiq6es de contorno gerais. E, dependendo
do problema, n6o se pode utilizar as versdes simplificadas dessas equaq6es, como as
equag6es de Bernoulli, pois essas versdcs nem semprc sdo aplic6veis.
Por essa razSo 6 que, no estudo do movimento de fluidos e de seus efeitos, se
utilizam ensaios experimentais, como tcstes em trineis de vento e tanques d'6gua. Devido
is limitaq6es de custo, tempo e equipamento, 6 comum a realizaqio de medidas em apenas
alguns pontos da regiio em que ocorrem os fen6menos de interesse. Por exemplo, a
presseo e as velocidades do escoamento sobre a fuselaAem de um aviio s5o determinadas
apenas em alguns pontos-
Portanto, nem sempre os tratamentos tedricos e/ou experimentais sio satisfat6rios.
F\rndamentalmente, sdo duas as raz6es para isso: (a) o fen6meno em estudo nem sempre
6 passfvel de reproduqdo em laborat6rio, rnesrno em escala reduzida; e (b) o custo e
o tempo da montagem experimental podem ser proibitivos. Exemplos de (a) sio: a
previsSo de tempo, que trata dos movimentos de ar atmosf6rico, pois esses deslocamentos
t€m influ6ncia direta no tempo; a reentrada de um corpo na atmosfera, em que existem
complexas trocas de calor entre o meio externo e o objeto; e o movimento do sangue
atrav6s do cora4eo, das veias e das arterias. Exemplos de (b) incluem o estudo da
0u-0u 
_ n0z' 0y
0u 
.0u2 .0(uu) I7p /02u .02u\
at* ar* av -par*'\arr"W)
0u 0u2 0(uul 1 0n / 02u d2u\
a, * au * -a; = -nay *'\a"" * ut )
Introdugd,o ' 27
aerodindmica de avi6es em tdneis de vento de altas velocidades, que sao caros de serem
operados, e a simula4So do movimento da 6gua no subsolo.
Com o advento do computador digital a partir dos anos de 1950, surgiu uma ter-
ceira alternativa: obter, pela soluq6o numdrica das equaq6es de Navier-Stokes utilizando
t6cnicas computacionais, o campo de velocidades que comp6em o escoamento. Problemas
reais de engenharia normalmente requerem o tratamento computacional, pois, muitas ve.
zes, essa 6 a forma mais prdtica, ou a dnica, de se obter os dados sobre o escoamento-
A d,indmica de fluidos compttacionalL d a Srea da computaqdo cientffica que es-
tuda mdtodos computacionais para simulaqdo de fen6menos que envolvem fluidos em
movimento com ou sem trocas de calor. Isso inclui tanto o movimento de fluidos ao
redor de um corpo, por exemplot de um aviSo ou submarino, como dentro de tubula46es
ou turbinas. Basicamente, o usu6rio da DFC est6 interessado em obter as distribuiq6es
de wlocidodes, prcssdes e temperaturas na regido do escoamento. Com asses dados, o
engenheiro pode otimizar o projeto, reduzindo os custos operacionais e melhorando o
desempenho do item desenhado 
- 
por exemplo, a reduqio no arrasto aerodinS.mico de
uma a€ronave permite reduzir o seu consumo de combustivel.
O uso de m6todos numdricos de forma alguma implica que a mec6,nica dos fluidos
experimental e as andlises te6ricas estejam sendo postas de lado. E muito comum as
tr€s t6cnicas se complementarem durante um projeto que envoha escoamento de fluidos
e no estudo de modelos te6ricos para algum fendmeno particular, como turbul6ncia. No
primeiro caso, podem-se utilizar os resultados do programa de simulaqdo para orientar
o projetista na escolha dos experimentos a serem realizados. Jd no segundo caso, as
equag6es de novos modelos te6ricos para problemas de mecanica dos fluidos sdo resolvidas
numericamente. e os resultados comparados com experimentos, confirmando ou ne.o a
l'alidade desses novos modelos. Finalmente, durante a etapa de testes do simulador de
escoamentos, verifica-se se o mesmo estd correto, comparando.se seus resultados com
experimeutos. ou com lalores assint6ticos previstos pela teoria da mecdnica dos fluidos.
Um e,xemplo dessa combinagio p6de ser visto durante o projeto do aeroporto de
Kansai, no Jap5o. Devido aos grandes espagos internos da estrutura, definidos no projeto,
o desenho do sistema de ar-condicionado foi realizado combinando simulaq6es numdricas
e testes experimentais. Os resultados das simulaq6es numriricas foram usados para guiar
os projetistas durante ensaios com um modelo reduzido, construido para complementar o
estudo numdrico- .{ comparag5o entre os dados num6ricos e experimentais, apresentada
em Yau & Whittle (1991), foi satisfatdria. Outro exemplo pode ser encontrado em Rubin
et al. (1977\, em que o escoamento em dutos d analisado com o emprego de t6cnicas
num6ricas e analiticas, e os resultados sdo comparados com experitnentos-
O objetivo biisico da DFC 6 reduzir o nfmero de experimentos e explorar fen&
menos que nio poderiam ser estudados em laborat6rio de forma prdtica. Utilizando as
t6cnicas da DFC, pode-se al'aliar numericamente os diversos pardmetros relevantes ao
I. Conpttattoral futd dynonics (CFD), em inglOs-
20 . Tdcniw Computacionais parc Dindniu dos Fluidos
Euler. Por6m, as descriqdes matemdticas do comportamento dos fluidos s6 ganharam
forqa no sdculo XIX, na forma das equagdes de Nauier-Stoku, a partir dos trabalhos
pioneiros dos franceses Clarrde Navier (1822), Simeon Poisson (1829) e do inglds George
Stokes (1845). Dependendo das propriedades do fluido e do escoamento, &s equaqdes
de Navier-Stokes podem ser escritas de muitas formas. Em coordenadas cartesianas
bidimensionais, para escoamentos incompressfveis e isot6rmicos - a enfase deste livro -
elas sdo
(l.l)
em que u e u sao as velocidades nas direq6es r e y, respectivamente. .4. densidade do
fluido 6 p, p sua pressdo e y sua viscosidade cinemdtica. A primeira equa4So 6 conhecida
como equogdo do continuidade e reflete o princfpio ffsico da consen'aqdo de massa. .4,
segunda e a terceira sdo as equag6es d,e montento para as direqdes r e y, respectiramente,
e representam a aplica4So da segunda lei de Newton (F = m.a) ao fluido. A deduqio
dessas equa46es serd apresentada no capitulo 5.
Soluq6es analiticas para as equaqdes de Navier-Stokes sd foram determinadas para
alguns poucos casos, alguns deles apresentados em Lamb (1945). A dificuldade de se
encontrar solugdes analfticas decorre do fato de que as equagdes de Navier-Stokes si<.r
equag6es diferenciais parciais (EDPs) n5o-lineares, e a teoria matemdtica dessa classe
de equa46es ainda ndo est6 suficientemente desenvolvida para permitir a obtenqdo de
soluqdes analiticas em regides arbitrdrias e condiq6es de contorno gerais. E, dependendo
do problema, n6o se pode utilizar as versdes simplificadas dessas equaq6es, como as
equag6es de Bernoulli, pois essas versdcs nem semprc sdo aplic6veis.
Por essa razSo 6 que, no estudo do movimento de fluidos e de seus efeitos, se
utilizam ensaios experimentais, como tcstes em trineis de vento e tanques d'6gua. Devido
is limitaq6es de custo, tempo e equipamento, 6 comum a realizaqio de medidas em apenas
alguns pontos da regiio em que ocorrem os fen6menos de interesse. Por exemplo, a
presseo e as velocidades do escoamento sobre a fuselaAem de um aviio s5o determinadas
apenas em alguns pontos-
Portanto, nem sempre os tratamentos tedricos e/ou experimentais sio satisfat6rios.
F\rndamentalmente, sdo duas as raz6es para isso: (a) o fen6meno emestudo nem sempre
6 passfvel de reproduqdo em laborat6rio, rnesrno em escala reduzida; e (b) o custo e
o tempo da montagem experimental podem ser proibitivos. Exemplos de (a) sio: a
previsSo de tempo, que trata dos movimentos de ar atmosf6rico, pois esses deslocamentos
t€m influ6ncia direta no tempo; a reentrada de um corpo na atmosfera, em que existem
complexas trocas de calor entre o meio externo e o objeto; e o movimento do sangue
atrav6s do cora4eo, das veias e das arterias. Exemplos de (b) incluem o estudo da
0u-0u 
_ n0z' 0y
0u 
.0u2 .0(uu) I7p /02u .02u\
at* ar* av -par*'\arr"W)
0u 0u2 0(uul 1 0n / 02u d2u\
a, * au * -a; = -nay *'\a"" * ut )
Introdugd,o ' 27
aerodindmica de avi6es em tdneis de vento de altas velocidades, que sao caros de serem
operados, e a simula4So do movimento da 6gua no subsolo.
Com o advento do computador digital a partir dos anos de 1950, surgiu uma ter-
ceira alternativa: obter, pela soluq6o numdrica das equaq6es de Navier-Stokes utilizando
t6cnicas computacionais, o campo de velocidades que comp6em o escoamento. Problemas
reais de engenharia normalmente requerem o tratamento computacional, pois, muitas ve.
zes, essa 6 a forma mais prdtica, ou a dnica, de se obter os dados sobre o escoamento-
A d,indmica de fluidos compttacionalL d a Srea da computaqdo cientffica que es-
tuda mdtodos computacionais para simulaqdo de fen6menos que envolvem fluidos em
movimento com ou sem trocas de calor. Isso inclui tanto o movimento de fluidos ao
redor de um corpo, por exemplot de um aviSo ou submarino, como dentro de tubula46es
ou turbinas. Basicamente, o usu6rio da DFC est6 interessado em obter as distribuiq6es
de wlocidodes, prcssdes e temperaturas na regido do escoamento. Com asses dados, o
engenheiro pode otimizar o projeto, reduzindo os custos operacionais e melhorando o
desempenho do item desenhado 
- 
por exemplo, a reduqio no arrasto aerodinS.mico de
uma a€ronave permite reduzir o seu consumo de combustivel.
O uso de m6todos numdricos de forma alguma implica que a mec6,nica dos fluidos
experimental e as andlises te6ricas estejam sendo postas de lado. E muito comum as
tr€s t6cnicas se complementarem durante um projeto que envoha escoamento de fluidos
e no estudo de modelos te6ricos para algum fendmeno particular, como turbul6ncia. No
primeiro caso, podem-se utilizar os resultados do programa de simulaqdo para orientar
o projetista na escolha dos experimentos a serem realizados. Jd no segundo caso, as
equag6es de novos modelos te6ricos para problemas de mecanica dos fluidos sdo resolvidas
numericamente. e os resultados comparados com experimentos, confirmando ou ne.o a
l'alidade desses novos modelos. Finalmente, durante a etapa de testes do simulador de
escoamentos, verifica-se se o mesmo estd correto, comparando.se seus resultados com
experimeutos. ou com lalores assint6ticos previstos pela teoria da mecdnica dos fluidos.
Um e,xemplo dessa combinagio p6de ser visto durante o projeto do aeroporto de
Kansai, no Jap5o. Devido aos grandes espagos internos da estrutura, definidos no projeto,
o desenho do sistema de ar-condicionado foi realizado combinando simulaq6es numdricas
e testes experimentais. Os resultados das simulaq6es numriricas foram usados para guiar
os projetistas durante ensaios com um modelo reduzido, construido para complementar o
estudo numdrico- .{ comparag5o entre os dados num6ricos e experimentais, apresentada
em Yau & Whittle (1991), foi satisfatdria. Outro exemplo pode ser encontrado em Rubin
et al. (1977\, em que o escoamento em dutos d analisado com o emprego de t6cnicas
num6ricas e analiticas, e os resultados sdo comparados com experitnentos-
O objetivo biisico da DFC 6 reduzir o nfmero de experimentos e explorar fen&
menos que nio poderiam ser estudados em laborat6rio de forma prdtica. Utilizando as
t6cnicas da DFC, pode-se al'aliar numericamente os diversos pardmetros relevantes ao
I. Conpttattoral futd dynonics (CFD), em inglOs-
!:l22 . Ti.cnicas Compttacionots para Diuimtco dos Fhtid.6s
problema. Esses podenr ser facilnrente alterados at6 que o resultado da simulaqao atenda
is exigEncias do projeto. Tudo isso de forma bem mais conreniente e a custos e ternpos
menores do que apenas utilizando t6cnicas experimentais e arriilises tedricils, cornbinad:r
com projeto inicial. ensaios e reprojeto.
.A,ndlises
teoncas
Mitodos
expenmentais
Figura 1.1. DFC complementa a andlises te<iricu e os ensaios exoerirnerrtars.
Nlesmo que os resultados fornecidos pela t6cnica computacional seianl linritad()s
pelos parametros ut,ilizado.J na simulaqdo, como no m6todo experimental. o usuii.rio tcrrr
grande facilidade para alterar l)aremet,ros como geometria, teftrperatura e rekl;itl;u|:..j;i
que esses sdo apenas "dados de entrada" para o sinrulador. Nesse senticlo, Flet<:her ( tgg2)
afirma que as tdcnica-s conlputaciouais esti.o muito mais pr6xinrirs das experirlentais <19
que das te6ricas. Tanto que, atualmente, 6 comum encontrarrnos a expressa. ..r:xp.ri-
rnentos numdricos", ent refer8ncia it^s sinrulagoes de um rnesmo fen6nreno reraliz;rrlirs corrr
diferentesparametros..{tabelal.l,extra(dadeTannehilletcl. (1997).cornparailjr(is
estrat6gi6 para solucionirr problemas rla rnecArrica dos fluidos.
Tabela l.l. Cornpaa.gio en*e s tr6s tdcrricu de solugi,o
T6cnica \ antagens Desrantagens
Experimental \lais realista . Equipam€[to exigido
r Problernre de escala
. Dificuldad€s de mediqii,o
. Custo operacional
. Restrita a georietrirs
e processos fisicos sirrrples
. Geralmenre restrita ir
problemu lioeares
Numririca
Introdupdo.
situaqdes extremaflrente diffceis de serern ntodeladas e rransforrnadas ern equaq6cs para
tr:rtaurento nunr6rico. O exemplo rnais direto 6 a urodelagem de escoarnerrtos turbulen-
tos (\tr'ilcox. 1998), em que o uso de difi:rentes nrotielos de turbul,ancia, ern un) nlesrlo
tipo rle escoamento. pode fornecer resultados distintcrs (rer figura l.13), As pr6pria.r
equaqdes de Navier-Stokes. quando traradas nunlericamente, tdm cotnportanlentos di-
Jerentes dii<lueles quc se espera das equirq6es originais- Esszu alterag6es. se ndo forenr
l('!'ir(lili enr considera<;do. podern <listorcer a soluqio rlo problernir- Urrr exernplo disso 6 ir
irrtroduqtio da difusdo artifeiuP, urn fen,]mcrro puranrente nunr6rico, que pode ruodificar
corrsideravelmerrte a soluqio de unr problenra.
Por ter sua importdncia reconhecida, a DFC foi inclufda no progranra Grandes
Desafiosl.GrandChallenge.r)dogovernodosEU--\(Tentrrer, 199-t). Esseprogramadefiniu
prtlblenras em diversas iireas da cidncia e tecnologia, cujas solug6es t6m grande inrpact-
ecorr)rnico e cierrt[fico. .{ caracteristica cornum das quesroes tratadas nesse programa
tl r1ue. :rltirrr de errvolverem vi,rios cerrtros de pesquisa. apresentam uma forte denrantla
por recursos corllputaciouais, principalnrente devido is sirnulaqdes nurr16ricas necessdrias-
Delttre es.ies prol)lemas, podemos citar ntodelagenr atnrosferii:a. oceenica, de es(:oamentos
rrrultifil;icos c o lllapeamento das regioes do cdrebro hurnano.
No geral. a DFC apresenta urn vers:itil conjurrto rle algoritmos para a soluqeo
nrrrrt6rica tlos Jrroblernas de escoanterrto. -\ aplicabilitlade tle t:ada algoritmo depende dc
siturqao tratada. sendo inlportante que o usuiirio couheqa tanto os aspectos fisicos dO
probhlrna rluanto os aspectos num6ricos da rrretod()lots-iil de soluq:io adotada. Exenlplos de
iir,lrs t'rtt que.r DFC tern forte presenqa. llern daquela-;.iii r:itadas arrteriormente. incluenr
ettgt.rrhrrria aerorrd.utica (Chaffin & Berrl'. 199{). perr:olagAo enr barragens (Bulgarelli et
ol.. llll-li c iiglras sutlterreneas (lVang & .{ndcrson. t9S2t. dispersao de poluentcs ern rios
tr()(citltos.ett{etthariaambiental,engenharia(x)steir;rrFalconer&Guifi. 19921.nredicr-
ni! (.Hlrnt. 1993). escoanrerltos com reaqous (lrrirni(irs (Or;rrr,!" Boris. lg8i). siderurgiir.
irrlrist,ri;t texril. astrofisica(.Jlnninos et al., I9911. irr.jr:r;do enr rnoldes (T<lrnd & \lcKee.
l{X){t e o estu<lo dos efeitos de aquecirueuto c restiiiuutrrto enr arnbierrtes (Sakarnoto &
\[;rtsrr,r. lCS0).
[:-ssir 6 somente urna pequena arrrosua drr^s ;rplic;rr,ires da DFC. -\ seqio 1.9 conttlrn
rrr:r:r lista rle publicaq6es que tratarn de algoritrnos rrrrrntlricos c de aplicaqoes priticas das
rtir:nitr.rj rrrrnputacionais relaciorrada^s is eqrragoes rle \avier-Stokes.
tl E5C,Io.\\IEN1'O DE IiI,UIDOS
lpesar de a DFC oferecer utrr conjurrto cle tbrrarnent:rs que nos auxiliarn na compre-
ensiio tkt (ltlc acontece eln utn determinado escL)&nrento. elas 
";ao alrenas isso: ferraruenta-s.
D;r rrrirsrrra nlaneira que ndo se fixa um prego conr chave tle parafuso, as ferra[lent2rs da
DF('eri,turrr do usuirio unr rrrinirno cle conlx,cinretrtr) s{rbre trleciinica dtis fluiCos para
.1. \ s.r '. rsir ,!rir detalhes [o capitulo t.
Tanicas
numiricu
r Nio h6 restriqio ir lineuidade;
o Ceornetriu e paoce$os
conrplicados
o Enrlulio ternporal do proceso
o Erros de truncament,,
o Prescrigio das contliqoes
de contorno apropriadu
. Custos cornputacionaiJ
Apesar de toda a flexibilidade que a t6cnica computacional oferece. sla 4iryl1 nari
pode resoh'er muitos dos problemas reais que envolvenl escoamento de ffuitlc,-s. Existorrr
I
I
I
!:l22 . Ti.cnicas Compttacionots para Diuimtco dos Fhtid.6s
problema. Esses podenr ser facilnrente alterados at6 que o resultado da simulaqao atenda
is exigEncias do projeto. Tudo isso de forma bem mais conreniente e a custos e ternpos
menores do que apenas utilizando t6cnicas experimentais e arriilises tedricils, cornbinad:r
com projeto inicial. ensaios e reprojeto.
.A,ndlises
teoncas
Mitodos
expenmentais
Figura 1.1. DFC complementa a andlises te<iricu e os ensaios exoerirnerrtars.
Nlesmo que os resultados fornecidos pela t6cnica computacional seianl linritad()s
pelos parametros ut,ilizado.J na simulaqdo, como no m6todo experimental. o usuii.rio tcrrr
grande facilidade para alterar l)aremet,ros como geometria, teftrperatura e rekl;itl;u|:..j;i
que esses sdo apenas "dados de entrada" para o sinrulador. Nesse senticlo, Flet<:her ( tgg2)
afirma que as tdcnica-s conlputaciouais esti.o muito mais pr6xinrirs das experirlentais <19
que das te6ricas. Tanto que, atualmente, 6 comum encontrarrnos a expressa. ..r:xp.ri-
rnentos numdricos", ent refer8ncia it^s sinrulagoes de um rnesmo fen6nreno reraliz;rrlirs corrr
diferentesparametros..{tabelal.l,extra(dadeTannehilletcl. (1997).cornparailjr(is
estrat6gi6 para solucionirr problemas rla rnecArrica dos fluidos.
Tabela l.l. Cornpaa.gio en*e s tr6s tdcrricu de solugi,o
T6cnica \ antagens Desrantagens
Experimental \lais realista . Equipam€[to exigido
r Problernre de escala
. Dificuldad€s de mediqii,o
. Custo operacional
. Restrita a georietrirs
e processos fisicos sirrrples
. Geralmenre restrita ir
problemu lioeares
Numririca
Introdupdo.
situaqdes extremaflrente diffceis de serern ntodeladas e rransforrnadas ern equaq6cs para
tr:rtaurento nunr6rico. O exemplo rnais direto 6 a urodelagem de escoarnerrtos turbulen-
tos (\tr'ilcox. 1998), em que o uso de difi:rentes nrotielos de turbul,ancia, ern un) nlesrlo
tipo rle escoamento. pode fornecer resultados distintcrs (rer figura l.13), As pr6pria.r
equaqdes de Navier-Stokes. quando traradas nunlericamente, tdm cotnportanlentos di-
Jerentes dii<lueles quc se espera das equirq6es originais- Esszu alterag6es. se ndo forenr
l('!'ir(lili enr considera<;do. podern <listorcer a soluqio rlo problernir- Urrr exernplo disso 6 ir
irrtroduqtio da difusdo artifeiuP, urn fen,]mcrro puranrente nunr6rico, que pode ruodificar
corrsideravelmerrte a soluqio de unr problenra.
Por ter sua importdncia reconhecida, a DFC foi inclufda no progranra Grandes
Desafiosl.GrandChallenge.r)dogovernodosEU--\(Tentrrer, 199-t). Esseprogramadefiniu
prtlblenras em diversas iireas da cidncia e tecnologia, cujas solug6es t6m grande inrpact-
ecorr)rnico e cierrt[fico. .{ caracteristica cornum das quesroes tratadas nesse programa
tl r1ue. :rltirrr de errvolverem vi,rios cerrtros de pesquisa. apresentam uma forte denrantla
por recursos corllputaciouais, principalnrente devido is sirnulaqdes nurr16ricas necessdrias-
Delttre es.ies prol)lemas, podemos citar ntodelagenr atnrosferii:a. oceenica, de es(:oamentos
rrrultifil;icos c o lllapeamento das regioes do cdrebro hurnano.
No geral. a DFC apresenta urn vers:itil conjurrto rle algoritmos para a soluqeo
nrrrrt6rica tlos Jrroblernas de escoanterrto. -\ aplicabilitlade tle t:ada algoritmo depende dc
siturqao tratada. sendo inlportante que o usuiirio couheqa tanto os aspectos fisicos dO
probhlrna rluanto os aspectos num6ricos da rrretod()lots-iil de soluq:io adotada. Exenlplos de
iir,lrs t'rtt que.r DFC tern forte presenqa. llern daquela-;.iii r:itadas arrteriormente. incluenr
ettgt.rrhrrria aerorrd.utica (Chaffin & Berrl'. 199{). perr:olagAo enr barragens (Bulgarelli et
ol.. llll-li c iiglras sutlterreneas (lVang & .{ndcrson. t9S2t. dispersao de poluentcs ern rios
tr()(citltos.ett{etthariaambiental,engenharia(x)steir;rrFalconer&Guifi. 19921.nredicr-
ni! (.Hlrnt. 1993). escoanrerltos com reaqous (lrrirni(irs (Or;rrr,!" Boris. lg8i). siderurgiir.
irrlrist,ri;t texril. astrofisica (.Jlnninos et al., I9911. irr.jr:r;do enr rnoldes (T<lrnd & \lcKee.
l{X){t e o estu<lo dos efeitos de aquecirueuto c restiiiuutrrto enr arnbierrtes (Sakarnoto &
\[;rtsrr,r. lCS0).
[:-ssir 6 somente urna pequena arrrosua drr^s ;rplic;rr,ires da DFC. -\ seqio 1.9 conttlrn
rrr:r:r lista rle publicaq6es que tratarn de algoritrnos rrrrrntlricos c de aplicaqoes priticas das
rtir:nitr.rj rrrrnputacionais relaciorrada^s is eqrragoes rle \avier-Stokes.
tl E5C,Io.\\IEN1'O DE IiI,UIDOS
lpesar de a DFC oferecer utrr conjurrto cle tbrrarnent:rs que nos auxiliarn na compre-
ensiio tkt (ltlc acontece eln utn determinado escL)&nrento. elas 
";ao alrenas isso: ferraruenta-s.
D;r rrrirsrrra nlaneira que ndo se fixa um prego conr chave tle parafuso, as ferra[lent2rs da
DF('eri,turrr do usuirio unr rrrinirno cle conlx,cinretrtr) s{rbre trleciinica dtis fluiCos para
.1. \ s.r '. rsir ,!rir detalhes [o capitulo t.
Tanicas
numiricu
r Nio h6 restriqio ir lineuidade;
o Ceornetriu e paoce$os
conrplicados
o Enrlulio ternporal do proceso
o Erros de truncament,,
o Prescrigio das contliqoes
de contorno apropriadu
. Custos cornputacionaiJ
Apesar de toda a flexibilidade que a t6cnica computacional oferece. sla 4iryl1 nari
pode resoh'er muitos dos problemas reais que envolvenl escoamento de ffuitlc,-s. Existorrr
I
I
I
24 . Ticniu Computocionais parc Dinilmiu dos Fluiclos
serem corretarnente aplicadas e fornecerem resultados representativos.
.A' mat€ria existe em basicamente dois estados, s6lido e fluido, este riltimo normal-
mente dividido nos estados lfquido e gasoso. os s<ilidos diferem dos fluidos na dista,ncia e
magnitude do movimento de suas mol6culas. Os s<ilidos apresentam estrutura molecular
coesa' Essa coesdo d menor nos lfquidos e pequena nos gases, fato que explica o porquo
de o s<ilido ser rigido e de um liquido ou um g6s assumir a forma do recipiente que os
contdm.
outra caracteristica que diferencia sdlidos de fluidos 6 que os primeiros podem su-
portar forqas que causem tens6es3 de cisalhamento, que nio causem ruptura do material,
enquanto que fluidos sdo incapazes de resistir a elas. Em resposta a essas tensdes. os
fluidos se deformam e escoam.
A partir de obser'aq6es experimentais, pode.se dividir o escoamento de fluidos
em dois ripos: laminares e turbdentos. Escoamentos laminares sdo aqueles nos quais
camadas muito 6nas (ldminas) de fluido parecem deslizar umas sobre as outras (ver
figura l-2). J6 os escoamentos turbulentos consistem -em um movimento caritico ou
desordenado de partfculas de fluidos individuais" (vennard & street, rgTg). Deve-se
salientarque "laminar" ou "turbulento" ndo sdo propriedades intrfnsecas do fluido, mas
um estado em que ele se encontra devido as condig6es do escoamento-
Figura 1.2. Escoamento lmina de um fluido movendese com velocidad€ u.
Dois exemplos ilustram esses diferentes escoamentos. o primeiro d o da fumaga
que sai do pavio de uma vela recdm-apagada. observa-se, iniciarmente, que a fumaga
sobe de forma ordenada, como uma "coruna" 
- 
escoamento laminar. Apds uma certa
distancia, a turbuldncia aparece e a fumaga apresenta movimentos aparentemente are-
at6rios, caracterizados por v6rtices, tamb6m conhecidos como .,redemoinhos".
Outra experi€ncia pode ser feita com uma torneira. Ao se abrir bem pouco uma
torneira, a 6gua cai como uma "coluna de gero" 
- escoamento raminar. Ao abrirmos
mais a torneira, vemos que essa coluna eventualmente se desfaz, dando origem a um
escoamento mais complexo, o escoamento turbulento.
um dos fatores mais importantes no escoamento do fluido 6. a pnssdo, definida
como a forqa aplicada sobre uma superffcie. A diferenEa de pressio entre pontos distintos
6 uma das causas mais comuns do escoamento de fluidos: o fluido escoa da regiio de
pressio alta para a de baixa. No sistema internacional de unidades (sI), adotado neste
livro, a unidade de pressdo 6. o pascal (pa), que equivale a I N/m2.
Nesse ponto, 6 conveniente definirmos tr€s termos muito empregados em relagao
3. Tensdo reprsenta o quociente entre o modulo de uma forqa e a drea sobre a qual ela age.
lntrodugd,o .
ao escoamento de um fluido. O primeiro 
€ a aazdo, que representa o volume da massa que
atravessa uma seqao reta, por unidade de tempo. Assim, por exemplo, pode.se dizer que
uma tubulaqSo de dgua tem uma razdo de 5 m3/s. Define-se vazda de massa, ou descarga,
a quantidade de massa que crrLza uma seqSo reta, por unidade de tempo. Finalmente,
o fuzo representa a quantidade de uma grandeza ffsica que cruza urha dada 6rea por
unidade de tempo. Mais detalhes sobre fluxo ser5o vistos na segdo 5.2.
Considere-se um escoamento laminar entre as duas chapas planas mostrada^s na
figura 1.3. As chapas s5o separadas por uma distincia Ag. A chapa inferior permanece
em repouso enquanto que uma forga tangencial F traciona a chapa superior, que se
desloca da esquerda para a direita com velocidade u. .A, forqa F gera uma tensdo de
cisalhamento r entre a chapa superior e o fluido adjacente a ela. um bloco de fluido
(linha cheia), inicialmente em repouso, ser6 acelerado e se deformard (linha tracejada).
Para muitos fluidos, obserla-se, experimentalmente, uma relaqdo linear entre a tenseo de
cisalhamento r e a, tara de deformagdo fr das laminas de fluido:
Auto a,
ou, no limite Au, Ay 
-r 0,
Quanto maior a taxa de deforma46o ft, p^ru um mesmo fluido, maior a tensdo de
cisalhamento aplicada sobre o fluido e vice.versa.
^rii
Y:r0
x_ F*
Figura 1.3. Deforma4So (linha tracejada) de um fluido, originalmente em repouo (linha cheia),
rcb o efeito de uma tensSo de cisalhmeuto r.
Isaac Newton sup6s que a constante de proporcio.alidade entre r e a taxa de defor-
magSo fosse uma propriedade do fluido, a qual ele denorninou de uiscosidade. portanto,
( 1.2)
A constante p, denominada coeficiente de viscosidade do fluido, d tambdm co.he-
cida como uiscosidade dindmica ou moleatlar*, cuja unidade, no SI, 6 o pa.s, tamb6m
4. A viscoidade cinemi.tica r, vista na equaqio l.l, d definida como , 
= 
p/p. No SI, lvl = m2 /s-
25
duTX- (ty
du
d.y
24 . Ticniu Computocionais parc Dinilmiu dos Fluiclos
serem corretarnente aplicadas e fornecerem resultados representativos.
.A' mat€ria existe em basicamente dois estados, s6lido e fluido, este riltimo normal-
mente dividido nos estados lfquido e gasoso. os s<ilidos diferem dos fluidos na dista,ncia e
magnitude do movimento de suas mol6culas. Os s<ilidos apresentam estrutura molecular
coesa' Essa coesdo d menor nos lfquidos e pequena nos gases, fato que explica o porquo
de o s<ilido ser rigido e de um liquido ou um g6s assumir a forma do recipiente que os
contdm.
outra caracteristica que diferencia sdlidos de fluidos 6 que os primeiros podem su-
portar forqas que causem tens6es3 de cisalhamento, que nio causem ruptura do material,
enquanto que fluidos sdo incapazes de resistir a elas. Em resposta a essas tensdes. os
fluidos se deformam e escoam.
A partir de obser'aq6es experimentais, pode.se dividir o escoamento de fluidos
em dois ripos: laminares e turbdentos. Escoamentos laminares sdo aqueles nos quais
camadas muito 6nas (ldminas) de fluido parecem deslizar umas sobre as outras (ver
figura l-2). J6 os escoamentos turbulentos consistem -em um movimento caritico ou
desordenado de partfculas de fluidos individuais" (vennard & street, rgTg). Deve-se
salientar que "laminar" ou "turbulento" ndo sdo propriedades intrfnsecas do fluido, mas
um estado em que ele se encontra devido as condig6es do escoamento-
Figura 1.2. Escoamento lmina de um fluido movendese com velocidad€ u.
Dois exemplos ilustram esses diferentes escoamentos. o primeiro d o da fumaga
que sai do pavio de uma vela recdm-apagada. observa-se, iniciarmente, que a fumaga
sobe de forma ordenada, como uma "coruna" 
- 
escoamento laminar. Apds uma certa
distancia, a turbuldncia aparece e a fumaga apresenta movimentos aparentemente are-
at6rios, caracterizados por v6rtices, tamb6m conhecidos como .,redemoinhos".
Outra experi€ncia pode ser feita com uma torneira. Ao se abrir bem pouco uma
torneira, a 6gua cai como uma "coluna de gero" 
- escoamento raminar. Ao abrirmos
mais a torneira, vemos que essa coluna eventualmente se desfaz, dando origem a um
escoamento mais complexo, o escoamento turbulento.
um dos fatores mais importantes no escoamento do fluido 6. a pnssdo, definida
como a forqa aplicada sobre uma superffcie. A diferenEa de pressio entre pontos distintos
6 uma das causas mais comuns do escoamento de fluidos: o fluido escoa da regiio de
pressio alta para a de baixa. No sistema internacional de unidades (sI), adotado neste
livro, a unidade de pressdo 6. o pascal (pa), que equivale a I N/m2.
Nesse ponto, 6 conveniente definirmos tr€s termos muito empregados em relagao
3. Tensdo reprsenta o quociente entre o modulo de uma forqa e a drea sobre a qual ela age.
lntrodugd,o .
ao escoamento de um fluido. O primeiro 
€ a aazdo, que representa o volume da massa que
atravessa uma seqao reta, por unidade de tempo. Assim, por exemplo, pode.se dizer que
uma tubulaqSo de dgua tem uma razdo de 5 m3/s. Define-se vazda de massa, ou descarga,
a quantidade de massa que crrLza uma seqSo reta, por unidade de tempo. Finalmente,
o fuzo representa a quantidade de uma grandeza ffsica que cruza urha dada 6rea por
unidade de tempo. Mais detalhes sobre fluxo ser5o vistos na segdo 5.2.
Considere-se um escoamento laminar entre as duas chapas planas mostrada^s na
figura 1.3. As chapas s5o separadas por uma distincia Ag. A chapa inferior permanece
em repouso enquanto que uma forga tangencial F traciona a chapa superior, que se
desloca da esquerda para a direita com velocidade u. .A, forqa F gera uma tensdo de
cisalhamento r entre a chapa superior e o fluido adjacente a ela. um bloco de fluido
(linha cheia), inicialmente em repouso, ser6 acelerado e se deformard (linha tracejada).
Para muitos fluidos, obserla-se, experimentalmente, uma relaqdo linear entre a tenseo de
cisalhamento r e a, tara de deformagdo fr das laminas de fluido:
Auto a,
ou, no limite Au, Ay 
-r 0,
Quanto maior a taxa de deforma46o ft, p^ru um mesmo fluido, maior a tensdo de
cisalhamento aplicada sobre o fluido e vice.versa.
^rii
Y:r0
x_ F*
Figura 1.3. Deforma4So (linha tracejada) de um fluido, originalmente em repouo (linha cheia),
rcb o efeito de uma tensSo de cisalhmeuto r.
Isaac Newton sup6s que a constante de proporcio.alidade entre r e a taxa de defor-
magSo fosse uma propriedade do fluido, a qualele denorninou de uiscosidade. portanto,
( 1.2)
A constante p, denominada coeficiente de viscosidade do fluido, d tambdm co.he-
cida como uiscosidade dindmica ou moleatlar*, cuja unidade, no SI, 6 o pa.s, tamb6m
4. A viscoidade cinemi.tica r, vista na equaqio l.l, d definida como , 
= 
p/p. No SI, lvl = m2 /s-
25
duTX- (ty
du
d.y
26 . T€cnius Conputacionais para Dindmim dos Fluidos
conhecida por Poiseuille. No SI, fu] = kg/(m .s)- Quanto mais viscoso o fluido, mais
fortes sio as tens6es de cisalhamento entre suas lS.minas e, conseqiientemente, maior 6
a dissipaE6o de energia. Por isso, 6 necessdrio mais esforqo para .mexer" unr pote com
mel, digamos, do que um copo com 6gua- Fluidos que satisfazem a equa4do 1.2 s6o ditos
neutonianos. No regime de escoamento laminar, as tensdes em muitos fluidos reais, como
dgua e ar, s6o dadas pela equaqio 1.2. Exceq6es sio os polimeros, tintas e o sangue, que
sio fl uidos nd.o-newtonianos.
A viscosidade dos liquidos diminui com o aumento da temperatura, mas 6 muito
pouco afetada pela pressio. Sua viscosidade cinem6tica v = p/ p tamb6m varia pouco
com a press5.o, pois, para os liquidos, grandes varia4des de pressio sio necessd.rias para
que haja uma alterag5o significativa na densidade p. Ji parz os gases, a viscosidade
aumenta com o aumento da temperatura, mas tamb6m ndo 6 afetada significatilamente
pela pressdo- No entanto, i. temperatura constante, a viscosidade cinem6tica dos gases
varia inversa e significativarnente com a pressSo, devido i grande variagdo da densidade
com a pressSo, ou seja, devido d facilidade de compressio dos gases.
At6 o inicio do s6culo XX, um curioso fen6meno intrigara os pesquisadores em
dinimica dos fluidos. .{ teoria da mec6nica dos fluidos previa que era nula a forqa de
arrasto sobre um corpo imerso, movendo-se com velocidade constante- Por6m, medidas
experimentais mostravam que isso ndo era verdade. Em particular, pela teoria, as asas
de um aviSo ndo deveriam exercer nenhum arrasto e, conseqiientemente, nenhuma sus-
tentaqdo: o aviSo nio sairia do chdo. Contudo, n<js sabemos que isso ndo 6 r.erdade,
tanto que essa discrepancia entre a teoria e a experi€ncia ficou conhecida conto parad,oxo
d'Alembert, ap5s Jean d'.tlembert descrev&la pela primeira vez. .t prova desse paradoxo
pode ser encontrada em textos de mecinica dos fluidos, como o de Acheson (1g92).
A razdo do aparente paradoxo era que, at6 entdo, ndo se levalarn em corrta os
efeitos das interaq6es das particulas do fluido entre si, e dessas com as superficies s6lidas.
Essas interaq6es geram forqas de atrito que dissipam energia do fluido sob a forrna de
calor- Eventualmente, na aus6ncia de forqas externas, essas forqas fazem com que o fluido
retorne ao estado de repouso. .As tens6es viscosas, isto 6, causadas pela viscosidade, 6 que
d5o origem a essas forqas. Em dltima instancia, 6 a viscosidade que causa o arrasto sobre
uma asa e dd sustentaqeo ao avido. Tambdm 6 ela que faz conr que, ap6s misturar-se
com uma colher o suco concentrado na 6gua, a mistura pare de girar5.
Ludwig Prandtl (1904) foi o primeiro pesquisador a demonstrar que, ao redor da
superficie de corpos em movimento imersos, em um fluido, hd uma fina regiio na qual
o gradiente de velocidade 
-Qe 
normal i superffcie do corpo 6 significativo. Portanto,
nessas regides, as tens6es de cisalhamento n5o podem ser desprezadas. A essa regiio
d6-se o nome de camada limite. Na camada limite, a velocidade varia desde zero, na
superficie s6lida, atd u-, na fronteira da camada limite. .{ velocidade u- 6 a relocidade
do escoamento livre em rela{io ao corpo (ver figura 1.4). Em geral, a camada limite
5. Um equipamento suficienternente sensivel poderia detrctar um leve aumento de temperatura no suco,
conforme a eoergia cindtica de rotacio fos disipada em calor.
Iatrcdugd,o ' 27
d muito fina na regiSo frontal de um corpo imerso em um fluido e se deslocando no
mesmo, mas aumenta progressilamente em expessura devido aos efeitos das tens6es de
cisalhamento. Al6m disso, quanto maior a velocidade relativa entre o fluido e o corpo,
mais fina 6 a camada limite.
Figura 1.4. Perfil de velocidads em uma mada limite.
Na computa4io de alguns escoamentos, muitas vezes, o efeito da viscosidade pode
ser desprezado, especialmente se estivermos longe de uma superffcie s6lida, isto 6, fora da
camada limite. Os fluidos sdo, enteo, tratados como invfscidos (sem viscosidade), tamb6m
denominados "ideais", pa.ra distingui-los dos fluidos viscosos "reais". As equagies de
Euler sdo freqiientemente utilizadas para a simulaqio de escoamentos de fluidos inviscidos,
sendo obtidas a partir das equa{6es de Navier-Stokes l.l, tomando.s /r = 0.
Os escoamentos de fluidos podem ser classificados de diversas formas. Escoamentos
estaciondrios ou perTnanentes s6o aqueles cujas grandezas como velocidade e pressdo n6o
variam com o tempo. Caso contr6rio, eles seo ditos tmnsientes ou n6,o-pennanentes- Jdt
os escoamentos unilortnes nio apresentam lariaq6es de algumas de suas propriedades ao
longo das coordenadas espaciais.
Escoamentos ;nterTtos sio aqueles em que o fluido estii totalmente cercado por
paredes e preenche todo o volume entre elas. Urna tubulagSo de ar 6 um exemplo tipico.
Jd em escoamentos eaternos, o fluido ndo estir confinado por paredes, podendo apresentar
ou nio superficies livres, ou seja, a superficie da 6gua entra em contato direto com o
ar. Os escoamentos tamb6m sdo classificados de externob, quando se deseja estudar o
escoamento ao redor de um objeto totalmente imerso em um fluido, como o de um avido
no ar.
Um fendmeno fisico que tem grande influ€ncia no escoamento de fluidos viscosos 6
o da separog6,o. Esse fen6meno acontece quando a camada limite encontra tm gradiente
d,e press6,o aduerso no escoamento, isto 6, a pressao, na direg6o do escoamento, aumenta,
26 . T€cnius Conputacionais para Dindmim dos Fluidos
conhecida por Poiseuille. No SI, fu] = kg/(m .s)- Quanto mais viscoso o fluido, mais
fortes sio as tens6es de cisalhamento entre suas lS.minas e, conseqiientemente, maior 6
a dissipaE6o de energia. Por isso, 6 necessdrio mais esforqo para .mexer" unr pote com
mel, digamos, do que um copo com 6gua- Fluidos que satisfazem a equa4do 1.2 s6o ditos
neutonianos. No regime de escoamento laminar, as tensdes em muitos fluidos reais, como
dgua e ar, s6o dadas pela equaqio 1.2. Exceq6es sio os polimeros, tintas e o sangue, que
sio fl uidos nd.o-newtonianos.
A viscosidade dos liquidos diminui com o aumento da temperatura, mas 6 muito
pouco afetada pela pressio. Sua viscosidade cinem6tica v = p/ p tamb6m varia pouco
com a press5.o, pois, para os liquidos, grandes varia4des de pressio sio necessd.rias para
que haja uma alterag5o significativa na densidade p. Ji parz os gases, a viscosidade
aumenta com o aumento da temperatura, mas tamb6m ndo 6 afetada significatilamente
pela pressdo- No entanto, i. temperatura constante, a viscosidade cinem6tica dos gases
varia inversa e significativarnente com a pressSo, devido i grande variagdo da densidade
com a pressSo, ou seja, devido d facilidade de compressio dos gases.
At6 o inicio do s6culo XX, um curioso fen6meno intrigara os pesquisadores em
dinimica dos fluidos. .{ teoria da mec6nica dos fluidos previa que era nula a forqa de
arrasto sobre um corpo imerso, movendo-se com velocidade constante- Por6m, medidas
experimentais mostravam que isso ndo era verdade. Em particular, pela teoria, as asas
de um aviSo ndo deveriam exercer nenhum arrasto e, conseqiientemente, nenhuma sus-
tentaqdo: o aviSo nio sairia do chdo. Contudo, n<js sabemos que isso ndo 6 r.erdade,
tanto que essa discrepancia entre a teoria e a experi€ncia ficou conhecida conto parad,oxo
d'Alembert, ap5s Jean d'.tlembert descrev&la pela primeira vez. .t prova desse paradoxo
pode ser encontrada em textos de mecinica dos fluidos, como o de Acheson (1g92).
A razdo do aparente paradoxo