PREPROVA MATEMATICA

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Revisão Matemática 
Prof. Luciano Stropper
 UFRGS 2013
Distribuição das questões
GEOMETRIA PLANA 
Polígonos convexos
Polígonos não-convexos
 Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.
 Os vértices A, B, C, D, E e F.
 Os ângulos internos A, B, C, D, E e F.
  é ângulo externo relativo ao vértice A.
 A diagonal BD.
Polígono regular
Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
B
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º.
Si = (n – 2).180º
A2
A3
A4
A5
An
A1
TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE TALES
c² = a² + b²
Apótema 
Polígonos Regulares
O
M

R
m
O
A
B
m
θ
R
L/2
O
A
B
m
θ
R
L/2
Área de polígonos
Área do quadrado
L
L
A = L2
Exemplo
Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.
D
A = L2
⇒ L2 = 18
⇒ L = 3√2
D2 = L2 + L2
⇒ D = L√2
⇒ D = 3√2.√2
⇒ D = 6 cm
Área do retângulo
Base (b)
Altura (h)
A = b . h
Exemplo
Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro.
2x
x
A = 18
⇒ x.2x = 18
⇒ 2x2 = 18
⇒ x2 = 9
⇒ x = 3
Os lados medem 3 m e 6 m.
P = 2.3 + 2.6 = 18 m
Área do Paralelogramo
h
A = b . h
base (b)
Exemplo
Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.
h
sen 60º =
 h
4
⇒
h = 4. sen 60º 
= 4. 
2
√3
⇒ h = 2
√3
A = b . h
= 6. 2√3
⇒ A = 12√3
Área do Losango
d1
d2
L
L
L
L
Área do Triângulo
h
base (b)
 A=√p.(p-a).(p-b).(p-c)
Área do Triângulo Eqüilátero
L
L
L
h
h =
L√3
2
Área do Hexágono regular
L
L
L
L
L
L
CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA??
A = π R²
C = 2. π. R
UFRGS 2012
1+1/2+1/4+1/8 = 15/8
C= 2.pi.r = 2. 3,14 . 1
C=6,28 (1 volta)
Como serão 10 voltas
C= 62,8 (letra B)
x
x+6
Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.
GEOMETRIA ESPACIAL
Elementos de um poliedro
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.
Elementos de um poliedro
A
B
C
D
E
F
G
H
Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro.
Prof. Jorge
O PRISMA e suas formas
Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.
Prof. Jorge
Definição
Observe a animação.


r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.
Prof. Jorge
Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de faces
bases 
	(polígonos congruentes).
faces laterais (paralelogramos).
Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.
Prof. Jorge
Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de arestas
arestas das bases
	(AB, A’B’, ..., FA, F’A’). 
arestas laterais
	(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
Prof. Jorge
Elementos principais do prisma
h
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
Prof. Jorge
Classificação dos prismas
Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. 
P. hexagonal
hexágono
P. pentagonal
pentágono
P. quadrangular
quadrado
P. triangular
triângulo
Prisma
Polígonos das bases
Veja alguns desses prismas
Prisma triangular
Prisma Pentagonal
Classificação dos prismas
Prisma triangular reto
Prisma Pentagonal oblíquo
h
h
Prof. Jorge
Prisma regular
Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. 
O prisma é reto e
ABC é triângulo eqüilátero
⇒
Prisma triangular regular
O prisma é reto e a
Base é hexágono regular
⇒
Prisma hexagonal regular
Prof. Jorge
Prismas quadrangulares
Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo. 
Paralelepípedo retângulo ou ortoedro
Prof. Jorge
Prismas quadrangulares
Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular
Prof. Jorge
Estudo do cubo
O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das arestas
a
a
a
Prof. Jorge
Diagonais no cubo
Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das arestas
d
D
d → diagonal da face
D → diagonal do cubo
Prof. Jorge
Diagonais no cubo
Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.
a
d2 = a2 + a2
⇒ d = 2a2
⇒ d = a√2
Prof. Jorge
Diagonais no cubo
Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.
a
a
a
d
D
a
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
⇒ D = a√3
Prof. Jorge
Área da superfície total do cubo
Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura.
a
a
a
a
 AT = 6a2
Prof. Jorge
Volume do cubo
a
a
a
a
 V = a³
Prof. Jorge
Estudo do paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.
a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.
a
c
b
Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
Prof. Jorge
b
a
Diagonal do paralelepípedo
Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
d
D
Prof. Jorge
b
a
Cálculo da diagonal do paralelepípedo
Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo.
c
D
d2 = a2 + b2
e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2
⇒ D = √a2 + b2 + c2
Exemplo
O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura?
D = √a2 + b2 + c2
⇒ 13 = √122 + 42 + c2
⇒ 169 = 144 + 16 + c2
⇒ c2 = 169 – 160
⇒ c2 = 9
⇒ c = 3
Prof. Jorge
Área da superfície total do paralelepípedo
Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.
a
c
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc
bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc 
AT = 2(ab + ac + bc) 
Exemplo
A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.
AT = 248
⇒ 2(ab + ac + bc) = 248
⇒ ab + ac + bc = 124
:(2)
⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124
⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124
⇒ 31k2 = 124
⇒ k2 = 4
⇒ k = 2
Prof. Jorge
Volume do paralelepípedo retângulo
Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitário
V = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u
3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por
V = a.b.c
Exemplos
Uma das dimensões de um paralelepípedo é aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz.
Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.
Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z
= 1,404.xyz
= 1,404.V
Concluímos que o volume aumenta 40,4%.
Prof.Jorge
Estudo geral do prisma
Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que
As arestas laterais são alturas;
As faces laterais são retângulos;
Prof. Jorge
Áreas no prisma
No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
Área da base (AB) – Área do polígono da base;
Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB
Exemplo
A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.
3
5
6
4
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6
AL = 18 + 24 + 30
= 72
AB = (3.4)/2
= 6
AT = AL + 2.AB
AT = 72 + 2.6
= 84
Exemplo
Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.
x
6
A = 24√3
⇒ 
4
6x2√3
= 24√3
⇒ x2 = 16 
⇒ x = 4 
Af = b.h 
⇒ Af = 4.6 = 24
AL = 6.Af 
⇒ AL = 6.24 = 192 m2
Prof. Jorge
Princípio de Cavalieri
Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.
Prof. Jorge
Princípio de Cavalieri
Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano , se
Todos têm a mesma altura;
Todo plano  paralelo a  e que corte os sólidos determina, em todos eles, seções planas de mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.
Prof. Jorge
Volume do prisma
Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.
 V = AB.h
Prof. Jorge
PIRÂMIDE
A pirâmide tem dois tipos de faces
A base 
	(polígono ABCDEF).
Faces laterais (triângulos).
Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.
Prof. Jorge
Elementos principais da pirâmide
A pirâmide tem dois tipos de arestas
 arestas da base
	(AB, BC, CD, DE, EF e FA). 
arestas laterais
	(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
Prof. Jorge

Elementos principais da pirâmide
h
A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.
Prof. Jorge
Classificação
Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base. 
P. hexagonal
hexágono
P. pentagonal
pentágono
P. quadrangular
quadrado
P. triangular
triângulo
Pirâmide
Polígono da base
Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular
Pirâmide Pentagonal
Prof. Jorge
Pirâmides regulares
A base da pirâmide é um quadrado
⇒
Pirâmide quadrangular regular
A base da pirâmide é um hexágono regular
⇒
Pirâmide hexagonal regular
Prof. Jorge
Apótema da pirâmide
VM é o apótema (p) da pirâmide
p
M
⇒
BM = MC
Prof. Jorge
Segmentos notáveis na pirâmide regular
 VO = h, altura; 
 VA = a, aresta lateral; 
 AB = b, aresta da base; 
Prof. Jorge
Segmentos notáveis na pirâmide regular
 OM = m, apótema da base;
V
B
A
M
O
a
h
m
r
p
b
 OA = r, raio da base; 
 VM = p, apótema pirâmide; 
Prof. Jorge
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
p2 = h2 + m2
V
B
A
M
O
h
m
p
Prof. Jorge
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
A
O
a
h
r
a2 = h2 + r2
Prof. Jorge
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
a2 = p2 + (b/2)2
V
B
A
M
a
p
b/2
Prof. Jorge
Volume da pirâmide
Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
Prof. Jorge
Tronco de Pirâmide
R
C
A
h
B
D
A’
B’
C’
D’
h’
Tronco de pirâmide
Prof. Jorge
Razão de semelhança - Comprimentos
R
C
A
h
D
B
Razão de semelhança
Prof. Jorge
Razão de semelhança - Áreas
R
C
A
h
D
B
CONES
ESFERAS
Área: A = 4πr2
 Volume: 
 
g
g
h
A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo.
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
Cilindro
Cilindro Circular Reto
g
g
h
1) o eixo é perpendicular aos planos das bases.
R
D
C
ou Cilindro de Revolução
R
B
A
2) g = h
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
 Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
Seção
Meridiana
h
Se ABCD
é um quadrado  cilindro eqüilátero
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R
 Seção Meridiana
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
	Planificação :
Áreas e Volumes
AL = 2p Rh
Área Lateral
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V )
Ab = p R2
Área Base
( Ab )
UFRGS 2012
Tomando a aresta da base a e a altura h temos o volume V:
Dobrando a aresta da base e reduzindo a altura a metade teremos o novo volume V1:
Estudo da reta
GEOMETRIA ANALÍTICA
x
y
O (0, 0)
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
eixo das abscissas
eixo das ordenadas
Origem
Plano cartesiano
P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
Coordenadas no plano
 3 é a abscissa de P;
 4 é a ordenada de P;
3 e 4 são as coordenadas de P;
P(x, y)
 Em geral:
Bissetrizes no plano
x
y
y = x
y = –x
1ª bissetriz
2ª bissetriz
Equação geral da reta
A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles.
Retas paralelas aos eixos;
Retas não-paralelas aos eixos;
Retas paralelas aos eixos
A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano xOy.
x
y
O
4
2
r
s
Equação da reta r: x = 4
Equação da reta s: y = 2
Retas não-paralelas aos eixos
A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).
x
y
O
3
1
r
2
3
P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão 			alinhados
= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0
⇒ y – 2x + 3 = 0
A
B
P(x, y)
Exemplos
Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação geral 5x + y – 9 = 0.
⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0
Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação.
M(2, –1)
⇒ 10 –1 – 9 = 0
⇒ 0 = 0
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0
N(3, 5)
⇒ 15 + 5 – 9 = 0
⇒ 11 ≠ 0
 Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
40 m
Inclinação de uma reta
Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m.
40 m
6 m

O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa.
6 m
Inclinação 
= tg α =
= 0,15
Inclinação de uma reta
Vamos analisar agora duas situações extremas.
Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).
α = 0o 
⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0 
Inclinação de uma reta
Vamos analisar agora duas situações extremas.
O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido).
α = 90o 
⇓
Inclinação não se define. 
Q
Inclinação de uma reta
Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no plano cartesiano xOy.
x
y
O
yQ
yP
xQ
xP
P

M
xQ – xP
yQ – yP
Inclinação 
= tg α

yQ– yP
xQ– xP 
 a = tg α =
r
Inclinação de uma reta
Convém lembraras tangentes de alguns ângulos importante:
 a = tg 30º =
x
y
O
30º
M
3
√3
Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
 a = tg 45º = 1
x
y
O
45º
M
Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
 a = tg 60º = √3
x
y
O
60º
M
Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
x
y
O
120º
M
 a = tg 120º = – tg 60º = –√3
Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
 a = tg 135º = – tg 45º = – 1
x
y
O
135º
M
Inclinação de uma reta
Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
 a = tg 150º = – tg 30º =
x
y
O
150º
M
3
Exemplos
Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN.
x
y
O
α
M
N
–2
1
3
5
xN – xM
yN – yM
 a = tg α =
1 – (–2)
5 – 3
 a =
3
2
 a =
 a > 0 e α é agudo
(α < 90º)
a) M(–2, 3) e N(1, 5)
Inclinação de uma reta - resumo
O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.
Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
 α = 0º ⇔ a = 0.
 0º < α < 90º ⇔ a > 0.
 α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.
 90º < α < 180º ⇔ a < 0.
Exemplos
Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.
x
y
O
120º
45º
45º
r
s
t
 ar = tg 45º = 1
 as = tg 45º = 1
 at = tg 120º
= – tg 60º =
Equação reduzida da reta
Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.
Vamos obter a equação da reta r.
x
y
O
135º
A
2
3
M(x, y)
xM – xA
yM – yA
 a = tg 135º = –1.
x – 2
y – 3
 –1 =
 a =
 y – 3 = –1(x – 2)
 y – 3 = –1x + 2
 y = –1x + 5
 ⇒
 y = –x + 5
Equação reduzida da reta – Caso Geral
Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
x
y
O
α
P
xP
yP
M (x, y)
xM – xA
yM – yA
x – xP
y – yP
 a =
 a =
 y – yP = a(x – xP)
 ⇒
⇒ y – yP = ax – axP 
⇒ y = ax + (–axP + yP) 
⇒ y = ax + b
 Equação reduzida da reta
Equação reduzida da reta
Na equação reduzida y = ax + b, temos:
 Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.
x = 0
⇒ y = a.0 + b
⇒ y = b
O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta.
O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.
Exemplos
Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.
x
y
O
r
–2
4
y = 2x + 4
Exemplos
O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta.
x
y
O
s
45º
2
y = ax + b
A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2.
α = 180º – 45º = 135º
	a = tg 135º = –1.
y = – x + 2
⇒ x + y – 2 = 0
α
Exemplos
Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3).
xA – xB
yA – yB
–2 – 1
6 –(–3)
 a =
x
y
=
=
 Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
–3
9
=
⇒ a = –3
Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.
 y – yP = a(x – xP)
⇒ y – 6 = –3(x + 2) 
⇒ y – 6 = –3x – 6 
⇒ y = –3x 
Formulário Geometria Analítica
UFRGS 2012
(0-2)²+(0-3)²=10 ????
	Exemplo 1: Construa o gráfico da função f: 
dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto imagem.
Análise de Gráficos
	1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os pontos para o plano cartesiano:
Como o domínio são todos os reais, podemos escolher qualquer valor para “x”
Análise de Gráficos
Domínio: R
Contradomínio: R
Imagem: R
f (x) = 2x + 1
y
x
Análise de Gráficos
	Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma função. Determine o que se pede.
y
x
-2
0
1
2
3
1
3
f (-2) = 
f (0) = 
f (2) = 
Domínio:
Imagem:
3
3
1
[-2 ; 3]
[1 ; 3]
Análise de Gráficos
	Exemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo quais deles representam uma função.
Não é função
É função
É função
É função
É função
Não é função
y
x
y
x
FUNÇÃO DO 1º GRAU
CRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO
FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0
FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
ponto c
Reta decrescente
b < 0
Reta crescente
b > 0
EXEMPLOS:
EXEMPLO: (UFRGS – 2011)  O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c está representado abaixo.
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades
a) a > 0; b < 0; c < 0.
b) a > 0; b < 0; c > 0.
c) a > 0; b > 0; c > 0.
d) a > 0; b > 0; c < 0.
e) a < 0; b < 0; c < 0.
y = x2 
y = ( x + 1)2 
y = ( x – 3)2 
Translação Horizontal
y = x2 
y = x2 + 2 
y = x2 - 1 
Translação Vertical
y = x2 
y = (x + 1)2 – 3 
y = (x – 2)2 + 1 
Translação Horizontal + Vertical
y = x2 
y = – x2 
y = x2 – 4 
y = – x2 + 4 
y = x
y = | x |
Módulo de uma Função
y = x2 – 4 
y = | x2 – 4 |
y = (x + 2)2 – 3 
y = | (x + 2)2 – 3 | 
*
*
*