TerceiraListaComplementosMatematica

Prévia do material em texto

3a Lista de Exercı´cios de Complementos de Matema´tica - Func¸o˜es Gama e Beta Prof.
Emerson Lima
Escola Polite´cnica de Pernambuco
Exercı´cios de Fixac¸a˜o
Exercı´cio U´nico Use func¸o˜es Gama e Beta para calcular as seguintes integrais
a)
∫ 1
0
x3(ln x)4dx
(
resposta:
3
128
)
b)
∫ 1
0
x2(1− x)3dx
(
resposta:
1
60
)
c)
∫ 1
0
√
1− x
x
dx
(
resposta:
pi
2
)
d)
∫ ∞
0
z−3z
2
dz
(
resposta:
√
pi
2
√
3 ln(2)
)
e)
∫ ∞
0
(2x+ 1)3e−2xdx
(
resposta: 8
)
f)
∫ 2
0
√
(4− x2)3dx
(
resposta: 3pi
)
g)
∫ ∞
0
x
1 + x6
dx
(
resposta:
pi
3
√
3
)
h)
∫ 2
0
√
x3(2− x)dx
(
resposta:
pi
2
)
i)
∫ 1
0
x3
√
x ln
(
1
x
)
dx
(
resposta:
√
2pi
27
)
j)
∫ ∞
0
e(2x−x
2)dx
(
resposta:
√
pi
2
e
)
k)
∫ ∞
0
√
x9e
(
− x22
)
dx
(
resposta:
21
4 4
√
2
Γ
(
3
4
))
l)
∫ ∞
0
1
1 + x4
dx(
resposta:
1
4
Γ
(
1
4
)
Γ
(
3
4
)
=
pi
√
2
4
)
Sugesta˜o: Fac¸a x2 = tan(θ)
m)
∫ ∞
0
x3e−x
3
dx
(
resposta:
1
9
Γ
(
1
3
))
n)
∫ 1
0
x ln
(
1
x2
)
dx
(
resposta:
1
4
)
o)
∫ 2
0
x
√
8− x3dx
(
resposta:
16pi
9
√
3
)
p)
∫ 2
0
x2√
2− xdx
(
resposta:
64
√
2
15
)
q)
∫ pi
2
0
√
tan θdθ
(
resposta:
pi
√
2
2
)
r)
∫ pi
0
cos6 θdθ
(
resposta:
5pi
16
)
s)
∫ pi
0
sen2
(
θ
2
)
cos4
(
θ
2
)
dθ
(
resposta:
pi
8
)
t)
∫ ∞
0
9(3x2 + x+ 1)e−3x
3
dx(
resposta: 3
√
3Γ
(
2
3
)
+
3
√
9Γ
(
1
3
)
+ 3
)
2
Questo˜es
Questa˜o U´nica Prove que:
a)
∫ pi
2
0
(senθ)pdθ =
∫ pi
2
0
(cos θ)pdθ =

1 · 3 · 5 · · · (p− 1)
2 · 4 · 6 · · · p
pi
2
se p inteiro, par e positivo
2 · 4 · 6 · · · (p− 1)
1 · 3 · 5 · · · p se p inteiro, ı´mpar e positivo
b)
∫ a
0
dy√
a4 − y4 =
{
Γ
( 1
4
)}2
4a
√
2pi
onde a e´ constante positiva
c)
∫ ∞
0
xme−ax
n
dx =
1
na(
m+1
n )
Γ
(
m+ 1
n
)
onde m, n e a sa˜o constantes positivas
d)
∫ 1
0
xm (ln(x))n =
(−1)nn!
(m+ 1)(n+1)
onde n e´ natural e m > −1
e)
∫ 1
0
xm
(
ln
(
1
x
))(n−1)
= Γ(n) onde n nu´mero positivo
f) Γ
(
n+
1
2
)
=
(2n)!
4nn!
√
pi onde n e´ nu´mero natural