Aula 04 TM Transferencia de Massa por Difusão

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Aula:
TM - Introdução
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Química
Disciplina:
ENG07020
TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E MASSA I
O que estuda a Transferência de Massa?
O objetivo principal do estudo da Transferência de 
Massa é determinar as taxas (velocidades) com que a 
massa é transferida através de processos a nível 
molecular e as concentrações envolvidas em um sistema.
Onde aparece a Transferência de Massa?
Agar Divisória
Cores
Gases
O que é Transferência de Massa?
Transferência de Massa
é a movimentação de moléculas devido a uma 
diferença de concentração no espaço de uma 
espécie em uma mistura.
A Transferência de Massa SEMPRE ocorre no sentido da 
maior concentração para a menor!
Alguns Conceitos Importantes
Quantidade Significado Símbolo Unidades
Concentração
molar
Mols da espécie A por volume CA kgmol/m
3
Concentração 
mássica
Massa da espécie A por volume A kg/m
3
Concentração
total
Mols ou massa total por volume C, 
kgmol/m3
kg/m3
Fração
molar
Razão entre a concentração molar de A 
e a concentração molar total
xA, yA
Fração
mássica
Razão entre a concentração mássica de 
A e a concentração mássica total
mA
Massa 
molecular
Massa de 1 mol de moléculas A MA kg/kgmol
Pressão
parcial
Produto da pressão total P e a fração 
molar de A
pA
Pa, atm, 
mmHg
Alguns Conceitos Importantes
Quantidade Significado Símbolo Unidades
Taxa
Moléculas de uma espécie A 
transferidas por unidade de tempo
WA, wA mol/s, kg/s
Fluxo difusivo
Taxa de transferência de massa
puramente por difusão por área 
perpendicular à direção do transporte
JA, jA
mol/(m2.s), 
kg/(m2.s)
Fluxo
convectivo
Taxa de transferência de massa
puramente por convecção por área 
perpendicular à direção do transporte
JCA, j
C
A
mol/(m2.s), 
kg/(m2.s)
Fluxo
combinado
Taxa de transferência de massa por 
difusão e convecção por área 
perpendicular à direção do transporte
NA, nA
mol/(m2.s), 
kg/(m2.s)
Difusão mássica
• Considere uma parede permeável com a concentração 
da espécie A em um lado igual a CA1 e a CA2 no outro.
• Como CA1 > CA2, moléculas
de A calor são transferidas
do lado 1 para o lado 2.
• Se WAx é a taxa de massa
transferido, qual deve
ser a sua relação com as
concentrações CA1 e CA2,
com a espessura L da
parede e com a área
transversal A da parede?
A
Difusão mássica
• Inicialmente, temos a relação entre a taxa de 
transferência de massa WAx e o fluxo de transferência de 
massa JAx, considerando
a área transversal A.
• É razoável esperar que
quanto maior a diferença
de concentração, maior o
fluxo de massa.
AxAx JAW   21 AAAx CCJ 
A
Difusão mássica
• Já com relação à espessura L, esperamos que quanto 
maior a espessura, menor será o fluxo de massa.
• Logo o fluxo de massa deve
ser inversamente propor-
cional à espessura:
• Observe que se dividirmos
a parede ao meio, o 
T/(L/2) será constante 
para o perfil linear, mas
não para o perfil não-linear.
 
L
CC
J AAAx
21 
A
L/2 L/2
A
L/2 L/2
Difusão mássica
• Assim, devemos considerar uma espessura infinitesimal, 
isto é uma parede com L = x tendendo a zero. Ou seja:
• O fluxo passa a ser escrito como:
• Inserindo uma constante de
proporcionalidade:
 
dx
dC
x
CC AAA
x 



21
0lim
dx
dC
J AAx 
dx
dC
DJ AABAx 
Difusão mássica
• Esta equação é a Equação de Fick e é a Equação 
Fundamental da Difusão de Massa.
• O sinal negativo é uma consequência da massa ser 
transferido no sentido da concentração decrescente.
• Em termos de concentração mássica:
• Esta equação descreve a transferência molecular de 
massa e é análoga à equação de Fourier para a 
transferência de calor.
dx
dC
DJ AABAx 
dx
d
Dj AABAx


Difusividade Mássica
• A constante DAB é uma propriedade de transporte conhecida como 
difusividade mássica ou coeficiente de difusão binária e é uma 
característica de cada par A e B.
• A unidade da difusividade mássica no SI é m2/s.
• Geralmente:
• O valor de DAB depende do par A-B, da temperatura, pressão e da 
presença de outras espécies (solventes, por exemplo).
• Para gases existe uma grande quantidade de dados tabelados e de 
equações para determinação do valor da difusividade mássica.
• Já para líquidos e sólidos, devido à dificuldade experimental e 
complexidade das interações entre as moléculas, a disponibilidade 
desses valores é bastante restrita.
sólidos)(líquidos)(gases)( ABABAB DDD 
Difusividade Mássica: Gases
OBS: Para gases ideais: DAB T3/2. p-1
Difusividade Mássica: Líquidos
Difusividade Mássica: Sólidos
Difusividade Mássica: Sólidos Porosos
Velocidades de escoamento
• Considere um meio em movimento.
• As diferentes moléculas deste meio não se movimentam 
necessariamente na mesma velocidade.
• Podemos definir velocidades médias:
• Velocidade Molar Média:
• Velocidade Mássica Média
• é a velocidade da espécie i em relação um eixo fixo no espaço.
C
vC
V
ii





iiv
v


iv

Velocidades de escoamento
• A diferença é a velocidade relativa da espécie i em 
relação ao meio.
• Assim, o movimento total de uma espécie A tem uma 
contribuição convectiva. Em termos de concentração molar: 
• A contribuição difusiva está ligada à velocidade relativa da espécie 
A em relação às suas redondezas e é provocado por forças a nível 
molecular, isto é, pode ser representada pela lei de Fick.
 Vvi


 
combinado fluxo
convectiva ãocontribuiç
difusiva ãocontribuiç




A
C
A
A
AAA
C
AAAAA
N
J
J
VCVvCJJvCN




AABA CDJ 

Fluxo combinado
• Assim, o fluxo combinado pode ser escrito como:
• Ainda, para uma mistura binária, A-B, a velocidade molar média 
pode ser escrita como:
• E o fluxo combinado passa a ser:
• Em termos de fração molar (concentração total constante):
• Em termos de concentração e fração mássica
VCCDN AAABA

 C
NN
C
vCvC
V BABBAA
 


  BAAAABA NN
C
C
CDN


 BAAAABA NNyyCDN


 
 BAAAABA
BAAABAAAABA
nnwwDn
nnDnvDn A





  
Fluxo combinado
• Considerando difusão unidimensional (direção z), as equações 
ficam:
• Em termos de concentração e fração mássica:
 
 BzAzA
A
ABAz
BzAz
AA
ABAz
zA
A
ABAz
NNy
dz
dy
CDN
NN
C
C
dz
dC
DN
VC
dz
dC
DN



 
 BzAzA
A
ABAz
BzAz
A
ABAz
zA
A
ABAz
nnw
dz
dw
Dn
nn
dz
d
Dn
v
dz
d
Dn
A









Fluxo combinado
• Quando a movimentação global do meio é causada por algum 
agente externo, como uma bomba, ventilador, compressor, etc., a 
velocidade global do meio pode ser determinada e é interessante 
usar a seguinte forma da equação do fluxo combinado:
• Mas quando a movimentação global do meio é causada pela 
movimentação molecular, é mais interessante usar a equação na 
seguinte forma:
• Além disso, quando a difusão ocorre em um meio sólido (ou 
mesmo um líquido estagnado), o termo convectivo é desprezado:
zA
A
ABAz VC
dz
dC
DN     BzAzA
A
ABBzAz
AA
ABAz NNy
dz
dy
CDNN
C
C
dz
dC
DN 
dz
dC
DN AABAz 
A Equação da Continuidade
• Equação da Continuidade  Balanço de Massa
• Consiste em um balanço de massa (molar) de uma espécie A em 
um volume de controle.
•
A taxa de geração de mols de A está relacionada à ocorrência de 
uma reação química no interior do volume de controle. É escrita 
como a geração (consumo) de mols de A por tempo e por volume.
• Já as taxas de entrada e saída de mols de A estão diretamente 
ligadas ao processo de transferência de massa.



























































controle
de volumeno
A de mols de
geração de taxa
controle
de volumedo
A de mols de
saída de taxa
controle
de volumeno
A de mols de
entrada de taxa
controle
de volumeno
A de mols de
acúmulo de taxa
A Equação da Continuidade
• Inicialmente considerando um fluxo unidirecional no volume de 
controle abaixo
• Assim, o balanço de massa fica:
• Dividindo a equação por V e escrevendo este como x.Ax:
    AxxxAxxxAx
A RVANAN
t
C
V 




 
A
xx
xxAx
x
A R
x
AN
At
C






1
Ax Ax+x
x
V
NAx
NAx+x
A Equação da Continuidade
• Fazendo o limite de x tendendo a zero:
• Se a área Ax é constante:
• Para problemas em estado estacionário:
• E para um problema sem reação química no meio de difusão:
 
A
xAx
x
A R
x
AN
At
C





 1
A
AxA R
x
N
t
C






0


 A
Ax R
x
N
0


x
NAx
A Equação da Continuidade
• Considerando um caso mais abrangente, com variação nas três 
coordenadas espaciais, temos:
• Coordenadas Cartesianas:
• Coordenadas cilíndricas:
• Coordenadas esféricas:
A
AzAyAxA R
z
N
y
N
x
N
t
C
















  
A
AzAArA R
z
NN
rr
rN
rt
C



















sin
11    
A
AAArA R
N
r
N
rr
Nr
rt
C
















 

  sin1
sin
sin
11 2
2
A Equação da Continuidade
• Estas equações podem ser escritas em uma forma mais 
condensada e elegante:
• Onde  é o divergente do vetor NA.
• Usando a definição do fluxo como:
• A Equação da Continuidade fica:
• Se temperatura, pressão e DAB são constantes:
AA
A RN
t
C


 
VCCDN AAABA


    AAAABA RVCCD
t
C


 
  AAAABA RCVCD
t
C


 2
Condições inicial e de contorno 
• A condição inicial consiste em definir o perfil (ou distribuição) de 
concentração ao longo da ou das variáveis espaciais no instante 
inicial, isto é, momento a partir do qual o sistema é avaliado. 
Geralmente define-se um valor inicial constante em todo o volume 
de interesse.
• As condições de contorno de primeira espécie consistem em 
especificar o valor da concentração em uma superfície (ou 
fronteira) “s” do sistema:
gases paramolar fração
sólidosou líquidos paramolar fração
mássica fração
molar ãoconcentraç
mássica ãoconcentraç





AsA
AsA
AsA
AsA
AsA
yy
xx
ww
CC

Condições inicial e de contorno 
• A fração molar para uma fase gasosa ideal está relacionada com a 
sua pressão parcial segundo a lei de Dalton:
• No caso de uma fronteira gás-líquido, a condição de equilíbrio 
nesta fronteira, para uma solução ideal, advém da lei de Raoult:
• Considerando um líquido puro, a fração molar na fase gasosa é:
• O valor da pressão de vapor de uma espécie é geralmente obtida 
através da equação de Antoine:
vap
AAsAs PxP 
PyP AsAs  P
P
y
vap
A
As   TC
C
CPvapA


3
2
1ln
Condições inicial e de contorno 
• Por outro lado, considerando uma solução diluída, a Lei de Raoult é 
retomada na forma da lei de Henry.
• Na condição de equilíbrio termodinâmico, pode-se igualar as 
relações da Lei de Dalton e da Lei de Henry:
• Sendo
• Estas relações são muito usadas em processos de absorção.
HxP AsAs 
AsAsAsAs CmPmxy  ou CHmPHm  e 
Condições inicial e de contorno 
• Esta descontinuidade na concentração ou fração molar é 
exemplificada nas figuras abaixo:
Condições inicial e de contorno 
• Quando o soluto A está distribuído e diluído nas fases sólido-
líquido, a relação é escrita em termos do coeficiente de partição KP.
• Esta relação é muito útil quando precisamos determinar a 
concentração na fase 1
correspondente à
concentração na fase 2
em uma posição longe
da interface.  2
*
1 APA CKC
sAPsA CKC 21 
Condições inicial e de contorno 
• As condições de contorno de segunda espécie, são aquelas em que 
o fluxo é especificado (igual a uma constante) em uma superfície.
• A primeira opção de fluxo especificado é um definir fluxo nulo, o 
que ocorre em:
• Superfícies impermeáveis
• Superfícies onde existe a condição de simetria
• Em ambos os casos a condição consiste em escrever:
• Para os casos onde o fluxo é puramente difusivo:
0
sxAx
N
00 


sx
A
sx
A
ABsxAx dx
dC
dx
dC
DN
Condições inicial e de contorno 
• As condições de contorno de terceira espécie, são aquelas em que 
o fluxo em uma superfície é relacionado com o valor da 
concentração nesta superfície.
• Em uma interface sólido-fluido, esta condição consiste em igualar o 
fluxo puramente difusivo na interface pelo lado do sólido com o 
fluxo de convecção mássica na fase fluida.
• Def é a difusividade 
efetiva na fase sólida,
km2 é o coeficiente 
de convecção 
mássica na fase 2.
 


 222
1
AsAm
sz
A
efszAz
CCk
dz
dC
DN
Condições inicial e de contorno 
• Observe que a convecção é dada em termos de CA2 e a difusão em 
termos de CA1. Assim, para escrevermos a equação somente em 
termos de CA1 usamos a relação do coeficiente de partição:
• Assim a condição de contorno fica:
 *1121 AsA
P
m
sz
A
ef CC
K
k
dz
dC
D 
sAPsA CKC 21   2
*
1 APA CKC
Condições inicial e de contorno 
• Outra opção de condição de terceira espécie é quando o fluxo é 
igualado com a taxa de reação (por área) que ocorre na superfície 
que limita o sistema.
• Onde R”A é a taxa de reação por área (pode ser de primeira ordem, 
de ordem zero ou qualquer outra forma, depende da reação).
• Um exemplo onde ocorre este tipo de condição é a difusão de uma 
molécula de reagente até a superfície de um catalisador.
• Quando a taxa de reação é muito maior que a taxa de transferência 
de massa, a concentração da espécie que reage pode ser 
considerada aproximadamente nula na superfície, pois toda 
molécula que chega na superfície é rapidamente convertida.
• Neste caso, temos uma condição de contorno de primeira espécie:
"
AszAz
RN 

0AsC
Conclusões parciais
• Transferência de massa a nível molecular é um fenômeno causado 
por uma força motriz, diferença de concentração, que leva à 
movimentação da moléculas.
• A equação que descreve o fluxo difusivo de massa é a Lei de Fick, 
idêntica à equação de Fourier na condução de calor.
• Apesar desta analogia, a movimentação das moléculas, mesmo em 
um sistema estagnado, causa a movimentação do meio e deve ser 
considerada no equacionamento.
• O balanço de massa leva a uma equação diferencial parcial
• Para a resolução desta equação são necessárias 2 condições de 
contorno e uma condição inicial.
• A convecção mássica, análoga à convecção de calor, aparece, mas 
deve se ter cuidado com a descontinuidade na definição
da 
concentração em cada fase (coeficiente de partição).