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Estática Aplicada às Máquinas 
Curso de Engenharia Mecatrônica - 5 Período
9 e 10 Aula 
FORÇAS INTERNAS
Prof. Vilson
FORÇAS INTERNAS
DCL
Em um projeto, os elementos
estruturais ou mecânicos requerem
uma investigação das cargas que
atuam em seu interior para que
possam resistir aos carregamentos
impostos.
Esforços internos:
A força N (força normal), atua normal
à viga na região de corte.
A força V (força cisalhamento), atua
tangente a viga.
O momento M, denominado
momento fletor.
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Componentes das forças e Momentos.
2D
3D
FORÇAS INTERNAS
EsforçosCargas resultantes internas
Forças e momentos resultantes que agem no interior de um corpo e
que são necessárias para manter a integridade do corpo, quando
submetido a cargas externas.
Forma Geral
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FORÇAS INTERNAS
Tensão
Tensão – Descreve a intensidade da força interna
sobre um plano específico (área).






∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
→∆
→∆
→∆
A
F
A
F
A
F
y
Azy
x
Azx
z
Az
0
0
0
lim
lim
lim
τ
τ
σ (Tensão normal)
(Tensões de cisalhamento)
Esforços
FORÇAS INTERNAS
Barra com carga axial
Quatro premissas – 1) A barra permanece reta antes e depois da
aplicação da força. 2) A barra sofre deformação uniforme. 3) a carga
resultante é aplicada ao longo do eixo do centróide. 4) Material é
homogêneo e isotrópico.
Tensão normal média
A
P
méd =σ⇒=
∆=∆
∫∫ A dAdF
AF
σ
σ
Esforços
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FORÇAS INTERNAS
Tensão de cisalhamento média
A
V
méd =σ⇒=
∆=∆
∫∫ A dAdF
AF
τ
τ
A
Esforços
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Procedimento para análise
Determinar as reações de apoio.
Aplique o método das seções.
DCL – indique os componentes x,y e 
z da força e momentos resultantes 
das seção correspondente.
Aplique as equações do equilíbrio.
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exemplo 1
O eixo circular está sujeito a três torques concentrados. Determine os
torques internos nos pontos B e C.
- Reações de apoio
NmT
TM
D
Dx
25
0201510;0
=
=−++−=∑
- DCL dos torques internos em B
NmT
TM
D
Bx
5
01510;0
=
=−+−=∑
- DCL dos torques internos em C
NmT
TTM
C
DCx
25
0;0
=
=−=∑
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exemplo 2
Determine as forças internas normal e de cisalhamento e o momento fletor
atuando no ponto B da estrutura.
- Reações de apoio
lbAFAF
lbAFAF
lbFFM
yDCyy
xDCxx
DCDCA
2000
5
3400;0
2670
5
4
;0
33308.
5
34.400;0
=⇒=+−=
=⇒=+−=
=⇒=+−=
∑
∑
∑
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exemplo 2
Determine as forças internas normal e de cisalhamento e o momento fletor
atuando no ponto B da estrutura.
- DCL do segmento AB
péslbMMM
VVF
lbNNF
BBB
BBy
BBx
40002.2004.200;0
00200200;0
2670267;0
=⇒=+−=
=⇒=−−=
=⇒=−=
∑
∑
∑
-Equações de equilíbrio
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exercício
A barra está submetida às forças mostradas na figura. Determine a força
normal interna nos pontos A, B e C.
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exercício
O eixo é apoiado por um mancal de rolamento em A e uma mancal axial em
B. Determine a força normal, a força de cisalhamento e o momento em
uma seção que passa:
(a) Pelo ponto C (lado direito de A);
(b) Pelo ponto D (lado esquerdo da força de 3000 lb).
FORÇAS INTERNAS
EsforçosExercícios
1. Determine a força normal, a força de
cisalhamento e o momento na seção
transversal que passa pelo ponto D da
estrutura de dois elementos.
2. Determine a força normal, a força de
cisalhamento e o momento atuantes na
seção que passa pelo D.
3. Determine os componentes x, y, z do
carregamento interno em uma seção que passa
pelo ponto C da armação de tubos. Despreze o
peso dos tubos. Suponha que F1 = (-80i + 200j -
300k) lb e F2 = (250i - 150j -200k) lb.
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Estrutura Tipo Viga
São elementos estruturais que oferecem resistência à flexão
devido a cargas aplicadas. As cargas geralmente são aplicadas na direção
normal ao eixo das vigas.
Tipos de Vigas:
Simples
Em balanço
Conjugada
Vigas estaticamente determinadas Vigas estaticamente indeterminadas
Engastada
Em balanço com extremidade apoiada
Contínua
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Estrutura Tipo Viga
Cargas Distribuídas
Retangular Triangular
∫∫ == dAdxwR
Força Resultante
Trapezoidal
Localização da Força Resultante
A
dAx
R
dxwx
x
∫∫
==
Geral
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Equações e Diagramas de Forças e Momentos
Diagrama de forças e momentos fletores, mostram as variações das
forças normais e de cisalhamento e momentos fletores como funções do
comprimento.
Viga 
simplesmente 
apoiada
Para cada posição de xi existem cargas externas e internas diferenciadas.
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Equações e Diagramas de Forças e Momentos
Convenção de Sinais
Para estrutura tipo viga é
necessário em primeiro lugar
estabelecer uma convenção de sinais,
para definir forças de cisalhamento e
momento fletores positivos e negativos
que atual na viga.
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Equações e Diagramas de Forças e Momentos
Procedimento de Análise
-Reações de Apoio.
Determinar todas as forças e momentos reativos que atuam na viga.
-Funções de Forças e Momentos Fletores.
Determinar as funções de forças e momentos em relação a x para cada
região de esforços internos na viga, que sofre cargas externas diferentes.
-Diagramas
Trace o diagrama de forças de cisalhamento (V versus x) e o diagrama
de momentos (M versus x), através dos valores das funções obtidas para cada
região de esforços internos na viga, que sofre cargas externas diferentes.
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exercício
Desenhe os diagramas de forças de cisalhamento e de momentos fletores
para viga mostrada.
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Resolução
Reações de Apoio
Equações do Equilíbrio:
( )
( ) kN906.9
2
1
;0
kN1809.
3
2
.6.9
2
19.;0
=⇒=+−=
=⇒=





−=
∑
∑
ABAy
BBA
RRRF
RRM
A B
A B
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Resolução
Funções de Força e de Momento
Aplicando o Método das Seções
Equações do Equilíbrio:
kNm
9
90
3
.
3
1
;0
kN
3
90
3
1
;0
3
2
2
2






−=⇒=−





+=






−=⇒=−−=
∑
∑
x
xMxRxxMM
xVVxRF
A
Ay
x
w
wO
9 m
Carga equivalente
Esquema
kN/m
3
2
9
6
9
x
w
xxw
w
O
O
=
==
A
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Resolução
Diagramas
Equações:
fletor) (Momento kNm
9
9
cortante) (ForçakN
3
9
3
2






−=






−=
x
xM
xV
Ponto de força de cisalhamento nula: 
m20,50
3
9
2
=⇒=−= x
xV
Máximo momento fletor:
( ) kNm2,31 kNm
9
2,52,5.9
3
=⇒







−= máxMM
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Relações:
Carregamento Distribuído, Força de Cisalhamento e Momento Fletor 
Viga com 
carga 
arbitrária
DCL de um 
pequeno 
segmento
Aplicando as equações de equilíbrio.
( )
xwV
VVxwVFy
∆−=∆
=∆+−∆−=∑
.
0.;0
( ) ( )
( ) )10(...
0...;0
2
<<∆−∆=∆
=∆++∆∆+−∆−=∑
kxkwxVM
MMxkxwMxVM
w
dx
dV
−=
Dividindo por ∆x e tomando o limite ∆x→0 
Para Força:
Para Momento:
V
dx
dM
=
Dividindo por ∆x e tomando o limite ∆x→0 e o termo wk∆x2 =0
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exercício
Construa os diagramas de cortantee de momento fletor para a viga
carregada pelas cargas pontual e distribuída. Quais são os valores do cortante e
do momento em x=6m? Determine o momento fletor máximo Mmáx.
FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exercício
Encontre os diagramas de forças de cisalhamento e de momentos
fletores para viga abaixo, utilizando o Matlab ou Mathematica.
Data de entrega: 10/05/2012
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FORÇAS INTERNAS
Esforços
Exercícios
Construa os diagramas de forças de cisalhamento e de momentos fletores para as vigas.