Aula7 estática

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21/5/2012
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Exercício
Determine a localização (xc,yc) do centro de gravidade do triciclo. As localizações
dos centros de gravidade e os pesos de cada componentes aparecem tabelados na figura.
Se o triciclo é simétrico em relação ao plano x-y, determine as reações normais que cada
uma de suas rodas exerce no solo.
CENTRÓIDES E CENTROS DE GRAVIDADE
Estática Aplicada às Máquinas 
Curso de Engenharia Mecatrônica - 5 Período
13 e 14 Aula 
MOMENTOS DE INÉRCIA
Prof. Vilson
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MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Momentos de Inércia de Área
dAkzdAdF == σ
kz=σ
Da teoria da mecânica dos materiais, pode-se
mostrar que a tensão em uma viga varia
linearmente com sua distância de um eixo que
passa pelo centróide.
O momento de inércia de uma área tem origem sempre que é feita a
relação de tensão normal que atua na seção transversal de uma estrutura e o
momento externo aplicado.
(equação linear)
Intensidade da força atuando no elemento dA.
O momento da dF em relação ao eixo y.
dAkzdFzdM 2==
O momento resultante de toda a distribuição da tensão.
∫∫ =⇒= dAzIdAzkM
22
MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Momentos de Inércia de Área
dAxdI
dAydI
y
x
2
2
=
=
Momento de inércia de uma área plana infinitesimal dA em relação ao eixos
x, y são:
(também chamados, momentos de 
segunda ordem)
Para toda área,
∫
∫
=
=
Ay
Ax
dAxI
dAyI
2
2
Também podemos formular o segundo momento por dA em relação ao eixo z.
∫ +==⇒= A yxOO IIdArJdArdJ
22 (Momento polar de inércia)
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MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Teorema dos Eixos Paralelos
Se o momento de inércia de uma área em relação a um eixo passa pelo seu
centróide, como é o caso na maioria das vezes, é conveniente determinar o momento
de inércia da área em relação a uma eixo paralelo correspondente.
O elemento infinitesimal dA, está localizado a 
uma distância arbitrária y’ do eixo x’ que passa 
pelo centróide C.
( )
( )
∫∫∫
∫
++=
+=
+=
AyAyA
A yx
yx
dAddAyddAy
dAdyI
dAdydI
22
2
2
'2'
'
'
(a distância fixa entre os
eixos paralelos x e x’ é
definido por dy)
→=∫ '
2
' xA
IdAy
Momento de inércia da área em
relação ao eixo que passa pelo
centróide C.
→=∫ 0'A dAy
A integral é zero, por que passa
pelo centróide C da área.
→=∫ AdAA Área total.
MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Teorema dos Eixos Paralelos
Momento de inércia de uma área em torno de um eixo é igual ao momento
de inércia da área em trono de um eixo paralelo que passa pelo centróide da área
mais o produto da área pelo quadrado da distância perpendicular entre os dois eixos.
2
2
'
2
'
AdJJ
AdII
AdII
CO
xyy
yxx
+=
+=
+=
Raio de Giração de uma Área
Forma aproximada do cálculo do momento de inércia.
.,,
A
Ik
A
I
k
A
Ik OO
y
y
x
x ===
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MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Exemplo I
Determine o momento de inércia para a área retangular mostrada na figura.
Em relação ao eixo x’ que passa pelo centróide.
( )
3
2/
2/
2
2
'
12
1
''
'
bh
dyby
dAyI
h
h
Ax
=
=
=
∫
∫
−
Em relação ao eixo xb que passa pelo base do
retângulo.
3
2
3
2
'
3
1
212
1
bh
hbhbh
AdII yxxb
=






+=
+=
MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Exemplo I
Determine o momento de inércia da área sombreada mostrada na figura em
relação ao eixo x.
( )
( )
4
1
0
42/7
1
0
2
1
0 21
2
2
0357,0
4
1
7
2 pé=





−=
−=
−=
=
∫
∫
∫
yy
dyyyy
dyxxy
dAyI
Ax
Solução I
( )
( )
( )







−
+=
−=⇒=
−=⇒=
⇒+=
2
~
12
1
12
1
~
12
1
12
3
12
3
2
yyyy
dxyydAbhdA
yydxIdbhId
ydAIddI x
Solução II
( )
( )
( )∫ =−=
−=
−=
+=
1
0
463
63
3
1
3
2
2
0357,0
3
1
3
1
3
1
~
pédxxxI
dxxx
dxyy
ydAIddI
x
x
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MOMENTOS DE INÉRCIA
Exercício
Determine o momento de inércia da área sombreada em relação ao eixo x e y.
MOMENTOS DE INÉRCIA
Exercícios
Determine os momentos de inércia das áreas sombreadas em relação ao eixo x e y.
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MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Área compostas
Uma área composta é constituído por uma série de outras áreas ou formas
geométricas, mais simples. Desde que o momento de inércia de cada uma dessas
partes seja conhecido ou possa ser determinado em relação a um eixo comum, então
o momento de inércia da área composta é igual à soma algébrica dos momentos
de inércia de todas as partes que o compõem.
Exemplo II
Determine os momentos de inércia da área da seção reta da viga mostrada
na figura em relação aos eixos x e y que passam pelo seu centróide.
MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Exemplo II - Solução 
A seção transversal pode se representada
por três áreas retangulares (A, B e D).
Retângulo A
y'
x' y'
x'
4923
4923
3
'
3
'
2
'
109,1250.300.100100.300
12
1
10425,1200.300.100300.100
12
1
12
1
12
1
mm
mm
×=+=
×=+=




=
=∴=
⇒+=
y
x
yx
yxx
I
I
bhdA
hbIbhIdAII
dy
dx
Retângulo B
493
493
33
108,1600.100
12
1
1005,0100.600
12
1
12
1
12
1
mm
mm
×==
×==
=∴=
y
x
yx
I
I
hbIbhI
Retângulo D
49
492
'
109,1
10425,1
mm
mm
×=
×=⇒+=
y
xyxx
I
IdAII
O momento de inércia para toda seção reta é:
4999
4999
106,5108,1109,1.2
109,21005,010425,1.2
mm
mm
×=×+×=
×=×+×=
y
x
I
I
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MOMENTOS DE INÉRCIA
Definição
Exercício II
Determine a distância xc do centróide da seção reta da área da viga e encontre
seu momento de inércia em relação ao eixo y’ e x’.
xc
MOMENTOS DE INÉRCIA
Exercícios
1. Determine o momento
de inércia da área da
seção transversal da
viga em relação ao eixo
x’. Despreze as
dimensões das soldas
nos centros em A e B
para esses cálculos e
considere yc = 154,4
mm.
yc
2. Determine yc , que
localiza o eixo x’ que
passa pelo centróide da
área da seção
transversal da viga T, e
encontre os momentos
de inércia Ix’ e Iy’ .
3. Determine o momento de inércia da área da
seção transversal da viga em relação ao eixo y.
4. Determine os momentos de inércia da área
triangular em relação aos eixos x’ e y’, os quais
passam pelo centróide C da área.
yc
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MOMENTOS DE INÉRCIA
Trabalho
Tema: Produto de Inércia
Roteiro:
1. Introdução;
2. Fundamentos;
3. Teorema dos Eixos Paralelos;
4.Considerações;
5. Exemplo;
6. Referências Bibliográfica.
Entrega:
No dia da segunda avaliação – 21/05/2012.
Nota:
Meio ponto (0,5) na segunda prova.