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19/3/2012
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Estática aplicada às MáquinasEstática aplicada às Máquinas
Curso de Engenharia Mecatrônica – 5º Período
Aulas - 3ª e 4ª
Forças e outras grandezas vetoriais
Prof. Vilson
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força – Fornece uma medida da 
tendência dessa força de provocar a rotação de um corpo 
em torno do ponto ou de um eixo.
Momento em torno 
de um ponto
Momento em torno de um eixo.
A regra da mão direta é 
para identificar o sentido. 
Exemplo
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Produto vetorial
M = r x F
Módulo da expressão
M = Fr sen α = F d
Devemos manter a sequência r x F, porque a sequência F x r
produziria um vetor com sentido oposto ao do momento correto.
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Teorema de Varignon - O momento de uma força em relação
a qualquer ponto é igual à soma dos momentos dos
componentes desta força em relação ao mesmo ponto.
MO = r x R
Módulo da expressãoonde, R = P+Q
MO = r x R = r x (P+Q) 
MO = r x R = r x P+ r x Q 
MO = Rd = -pP+ qQ
Considerando o sentido 
horário do momento positivo
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Binário – Momento produzido por duas forças não
colineares, iguais e opostas.
As duas forças não
podem ser combinadas em
uma única força, porque sua
soma é zero.
Seu único efeito é
produzir uma tendência à
rotação.
M = F(a+d)-Fa= Fd
Álgebra vetorial
M = rA x F + rB x (-F) 
M = (rA - rB) x F
onde, r = rA - rB
M = r x F
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Binários Equivalentes
Mudar os valores de F e d não altera um binário.
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Sistema Força-Binário
Substituição de uma força por outra força e um binário,
sem introduzir qual quer efeito externo sobre o corpo.
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Exercícios
Elementos do braço são mostrados na figura. A massa do
antebraço é de 2,3 kg, com centro de massa em G.
Determine o momento combinado em relação ao cotovelo
em O dos pesos do antebraço e da esfera homogênea de
3,6 kg. Qual deve ser a força trativa no bíceps, de modo
que o momento total em relação a O seja zero.
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Exercícios
A força de 10 N é aplicada sobre a manopla da válvula de
controle hidráulico, como mostrado. Calcule o momento
dessa força em relação ao ponto O.
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Exercício
Critérios de projeto requerem, como mostrado, que o robô
exerce a força de 90 N sobre uma peça cilíndrica enquanto a
está inserindo em um furo circular. Determine o momento em
relação aos pontos A, B e C da força que a peça exerce sobre o
robô.
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Momentos e Binários em três dimensões
A expressão do produto vetorial para MO
pode ser escrita na forma de um
determinante:
Uma força F, com uma 
dada linha de ação, 
atuando sobre um corpo.
MO = r x F
zyx
xyxO
FFF
rrr
kji
M
rrr
r
=
O memento da força F
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Momentos e Binários em três dimensões
Momento em relação a um eixo específico.
(Mz)max = Fd
Mz = Fd’
MA= Fd ou a projeção ou o componente
desse momento ao longo de z, Mz= MA cosθ.
Equação do momento: Equações do momento:
Chade de cabeça
flexível, tenta girar
o soquete no
pontoA.
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Momentos e Binários em três dimensões
Momento em relação a um eixo específico.
( )
zyx
xyx
kyx
zyx
xyxzyx
FFF
rrr
nnn
M
FFF
rrr
kji
knjninM
=
⋅++=
λ
λ
rrr
rrr
M
λ
= n . (r x F)
O memento da força F em relação a λ.
(Produto escalar triplo)
Podemos obter uma
expressão para o momento da
força F em relação a qualquer
eixo que passe por O.
nx, ny nz representam os 
componentes x, y e z dos 
vetores unitários que 
definem a direção λ.
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Momento (Torque) de uma força
Momentos e Binários em três dimensões
Teorema deVarignon.
MO = Σ(r x F)
= r x F1+ r x F2+ r x F3+ ...
= r x (F1+ F2+ F3+ ...)
= r x ΣF
= r x R
O somatório dos momentos das forças
em relação a O é:
A soma dos momentos de um sistema de forças concorrentes
em relação a um dado ponto é igual ao momento de sua soma em relação
ao mesmo ponto.
(R, vetor força resultante.)
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos de Binários
Método Algébrico
Forças não concorrentes: Escolha
um ponto conveniente e mova
todas as forças para este ponto.
Forças concorrentes: some todas as forças e 
momentos transferidos.
R = ΣF
MO = ΣM = Σ (Fd)
Rd = MO
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos de Binários
Resultante definimos como a combinação mais simples de forças,
que pode substituir um dado sistema de forças, sem alterar o efeito
externo sobre o corpo rígido ou partícula no qual as forças atuam.
R = F1+ F2+ F3+ ...= ΣF
M = M1+ M2+ M3+ ...= Σ (r x F)
(R, força resultante.)
(M, momento resultante.)
Podemos mover uma força
de vez para um ponto
arbitrário O, desde que
também introduzimos um
momento para cada força
transferida.
Obtemos um sistema
de forças e momentos
concorrentes, só assim,
podemos somá-las
vetorialmente.
Produzindo uma força e
momento resultante.
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos de Binários
Os módulos das resultantes e seus componentes são:
Mx = Σ (r x F)x, My = Σ (r x F)y, Mz = Σ (r x F)z
( ) ( ) ( )222
,,
zyx
zzyyxx
FFFR
FRFRFR
∑+∑+∑=
∑=∑=∑=
( ) ( ) ( )222 zyx MMMM ++=
Forças:
Momentos:
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Exercício
Determine a resultante das quatro forças e o binário que atuam na
placa.
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resolução
- Ponto O foi selecionado como um ponto de referência conveniente.
- Força resultante
N
N
4,13245cos60308050
9,6645cos6030cos8040
=++=∑=
=−+=∑=
+=
oo
oo
rrr
senFR
FR
jRiRR
yy
xx
yx
( ) ( ) ( ) ( )
o2,63
9,66
4,132
tantan
3,1484,1329,66
11
2222
=





=





=
=+=+=
−−
x
y
yx
R
R
RRR
θ
N
- O módulo e ângulo do vetor resultante.
- Momento resultante
( ) Nm2377.45604.45cos605.50140 −=−+−=∑=
=
oo senFdM
RdM
O
O
Sistema Força-Binário
sentido horário negativo
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resolução (cont.)
Linha de ação do vetor resultante,
m6,13,148237 =⇒=
=
dd
RdM O
O vetor resultante R pode ser aplicado a
qualquer ponto na linha de ação que faz
63,2º com o eixo x e é tangente no ponto A
um circulo de 1,6 m de raio e centro em O.
abordagem vetorial,
( ) ( )
( )kyxk
jijyixk
RrM O
rr
rrrrrrrr
9,664,132237
4,1329,66237
−=−
+×+=−
×=
linha de ação desejada,
yx 9,664,132237 −=−
para o ponto C, y = 0
m79,1−== xb
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos de Binários
Momento Torsor: Quando o vetor de torque resultante
é paralelo à força resultante.
A componente M1 do vetor
momento resultante, representa
o momento torsor.
Torsor positivo Torsor negativo
Por definição, um torsor é
positivo se os vetores de
torque e força apontam no
mesmo sentido e negativo
se eles apontam em
sentidos opostos.
M e R são vetores livres.
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Exercício
Substitua as forças atuando na moldura por um torsor. Escreva na
forma vetorial o momento associado com o torsor e especifique as
coordenadas do ponto P no plano y-z pelo qual passa a linha de ação do
torsor. Observe que a força de módulo F é paralela ao eixo x.
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R
MO
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resolução
Força resultante
kFiFFR
rrrr
3−=∑=
temos,
( )
N





−=








+
−
=
−=
=
kiFR
kiFR
kiFR
uRR
rrr
rr
r
rrr
rr
10
3
10
110
31
3
3
2
Vetor unitário da força






−= kiu
rrr
10
3
10
1
Momento resultante
( ) NmkjFaM
kaFjaFMM
O
O
rrr
rrrr
−=
−=∑=
2
)()2(
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resolução (cont.)
Representação gráfica do momento torsor:
R
MO
Mt
R
Mt
MO
R
P
R
MO
≡
Mt, componente 
do vetor momento 
resultante.
Representação do ponto P (não 
sabemos sua localização exata.).
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Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Resolução (cont.)
Temos que, as coordenadas do
ponto P passa pelo plano y-z.
( )zyP ,,0
- Ponto P
R
Mt
MO
R
P
- Equação vetorial
( ) )3()(
10
3
10
12 kFiFkzjykiMkjFa
RrMM
t
OPtO
rrrrrrrr
rrrr
−×++





−=−
×+=
- Equações em cada direção





=
=
=
→








−−=−
=
+−=
FaM
ay
az
MyFFa
zFFa
MyF
tt
t
95.0
1.0
2
10
3
2
10
30
Logo, 





−= kiFaM t
rrr
10
3
10
195.0
( )kiFaM t rrr 33,0 −=
Forças e outra Grandezas VetoriaisForças e outra Grandezas Vetoriais
Exercício
Na posição mostrada o virabrequim de um pequeno compressor de
dois cilindros está submetido a forças de 400 N e 800 N, exercidas
pelas bielas, e um torque de 200 Nm. substitua esse sistema de
carregamento por um sistema força-binária no ponto A. Mostre que R
não é perpendicular a MA. Substitua, então, esse sistema força-binária
por um torsor. Determine o módulo M do momento torsor, módulo
da força R do torsor, e as coordenadas do ponto no plano x-z pelo qual
passa a linha de ação do torsor.
Data de entrega: 29/03/2012