Matematica discreta

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Matemática Discreta
Existe um ditado popular que diz: 
“Diga-me com quem andas e te direi quem és.”
Este ditado de certa forma nos remete a, de alguma forma, ligar 
nossas companhias a nossos atos.
Dentro do estudo de funções também ocorre algo semelhante: 
Associamos um número de um determinado conjunto a outro número 
de um outro conjunto.
Este primeiro conjunto de números recebe o nome de DOMÍNIO da 
função, também chamado de CONJUNTO DE PARTIDA e o segundo 
conjunto de números recebe o nome de IMAGEM da função, também 
chamado de CONJUNTO DE CHEGADA.
Funções
Funções
Aplicação do conceito
O conceito de função é um dos mais importantes da
Matemática e ocupa lugar em destaque em vários de
seus ramos, bem como em outras áreas do
conhecimento. É muito comum e conveniente expressar
fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc. por meio de
funções.
Funções
A noção intuitiva de função
Situação 1
Joaquim vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.
Veja as condições dos planos:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por
consulta num certo período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por
consulta num certo período.
Dependendo da necessidade, Joaquim fará 5, 6 ou 7 consultas. Qual o
plano mais econômico para ele em cada situação?
Observe que o gasto total de cada plano é dado em função do
número de consultas dentro do período preestabelecido.
Funções
A noção intuitiva de função
Situação 2
Na cidade e Curitiba, de acordo com valores em vigor desde
01/01/2016, um motorista de táxi cobra R$ 5,40 de bandeirada (inicial)
mais R$ 2,70 por quilômetro rodado (bandeira 1). Sabendo que o
preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados,
calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 12
quilômetros?
Funções
Situação 3
O diagrama a seguir considera a quantidade de litros de gasolina e os seus respectivos
preços a pagar em um posto de combustível na cidade de Curitiba:
Quantidade 
de litros (l)
Preço 
a pagar (R$) O preço a pagar é dado em função
da quantidade de litros que se coloca
no tanque, ou seja o preço depende
do número de litros comprados.
1
2
3
.
.
.
50
x
4,49
8,98
13,47
.
.
.
224,50
4,49.x
F(p) = R$ 4,49 vezes o número de litros (x) comprados
F(p) = 4,49.x (lei da função ou fórmula matemática da função)
Agora, responda:
a) Qual é o preço de 10 litros de
gasolina?
b) Quantos litros de gasolina podem ser
comprados com R$ 43,81?
Produto Cartesiano
Dados os conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano
de A por B (A x B) o conjuntos de todos os pares ordenados
(x, y) que podem ser formados com primeiro elemento de A
e segundo elemento de B.
A X B = { (x, y) / x ∈ A e y ∈ B}
 Onde x é a abscissa do par e y é a ordenada.
 Os elementos x e y são as coordenadas do par.
Produto Cartesiano e Funções
(1, 4),
Exemplo
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, determine: A x B, 
B x A e B2.
A x B = { (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) }
B x A = { (4, 1), (4, 3),(4, 2), (5, 1), (5, 2), (5, 3) }
B2 = B x B = { (4, 4), (5, 4),(4, 5), (5, 5) }
Produto Cartesiano e Funções
Representação
do produto cartesiano
Diagrama de “árvore”
1
2
3
4
5
4
5
4
5
(1, 4)
(2, 4)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 4)
(3, 5)
Produto Cartesiano e Funções
1
2
3
4
5
Diagrama de “flexas”
A B
Produto Cartesiano e Funções
x
y
O
Representação geométrica
1 2 3
4
5
Produto Cartesiano e Funções
Exemplo
Dados os conjuntos A = { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3 } e 
B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 2 }, determine A x B.
x0 1 3
1
2
Produto Cartesiano e Funções
Conceito de função
• De maneira geral, se a variável x assume valores em um
conjunto A e a variável y assume valores em um conjunto B,
podemos definir:
Função de A em B é toda relação f de A em B que, a 
cada elemento x de A, associa um único elemento y
de B.
Relações e Funções
Conceito de função
• Suponha que 5 alunos fizeram uma prova de múltipla escolha. Ela tinha
8 questões. Cada uma valia um ponto. Vamos considerar os conjuntos
 dos alunos A = {1, 2, 3, 4, 5};
 dos pontos B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
Relações e Funções
Conceito de função
• Vamos representar o resultado da prova de três formas diferentes
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
 Por uma tabela
Aluno 1 2 3 4 5
Nota 6 3 7 8 7
 Por um conjunto de pares ordenados
{(1, 6), (2, 3), (3, 7), (4, 8), (5, 7)};
Relações e Funções
Conceito de função
• Vamos representar o resultado da prova de três formas diferentes
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
 Por um diagrama de conjuntos
1
2
3 2
A B
0
13
4
5
4
5
6
7
8
(x) (y)
f
Relações e Funções
Conceito de função
• O diagrama ilustra uma função f de A em B.
f: A → B x y
A B
f
Relações e Funções
Logo, o DOMÍNO de uma função é composto por todos os elementos 
de um conjunto de números que serão associados a um segundo 
conjunto de números chamado de IMAGEM.
A associação entre esse dois conjuntos de elementos é feita 
através de uma fórmula, chamada de LEI DE FORMAÇÃO.
Conceito de função
• O diagrama ilustra uma função f de A em B.
f: A → B x y
A B
f
 O conjunto A é o domínio da função;
 O conjunto B é o contradomínio da função;
 x é a variável independente;
 y é a variável dependente;
 y é a imagem de x, pela função. y = f(x)
Relações e Funções
Conceito de função
• No exemplo anterior temos:
1
2
3 2
A B
0
13
4
5
4
5
6
7
8
(x) (y)
f
 a imagem de 1 é 6:  f(1) = 6
 a imagem de 2 é 3:  f(2) = 3
 a imagem de 3 é 7:  f(3) = 7
 a imagem de 4 é 8:  f(4) = 8
 a imagem de 5 é 7:  f(5) = 7
 Im(f) ou f(A) = {3, 6, 7, 8}
 Im(f)  B (contradomínio)
Relações e Funções
• Mostrar que o diagrama a seguir representa uma função f de A em B. 
 f(1) = 5; f(2) = 7 e f(3) = 7
 D(f) = A = {1, 2, 3} 
 CD(f) = B = {5, 7, 8, 9} 
 Im(f) = {5, 7}
Exemplo
 S = {2, 3}
1
2
3
8
A B
5
7
9
Determine também.
1. Seu domínio e contradomínio;
2. f(1), f(2) e f(3);
3. Seu conjunto imagem;
4. O conjunto-solução da equação f(x) = 7.
Exemplo
• Mostrar que o diagrama abaixo não representa uma função de 
A em B.
3
4
5
6
A B
8
7
9
um único elemento de A (o 4) está associado a dois
elementos em B.
Além disso, um elemento de A (o 5) não está associado a
nenhum elemento de B.
Tipos especiais de funções
• Def.: Uma função f de A em B é dita “um-para-um” ou injetora se e somente se f(a)  f(b) 
sempre que a  b.
• Logo, nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da 
imagem f(x). 
Exemplo1: Determine se a função f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, 
com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 é injetora.
a
b
c
d
1
2
3
4
5
Tipos especiais de funções
• Exemplo2: Determine se a função f(x)=x2, dos inteiros para 
os inteiros, é injetora.
Solução: A função f(x)=x2 não é injetora
– pois, por exemplo, f(1)=f(-1)=1, mas 1  -1.
Exemplo3: Determine se a função f(x)=x+1 é injetora.
Solução: A função f(x)=x+1 é injetora. 
– Para provar isto, note que x+1  y+1 quando x  y.
Tipos especiais de funções
• Def.: Uma função f de A em B é chamada de sobrejetora se e somente se 
para todo elemento bB há um elemento aA com f(a)=b.
• Equivalentemente, f é sobrejetora se Im(f)=B (inteiro)
• Desta forma uma função é sobrejetiva, se todos os elementos do 
domínio possuem um elementona imagem.
Exemplo1: Seja f a função de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por f(a)=3, 
f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta função é sobrejetora?
a
b
c
d
1
2
3
Tipos especiais de funções
• Exemplo2: A função f(x) = x2, dos inteiros para os 
inteiros, é sobrejetora?
Solução: A função f não é sobrejetora
– pois, por exemplo, não há inteiro x que forneça x2 = -1.
Exemplo3: Determine se a função f(x)=x+1, dos inteiros para os 
inteiros, é sobrejetora.
Solução: Esta função é sobrejetora, pois:
– para todo inteiro y, sempre há um inteiro x tal que f(x)=y. 
Tipos especiais de funções
• Def.: Uma função f é uma correspondência de um-para-um, ou 
uma função bijetora, se ela for injetora e sobrejetora.
Resumindo: Exemplos de diferentes tipos de correspondências:
a
b
c
1
2
3
4
a) Injetora, mas 
não sobrejetora:
b) Sobrejetora, 
mas não injetora:
c) Injetora e 
sobrejetora:
a
b
c
1
2
3d
a
b
c
d
1
2
3
4
Resumindo: diferentes tipos de correspondências (continuação):
d) Nem injetora, 
nem sobrejetora:
e) Não é função:
a
b
c
d
1
2
3
4
a
b
c
1
2
3
4
Tipos especiais de funções
Exercícios
Exercícios
4) Durante um programa nacional de imunização contra uma forma virulenta de gripe, 
representantes do ministério da Saúde constataram que o custo de vacinação de "x" por 
cento da população era de, aproximadamente, 𝑓 𝑥 =
150𝑥
200−𝑥
milhões de reais. O 
domínio da função f é:
a) todo número real x 
b) todo número real x, exceto os positivos
c) todo número real x, exceto os negativos 
d) todo número real x, exceto x = 200 
e) todo número real x, exceto x  200
5) Seja a função 𝑓: ℕ → ℕ definida por 𝑓(𝑛) = 2𝑛. Responda:
i. 𝑓 é injetora ? Por que?
ii. 𝑓 é sobrejetora? Por que?
iii. 𝑓 é bijetora ? Por que?
iv. 𝑓 é inversível ? Por que?