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PROTENSÃO EM PONTES DE VIGAS MISTAS EM AÇO E CONCRETO 
 
 
Marcelo Leite de Melo Filho 
 
 
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de 
Engenharia Civil da Escola Politécnica, 
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como 
parte dos requisitos necessários à obtenção do 
título de Engenheiro. 
 
Orientadores: 
Ricardo Valeriano Alves 
Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Abril de 2016 
 
 
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PROTENSÃO EM PONTES DE VIGAS MISTAS EM AÇO E CONCRETO 
 
Marcelo Leite de Melo Filho 
 
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE 
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO 
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A 
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL 
 
Examinada por: 
 
 _________________________________________ 
Profª. Ricardo Valeriano Alves 
Prof. Associado, D Sc., EP/UFRJ (Orientador) 
 
 _________________________________________ 
Profº. Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro 
Prof. Adjunto, D Sc., UFF(Orientadora) 
 
 _________________________________________ 
Prof.ª. Flávia Moll de Souza Júdice 
Prof. Associado, D Sc., EP/UFRJ 
 
________________________________________ 
Prof.º. Francisco José Costa Reis 
Prof. Adjunto, M Sc., EP/UFRJ 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL 
ABRIL de 2016 
 
 
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Melo, Marcelo Leite de Melo 
 Protensão em Pontes de Vigas Mistas em aço e 
Concreto/ Marcelo Leite de Melo Filho. – Rio de Janeiro: 
UFRJ/Escola Politécnica, 2016. 
XI, 102 p.; 29,7 cm. 
Orientadores: Ricardo Valeriano Alves e Mayra 
Soares Pereira Lima Perlingeiro 
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ 
Curso de Engenharia Civil, 2016. 
Referências Bibliográficas: p. 103-105 
1.Viga Mista 2. Protensão 3. Pontes I. Alves, Ricardo 
Valeriano, et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, 
Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III. Análise do 
Uso de Protensão em Pontes de Vigas Mistas em aço e 
Concreto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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“O lápis, o esquadro, o papel; 
o desenho, o projeto, o número: 
o engenheiro pensa o mundo justo, 
mundo que nenhum véu encobre.” 
 
João Cabral de Melo Neto 
 
 
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À minha avó Miriam Palha Leite. 
 
 
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Agradecimentos 
 
À minha família, por sempre me apoiar e incentivar em todos os momentos 
da minha vida. Aos meus pais, Marcelo e Kátia, e ao meu irmão Gustavo, 
responsáveis pela minha formação e em grande parte do que me tornei. 
À minha namorada, Bárbara, por todo carinho e compreensão nas horas 
boas e difíceis do processo de formação do engenheiro. 
A todos os meus professores, do Colégio Pedro II à Escola Politécnica. 
A meus orientadores, Prof. Mayra Perlingeiro por toda atenção e dedicação 
na orientação desse trabalho; ao Prof. Ricardo Valeriano, que propôs e me 
guiou nas pesquisas sobre esse tema “pioneiro”. 
A todos os meus amigos de curso que tornaram essa jornada na UFRJ mais 
divertida. 
Aos meus amigos do intercâmbio de Southampton, que fizeram parte do 
ano inesquecível. 
Aos amigos da Casagrande Engenharia, que têm importância fundamental 
na minha formação. 
 
 
 
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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ 
como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro 
Civil. 
 
 
PROTENSÃO EM PONTES DE VIGAS MISTAS EM AÇO E CONCRETO 
 
Marcelo Leite de Melo Filho 
 
Abril/2016 
 
Orientadores: Ricardo Alves Valeriano e Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro 
Curso: Engenharia Civil 
 
O trabalho faz a avaliação do comportamento estrutural, procedimentos de 
análise e verificação estrutural de vigas mistas de aço e concreto em 
superestruturas de pontes. Como não há normatização específica para esse 
tipo de estrutura, o trabalho foi embasado nas normas existentes de aço e 
concreto armado e protendido. Procedeu-se um estudo de tensões na estrutura 
devido aos carregamentos usuais de pontes e considerando-se protensão 
externa não aderente. Foi avaliada a viabilidade de aumento na capacidade de 
carga para uma situação de reforço estrutural e ainda a possibilidade da 
redução das dimensões da viga de aço com a implementação da protensão. 
 
Palavras-chave: Viga Mista, Protensão, Ponte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
viii 
 
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/ UFRJ as a partial 
fulfillment of the requirements for the degree of Engineer. 
 
 
PRESTRESSED CABLES IN COMPOSITE STEEL-CONCRETE BRIDGES 
GIRDERS 
 
Marcelo Leite de Melo Filho 
 
April/2016 
 
Advisors: Ricardo Alves Valeriano and Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro 
Course: Civil Engineering 
 
The work evaluates the structural behavior, analysis procedures and structural 
evaluation of composite girders of steel and concrete in bridge superstructures. 
Since there is no specific regulation for this type of structure, the work was 
based on existing standards of steel and reinforced and prestressed concrete. It 
was developed a study of tension in the structure due to the usual loadings of 
bridges and considering non-adherent external prestressing. It was evaluated 
the viability of increasing load capacity for a reinforcement condition and yet the 
possibility of reducing the dimensions of the steel beam with the implementation 
of prestressing. 
 
 
Keywords: Composite Girder, Prestress, Bridge. 
 
 
 
 
 
 
ix 
 
Sumário 
1. Introdução ............................................................................................................ 1 
1.1 Motivação ....................................................................................................... 2 
1.2 Objetivo .......................................................................................................... 2 
1.3 Estrutura do trabalho ...................................................................................... 2 
2. Vigas mistas ......................................................................................................... 4 
2.1 Aspectos Históricos ........................................................................................ 4 
2.2 Generalidades ................................................................................................ 5 
2.3 Conectores de cisalhamento .......................................................................... 6 
2.3.1 Resistência dos conectores ..................................................................... 6 
2.3.2 Determinação do número de conectores ................................................. 8 
2.4 Laje de concreto ........................................................................................... 10 
2.4.1 Largura da mesa colaborante ................................................................ 10 
2.5 Determinação da resistência à flexão ........................................................... 11 
2.5.1 Seções compactas escoradas ............................................................... 14 
2.5.2 Seções não-compactas ......................................................................... 15 
2.6 Resistência ao esforço cortante ....................................................................19 
2.7 Efeito da retração do concreto: ..................................................................... 21 
2.8 Determinação de flecha e contra flecha ........................................................ 22 
2.9 Verificação da fadiga .................................................................................... 23 
3. Protensão ........................................................................................................... 24 
3.1 Aspectos históricos ....................................................................................... 24 
3.2 Princípios da protensão ................................................................................ 26 
3.3 Classificação dos sistemas de protensão ..................................................... 27 
3.3.1 Classificação quanto à aderência .......................................................... 28 
3.3.2 Classificação quanto à posição dos cabos ............................................ 29 
3.4 “Stress Corrosion”......................................................................................... 32 
3.5 Perdas de protensão .................................................................................... 32 
 
x 
 
3.5.1 Perdas por atrito .................................................................................... 32 
3.5.2 Perdas por encunhamento ..................................................................... 33 
3.5.3 Perdas por deformação instantânea ...................................................... 34 
3.5.4 Perdas diferidas ..................................................................................... 34 
3.6 Análise de estruturas protendidas ................................................................. 36 
4. Viga mista protendida ...................................................................................... 39 
4.1 Premissas adotadas para o dimensionamento ............................................. 39 
4.2 Influência de métodos construtivos ............................................................... 40 
4.3 Força de protensão ....................................................................................... 42 
4.3.1 Determinação da força de protensão ..................................................... 42 
4.3.2 Força cortante devida à protensão ........................................................ 45 
4.4 Perdas de protensão .................................................................................... 46 
4.4.1 Perdas por atrito nos desviadores ......................................................... 47 
4.4.2 Perdas por encunhamento ..................................................................... 47 
4.4.3 Perdas por relaxação dos cabos............................................................ 49 
4.5 Flexo-compressão ........................................................................................ 50 
4.6 Deformação vertical ...................................................................................... 51 
5. Critérios de verificação ..................................................................................... 52 
5.1 Carregamentos adotados ............................................................................. 52 
5.2 Análise estrutural .......................................................................................... 54 
5.3 Verificação estrutural .................................................................................... 55 
5.3.1 Esbeltez dos perfis ................................................................................ 55 
5.3.2 Análise de tensões ................................................................................ 56 
5.3.3 Esforço cortante e estabilidade dos painéis enrijecidos ......................... 58 
5.3.4 Dimensionamento dos conectores ......................................................... 58 
5.4 Verificação da fadiga .................................................................................... 59 
5.5 Verificação da deformação ........................................................................... 59 
6. Exemplo Prático ................................................................................................. 60 
 
xi 
 
6.1 Características geométricas ......................................................................... 60 
6.2 Seção transversal das longarinas ................................................................. 61 
6.3 Carregamentos ............................................................................................. 62 
6.3.1 Peso próprio .......................................................................................... 62 
6.3.2 Cargas permanentes ............................................................................. 63 
6.3.3 Cargas móveis ....................................................................................... 64 
6.4 Esforços atuantes ......................................................................................... 66 
6.4.1 Peso próprio .......................................................................................... 66 
6.4.2 Sobrecarga permanente (g2) ................................................................. 67 
6.4.3 Carga móvel .......................................................................................... 68 
6.5 Propriedades da seção ................................................................................. 69 
6.6 Tensões devido à flexão ............................................................................... 72 
6.7 Avaliação da capacidade portante com protensão ........................................ 74 
6.7.1 Estudo da protensão .............................................................................. 75 
6.7.2 Verificação da viga protendida ............................................................... 79 
6.7.3 Verificação ao esforço cortante.............................................................. 90 
6.7.4 Verificação à Fadiga .............................................................................. 91 
6.8 Otimização da Viga ....................................................................................... 92 
6.8.1 Propriedades geométricas ..................................................................... 92 
6.8.2 Estudo de protensão .............................................................................. 93 
6.8.3 Verificação da viga de 1,70m ................................................................. 94 
7. Conclusão ........................................................................................................ 100 
7.1 Sugestões para trabalhos futuros ............................................................... 102 
8. Bibliografia ....................................................................................................... 103 
9. Apêndice .......................................................................................................... 106 
 
 
 
1 
 
1. Introdução 
O uso de aço na construção civil no Brasil tem crescido muito em diversas 
aplicações. Pontes em aço são cada vez mais visadas devido à sua facilidade em 
vencer grandes vãos de geometria qualquer sem a necessidade de escoramentos. 
Sendo assim, devem ser feitos estudos de desenvolvimento de tecnologias que sejam 
vantajosas para essas estruturas. 
O aço faz com que as estruturas sejam mais leves, reduzindo a carga nas 
fundações. Em geral, estruturas em aço são mais esbeltas e com maior liberdade 
arquitetônica. O processo de fabricação da estrutura em aço é industrializado, e assim 
gera racionalização de materiais e mão de obra. O processo construtivo é muito mais 
rápido, pois assim como nas estruturas em concretopré-moldado, o processo de 
montagem de estruturas de aço muitas vezes elimina a necessidade de escoramentos 
e necessita apenas de guindastes após a fabricação das vigas. 
Em pontes é comum o uso das vigas de aço associadas ao concreto, com os dois 
materiais trabalhando junto; isso aumenta muito a capacidade de carga da viga de aço 
isolada. O concreto tem grande capacidade de absorver esforços de compressão e o 
aço se comporta muito bem à tração. Para que os dois atuem juntos, deve haver 
compatibilidade de deslocamentos na sua interface. 
O uso de cordoalhas de aço comprimindo a estrutura e gerando solicitações 
opostas às usuais são muito comuns e existe uma extensa bibliografia e normatização 
quando se trata de elementos estruturais de concreto. O uso de protensão em vigas 
de aço não é usual, nem é abordado com frequência na bibliografia. Porém, o seu uso 
pode trazer benefícios, tais como redução do uso do aço e aumento da capacidade de 
carga de uma estrutura existente. 
Em vigas de aço, a protensão deve ser externa à estrutura, sendo transmitida 
através das ancoragens e desviadores. Os cabos excêntricos fazem com que sejam 
reduzidas as flechas e melhoram a estabilidade lateral das vigas. 
 
2 
 
1.1 Motivação 
Na engenharia estrutural brasileira, o uso do concreto é predominante. Por outro 
lado, por suas diversas vantagens, o uso do aço vem crescendo, principalmente em 
obras de infraestrutura. 
O conhecimento de novas tecnologias que tragam um maior aproveitamento dos 
materiais utilizados também deve seguir esse crescimento. O uso da protensão em 
estruturas de pontes é muito difundido quando usado em concreto, porém a sua 
aplicação em estruturas de aço é restrita. A falta de bibliografia sobre o assunto é um 
dos fatores que faz com que essa prática seja pouco difundida no Brasil. 
1.2 Objetivo 
O principal objetivo do trabalho é o estudo da protensão externa com cabos não 
aderentes em viga de aço e concreto em pontes. Com esse estudo busca-se avaliar os 
benefícios do uso de cabos tracionados para o aumento de capacidade de carga de 
uma seção e a possibilidade de racionalização da seção de aço. 
1.3 Estrutura do trabalho 
O corpo principal do trabalho é dividido em sete capítulos, fazendo uma revisão 
bibliográfica dos elementos (protensão e viga mista) separadamente e de forma 
combinada. 
O segundo capítulo aborda as vigas mistas, fazendo uma revisão de 
bibliografia e normas para cálculo em estruturas de pontes e edificações. 
O terceiro capítulo trata de protensão de uma maneira genérica, apontando 
seus benefícios, apresenta diversos tipos de estruturas protendidas e a análise 
estrutural em estruturas isostáticas com cabos poligonais (típicos de protensão 
externa). 
O quarto capítulo contém o estudo do uso da protensão em estruturas mistas, 
apresentando as considerações de cálculo a partir da avaliação de tensões na 
estrutura. 
 
3 
 
O quinto capítulo lista os critérios de dimensionamento para o cálculo de 
pontes que serão levados em consideração no exemplo prático desenvolvido no 
capítulo seguinte. 
O capítulo seis apresenta um exemplo de verificação à flexão e cortante, 
avaliando o aumento da capacidade de carga de uma ponte existente e um estudo da 
racionalização da estrutura com o uso de cordoalhas protendidas. 
Finalmente, o capítulo sete apresenta as conclusões obtidas nesse trabalho. 
 
 
4 
 
2. Vigas mistas 
2.1 Aspectos Históricos 
A estrutura metálica é utilizada na construção civil desde o início do século XVII, 
se quando se empregavam pontes em arco ou treliçadas de ferro fundido. Uma das 
primeiras pontes metálicas, a ponte de Coalbrookdale, na Inglaterra, possui um vão 
central de 30m (Figura 1). 
 
Figura 1 – Ponte de Coalbrookdale 
(https://www.sites.google.com/site/acoufmg/home/historico (acessada em 20/02/2016)) 
No século XIX, houve o inicio da laminação de perfis, que permitiu a produção 
de perfis laminados e a estrutura metálica começou a ser usado também em 
edificações. 
O uso do aço passou a ser mais difundido no fim do século XIX. A primeira 
ponte foi construída no estado do Mississipi, nos EUA, com um vão central de 158m. 
No Brasil, a ponte mais notável com o uso de estrutura de aço é a ponte Rio-
Niterói, inaugurada no ano de 1974, com vão central de 300m em vigas de alma cheia 
de inércia variável (Figura 2). 
 
5 
 
 
Figura 2 – Vão central da ponte Rio-Niterói 
(http://oregionalpr.com.br/wp-content/uploads/2014/03/original_Ponte_Rio-
Niter%C3%B3i_no_estado_do_Rio_de_Janeiro.jpg (acessada no dia 20/02/2016)) 
2.2 Generalidades 
A NBR8800 (2008) define como viga mista um elemento linear que recebe 
carga transversal, composto por um perfil metálico conectado a uma laje de concreto, 
de forma que ambos trabalhem em conjunto para resistir aos esforços de flexão 
solicitantes. 
Para que haja maior eficiência da viga mista, é importante que o concreto 
trabalhe comprimido e o aço tracionado nas fibras inferiores. Logo, é desejável que os 
momentos fletores sejam positivos, ou seja, que as vigas mistas sejam biapoiadas. A 
seguir, são apresentadas as vantagens de vigas biapoiadas em relação a vigas 
continuas (CARDOSO, 2006): 
 A mesa comprimida da viga metálica tem deformação restringida pela laje de 
concreto, evitando a flambagem lateral torsional ou flambagem local da mesa, após a 
cura da laje; 
 A estrutura isostática faz com que não haja redistribuição de esforços 
provenientes de gradiente de temperatura e fluência do concreto. 
 
As vigas mistas podem ser escoradas ou não. Caso não sejam escoradas, as 
mesmas devem ser verificadas tanto para a resistência quanto para a estabilidade, na 
fase de concretagem da laje, considerando apenas as propriedades da seção de aço. 
 
6 
 
2.3 Conectores de cisalhamento 
São componentes usados na junção da viga de aço e concreto de forma a não 
permitir o deslocamento relativo entre os mesmos. Os conectores transmitem as 
tensões cisalhantes entre os dois materiais, podendo ser total ou parcial. A interação 
será considerada total se as tensões forem suficientes para que se atinja o 
escoamento da viga de aço ou o esmagamento da laje de concreto, antes de ocorrer a 
ruptura da ligação, caso contrário a interação será parcial. 
Em vigas de ponte é conveniente que os conectores transmitam totalmente as 
tensões para o concreto, havendo, portanto, compatibilidade na deformação dos dois 
materiais. 
Os conectores devem ter um embutimento mínimo no concreto de 50mm e 
devem ter um cobrimento mínimo de 10mm. A distância máxima entre os conectores 
deve ser de 60cm quando o concreto é comprimido. Os conectores devem ser 
verificados tanto à resistência última quanto à fadiga dos elementos (Figura 3). 
 
a) b) 
Figura 3 – Conectores tipo: a)Stud Bolt, b)Perfil U. 
 
2.3.1 Resistência dos conectores 
Os conectores devem ser dimensionados prevendo-se a falha devido ao 
esmagamento do concreto ou a ruptura do aço por plastificação ou fadiga. 
A determinação da resistência dos conectores é obtida conforme descrito a 
seguir. 
 
7 
 
a) Stud bolts ou pinos com cabeça: 
Os pinos são soldados por arco elétrico, onde o metal base é fundido na 
extremidade do conector com o auxilio de uma pistola. 
A resistência última pela NBR8800:2008 é dada pelo menor valor das 
expressões (2.1) e (2.2): 
 
𝑞𝑅𝑑 =
1
2 (𝐴𝑐𝑠√𝑓𝑐𝑘. 𝐸𝑐𝑠)
𝛾𝑐𝑠
 
 
(2.1) 
 
𝑞𝑅𝑑 =
(𝐴𝑐𝑠. 𝑓𝑢𝑐𝑠)
𝛾𝑐𝑠
 
 
(2.2) 
onde: 
𝑞𝑅𝑑 – resistência de cálculo do conector; 
𝐴𝑐𝑠 – área da seção transversal doconector; 
𝑓𝑢𝑐𝑠 − resistência à tração do conector; 
𝑓𝑐𝑘 − resistência à compressão característica do concreto; 
𝐸𝑐𝑠- módulo de elasticidade secante do concreto; 
𝛾𝑐𝑠 − coeficiente de minoração = 1,35. 
 
A variação de tensão resistente para um número infinito de ciclos, de acordo 
com a NBR8800:2008, é limitada a 69 MPa (Figura 4). 
Situação Descrição 𝜎𝑇𝐻 (𝑀𝑃𝑎) 
 
Metal-base junto a 
conectores de 
cisalhamento tipo pino 
com cabeça ligados por 
solda de filete ou 
eletrofusão. 
69 
Figura 4- Tensão Limite de Fadiga para Stud Bolts (Adaptado da NBR8800:2008) 
b) Perfis laminados “U” 
São perfis de pequeno comprimento soldados na mesa do perfil metálico. A 
resistência ao cisalhamento desse tipo de conector é dada por: 
 
8 
 
 
𝑞𝑟𝑑 =
0,3(𝑡𝑓 + 0,5𝑡𝑤). 𝐿𝑐𝑠. √𝑓𝑐𝑘. 𝐸𝑐𝑠
𝛾𝑐𝑠
 
 
(2.3) 
onde: 
𝑡𝑓- espessura da mesa do perfil; 
𝑡𝑤 −espessura da alma do perfil; 
𝐿𝑐𝑠 −comprimento conector. 
 
A variação de tensão resistente (σTH) para um número infinito de ciclos, de 
acordo com a NBR8800:2008, depende das dimensões do perfil U, conforme mostra a 
Figura 5. 
Situação Descrição 𝜎𝑇𝐻 (𝑀𝑃𝑎) 
 
a<50mm 69 
50mm<12.b ou 100 mm 48 
a>12.b ou 100mm quando 
b<25mm 
31 
a>12.b ou 100mm quando 
b>25mm 
18 
Figura 5 - Tensão Limite de Fadiga para conectores em perfil “U” (Adaptado da 
NBR8800:2008) 
 
2.3.2 Determinação do número de conectores 
Para que exista a interação total entre o concreto e a viga de aço, é necessário 
que os conectores não permitam deslizamento entre os componentes. 
Em vigas de edifícios é usual que os conectores sejam igualmente espaçados, 
como se cada um contribuísse da mesma forma. Porém, para vigas mais solicitadas, 
essa hipótese não é verdadeira, e os conectores devem ser concentrados nos 
extremos da viga, pois ocorre uma distribuição linear nos décimos extremos do vão 
(MASON, 1976), conforme ilustra a Figura 6. 
 
Figura 6 –Tensões cisalhantes horizontais ao longo da viga (MASON, 1976) 
 
9 
 
 Para que haja interação completa, a norma NBR8800:2008 recomenda que a 
soma da resistência dos conectores deva ser maior que o menor dos valores dados 
por: 
 
𝑄𝑟𝑑 =∑𝑞𝑟𝑑 ≥
𝐴. 𝑓𝑦
𝛾
 
 
(2.4) 
 
𝑄𝑟𝑑 =∑𝑞𝑟𝑑 ≥
0,85𝑓𝑐𝑘. 𝑏. 𝑡𝑐
𝛾𝑐
 
 
(2.5) 
onde: 
𝐴 − área da seção da viga de aço; 
𝑓𝑦 − tensão de escoamento do aço; 
𝛾 − coeficiente de minoração do aço =1,1; 
𝑓𝑐𝑘 − resistência à compressão característica do concreto; 
𝑏 −largura de mesa colaborante; 
𝑡𝑐 − espessura da laje; 
𝛾𝑐 – coeficiente de minoração do concreto =1,4. 
 
Em vigas de pontes, que estão submetidas à variação de tensões devido às 
cargas móveis, os conectores devem ser verificados à fadiga. A variação de 
cisalhamento atuando nas vigas pode ser calculada pela expressão: 
 
∆𝑆𝑟 =
∆𝑉𝑟. 𝑄
𝐼
 
(2.6) 
onde: 
∆𝑉𝑟 – flutuação da força cortante devido à carga móvel; 
𝑄− momento estático do concreto transformado (dividida pela relação do 
módulo de elasticidade do aço e concreto); 
𝐼 – inércia da viga mista. 
Essa faixa de variação deve ser menor que a variação de tensão admitida, por 
norma, para cada tipo de conector. 
 
10 
 
2.4 Laje de concreto 
2.4.1 Largura da mesa colaborante 
A distribuição de tensões de compressão ao longo da laje não é uniforme. A 
compressão da laje é máxima no eixo da viga e decresce ao se afastar do eixo (Figura 
7). Esse efeito, conhecido como “shear lag”, é resultante da deformação não uniforme 
da laje. O eixo da viga deforma mais que as áreas adjacentes fazendo que a seção 
não seja mais plana (CARDOSO, 2006). 
 
Figura 7 – Distribuição de tensões de compressão na laje da viga mista 
(CARDOSO, 2006). 
Sendo assim, a largura que efetivamente contribui para a resistência da viga 
metálica deve ter tensões aproximadamente constantes. Para considerar esse 
aspecto, a NBR8800 limita a largura da laje adotada para o dimensionamento da viga 
mista. 
 Em vigas biapoiadas, para cada lado do eixo da viga deve ser adotado o 
menor entre os valores: 
 1/8 do comprimento do vão; 
 Metade da distância entre as vigas adjacentes; 
 A distância entre a viga e o bordo da laje em balanço. 
 
 
 
11 
 
2.5 Determinação da resistência à flexão 
Consideram-se, nesse trabalho, vigas mistas biapoiadas sujeitas apenas aos 
momento fletores positivos. A parte superior da viga metálica é, na fase final (com o 
concreto endurecido), travada pela laje, impossibilitando o deslocamento proveniente 
de fenômenos de flambagem local da mesa comprimida ou flambagem lateral 
torcional. 
A viga mista pode ser construída com ou sem escoramento. Para a viga não 
escorada, o concreto é lançado sobre pré-lajes, sem que a viga tenha as propriedades 
da viga mista. Inicialmente, os esforços atuam somente na seção de aço e o perfil 
deve ser verificado para todas as fases de carregamento (construtivos e de utilização), 
sendo esses: 
 Peso próprio do perfil metálico e laje de concreto (viga metálica); 
 Peso próprio das sobrecargas permanentes, tais como guarda rodas e 
pavimentação (seção mista); 
 Sobrecarga de utilização (seção mista). 
Para vigas escoradas, a viga mista deve ser verificada apenas para a fase final. 
A Figura 8 compara o deslocamento vertical de vigas mistas escoradas e não 
escoradas. Pode ser observado que, para um mesmo momento fletor, o deslocamento 
vertical da viga não escorada é maior, pois sua deformação na fase inicial, quando 
ainda não há o endurecimento da laje, é muito maior. A viga, na fase inicial, tem uma 
inércia consideravelmente menor e, com isso, sua flecha será maior. Porém, na 
ruptura a flecha é praticamente a mesma. 
As flechas podem ser compensadas com a imposição de uma contra flecha. É 
imposto um deslocamento no sentindo inverso das flechas resultantes dos 
carregamentos usuais. A contra flecha deve ser calculada para anular o deslocamento 
vertical causado pela carga permanente. 
 
 
12 
 
 
Figura 8 – Desenvolvimento do momento resistente em relação ao deslocamento 
vertical de vigas escoradas e não escoradas (QUEIROZ, 2001) 
 Para construções não escoradas, deve ser feita a verificação da estabilidade 
da viga quanto aos fenômenos de flambagem, já que na fase de concretagem a laje 
não oferece nenhum travamento e a parte superior da viga metálica, comprimida, pode 
sofrer flambagem local da mesa ou flambagem lateral torcional. A presença de 
travamentos, como transversinas, na fase construtiva, podem limitar o vão da 
flambagem lateral torcional. 
A NBR8800:2008 classifica as vigas metálicas como compactas, semi-
compactas ou esbeltas. Os perfis das vigas mistas devem ser classificados dessa 
forma: 
A. Compactas: 
Os perfis plastificam totalmente sem que ocorra flambagem local. Para isso, o 
índice de esbeltez λ deve ser inferior à esbeltez limite para seções compactas λp, tal 
que: 
a. Flambagem local das mesas para perfis soldados e laminados: 
 
𝜆 =
𝑏𝑓
2𝑡𝑓
≤ 𝜆𝑝 = 0,38√
𝐸𝑠
𝑓𝑦𝑘
 (2.7) 
 
 
13 
 
b. Flambagem local das almas para perfis soldados e laminados: 
 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
≤ 𝜆𝑝 = 3,76
ℎ
ℎ𝑝
 √
𝐸𝑠
𝑓𝑦𝑘
 
 
(2.8) 
onde: 
bf – largura da mesa; 
tf – espessura da mesa; 
h – altura da alma; 
hp – dobro da distância da face interna da mesa a linha neutra plástica da 
seção; 
tw – espessura da alma; 
Es – módulo de elasticidade do aço; 
fyk – tensão de escoamento do aço. 
 
B. Semi-compactas (𝜆𝑝 < 𝜆 < 𝜆𝑟): 
As seções iniciam o escoamento, mas a flambagem local ocorre antes da 
plastificaçãoda seção. Para serem classificadas como semi-compactas, o índice de 
esbeltez λ deve ser inferior à esbeltez limite para seções semi-compactas λr, logo: 
a. Flambagem local das mesas: 
- Perfis laminados: 
 
𝜆 =
𝑏𝑓
2𝑡𝑓
≤ 𝜆𝑟 = 0,83√
𝐸𝑠
(𝑓𝑦𝑘 − 𝑓𝑟)
 
 
(2.9) 
 
 - Perfis soldados: 
 
𝜆 =
𝑏𝑓
2𝑡𝑓
≤ 𝜆𝑟 = 0,95√
𝐸𝑠
(𝑓𝑦𝑘 − 𝑓𝑟)
𝑘𝑐
 
 
 
(2.10) 
 
 
14 
 
 
𝑘𝑐 =
4
√
ℎ
𝑡𝑤
 𝑒 0,35 ≤ 𝑘𝑐 ≤ 0,763 
 
(2.11) 
b. Flambagem local das almas: 
 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
≤ 𝜆𝑟 = 5,70 √
𝐸𝑠
𝑓𝑦𝑘
 
 
(2.12) 
onde: 
fr – tensão residual nos perfis soldados e laminados. 
O momento fletor resistente é calculado de maneira distinta dependendo da 
existência de escoramento na fase construtiva e da sua compacidade. A NBR8800 
prevê que o momento fletor resistente de vigas mistas compactas escoradas seja 
calculado pela plastificação da seção. Já para perfis não compactos ou não 
escorados, a verificação da viga mista deve ser feita comparando-se as tensões de 
cálculo nas fibras extremas, tanto da viga metálica quanto na laje de concreto. 
2.5.1 Seções compactas escoradas 
As vigas compactas escoradas com interação completa têm sua resistência à 
flexão para momentos fletores positivos determinadas pela plastificação da seção de 
aço ou o esmagamento da laje de concreto. 
A linha neutra, na plastificação, pode passar tanto pela seção metálica quanto 
pela laje de concreto. 
A linha neutra passa pela laje de concreto se a força de compressão máxima 
(Cd), na mesa colaborante de concreto, for superior à força resultante de tração da 
seção metálica (Td), com: 
 
 
𝐶𝑑 =
0,85𝑓𝑐𝑘. 𝑏. 𝑡𝑐
𝛾𝑐
 
 
(2.13) 
 
𝑇𝑑 =
𝐴. 𝑓𝑦
𝛾
 
 
(2.14) 
 
 
15 
 
Se Td>Cd, a linha neutra passa pela viga metálica. A posição da linha neutra 
deve ser encontrada de modo que haja um equilíbrio de forças na seção, e o momento 
de plastificação da seção será determinado por essas forças equilibradas. 
A Figura 9 apresenta as forças resultantes e as tensões em vigas mistas 
submetidas à momentos fletores positivos com diferentes posições da linha neutra. Se 
a linha neutra encontra-se na laje, a resistência à tração do concreto não é 
considerada. Se a linha neutra está no perfil de aço, considera-se a laje comprimida e 
a posição da linha neutra estará onde for encontrado o equilíbrio de forças de tração e 
compressão. 
 
Figura 9 – Distribuição plástica de tensões sob momento positivo (NBR8800:2008) 
2.5.2 Seções não-compactas 
A norma NBR8800 recomenda que seja feita a análise de tensão no perfil com 
base na distribuição elástica das vigas não compactas com interação total. 
Para que sejam calculadas as propriedades da seção mista, deve ser feita a 
homogeneização da seção, ou seja, transformar a laje de concreto em uma seção 
fictícia equivalente em aço. Essa transformação é feita dividindo a área do concreto 
pela relação entre os módulos de elasticidade (AASHTO-LRFD, 2012): 
 
𝛼 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
 
 
(2.15) 
 
16 
 
 E𝑐𝑖 = α𝐸 . 5600√𝑓𝑐𝑘 
 (2.16) 
 E𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 . E𝑐𝑖 
 (2.17) 
 
𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2.
𝑓𝑐𝑘
80
≤ 1 
 
(2.18) 
onde: 
Es – módulo de elasticidade do aço; 
Eci – módulo de elasticidade tangente inicial do concreto; 
Ecs – módulo de elasticidade secante do concreto; 
fck – resistência característica do concreto; 
𝛼𝐸- parâmetro em função da natureza do agregado. 
 
 A Figura 10 representa a homogeneização da seção mista. 
 
Figura 10 – Seção homogeneizada para cálculo em regime elástico (PFEIL, 2013) 
 A relação apresentada é válida apenas quando se consideram carregamentos 
de curta duração, pois para cargas de longa duração deve ser levado em conta o 
efeito da fluência no concreto. A deformação plástica (𝜀𝑐𝑐) está relacionada à 
deformação elástica (𝜀𝑐0) e ao coeficiente de fluência (φ) pela relação: 
 
 
𝜀𝑐∞ = 𝜀𝑐0 + 𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝑐0. (1 + φ) 
 
(2.19) 
 
 
17 
 
A partir dessa relação, têm-se: 
 
𝐸𝑐∞ =
𝐸𝑐0
(1 + φ)
 
 
(2.20) 
 
𝛼∞ = 𝛼(1 + 𝜑) 
 
(2.21) 
A norma NBR6118:2014 apresenta o cálculo do coeficiente de fluência. Este 
depende de diversos fatores, tais como: materiais empregados, condições de cura, 
idade do concreto, etc. Por motivo de simplificação, recomenda-se adotar um valor 
médio de φ=2 para cargas aplicadas ao concreto com idade superior a 28 dias (PFEIL; 
PFEIL, 2013). 
A fluência faz com que o concreto sob a ação de cargas permanentes mostre, 
a tempo infinito, deformação três vezes superior à inicial, aproximadamente. Isso 
reduz o módulo de resistência da seção da viga mista e é um importante fator a ser 
considerado em projetos de pontes para carregamentos de longa duração, como peso 
próprio, peso dos guarda-rodas, pavimentos e demais componentes auxiliares. 
Para o cálculo de tensões em seções não compactas escoradas, em vigas de 
ponte, todo o carregamento atua sobre a seção da viga mista. Para as cargas 
permanentes, consideram-se os efeitos da fluência, as características da seção e o 
módulo de resistência elástico, determinado com base em 𝛼∞. Já para cargas móveis, 
deve ser usada a relação entre módulos de elasticidade para cargas de curta duração 
(𝛼). A convenção de sinal adotada refere-se a positivas as tensões de tração e 
negativas as tensões de compressão. As tensões nas mesas da viga metálica e na 
laje de concreto são calculadas por: 
- Mesa inferior: 
 
𝜎𝑏𝑖 =
𝑀𝑔1+𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓
+
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑖𝑚
 
 
(2.22) 
- Mesa superior: 
 
𝜎𝑏𝑠 = −
𝑀𝑔1+𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓
−
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑠𝑚
 
 
(2.23) 
 
 
18 
 
- Laje de concreto: 
 
𝜎𝑐 = −
𝑀𝑔1+𝑔2
𝑊𝑐𝑓
−
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑐
 
 
(2.24) 
 
onde: 
Mg1 – Momento fletor devido ao peso próprio (viga+laje); 
Mg2 – Momento fletor devido às demais cargas permanentes; 
Mcm – Momento fletor devido às cargas móveis; 
𝑊𝑖𝑚𝑓 – Módulo resistente inferior da seção mista para cargas de longa 
duração; 
𝑊𝑠𝑚𝑓 – Módulo resistente superior da seção mista para cargas de longa 
duração; 
𝑊𝑖𝑚 – Módulo resistente inferior da seção mista para cargas de curta duração; 
𝑊𝑠𝑚 – Módulo resistente superior da seção mista para cargas de curta duração; 
𝑊𝑐 – Módulo resistente da fibra superior da laje de concreto para cargas de 
curta duração; 
𝑊𝑐𝑓 – Módulo resistente da fibra superior da laje de concreto para cargas de 
longa duração. 
Já nas vigas não escoradas, a primeira fase de carregamento (g1) ocorre 
quando é feita a concretagem da laje. Apenas a viga metálica estará atuando para 
resistir a esses esforços, pois a laje não está consolidada e atuando conjuntamente 
com a viga. As demais cargas permanentes, como pavimento e guarda rodas, atuam 
na estrutura após o endurecimento da laje. Portanto, os efeitos de fluência devem ser 
considerados. As tensões nas vigas não escoradas, para regime elástico, são 
determinadas de acordo com as equações a seguir: 
- Mesa inferior: 
 
𝜎𝑏𝑖 =
𝑀𝑔1
𝑊𝑖
+
𝑀𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓
+
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑖𝑚
 
 
(2.25) 
 
 
 
19 
 
- Mesa superior: 
 
𝜎𝑏𝑠 = −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠
−
𝑀𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓
−
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑠𝑚
 
 
(2.26) 
 
- Laje de concreto: 
 
𝜎𝑐 = −
𝑀𝑔2
𝑊𝑐𝑓
−
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑐
 
 
(2.27) 
 
onde: 
𝑊𝑖 − Módulo resistente inferior da seção de aço; 
𝑊𝑠 − Módulo resistente superior da seção de aço. 
 
2.6 Resistência ao esforço cortante 
Nas vigas mistas, o concreto não contribui para a resistência ao esforço 
cortante, que deve ser resistido inteiramente pelaalma do perfil metálico. 
Nas vigas com enrijecedores transversais, a alma pode resistir a esforços 
superiores aos que levariam à flambagem da seção, devido à ação do campo de 
tensões, como mostrado na Figura 11. Após a flambagem por cisalhamento, a alma 
passa a trabalhar como um sistema treliçado de diagonais tracionadas, denominado 
campo de tração (PFEIL; PFEIL, 2013). 
 
Figura 11 – Campo de tensões entre enrijecedores (Adaptado de DUAN, 1999) 
 
20 
 
Para a resistência ao esforço cortante de perfis não enrijecidos, não é 
considerada a ação de um campo de tensões e, sim, pelo escoamento do aço ou 
flambagem devido ao cisalhamento. A relação entre a tensão de escoamento e 
flambagem da alma do perfil é dada pela constante C: 
 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐𝑟 = 𝐶. 𝑉𝑝 (2.28) 
 
𝑉𝑝 = 0,58. 𝑓𝑦𝑘 . 𝐷. 𝑡𝑤 
 
(2.29) 
onde: 
Vn – força cortante nominal; 
Vp – força resistente ao escoamento da alma por cisalhamento; 
Vcr – resistência crítica da alma ao esforço cortante; 
D – altura da alma do perfil; 
tw – espessura da alma; 
fyk – tensão de escoamento característica do aço. 
De acordo com a AASTHO-LRFD (2012), a capacidade de resistência aos 
esforços cisalhantes em vigas enrijecidas é dada por: 
 
𝑉𝑛 = 𝑉𝑝
(
 
 
 
𝐶 +
0,87. (1 − 𝐶)
√1 + (
𝑑0
𝐷 )
2
)
 
 
 
 
 
(2.30) 
Se: 
 2𝐷. 𝑡𝑤
𝑏𝑓𝑐 . 𝑡𝑓𝑐 + 𝑏𝑓𝑡 . 𝑡𝑓𝑡
≤ 2,5 
(2.31) 
Caso contrário: 
 
𝑉𝑛 = 𝑉𝑝
(
 
 
 
𝐶 +
0,87. (1 − 𝐶)
√1 + (
𝑑0
𝐷 )
2
+
𝑑0
𝐷)
 
 
 
 
 
(2.32) 
sendo C: 
 
21 
 
 
𝐶 = 1 , 𝑠𝑒
𝐷
𝑡𝑤
≤ 1,12√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦
 (2.33) 
 
 
 
𝐶 =
1,12
𝐷
𝑡𝑤
√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦
 , 𝑠𝑒 1,12√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦
<
𝐷
𝑡𝑤
≤ 1,40√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦
 
 
(2.34) 
 
 
 
𝐶 =
1,57
𝐷
𝑡𝑤
√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦
 𝑠𝑒 
𝐷
𝑡𝑤
> 1,40√
𝐸. 𝑘
𝐹𝑦
 
 
(2.35) 
 
com: 
 
𝑘 = 5 +
5
(
𝑑0
𝐷 )
2 (2.36) 
 
onde: 
D – altura da alma do perfil; 
k- coeficiente de flambagem por cisalhamento; 
d0 – distância longitudinal entre os enrijecedores transversais; 
Vp – resistência ao escoamento por cisalhamento; 
𝑏𝑓𝑐𝑒 𝑡𝑓𝑐 – largura e espessura da mesa comprimida, respectivamente; 
𝑏𝑓𝑡𝑒 𝑡𝑓𝑡 – largura e espessura da mesa tracionada, respectivamente. 
Logo, deve ser estudada a necessidade de enrijecedores para o melhor 
aproveitamento das seções. 
 
2.7 Efeito da retração do concreto: 
O efeito da retração do concreto gera esforços em vigas mistas (MASON, 
1976). O encurtamento da laje conectada à viga de aço (que não sofre o mesmo 
efeito), resulta em uma força excêntrica dada por: 
 
22 
 
 𝐹𝑟𝑒𝑡 = 𝜀𝑐𝑠. 𝐸𝑐 . 𝐴𝑐 
 (2.37) 
onde: 
𝜀𝑐𝑠- deformação específica de retração dada pela norma NBR6118:2014; 
𝐸𝑐- módulo de elasticidade tangente do concreto 
𝐴𝑐-área da laje de concreto da mesa colaborante do concreto 
A resultante dessa força atua no centro da seção de concreto e por ser 
excêntrica, gera um momento fletor positivo na viga, mesmo sendo isostática. O 
momento fletor é dado por: 
 𝑀𝑟𝑒𝑡 = 𝐹𝑟𝑒𝑡 . 𝑧 
 (2.38) 
onde z é a distância entre o centróide da seção de concreto e o centróide da seção 
mista. 
 Não há indicação de norma e na literatura técnica, porém admite-se que se 
trata de um efeito de menor importante, podendo ser desprezado. 
2.8 Determinação de flecha e contra flecha 
Em vigas mistas não escoradas, a flecha final é dada pela soma das várias 
flechas resultantes de cada etapa de carregamento, considerando as respectivas 
características da viga. Essa flecha é limitada de acordo com as exigências 
normativas. Para reduzir a flecha final, pode ser introduzida uma contra flecha na viga 
metálica para anular as deformações devidas às cargas permanentes de peso próprio 
e elementos auxiliares, como pavimento e guarda rodas. 
As flechas nas diferentes fases de carregamento são: 
a) Flecha devida ao peso próprio da viga e o peso da laje. Nessa etapa deve ser 
considerada apenas a rigidez da viga de aço; 
b) Flecha devida à segunda etapa de carregamento (guarda rodas, pavimentação 
e etc.) Nessa etapa, consideram-se as características da viga mista e os efeitos das 
cargas de longa duração; 
c) Flecha devida às cargas móveis. Nessa etapa, devem ser consideradas as 
características da viga mista para cargas de curta duração; 
d) Flecha devida à retração do concreto. 
 
23 
 
2.9 Verificação da fadiga 
Como em pontes a viga está submetida a um carregamento acidental 
dinâmico, a variação de tensão pode resultar na ruptura por fadiga de seus elementos 
estruturais, mesmo que as tensões atuantes sejam inferiores às admitidas pelo 
material. 
A variação máxima de tensão permitida é função do número de ciclos previstos 
para determinada estrutura. Em pontes, pode-se considerar um número de ciclos bem 
elevado. De acordo com a norma NBR8800:2008, a variação de tensão máxima 
admissível depende do tipo de perfil e das ligações entre chapas. 
A NBR8800:2008 indica valores limites para casos usuais em estruturas de 
aço, conforme mostra a Figura 12. 
 
Figura 12- Limites de tensão devidos à fadiga (NBR8800:2008) 
A flutuação de tensão é dada pela diferença entre a tensão máxima e mínima 
na seção devido à carga móvel. 
 
 
24 
 
3. Protensão 
3.1 Aspectos históricos 
O conceito da protensão é de produzir esforços opostos aos gerados por 
cargas usuais atuantes na estrutura. 
A aplicação de uma compressão prévia para melhorar o comportamento de 
certa estrutura é antiga. Por exemplo, em barris de madeira, onde o líquido exerce 
pressão na parede, gerando esforços radiais, são colocados anéis metálicos para 
combater esse efeito, ficando, assim, tensionados, aplicando compressão radial no 
barril (HANAI, 2005). A Figura 13 ilustra tal efeito. 
 
Figura 13 – Exemplo de estrutura pré-tensionada (Adaptado de Hanai, 2005) 
A pré-tensão aplicada em peças de concreto foi proposta pela primeira vez por 
P. H. Jackson em São Francisco, EUA (LEONHARDT, 1983). O autor cita que no ano 
de 1888 W. Dourung apresentou uma patente de protensão e em 1906 M. Knoenen 
realizou o primeiro ensaio com aço tracionado, ambos em Berlim. Nos anos seguintes 
outras patentes e ensaios foram realizados, porém foram ineficientes por não 
considerarem problemas como retração e fluência do concreto e a relaxação do aço. O 
emprego de aço de alta resistência com altas tensões foi reconhecido pelo americano 
R.H. Dill em Nebraska, EUA. (LEONHARDT, 1983) 
 
25 
 
 Já o primeiro trabalho mais consistente sobre a protensão em concreto foi 
apresentado por Eugene Freyssinet em 1928. A primeira obra em concreto 
protendidofoi a ponte sobre o Rio Marne em Luzancy, França, concluída após o 
termino da segunda guerra mundial, com vão de 74m formada por um pórtico bi-
articulado com tensão no aço superior a 400 N/mm2. (LEONHARDT, 1983). 
 
Figura 14 – Ponte sobre o rio Marne 
(http://wp.efreyssinet-association.com/wp-content/uploads/O2_luzancy5.jpg (Acesso 
10 de Fevereiro 2016)) 
 A primeira ponte com superestrutura em viga continua protendida foi a Ponte 
de Sclayn, na Bélgica. Construída em 1948, com projeto desenvolvido por Gustave 
Magnel com dois vãos em vigas tipo caixão de 62m (SCHLAICH; SCHEEF, 1982). 
No entanto, a protensão em estruturas de aço foi usada pela primeira vez em 
1837, nos EUA por Whipple, combinando os cabos protendidos aos elementos 
tracionados de uma treliça. Apenas a partir da década de 50 foram publicados artigos 
mais consistentes sobre a combinação de protensão e estruturas de aço (TROITSKY,1990). 
Hoadley, em 1963, pesquisou sobre vigas biapoiadas usando cabos com 
excentricidade constante ao longo do comprimento da viga, Strass desenvolveu um 
estudo experimental em vigas biapoiadas em 1964 e Regan analisou os efeitos das 
lajes e protensão em estruturas mistas em 1966 (AYYUB; SOHN; SAADATMANESH, 
1990). 
 
26 
 
Pode ser observado a partir do que foi exposto que a protensão em aço e 
concreto surgiram paralelamente. Porém, hoje, o concreto protendido é muito mais 
usual que a protensão em estruturas em aço. Troitsky (1990) justifica esse fato por ser 
o aço o material predominante em construções de pontes, já que o concreto armado 
não era competitivo para grandes e médios vãos. As estruturas metálicas protendidas 
reduziriam a quantidade de material utilizado na ponte e não teria vantagem comercial 
para a estrutura metálica. Já o desenvolvimento da técnica de protensão em estruturas 
em concreto viabilizou pontes de concreto de grandes vãos, tornando seu uso mais 
competitivo. 
 
3.2 Princípios da protensão 
Em elementos fletidos de concreto armado ou aço, usualmente são solicitadas 
apenas quando a peça começa a se deformar. Em elementos escorados, por exemplo, 
apenas após a retirada do escoramento que as fibras dessas peças passam a resistir 
aos esforços solicitantes, pois o escoramento não permite sua deformação. O mesmo 
não se aplica a peças protendidas. Quando tracionadas por macacos hidráulicos, a 
armadura longitudinal, constituída por aços de protensão, comprime a peça e a própria 
armadura provoca deformação estrutural, fazendo com que a peça seja solicitada 
apenas por esforços internos. Devido a esse fato, a protensão é comumente chamada 
de armadura “ativa”. 
 Em estruturas de concreto, a protensão busca melhorar a deficiência de baixa 
resistência à tração do material, visto que a protensão provoca compressão em 
regiões onde o concreto seria tracionado, fazendo com que essas tensões sejam 
reduzidas ou até anuladas. Isso faz com que o material apresente um melhor 
desempenho, tenha economia no uso do material e possa receber maiores 
solicitações. 
 A Figura 15 apresenta as tensões no concreto resultante da protensão 
excêntrica em uma viga de concreto armado submetida a momentos positivos. No 
caso, a protensão faz com que não existam mais tensões de tração no concreto. 
 
27 
 
 
Figura 15 – Princípio da protensão em concreto (NELSEN, 2013) 
 Por sua vez, em estruturas metálicas a protensão atua de forma semelhante, 
reduzindo a tração em banzos tracionados e fazendo com que as duas mesas atinjam 
tensões máximas admissíveis, possibilitando um maior aproveitamento da seção, 
economia de material e controle de deformações (TROITSKY, 1990). 
 A protensão em vigas de aço, como mostrado na Figura 16, busca reduzir as 
tensões causadas pelos carregamentos usuais. Diferente da viga de concreto, na viga 
metálica não é desejável que as tensões sejam somente de compressão. 
 
Figura 16 – Princípio da protensão em vigas de aço (NELSEN, 2013) 
 
3.3 Classificação dos sistemas de protensão 
A protensão pode ser classificada de acordo com o seu sistema construtivo, 
posição dos cabos, do modo de trabalho como sistema estrutural. 
O cálculo das estruturas pode variar dependendo do sistema de protensão 
adotado. 
 
 
28 
 
3.3.1 Classificação quanto à aderência 
 
a) Sistema de prontensão aderente 
No sistema de protensão aderente, não há o deslocamento relativo entre a 
cordoalha e a estrutura. Usualmente, em estruturas de concreto com protensão 
interna, é injetada calda de cimento nas bainhas corrugadas, após a protensão, 
garantindo a aderência entre os materiais. As bainhas são posicionadas no interior do 
elemento estrutural previamente, antes da concretagem das peças. 
 Segundo Leonhardt (1983), a protensão aderente provoca uma melhor 
distribuição das tensões e melhora a segurança à ruptura (pois a falha de um dos 
elementos não resultaria em falha total da protensão naquele elemento), segurança a 
incêndios e principalmente melhora a proteção quanto à corrosão. 
 
b) Sistema de protensão não aderente 
Em um sistema de protensão não aderente, a armadura é livre para deslocar 
ao longo de seu comprimento, estando conectadas na estrutura através das 
ancoragens. Esse tipo é aplicável tanto ao concreto quanto em peças metálicas, pois 
pode ser feita tanto interna quanto externamente a peça protendida. O tipo mais 
comum desse sistema é o de monocordoalha engraxada com bainha plástica. 
A protensão não aderente tem vantagens construtivas, pois é de mais fácil 
instalação e não necessita da injeção de calda de cimento ao final da protensão. A 
própria cordoalha, envolvida pelo tubo de polietileno ou polipropileno e uma proteção 
de graxa, atende a necessidade de proteção anticorrosão. 
A não aderência dos cabos no elemento estrutural faz com que o seu cálculo 
seja mais complexo do em peças com cordoalhas aderentes. No caso da cordoalha 
engraxada não há compatibilidade de deformações, ou seja, a deformação da peça 
protendida não é necessariamente igual à deformação dos cabos. A compatibilidade 
de deformações é hipótese fundamental para a teoria do concreto armado e 
protendido, logo os métodos de cálculos convencionais não se aplicam nesse caso 
(BARBIERI; GASTAL, 2002). 
 
 
29 
 
3.3.2 Classificação quanto à posição dos cabos 
 
a) Protensão interna 
A protensão interna é o caso mais comum em vigas de concreto armado, 
podendo ser com aderência inicial (pré-tração), aderência posterior (pós-tração) ou 
sem aderência (pós-tração). 
Em vigas com aderência inicial, as armaduras ativas com o uso de cordoalhas 
normalmente retas, por facilidade de execução, são tensionadas antes das 
concretagens das peças, utilizando apoios independentes. A transferência da 
protensão só é realizada após o endurecimento do concreto e as armaduras são 
liberadas dos apoios, comprimindo a peça. Nesse caso, a ancoragem é feita apenas 
pela aderência da armadura na peça. 
Em peças de concreto com armadura pós-tracionadas, como mostrada na 
Figura 17, com cabos internos, a tração nos cabos só é realizada após o 
endurecimento do concreto. 
Em ambos os casos, os cabos com protensão interna apresentam uma 
excentricidade em relação ao centroide da seção que não varia conforme a 
deformação. Os cabos são mais protegidos das ações externas como fogo, corrosão 
e ações de vandalismo. Porém, a inspeção e a manutenção dessas estruturas são 
mais sofisticadas. 
 
Figura 17 – Protensão interna em vigas de concreto 
(http://www.impactosul.com.br/wp-content/uploads/2012/12/imp_002_12-
interna_11.jpg (acessada em 10 de fevereiro de 2016)) 
 
30 
 
b) Protensão externa 
A protensão externa pode ser realizada tanto em peças de concreto quanto em 
aço. São importantes e muito usadas em reforços estruturais, podendo melhorar a 
capacidade de carga da estrutura, sem a necessidade de grandes intervenções. 
A técnica pode ser caracterizada por cabos fora da área física ocupada pela 
seção transversal da estrutura. As forças são transmitidas para a estrutura apenas nos 
pontos de ancoragem e nos desviadores, não existindo aderência entre os elementos 
de protensão e a estrutura. (REIS, 2003). 
A protensão externa pode apresentar variação na excentricidade das 
cordoalhas, em relação ao centroide da estrutura, com o aumento das deformações. 
Em cabos retos e sem desviadores, a variação da excentricidade é equivalente a 
deformação vertical da viga na seção. 
Como pode ser observada na Figura 18, a variação da excentricidade pode 
diminuir o esforço de momento fletor causado pela protensão, causando efeitosde 
segunda ordem. Isso implica na redução da carga última das peças. 
 
 
 
Figura 18- Variação da excentricidade de uma cordoalha externa com e sem carga 
(http://bibing.us.es (acesso em 10 de fevereiro de 2016)) 
 Com o objetivo de combater esses efeitos, é vantajoso o uso de desviadores, 
como apresentado na Figura 19. Os desviadores mudam a trajetória do cabo e 
minimizam os efeitos de segunda ordem. 
 
31 
 
 
Figura 19 – Desviador metálico 
(http://web.set.eesc.usp.br (acesso em 10 de fevereiro de 2016)) 
 Para efeito de cálculo, a protensão externa pode ser avaliada como cabos 
internos não aderentes, desde que sejam desprezadas as forças de atrito nos 
desviadores e os efeitos de segunda ordem. (ALMEIDA, 2001) 
As Vantagens do sistema de protensão externa são: 
 A ausência de bainhas facilita o processo construtivo, gerando agilidade na 
construção, além de possibilitar a redução das seções transversais, resultando em 
elementos estruturais mais leves e eficientes; 
 As perdas de protensão por atrito são reduzidas, podendo até ser desprezadas 
no caso de cordoalhas engraxadas em tubos de polietileno; 
 Os cabos externos têm traçados mais simples, assim como sua verificação 
após a instalação; 
 Por serem externos, os cabos são facilmente inspecionáveis e podem ser 
reprotendidos ou até substituídos sem interromper a utilização da estrutura. 
 
As desvantagens do sistema de protensão externa são: 
 Os cabos são expostos ao ambiente, estando sujeitos a incêndios, vandalismo 
e a agressividade dos elementos químicos que causam corrosão e deterioração do 
material; 
 As cordoalhas sofrem vibrações quando seu comprimento livre é muito grande, 
logo precisam de um desenho cuidadoso e presença de desviadores; 
 Os desviadores são responsáveis por transmitir os esforços a estrutura, assim 
sua instalação deve ser feita com muita precisão para evitar falhas ou danos na 
estrutura; 
 
32 
 
3.4 “Stress Corrosion” 
Um tipo específico de corrosão que ocorre em cabos tensionados é conhecida 
na literatura técnica como “stress corrosion”. Lobo Carneiro (1974), define como a 
corrosão penetrante e extremamente rápida, da superfície para o interior da cordoalha 
na forma de fissuras finas. Esse fenômeno é localizado e se trata de um processo 
eletroquímico com origem nas forcas eletromotrizes criadas por diferença na tensão 
mecânica entre áreas muito próximas de uma mesma massa metálica. No “stress 
corrosion” não há a formação de ferrugem, existe a propagação de fissuras 
provocadas pelo contato de água com sais em aço sob tensão. A ruptura dos cabos 
nesse tipo de falha, ocorre sem patamar de escoamento do material. 
A fim de contornar o problema da corrosão sob tensão, deve ser usado um aço 
não sensível a essa ação e procurar impermeabilizar a armadura para que não haja 
contato com a água. 
 
3.5 Perdas de protensão 
As forças aplicadas nos cabos de protensão estão suscetíveis a perdas 
instantâneas e progressivas, motivadas por diversos fatores, sendo esses: 
 Perdas por atrito entre os cabos e a bainha (instantânea) 
 Perdas por encunhamento (instantânea) 
 Perdas por deformação instantânea 
 Perdas de protensão devido a retração e fluência do concreto (progressivas) 
 Perdas pela relaxação dos cabos (progressivas) 
 
3.5.1 Perdas por atrito 
As perdas por atrito podem ser muito significativas em cabos longos ou com 
grande variação angular dos mesmos. 
 
33 
 
A perda por atrito faz com que a força do cabo não seja uniforme ao longo do 
comprimento da peça. A NBR6118:2014 considera a perda em função da posição de 
acordo com a expressão: 
 ∆𝑃 = 𝑃0(1 − 𝑒
−(𝜇∑𝛼+𝑘𝛼𝑥)) 
 (3.1) 
onde: 
Po - força aplicada no cabo pelo macaco; 
ΔP(x) – perda da força na posição x devida ao atrito; 
x- distância entre a seção avaliada e a ancoragem 
∑α – soma do módulo dos ângulos de desvios do cabo em radiano entre a 
seção de aplicação da protensão e onde a perda é calculada. 
μ – coeficiente de atrito entre cabo e bainha 
k – coeficiente de perda por metro devido à curvatura do cabo (usualmente 
0,01 μ) 
3.5.2 Perdas por encunhamento 
A perda por encunhamento ocorre devido à acomodação do cabo de protensão 
na cunha de ancoragem. Pois, após ser solto pelo macaco, o cabo sofre um 
encurtamento até ser presa pela cunha. Esse encurtamento provoca uma perda na 
força de protensão na região próxima aos apoios. 
A Figura 20 mostra que o retorno do cabo devido ao recuo das ancoragens, 
encontra resistência de atrito equivalente ao que atua na puxada do cabo, mas no 
sentido contrário. A influência da perda de encunhamento é restrito a uma região da 
viga. A perda é grande próximo à ancoragem e reduzida ao longo do comprimento. 
 
Figura 20 – Tensão ao logo do cabo antes e após a ancoragem (CARVALHO, 2012) 
 
34 
 
Segundo Carvalho (2012), analisando um trecho dx do cabo tem-se: 
 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
 
(3.2) 
 𝜀 =
∆(𝑑𝑥)
𝑑𝑥
 
 
(3.3) 
 
Sendo 𝜎 a perda de protensão devido ao encunhamento e ∆(𝑑𝑥) o 
encurtamento do cabo. Substituindo-se (3.3) em (3.2), tem-se: 
 
𝜎 =
∆(𝑑𝑥)
𝑑𝑥
𝐸 
 
(3.4) 
Rearranjando-se a expressão e integrando-a, encontra-se o valor do 
encurtamento do cabo causado pela ancoragem. 
 
∫ ∆(𝑑𝑥)
𝐿
0
=
1
𝐸
∫ 𝜎𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
(3.5) 
O recuo da ancoragem é obtido experimentalmente e usualmente fornecido 
pelo fabricante. O valor médio usual é de 6mm. 
3.5.3 Perdas por deformação instantânea 
Ao se protender um cabo, a estrutura comprimida sofre um encurtamento. Em 
peças com vários cabos, esse encurtamento faz que os cabos, previamente puxados, 
se afrouxem. Assim, uma protensão feita em várias etapas faz com que os cabos 
percam parte da sua tensão, sendo o primeiro o que sofre maior perda e o último 
tenha perda nula. 
3.5.4 Perdas diferidas 
As perdas diferidas, ou perdas progressivas, dependem de fenômenos como 
relaxação do aço, retração e deformação lenta do concreto. As deformações dadas 
por esses fenômenos podem ser calculadas separadamente. Porém, deve ser levada 
em conta a interação dessas causas onde ocorre variação das deformações com o 
tempo (CARVALHO, 2012). A norma NBR6118:2014 prevê um procedimento de 
 
35 
 
cálculo dessas perdas, desde que haja compatibilidade de deformações entre 
armadura e a peça protendida e que o concreto esteja no Estádio 1. 
No caso de protensão não aderente, as perdas diferidas seriam calculadas 
para a seção das ancoragens e, a favor da segurança, seria suposta constante em 
toda peça estrutural (CARVALHO, 2012). 
a) Retração 
A retração ocorre no concreto por diminuição do volume causada pela perda de 
água no concreto. A deformação sofrida depende da umidade relativa, temperatura 
ambiente, dimensões da peça (área exposta) e da relação água/cimento. 
b) Deformação Lenta 
A deformação lenta é caracterizada pelo aumento da deformação ao longo do 
tempo quando o concreto é submetido a um carregamento constante. Logo, as ações 
acidentais não causam fluência. A norma NBR6118:2014 apresenta uma expressão 
para o cálculo da fluência: 
 𝜀𝑐𝑐(𝑡, 𝑡0) =
𝜎(𝑡0)
𝐸𝑐
𝜑(𝑡, 𝑡0) 
 
(3.6) 
onde: 
𝜎(𝑡0)- tensão aplicada ao concreto; 
𝐸𝑐𝑠- Módulo de elasticidade secante do concreto em 28 dias 
𝜑(𝑡, 𝑡0)- Coeficiente de fluência 
 
c) Relaxação do aço 
É uma propriedade do material na qual a tensão com o tempo é reduzida pelo 
efeito do alongamento. Se o alongamento for mantido constante, tem-se a relaxação 
pura. Porém, como é combinada com outros efeitos, como a retração e a fluência, a 
perda real é menor que a calculada de maneiraindependente. A relaxação depende 
das propriedades do material e da tensão que a armadura está submetida. A 
expressão (3.7) indica o cálculo da relaxação para um dado tempo t. 
 
𝜓(𝑡, 𝑡𝑜) =
∆𝜎𝑝𝑟(𝑡, 𝑡0)
𝜎𝑝𝑡
 
 
(3.7) 
 
36 
 
onde: 
𝜓(𝑡, 𝑡𝑜)- coeficiente de relaxação do aço 
∆𝜎𝑝𝑟(𝑡, 𝑡0)- perda de tensão por relaxação pura no intervalo de tempo de t a t0 
𝜎𝑝𝑡- tensão de protensão considerando as perdas imediatas 
 
3.6 Análise de estruturas protendidas 
Apresenta-se nessa seção um método de cálculo das solicitações causadas 
em decorrência dos esforços introduzidos pela protensão. 
Para a determinação dos esforços como momento fletor, torçor, cortante e axial 
são necessários parâmetros da estrutura como o material utilizado, geometria das 
seções, condições de contorno, traçado dos cabos e força de protensão aplicada. 
A análise de estrutura protendida é baseada em um sistema auto-equilibrado 
de forças externas. 
A Figura 21 apresenta o caso de uma viga isostática, retilínea com cabo de 
excentricidade constante: 
 
Figura 21- Protensão com excentricidade constante 
De acordo com o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 22, a 
compressão é igual a força de protensão e o momento é igual o produto da força de 
protensão pela excentricidade. Conclui-se que as os esforços podem ser determinados 
apenas considerando a força de protensão na seção em análise. 
 
37 
 
 
Figura 22- Diagrama de corpo livre 
A variação da excentricidade faz com que exista além da compressão axial e 
do momento fletor, um esforço cisalhante. A força introduzida na estrutura pode ser 
decomposta na componente normal, que gera momento fletor, e uma componente que 
gera esforço cortante, como mostrado na Figura 22. 
 
Figura 23- Protensão com excentricidade variável 
Diagrama de corpo livre: 
 
Figura 24- Diagrama de corpo livre 
 De acordo com apresentado na Figura 24, o momento fletor pode ser calculado 
em cada seção de acordo com as expressões: 
 
∑𝑀0 = 0 → 𝑀(𝑥) + 𝑃. cos𝛼 . 𝑒𝑎 + 𝑃. sin𝛼 . 𝑥 = 0 
 
(3.8) 
 
tan𝛼 =
𝑒𝑥 − 𝑒𝑎
𝑥
 → sin𝛼 =
𝑒𝑥 − 𝑒𝑎
𝑥
. cos 𝛼 
 
(3.9) 
 
38 
 
Logo: 
 𝑀(𝑥) = −𝑃. cos𝛼 . 𝑒𝑥 
 
(3.10) 
Sendo assim, a força de protensão pode ser considerada como atuando 
isoladamente produzindo os seguintes esforços: 
 
𝑁(𝑥) = 𝑃. cos𝛼 
 
(3.11) 
 
𝑄(𝑥) = 𝑃. sin 𝛼 
 
(3.12) 
 
𝑀(𝑥) = −𝑃. cos𝛼 . 𝑒𝑥 
 
(3.13) 
As forças de protensão, em estruturas isostáticas, produzem apenas esforços 
internos na estrutura, não despertando reações de apoio. E em vigas com cabos com 
traçados poligonais na região dos desviadores, as mudanças súbitas na direção do 
cabo geram forças pontuais na estrutura, como pode ser verificado pelas equações de 
equilíbrio. 
 
Figura 25- Protensão com cabos poligonais 
A partir de um equilíbrio nodal das cargas no ponto onde há mudança da 
direção dos cabos, pode ser verificado que as forças concorrentes em um ponto 
geram uma força resultante. Em estruturas de cabos poligonais, para a análise 
estrutural, os cabos podem ser substituídos por um sistema de forças equivalentes a 
protensão, de acordo com as expressões: 
 
𝐹𝑥 = 𝑃 cos𝛼𝑏 − 𝑃 cos𝛼𝑎 
 
(3.14) 
 
𝐹𝑦 = 𝑃 sin𝛼𝑏 + 𝑃 sin𝛼𝑎 
 
(3.15) 
 
𝑀𝑧 = 𝐹𝑥 . 𝑒 
 
(3.16) 
 
39 
 
4. Viga mista protendida 
O presente capítulo apresenta considerações sobre vigas mistas com 
protensão externa e um roteiro de cálculo, considerando as normas brasileiras 
NBR6118:2014 e NBR8800:2008 e estudos apresentados na revisão bibliográfica do 
trabalho. 
Apresenta-se uma adaptação do roteiro de cálculo da NBR8800 para vigas 
mistas de aço e concreto, acrescentando-se os esforços provenientes da força de 
protensão. Faz-se necessária, também, a verificação da estabilidade local e global da 
estrutura, após a inclusão da compressão excêntrica nas vigas proporcionada pelos 
cabos protendidos. 
Como foi mencionado em capítulos anteriores, a norma admite dois tipos de 
dimensionamento para vigas mistas: pela distribuição plástica ou pela distribuição 
elástica das tensões. Em função da esbeltez dos perfis em aço. As seções compactas 
são dimensionadas pela distribuição plástica de tensões. As demais devem ser 
verificadas pela distribuição elástica. A distribuição de tensões depende do método 
construtivo e das etapas de carregamento. 
 
4.1 Premissas adotadas para o dimensionamento 
O trabalho consiste em apresentar a aplicação de protensão em pontes de 
vigas biapoiadas, não compactas, com o uso de cordoalha engraxada de traçado 
poligonal. 
Por se tratar de protensão não aderente, não há transferência de cisalhamento 
longitudinal entre os cabos e a viga, exceto nos pontos de ancoragem. 
Considera-se que a viga mista de aço e concreto protendido é formada por dois 
sistemas paralelos que interagem entre si. Com isso, a viga mista pode ser 
dimensionada da mesma forma que vigas mistas convencionais com a adição dos 
esforços provenientes da protensão. (NUNZIATA, 2004) 
As verificações dos estados limites que devem ser efetuadas são: 
 
 
40 
 
a) Estados limites últimos: 
 Resistência ao momento fletor, força cortante, e interação entre momento fletor 
e força cortante. 
 Estabilidade: flexo-compressão, flambagem distorcional e flambagem local 
 Falha devida aos conectores de cisalhamento 
 
b) Estados limites de serviço 
 Análise de tensões 
 Deformação 
 Fissuração na laje 
 Fadiga do aço 
Para fins de simplificação, o estudo apresentado restringir-se-á a aplicação às 
vigas de pontes usuais biapoiadas, sendo adotadas as seguintes premissas: 
 As vigas de aço apresentam com seção tipo I; 
 Seções não compactas: usualmente para vigas de pontes são usadas vigas 
altas e esbeltas. Por esse motivo, a análise é feita considerando a distribuição elástica 
de tensões na seção; 
 Interação total entre aço e concreto: a compatibilidade de deformação entre os 
dois componentes é dada pelo dimensionamento do número adequado de conectores; 
 Vigas não-escoradas; 
 Viga travada lateralmente: as transversinas não permitem a perda de 
estabilidade global da estrutura; 
 Viga biapoiada: solicitada apenas por momentos fletores positivos; 
 Viga submetida à pós-tração (após o endurecimento da laje de concreto). 
4.2 Influência de métodos construtivos 
Os métodos construtivos podem alterar a distribuição de tensões na viga mista 
de aço e concreto protendido. 
Quanto ao momento de aplicação da protensão, a viga pode ser classificada 
como pré-tracionada ou pós-tracionada. A força de protensão deve ser aplicada após 
o concreto adquirir a resistência necessária para não haver ruptura do material, ou 
seja, quando já houver o comportamento de estrutura mista da seção. 
 
41 
 
A Figura 26 apresenta a distribuição típica de tensões em vigas submetidas a 
momentos fletores positivos com o uso da pré-tração. As etapas de carregamento são 
dadas por: 
a) Viga de aço isolada: 
1. Peso próprio da viga de aço; 
2. Protensão dos cabos de aço; 
3. Peso próprio da laje de concreto; 
4. Incremento na carga de protensão devido ao peso próprio da laje. 
 
b) Viga mista 
 
5. Cargas permanentes (g2: pavimento, recapeamento e guarda rodas): 
Considerando os efeitos de fluência no módulo de elasticidade do concreto. 
6. Cargas móveis (Trem tipo classe 45): Considerando o módulo de elasticidade 
secante do concreto. 
 
 
Figura 26 – Tensões nas diversas fases de carregamento de vigas mistas pré-
tracionadas (NELSEN, 2013) 
A Figura 27 apresenta a distribuição típicade tensões em vigas submetidas a 
momentos fletores positivos com o uso da pós-tração. As etapas de carregamento são 
dadas por: 
a) Viga de aço isolada: 
1. Peso próprio da viga de aço; 
2. Peso próprio da laje de concreto; 
 
 
42 
 
b) Viga mista 
3. Cargas permanentes (g2: pavimento, recapeamento e guarda rodas): 
Considerando os efeitos de fluência no módulo de elasticidade do concreto 
4. Protensão dos cabos de aço; 
5. Cargas móveis (trem tipo classe 45): Considerando o módulo de elasticidade 
secante do concreto. 
 
 
Figura 27- Tensões nas diversas fases de carregamento de vigas mistas pós-
tracionadas (NELSEN, 2013) 
4.3 Força de protensão 
A força inicial de protensão deve causar tensões na viga de aço inferiores à 
tensão admissível, 𝜎𝑦𝑐, e inferiores à tensão que provoque fissuração na laje ou 
excesso de compressão. Essa condição deve ser satisfeita tanto na fase construtiva 
quanto na de utilização. (NUNZIATA, 2004) 
 
4.3.1 Determinação da força de protensão 
Devem ser analisados os limites de tensão de tração e compressão na fibra 
inferior e superior do aço (𝜎𝑦𝑡, 𝜎𝑦𝑐), e na fibra superior do concreto (𝜎𝑐𝑐, 𝜎𝑐𝑡). 
A tensão de protensão 𝜎𝑝0 é calculada conforme prescrito pela norma 
NBR6118:2014. 
 
43 
 
Como as perdas por atrito em cordoalhas engraxadas são muito baixas, para a 
estimativa de número de cabos, as perdas podem ser desprezadas. Já as perdas 
diferidas, para uma avaliação preliminar, podem ser estimadas em 15% da força inicial 
de protensão. 
Os números de cabos devem ser estimados a partir da tensão limite de tração 
e compressão do aço e do concreto (NUNZIATA, 2004). Assim: 
Mesa inferior: 
 - No ato da protensão: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤
𝑀𝑔1
𝑊𝑖
+ 𝐹𝑝0 ×𝑁 (−
1
𝐴𝑚
−
𝑒
𝑊𝑖𝑚
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 
 
(4.1) 
 
- Carregamento total, t=0: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤
𝑀𝑔1
𝑊𝑖
+
𝑀𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓
+
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑖𝑚
+ 𝐹𝑝0 × 𝑁(−
1
𝐴𝑚
−
𝑒
𝑊𝑖𝑚
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 (4.2) 
 
- Carregamento total, t=∞: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤
𝑀𝑔1
𝑊𝑖
+
𝑀𝑔2
𝑊𝑖𝑚𝑓
+
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑖𝑚
+ 𝐹𝑝∞ × 𝑁(−
1
𝐴𝑚𝑓
−
𝑒
𝑊𝑖𝑚𝑓
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 
 
(4.3) 
Mesa superior: 
 
 - No ato da protensão: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠
+ 𝐹𝑝0 × 𝑁(−
1
𝐴𝑚
+
𝑒
𝑊𝑠𝑚
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 
 
(4.4) 
- Carregamento total, t=0: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠
−
𝑀𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓
−
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑠𝑚
+ 𝐹𝑝0 × 𝑁 (−
1
𝐴𝑚
+
𝑒
𝑊𝑠𝑚
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 
 
(4.5) 
- Carregamento total, t=∞: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔1
𝑊𝑠
−
𝑀𝑔2
𝑊𝑠𝑚𝑓
−
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑠𝑚
+ 𝐹𝑝∞ × 𝑁(−
1
𝐴𝑚𝑓
+
𝑒
𝑊𝑠𝑚𝑓
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 
 
(4.6) 
 
 
44 
 
Na laje: 
- No ato da protensão: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤ 𝐹𝑝0 × 𝑁(−
1
𝛼0. 𝐴𝑚
+
𝑒
𝑊𝑐 𝑚
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 
 
(4.7) 
- Carregamento total, t=0: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔2
𝑊𝑐,𝑚𝑓
−
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑐,𝑚
+ 𝐹𝑝0 × 𝑁(−
1
𝛼0. 𝐴𝑚
+
𝑒
𝑊𝑐,𝑚
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 
 
(4.8) 
 
- Carregamento total, t=∞: 
 
𝜎𝑦𝑐 ≤ −
𝑀𝑔2
𝑊𝑐,𝑚𝑓
−
𝑀𝑐𝑚
𝑊𝑐,𝑚
+ 𝐹𝑝∞ × 𝑁(−
1
𝛼∞. 𝐴𝑚𝑓
+
𝑒
𝑊𝑐,𝑚𝑓
) ≤ 𝜎𝑦𝑡 
 
(4.9) 
 
𝐴𝑚 = 𝐴𝑎ç𝑜 +
𝐴𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜
𝛼0
 
 
(4.10) 
 
𝐴𝑚𝑓 = 𝐴𝑎ç𝑜 +
𝐴𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜
𝛼∞
 
 
(4.11) 
onde: 
 e – excentricidade do cabo em relação ao centróide da viga mista; 
 N – número de cordoalhas de protensão; 
 𝐹𝑝0- força de protensão de uma cordoalha considerando perdas iniciais; 
 𝐹𝑝∞- força de protensão de uma cordoalha considerando perdas diferidas; 
𝐴𝑚- área da viga mista homogeneizada para cargas de curta duração; 
𝐴𝑚𝑓- área da viga mista homogeneizada para cargas de longa duração; 
𝛼0- relação entre módulos de elasticidade aço e concreto para cargas de curta 
duração; 
𝛼∞- relação entre módulos de elasticidade aço e concreto para cargas de longa 
duração; 
Mg1 – momento fletor devido ao peso próprio (viga+laje); 
Mg2 – momento fletor devido as demais cargas permanentes; 
Mcm – momento fletor devido a cargas móveis; 
𝑊𝑖𝑚𝑓 – módulo resistente inferior da seção mista para cargas de longa 
duração; 
𝑊𝑠𝑚𝑓 – módulo resistente superior da seção mista para cargas de longa 
duração; 
 
45 
 
𝑊𝑖𝑚 – módulo resistente inferior da seção mista para cargas de curta duração; 
𝑊𝑠𝑚 – Módulo resistente superior da seção mista para cargas de curta duração. 
O número de cabos “N” e a excentricidade “e” são calculados de acordo com a 
Figura 28. 
 
Figura 28 – Excentricidade dos cabos 
A partir do rearranjo das equações, chegam-se aos valores limites para o 
número de cordoalhas nas diversas seções da estrutura. 
 
4.3.2 Força cortante devida à protensão 
Nas vigas de aço protendidas têm-se a força cortante proveniente dos 
carregamentos externos e da força de protensão. Em cabos de traçado poligonal, 
esses esforços são aplicados nos desviadores e seu valor é dado pela componente 
vertical da força de protensão, tal que: 
 
𝑉𝑝 = 𝑃 ∙ sen𝛼 
 
(4.12) 
onde: 
P- força de protensão; 
𝛼- ângulo de inclinação do cabo. 
 
 Conforme apresentado no item 3.6, quando há uma variação da excentricidade 
do cabo, o ângulo formado entre o cabo e a horizontal faz com que a força tenha duas 
componentes. Na Figura 29, pode-se observar que, na composição de vetores de 
força, a força de protensão P corresponde à soma vetorial de uma componente vertical 
com uma componente horizontal. 
 
46 
 
 
Figura 29- Influência da protensão no esforço cortante (NELSEN, 2013) 
A força cortante é calculada nas duas fases de carregamento: no ato da 
protensão (apenas com o carregamento de peso próprio e sobrecarga permanente) e 
na fase de utilização (considerando a sobrecarga acidental) (NUNZIATA, 2004). As 
expressões (4.13) e (4.14) exprimem tais esforços: 
 𝑉𝑅0 = 𝑉0 + 𝛾𝑝. 𝑃. sen𝛼 
 
(4.13) 
 𝑉𝑅1 = 𝑉1 + 𝛾𝑝. 𝑃. sen𝛼 
 
(4.14) 
onde: 
𝑉𝑅0- força cortante resultante no ato da protensão; 
𝑉𝑅1- força cortante resultante na fase de utilização; 
𝑉0- força cortante devido às cargas permanentes (g1+g2); 
𝑉1- força cortante devido às cargas de utilização da estrutura. 
 
4.4 Perdas de protensão 
O capítulo 3 apresentou, de forma generalizada, as possíveis perdas de 
protensão. As perdas de protensão em vigas mistas com o uso de cordoalhas 
engraxadas são muito limitadas, pois o aço não apresenta deformação lenta e 
retração. Embora as cordoalhas sejam engraxadas, as perdas por atrito ocorrem por 
variação angular, conforme indicado no item 9.6.3.3.2.2 da NBR6118:2014. As perdas 
por deformação instantânea na viga também pode ser desconsiderada, pois 
representa uma perda de menos de 1% na força inicial de puxada. No entanto, há uma 
perda localizada na região dos desviadores que deve ser considerada. 
 
 
47 
 
As principais perdas de força de protensão que serão consideradas no presente 
trabalho são: 
a) Perdas por atrito nos desviadores; 
b) Perdas por encunhamento; 
c) Perdas por relaxação dos cabos. 
4.4.1 Perdas por atrito nos desviadores 
A protensão em vigas de aço tem traçados retos com mudanças súbitas de 
direção. As cordoalhas são engraxadas e isso faz com que as perdas parasitas e as 
perdas por atrito entre o cabo e a bainhas sejam insignificantes. 
As perdas acontecem pontualmente, na região dos desviadores. A expressão 
para o cálculo do efeito da perda é semelhante à das perdas por atrito, porém não leva 
em consideração as perdas parasitas (PERLINGEIRO, 2006), tal como mostra a 
expressão a seguir: 
 
 𝑃𝐵 = 𝑃𝐴. 𝑒
−(𝜇.𝛼) 
 
(4.15) 
onde: 
PA é a força de protensão antes