Ondas eletromagnéticas - Resumo

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Resumo – Ondas Eletromagnéticas em Plano Uniforme 
Nome: Daniella Rossoni Leal; RA: 1881280. 
 
 As equações gerais de Maxwell estão diretamente relacionadas com o modelo 
de propagação de ondas eletromagnéticas, possibilitando descrever o seu 
comportamento conforme se distanciam de suas fontes. Para isso, primeiramente, 
deve-se fazer o levantamento teórico, obter as equações da onda tridimensionais para 
os vetores intensidade de campo elétrico e magnético, caracterizando-a. 
 Considerando uma onda em uma região limitada preenchida com um material 
linear, homogêneo e sem perdas, e supondo que a região seja também livre de fontes, 
correntes e cargas. Há apenas equações diferenciais de primeira ordem, onde E e H 
são funções desconhecidas. Portanto, as equações de Maxwell podem ser descritas 
como: 
∇ 𝑥 𝐸 = −𝜇
𝜕𝐻
𝜕𝑡
 (𝐼) 
∇ 𝑥 𝐻 = 𝜀
𝜕𝐸
𝜕𝑡
 (𝐼𝐼) 
∇ . 𝐸 = 0 (𝐼𝐼𝐼) 
∇ . 𝐻 = 0 (𝐼𝑉) 
 Recombinando as variáveis E e H é possível obter equações diferenciais 
parciais de segunda ordem. Essas são equações da onda de fonte tridimensional para 
os vetores intensidade de campo magnético e elétrico respectivamente: 
∇2𝐻 − 𝜀𝜇
𝜕2𝐻
𝜕𝑡2
= 0 (𝑉) 
∇2𝐸 − 𝜀𝜇
𝜕2𝐸
𝜕𝑡2
= 0 (𝑉𝐼) 
 A vantagem da utilização destas equações de onda está em que para cada 
uma delas, há uma única incógnita. Porém, isso não as torna independentes, já que 
ambas foram obtidas através das mesmas equações. Qualquer solução para o 
conjunto completo das equações de Maxwell satisfaz as equações da onda. 
Para ondas de frequência angular 𝜔, é feita a conversão das equações em seus 
equivalentes complexos, sendo elas denominadas de equação de Helmholtz para 
campo magnético e campo elétrico. Onde 𝛽 é o coeficiente de fase: 
 ∇2𝐻 + 𝛽2𝐻 = 0 (𝑉𝐼𝐼) 
∇2𝐸 + 𝛽2𝐸 = 0 (𝑉𝐼𝐼𝐼) 
Agora, considerando uma distribuição arbitrária, na presença de rápidas 
variações de correntes e cargas ainda no mesmo meio. A superposição de ondas 
elementares proveniente de uma distribuição distante das fontes, pode ser substituída 
por uma onda esférica equivalente. Por exemplo, no terminal recepção de uma ligação 
wireless, a frente de onda esférica aparenta ser parte de uma onda plana, isto é, a 
frente de onda é uma esfera de raio infinito. E a energia eletromagnética é recebida 
apenas em uma pequena porção plana, chamada de abertura de recepção, região em 
que os campos são os mesmos em qualquer ponto. Tal aproximação permite uma 
analisa mais simples também em outros meios, lidando apenas com ondas planas 
uniformes. 
Ondas planas podem ser descritas utilizando coordenadas retangulares. Se os 
eixos forem orientados de modo com que a direção da propagação das ondas esteja 
contido no eixo z, então o vetor intensidade de campo elétrico da onda em qualquer 
instante de tempo será constante em cada plano perpendicular ao eixo z, ou seja, E é 
dependente apenas de z e do tempo. Um vetor intensidade campo elétrico que está 
inteiramente em um plano perpendicular ao eixo z, por exemplo, e permitindo-se a 
mudança na posição dos demais eixos, tal que E esteja direcionado ao longo de 
qualquer um deles, é descrito da seguinte forma: 
𝐸 = 𝐸𝑥(𝑧, 𝑡)�̂� 
A equação acima implica dizer que o eixo x foi o escolhido para a representação de 
E. 
𝜕2𝐸𝑥
𝜕𝑧2
− 𝜀𝜇
𝜕2𝐸𝑥
𝜕𝑡2
= 0 (𝐼𝑋) 
Está equação é conhecida como equação da onda unidimensional para E. 
 O campo elétrico de uma onda plana uniforme, é denotado por: 
𝐸𝑥 = 𝑓(𝑡 − 𝑧/𝑐) (𝑋) 
Onde 𝑓(∙) é uma função duas vezes diferenciável arbitrária. Utiliza-se a equação 𝐼 
para encontrar a solução do vetor intensidade do campo magnético da onda, 
resultando na seguinte equação: 
𝐻 = 𝐻𝑦(𝑧, 𝑡)�̂� 
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑧
= −𝜇
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑡
 (𝑋𝐼) 
 Manipulando as equações chega-se a equação de campo magnético de uma 
onda plana uniforme: 
𝐻𝑦 =
1
𝜇𝑐
𝑓 = √
𝜀
𝜇
𝑓(𝑡 − 𝑧/𝑐) (𝑋𝐼𝐼) 
 Com base nas equações obtidas, campos elétricos e magnéticos uniformes em 
planos perpendiculares à direção de propagação da onda, pertencem a esses planos 
e são perpendiculares entre si e à direção de propagação. As variações no espaço e 
no tempo dos campos elétricos e magnéticos são iguais, isto é, tanto E como H são 
propagados uniformemente ao longo de z, com máximos e mínimos nos mesmos 
pontos no espaço. O produto vetorial entre estas duas grandezas resulta na direção 
de propagação da onda. 
 As equações anteriores também permitiram com que se chegasse a equação 
de proporcionalidade entre o campo elétrico e o campo magnético, e à equação da 
impedância intrínseca de um meio, sendo elas, respectivamente: 
𝐸
𝐻
= η (𝑋𝐼𝐼𝐼) 
 
η = √
𝜇
𝜀
 (𝑋𝐼𝑉) 
 Utilizando as relações entre campo elétrico e magnético, tem-se: 
𝐻 =
1
η
�̂� 𝑥 𝐸 e 𝐸 = η𝐻 𝑥 �̂� (𝑋𝑉) 
Onde �̂� é o vetor unitário que define a direção da propagação da onda. 
 A densidade de energia magnética e elétrica instantâneas de uma onda plana 
é distribuída por igual entre os campos elétricos e magnéticos: 
𝑤𝑒 =
1
2
𝜀𝐸2 (𝑋𝑉𝐼) 
𝑤𝑚 =
1
2
𝜇𝐻2 =
1
2
(
𝐸
η
)
2
=
1
2
𝜀𝐸2 (𝑋𝑉𝐼𝐼) 
Portanto, a densidade de energia da onda eletromagnética total é: 
𝑤𝑒𝑚 = 𝜀𝑓
2 (𝑡 −
𝑧
𝑐
) (𝑋𝑉𝐼𝐼𝐼) 
 
 Em casos de variações de harmônica no tempo, a função 𝑓(𝑡′) nas equações 
𝑋 e 𝑋𝐼𝐼, adquire a seguinte forma: 
𝐸𝑥 = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡
′ + 𝜃0) = 𝐸0√2𝑐𝑜𝑠[𝜔(𝑡 − 𝑧/𝑐) + 𝜃0] (𝑋𝐼𝑋) 
Onde 𝐸𝑚 é a amplitude; 𝐸0 o valor rms; 𝜃0 a fase para um instante t=0 no plano z=0; 
𝜔 é a frequência angular; 
Deste modo: 
𝐸𝑥 = 𝐸0√2 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃0) (𝑋𝑋) 
𝐻𝑦 =
𝐸0
η
√2 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃0) (𝑋𝑋𝐼) 
 O termo “−𝛽𝑧” é consequência de um retardo de tempo dos campos. Além 
disso, nota-se que H e E estão em fase em cada ponto do espaço. O período é o 
comprimento de onda, a distância entre dois planos adjacentes transversais cujas 
intensidades de campo estão em fase com relação uns aos outros. Qualquer ponto 
em que a fase for constante, a onda se deslocará para a direita com uma velocidade 
𝑐 =
𝜔
𝛽
. Portanto, a velocidade de fase da onda, dada em m/s, é: 
𝑣𝑝 =
𝜔
𝛽
 (𝑋𝑋𝐼𝐼) 
 Realizando a conversão no tempo complexa para as expressões nas equações 
𝑋𝑋 e 𝑋𝑋𝐼: 
𝐸𝑥 = 𝐸0𝑒
−𝑗𝛽𝑧; 𝐸0 = 𝐸0𝑒
𝑗𝜃0; 𝐻𝑦=
𝐸0
η
𝑒−𝑗𝛽𝑧 (𝑋𝑋𝐼𝐼𝐼) 
Onde 𝐸0 é a intensidade do campo elétrico rms complexa da onda no plano z=0. E o 
fator de propagação de fase 𝑒−𝑗𝛽𝑧 indica o curso dos campos correspondentes ao 
longo do eixo z com a velocidade 𝑐. 
 As densidades de energia elétrica e magnética média no tempo das ondes 
definidas pelas equações anteriores, são descritas como: 
(𝑤𝑒)𝑚𝑒𝑑 =
1
2
𝜀𝐸²0 𝑒 (𝑤𝑚)𝑚𝑒𝑑 =
1
2
𝜇𝐻²0 (𝑋𝑋𝐼𝑉) 
E a densidade de energia eletromagnética média de tempo total da onda é: 
(𝑤𝑒𝑚)𝑚𝑒𝑑 = 𝜀𝐸
2
0 = 𝜇𝐻
2
0 (𝑋𝑋𝑉) 
 A razão no tempo com que a energia eletromagnética flui através do espaço 
transportada pela onda é descrita pelo vetor de Poynting associado, ele representa a 
densidade direcional do fluxo de energia (quantidade de energia transferida por 
unidade de área [𝑊. 𝑚−2]) . Coincide com a direção da propagação da onda, e é 
proporcional à sua densidade de energia eletromagnética. 
 
Ƥ = 𝐸 𝑥 𝐻 = 𝐸𝐻�̂� =
𝐸2
η
= η𝐻2�̂� = √
𝜀
𝜇
𝑓2 (𝑡 −
𝑧
𝑐
) �̂� = Ƥ(𝑧, 𝑡)�̂� (𝑋𝑋𝑉𝐼) 
 O vetorPoynting complexo da onda é: 
Ƥ = 𝐸 𝑥 𝐻∗ = 𝐸𝑥𝐻
∗
𝑦�̂� = 𝐸0𝑒
−𝑗𝛽𝑧
𝐸∗0
η
𝑒𝑗𝛽𝑧�̂� =
𝐸20
η
 (𝑋𝑋𝑉𝐼𝐼) 
 Observa-se que este valor vem a ser puramente real, equivalente à medida no 
tempo do vetor de Poynting instantâneo da onda. 
 
 As equações de Maxwell são válidas para variados tamanhos de sistemas, 
possuindo uma ampla aplicação. Comportamento que pode ser observado em 
antenas, circuitos RF/micro-ondas, sistemas de comunicação wireless, eletrônicos, 
radares, sensoriamento remoto, compatibilidade eletromagnética, integridade do 
sinal, materiais, nanoeletromagnetismo, bioeletromagnetismo e radioastronomia. Até 
agora, as equações apresentaram uma certa semelhança, sendo irrelevante a sua 
frequência já que todas se propagam através do espaço livre com a mesma 
velocidade. 
 Frequências altas como as UHF, SHF e EHF ocupam a faixa entre 300 MHz a 
300 GHz e constituem a região de micro-ondas do espectro eletromagnético. As 
subdivisões dentro dessas bandas se originam do trabalho radar. Ondas com 
frequências menores que 300 MHz são denominadas de ondas de radiofrequência 
(RF). Luz infravermelha, visível e a ultravioleta, são indicadas como comprimentos de 
onda óticos. Acima disso tem-se raios X, 𝛾 e raios cósmicos. 
 Casos em que há mais de uma onda plana uniforme se propagando em 
diferentes direções, adota-se um sistema de coordenadas global retangular. A direção 
de cada onda deve coincidir com um dos eixos (x,y,z) – exceto em casos em que duas 
ondas viajam para frente e para trás na mesma linha ou em direções ortogonais. Neste 
caso, são necessárias expressões que atendam esse comportamento, em que a 
direção de propagação seja totalmente arbitrária. O vetor unitário �̂� deve ser 
perpendicular ao seu vetor intensidade rms, 𝐸0. Este, por sua vez, não deve estar 
contido ao longo dos eixos coordenados. Considerando um ponto de origem O como 
referência, e desejando-se encontrar as expressões para os vetores de campo em um 
ponto P qualquer no espaço, tem-se: 
𝑙 = 𝑟. �̂� (𝑋𝑋𝑉𝐼𝐼𝐼) 
Num plano inteiro, 𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, o vetor intensidade do campo magnético 
complexo associado da onda pode ser descrito por: 
𝐻 =
1
η
�̂� 𝑥 𝐸 = 
1
η
�̂� 𝑥 𝐸0𝑒
−𝑗𝛽𝑟.�̂� (𝑋𝑋𝐼𝑋)