Capítulo 1 Linhas de Transmissao

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Eletromagnetismo 
Aplicado 
 
 
Linhas de Transmissão 
 
O que é uma Linha de Transmissão? 
• Uma Linha de Transmissão consiste 
basicamente de dois ou mais condutores 
paralelos usados para conectar uma fonte à 
uma carga. 
• A fonte pode ser um gerador, um transmissor ou 
um oscilador, e a carga pode ser uma fábrica, 
uma antena ou um osciloscópio; 
respectivamente 
Alguns Tipos de Linhas de 
Transmissão 
Vistas das seções retas de linhas de transmissão 
típicas: 
(a) Linha 
coaxial 
(b) Linha a 
dois fios 
(bifilar) 
(d) Fio sobre 
plano condutor 
(e) Linha de 
microfitas 
(c) Linha 
planar 
A propagação de ondas EM pode se dar de duas 
formas: 
 
Propagação Não Guiada: a onda se propaga por 
todo o espaço sem necessitar de uma estrutura 
para orientá-la. 
 
Propagação Guiada: é feita através de estruturas 
de guiamento, tais como, linhas de transmissão e 
guias de onda. 
 Características: 
• Ocorre em meios ilimitados, isto é, meios de 
extensão infinita; 
• A onda se espalha por todo o espaço. 
• é usada pelos serviços de radiodifusão e TV, 
onde a informação é transmitida para 
qualquer pessoa que possa estar interessada. 
Propagação de Ondas Não Guiadas 
 Características: 
• É feita através de estruturas de guiamento que 
servem para orientar a propagação da onda de 
sua fonte até a carga; 
• As LT’s são utilizadas na distribuição de potência 
(em baixas frequências) e em telecomunicações 
(em altas frequências) ; 
• Vários tipos de LT’s, tais como o par trançado e 
cabos coaxiais, são usados em redes de 
computadores. 
Propagação de Ondas Guiadas 
• Os cabos coaxiais são utilizados em instrumentos de 
medição, telefonia e sistemas de comunicação por RF. É 
adequado para fazer a conexão externa entre 
equipamentos eletrônicos pois permite obter excelente 
blindagem. 
 
• A linha bifilar é usada principalmente no transporte de 
energia, telefonia e na conexão entre partes internas de 
um equipamento eletrônico. Pode ser usada também na 
alimentação de antenas de média e Alta frequência. 
 
• As linhas planares (microfitas) são usadas em sistemas 
baseados em microondas e em circuitos integrados. 
 
Aplicações das LT´s 
Parâmetros das Linhas de 
Transmissão 
• a resistência por unidade de comprimento R; 
• a indutância por unidade de comprimento L; 
• a condutância por unidade de comprimento G; 
• a capacitância por unidade de comprimento C. 
Para o cabo coaxial, a linha bifilar e a linha planar, 
as fórmulas para o cálculo de R, L, G e C são 
dadas na Tabela a seguir: 
É usual e conveniente descrever as LT’s em 
termos dos parâmetros elétricos da linha, que são: 
As dimensões para cabos coaxiais, linhas bifilares e 
linhas planares são dadas na figura abaixo: 
Cada uma das linhas mostradas nas figuras 
anteriores têm fórmulas específicas para o cálculo 
dos parâmetros R, L, G e C. 
Tabela 1 – Parâmetros distribuídos de linha de 
transmissão 
Das fórmulas da Tabela 1, deve-se notar que: 
1. Os parâmetros da linha não são discretos, mas 
distribuídos, conforme mostra a figura a seguir. 
Isto quer dizer que os parâmetros estão 
distribuídos uniformemente ao longo da linha. 
Parâmetros distribuídos de uma LT a dois condutores. 
2. Para cada linha, os condutores são 
caracterizados por c, c=o, c=o, e o dielétrico 
homogêneo que separa os condutores é 
caracterizado por , , . 
3. G  1/R; R é a resistência por unidade de 
comprimento dos condutores utilizados na linha, 
e G é a condutância, por unidade de 
comprimento, devido ao dielétrico que separa 
os condutores. 
4. O valor de L, mostrado na Tabela 1, é a 
indutância por unidade de comprimento, isto é, 
L = Lext. Os efeitos da indutância interna Lint são 
desprezíveis em altas frequências. 
5. Para cada linha, e 
L C  
Vamos considerar como uma onda EM se propaga 
em uma linha de transmissão a dois condutores. 
Por exemplo, consideremos uma linha coaxial 
conectando um gerador ou fonte a uma carga, 
como na figura abaixo. 
G
C



Quando o interruptor S é fechado, o condutor 
interno fica positivo em relação ao condutor 
externo, tal que o campo E é radial e aponta para 
fora, conforme indicado na figura a seguir: 
Campos E e H na linha coaxial. 
De acordo com a lei de Ampère, o campo H 
circunda o condutor que conduz a corrente. O 
vetor de Poynting (E  H) aponta ao longo da 
linha de transmissão. 
O fechamento do interruptor estabelece uma 
onda transversal eletromagnética (TEM) que se 
propaga ao longo da linha. 
Esta onda é plana não uniforme e através dela é 
transmitida energia ao longo da linha. 
Equações das Linhas de 
Transmissão 
Uma linha de transmissão a dois condutores suporta uma 
onda TEM, isto é, o campo elétrico e o campo magnético na 
linha são transversais à direção de propagação. Os campos E 
e H estão univocamente relacionados com a tensão V e a 
corrente I, respectivamente: 
V E dL , I H dL      
Usaremos as grandezas V e I da Teoria de Circuitos, no 
estudo das Linhas de Transmissão, ao invés de usar E e H 
(das equações de Maxwell e as condições de fronteira). O 
modelo de circuitos é mais simples e mais conveniente. 
Examinaremos uma porção incremental z de 
uma linha de transmissão a dois condutores. 
Desejamos encontrar um circuito equivalente para 
esta linha e obter a equação da linha. 
Circuito equivalente tipo L para um comprimento diferencial z de uma 
linha de transmissão a dois condutores. 
O modelo da figura anterior está em termos dos 
parâmetros da linha R, L, G e C, e pode 
representar qualquer uma das linhas de 
transmissão a dois condutores. O modelo é o 
chamado circuito equivalente tipo L. Nesse modelo 
assumimos que a onda se propaga no sentido +z, 
do gerador para a carga. 
Aplicando a lei de Kirchhoff da tensão na malha 
externa do circuito da figura anterior, obtemos: 
   
 
 
I z, t
V z, t R zI z, t L z V z z, t
t

      

ou 
   
 
 V z z, t V z, t I z, t
RI z, t L
z t
   
  
 
Tomando o limite da equação acima, conforme z  
0, tem-se: 
 
 
 V z, t I z, t
RI z, t L
z t
 
  
 
Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes para a 
corrente no nó principal do circuito da figura 
anterior; obtém-se: 
   I z , t I z z , t I    
ou 
   
 V z z, t
I z z, t G zV z z, t C z
t
  
        

   
 
 I z z, t I z, t V z z, t
GV z z, t C
z t
     
    
 
Conforme z  0, a equação acima se torna: 
 
 
 I z, t V z, t
GV z, t C
z t
 
  
 
Se assumirmos dependência temporal harmônica, 
de tal maneira que: 
    j tsV z , t R e[ V z e ]

    j tsI z , t R e[ I z e ]

onde Vs(z) e Is(z) são as formas fasoriais de V(z,t) 
e I(z,t), respectivamente, as equações a seguir: 
 
 
 V z, t I z, t
RI z, t L
z t
 
  
 
 
 
 I z, t V z, t
GV z, t C
z t
 
  
 
tornam-se: 
  s
s ILjR
dz
dV 
  s
s VCjG
dz
dI 
Nas duas equações diferenciais acima, Vs e Is 
estão acopladas. Para separá-las, tomamos a 
segunda derivada de Vs na primeira equação e 
empregamos a segunda equação, tal que se 
obtém: 
   s
s VCjGLjR
dz
Vd  
2
2
2
2s
2
d V
V
dz
 
onde 
   j R j L G j C        
Tomando a segunda derivada de Is na equação 
abaixo:  s
s ILjR
dz
dV 
  s
s VCjG
dz
dI 
e empregando a equação a seguir: 
Constante de propagação 
[Np/m ou dB/m] 
temos 
2
2s
s2
d I
I
dz
 
2
2s
s2
d V
V
dz
 
2
2s
s2
d I
I
dz
 
Nota-se que as equação seguintes são, 
respectivamente, as equações de onda para a 
tensão e a corrente. 
e 
Portanto, em nossa notação:  é a constante de 
propagação (em m-1),  é a constante de 
atenuação (em Np/m ou dB/m) e  é a constante 
de fase (em rad/m). 
O comprimento de onda  e a velocidade da onda 
u são dados, respectivamente, por: 



2
 

fu 
As soluções das duas equações diferenciais lineares 
homogêneas mostradas anteriormente, são: 
  



 
z
z
o
z
z
os eVeVzV

  



 
z
z
o
z
z
os eIeIzI


onde Vo
+, Vo
-, Io
+ e Io
- são as amplitudes das 
ondas. 
Os sinais + e – representam as ondas se 
propagando ao longo de +z e –z, 
respectivamente, conforme indicado pelas 
setas. 
Portanto, obtemos uma expressão para a 
tensão instantânea: 
    ]R e [, tjs ezVtzV

   zteVzteV zo
z
o     c o sc o s
“A impedância característica Zo da linha é a razão 
entre a onda de tensão e a onda de corrente, que 
se propagam no sentido positivo, em qualquer 
ponto da linha”. 
Impedância Característica Zo 
  



 
z
z
o
z
z
os eVeVzV
   



 
z
z
o
z
z
os eIeIzI


Usando as equações fasoriais do circuito 
equivalente da LT facilmente se mostra que: 
CjG
LjR
I
V
I
V
Z
o
o
o
o
o 











ooo jXR
CjG
LjR
Z 





ou 
A constante de propagação  e a impedância 
característica Zo são propriedades importantes da 
linha pois ambas dependem dos parâmetros de 
linha R, L, G e C, e da frequência de operação. 
O recíproco de Zo é a admitância característica Yo, 
ou seja, Yo = 1/Zo. 
R é dado em [/m] e 
Ro é dado em [] 
parte real 
de Zo 
parte imaginária 
de Zo 
Linha sem perdas 
Uma aproximação útil em certas análises é a linha 
de transmissão sem perdas, na qual considera-se 
que a resistência série é desprezível em relação à 
reatância indutiva série e a condutância paralela é 
desprezível em comparação com a susceptância 
capacitiva paralela. Nesse caso, fazendo R=G=0 
nas equações da constante de propagação e 
impedância característica, obtemos: 
L Cjωj β   ,0
C
L
RZX ooo  ,0
1
u
LC

 

Em uma linha sem perdas a onda eletromagnética 
se propaga sem sofrer atenuação e a impedância 
e velocidade de propagação não dependem 
explicitamente da frequência. 
Esses fatos permitem concluir que uma onda 
composta de muitas frequências não sofre 
distorção ao se propagar em uma LT sem perdas. 
Isso, contudo, é apenas uma idealização, uma vez 
que, além de não existir linha absolutamente sem 
perdas, o isolante da linha invariavelmente 
apresenta dispersão dielétrica. 
Impedância de entrada 
Considere uma linha de transmissão de 
comprimento ℓ, caracterizada por  e Zo, conectada 
a uma carga Zc, conforme mostrado na figura 
abaixo: 
Para o gerador a linha é vista como uma carga com 
impedância de entrada Zent. O objetivo é calcular a 
Zent, a razão de onda estacionária (ROE) e o fluxo 
de potência na linha. Façamos com que a linha de 
transmissão se entenda desde z = 0 no gerador até 
z = ℓ na carga. Precisamos das ondas de tensão e 
corrente: 
  zo
z
os eVeVzV
  
  z
o
oz
o
o
s e
Z
V
e
Z
V
zI 




Para encontrar Vo
+ e Vo
-, as condições nos 
terminais devem ser dadas. Por exemplo, se forem 
dadas as condições na entrada da linha, 
   0,0  zIIzVV oo 
e substituindo estas nas equações do slide anterior, 
resulta em: 
 oooo IZVV 

2
1
 oooo IZVV 

2
1
Se a impedância de entrada nos terminais de 
entrada for Zent, então a tensão de entrada Vo e a 
corrente de entrada Io são facilmente obtidas da 
figura a seguir, como: 
gen t
g
og
gen t
en t
o
ZZ
V
 IV
ZZ
Z
V



 ,
Por outro lado, se forem dadas as condições na 
carga, isto é: 
     zIIzVV CC ,
  eIZVV CoCo 

2
1
e, substituindo nas equações do primeiro slide, 
obtemos: 
    eIZVV CoCo
2
1
Agora, podemos determinar a impedância em 
qualquer ponto da linha: 
   s sZ V z I z
No gerador, por exemplo, as equações do primeiro 
slide dão origem a: 
 
 
  
 

 

o o os
s o o
Z V VV z
Z
I z V V
Na última equação do slide anterior e utilizando o 
fato de que: 
cosh , 
2 2
e e e e
senh
   
 
  
 
ou 




 








ee
eesenh
tgh
cosh
    eIZVV CoCo
2
1
  eIZVV CoCo 

2
1
Substituindo as equações 
obtemos: 
C o
ent o
o C
Z Z tgh
Z Z
Z Z tgh
  
  
  
Para uma linha sem perdas, 
C o
ent o
o C
Z jZ tg
Z Z
Z jZ tg
  
  
  
a impedância de entrada é obtida na seguinte forma: 
oo RZet gjjt g hj    ,
Note que a impedância de entrada da LT apresenta 
um comportamento periódico com o comprimento 
da linha. O período, nesse caso, é /2. 
Definiremos agora c como o coeficiente de reflexão 
da tensão (na carga). c é a razão entre a onda 
refletida de tensão e a onda incidente de tensão na 
carga, 







eV
eV
o
o
C
Substituindo Vo
- e Vo
+ determinadas anteriormente, 
substituindo na equação acima e introduzindo Vc = 
ZcIc, obtemos: 
oC
oC
C
ZZ
ZZ



Onda Estacionária 
Também podemos calcular o coeficiente de reflexão 
em uma posição qualquer da LT. 
  z
o
o
z
o
z
o e
V
V
eV
eV
z 

2





Contudo, 
' z
Substituindo essa relação na equação anterior e 
considerando a equação do coeficiente de reflexão 
da tensão; temos: 
  '2'22   


 eee
V
V
z C
o
o
O coeficiente de reflexão da corrente é o negativo da 
tensão. 
Sempre que a impedância de carga é diferente da 
impedância característica da LT, ocorre reflexão de 
onda na extremidade da carga e com isso existe 
onda estacionária na linha. Consideremos a equação 
da tensão na seguinte forma: 
   z z z j 2 zos o o C
o
V
V z V e e V e e e e
V

          

 
     
 
    
 
j z j zj /2 j j / 2 j /2
s o C
j /2 j j / 2 j j / 2 j
o C
V V e e e e e e
V e e e e e e
          
          
  
  
Onde substituímos o coeficiente de reflexão na carga 
por c=|c|e
j Para uma linha sem perdas, obtemos: 
Com um pouco de esforço no desenvolvimento 
algébrico, obtemos a amplitude da tensão na linha 
como função da distância até a carga: 
     
2 2 2 2
s o C CV V 1 cos / 2 (1 ) sen / 2
             
A amplitude varia com a distância à carga, passando 
por valores máximos e mínimos que ocorrem em 
certas posições: 
 
 
s o Cmax
s o Cmin
V V 1
V V 1


  
  
Quando / 2 n ( n 0 ,1, 2 , 3, .. .)     
Quando/ 2 (n 1 / 2)
(n 0,1, 2, 3, ...)
     

Facilmente se verifica que máximos e mínimos 
consecutivos estão separados pela distância /4. 
Considere uma linha sem perdas com Zo = 50 , 
Zc=100  e que a tensão na carga é 100 V; 
conforme figura a seguir. 
C
o
s max
s min
100 50 1
100 50 3
V 75V
1
V 75V 1 100 V
3
1
V 75V 1 50 V
3


  


 
   
 
 
   
 
Outras observações interessantes são: 
1) Máximos de tensão coincidem com mínimos de 
corrente e vice-versa. 
2) Para uma linha sem perdas com carga resistiva, 
se Zc>Zo, ocorre um máximo de tensão e um 
mínimo de corrente na carga. se Zc<Zo, ocorre um 
mínimo de tensão e um máximo de corrente na 
carga. 
3) Para cargas reativas, as posições de máximos e 
mínimos dependem do ângulo de fase do 
coeficiente de reflexão: 
 
Definimos a razão de onda estacionária s ou ROE, 
como: 
Cmáx
mín C
1V
ROE s
V 1
 
  
 
Assim, para linha casada, Zc=Zo: 
C 0 s 1   
Para reflexão total, Zc=0 (curto) ou Zc= (aberto): 
C 1 s    
As linhas de transmissão são usadas para transferir 
potência de uma fonte à uma carga. A potência 
média na linha a uma distância z do gerador é 
obtida a seguir (assumindo Zo real): 
 
z z
* z z o o
méd s s o o
o
2 2
2 z 2 z j2 z j2 z
o o o o o o
o o o
2 2
2 z 2 z
o o
o o
V e V e1 1
P Re[V I ] Re V e V e
2 2 Z
V e V e V V e V V e1
Re
2 Z Z Z
V e V e1 1
2 Z 2 Z
    
   
           
    
  
     
   
 
   
 
 
 
Potência 
Potência incidente (disponível para a 
carga) 
Potência refletida (retorna ao gerador) 
Substituindo: 
 
2
2o 2 z
méd
o
V
P e 1 (z)
2Z

   
  2 zo oV z V e
    
Obtemos: 
O fator e-2l significa que a linha de transmissão 
dissipa parte da potência fornecida pelo gerador na 
forma de calor. O fator (1-|C|
2) indica que parte da 
potência que chega à carga retorna por reflexão ao 
gerador. 
Assim, obtemos a potência na carga na seguinte 
forma: 
 
2
2o 2
méd C
o
V
P e 1
2Z

   
Para uma LT em curto, substituindo Zc=0 na 
equação da impedância de entrada, obtemos: 
C 0
cc ent oZ
Z Z jZ tg

  
Linha em curto, aberta, casada 
Para uma LT aberta, substituindo Zc= na equação 
da impedância de entrada, obtemos: 
C
o
ca ent o
Z
Z
Z lim Z jZ cot g
jtg
    

Observe que, das equações Zcc para linha em 
curto e Zca para linha em aberto, obtém-se: 
2
oc ac c ZZZ 
Para uma linha casada, Zc=Zo, não há reflexão e a 
impedância de entrada é igual a Zo, o que 
geralmente pode ser considerada uma 
impedância real e independente da frequência. 
Casamento de Impedância com 
Transformador de quarto de onda 
Quando Zo  ZC dizemos que a carga está 
descasada e existe onda refletida na linha. 
Entretanto, para máxima transferência de 
potência, é desejável que a carga esteja casada 
com a linha de transmissão (Zo = ZC) , de maneira 
que não haja reflexão (= 0 ou s =1). O 
casamento de impedância pode ser obtido 
utilizando-se seções de linhas de transmissão 
com características apropriadas. 
Relembremos que, quando 
   2424    o u 
a equação da impedância de entrada para uma 
linha sem perdas se torna, 
C
o
Co
oC
oent
Z
Z
tgjZZ
tgjZZ
ZZ
2
2
2








 

isto é, 
C
o
o
ent
Z
Z
Z
Z

Uma carga descasada Zc pode ser casada 
adequadamente com a linha (com impedância 
característica Zo) pela inserção de uma linha de 
transmissão com o comprimento /4 (com 
impedância característica Zo) antes da carga. A 
seção /4 da linha de transmissão é denominada 
de transformador de quarto de onda 
Zo deve ser selecionada de tal maneira que (Zent = 
Zo), 
Coo ZZZ 
'
onde Zo, Zo e ZC são todos reais. Por exemplo, se 
uma carga de 120  deve ser casada a uma linha 
de 75 , o transformador de quarto de onda deve 
ter uma impedância característica de: 
    9 51 2 07 5oZ
Este transformador de quarto de onda de 95  
também casará uma carga de 75  a uma linha de 
120 . As configurações de ondas estacionárias 
para a tensão com e sem o transformador de 
quarto de onda estão mostradas, respectivamente, 
na figura a seguir: 
Zc Zo 
Vo 
Vo(1+|c|) 
Vo(1-|c|) 
Zo Zo 
Zc 
Vo 
Vo 
sVo 
s=(1+|c|)/(1-|c|) 
 
/4 
Desta figura, observamos que, embora ainda 
exista uma onda estacionária entre o 
transformador e a carga, não existe onda 
estacionária à esquerda do transformador devido 
ao casamento. Observe que o casamento de 
impedância ocorre somente na frequência na 
qual o comprimento físico do transformador é 
igual a um quarto de onda. 
Casamento de impedância com stub 
simples 
A principal desvantagem do uso de transformador 
de quarto de onda como um dispositivo de 
casamento de impedâncias é eliminada pelo uso 
do sintonizador com stub simples. 
Conforme mostrado na figura a seguir, o 
sintonizador consiste de uma seção de linha de 
transmissão de comprimento d, curto circuitada 
ou em circuito aberto, conectada em paralelo com 
a linha principal a uma certa distância da carga. 
Casamento de impedância com stub simples 
Note que: 
 A impedância característica do stub é 
igual à impedância da linha principal. 
 Um stub em circuito aberto irradia parte 
da energia em altas frequências. 
 Os stubs curto-circuitados são os mais 
utilizados. 
Considere a equação da admitância da LT sem 
perdas (com Go=1/Zo): 
O stub deve ser colocado na posição mais 
próxima da carga na qual Y=Go+jBe, ou seja, a 
parte real da admitância deve ser igual a 
condutância característica da LT. Assim, 
devemos resolver a seguinte equação: 
1
C o o C
o o
o C C o
Z jZ tg Z jZ tg1
Y Z G
Z Z jZ tg Z jZ tg

     
    
     
o C
C o
Z jZ tg
Re 1
Z jZ tg
  
 
  
O valor de ℓ que resolve esta 
equação é a distância do stub 
até a carga. 
Uma vez calculado ℓ, calcula-se a susceptância da 
LT nessa posição: 
Finalmente devemos calcular o comprimento do 
stub curto-circuitado para que sua admitância de 
entrada seja Ys=-jBe. 
o C
e o
C o
Z jZ tg
B G Im
Z jZ tg
  
  
  
O valor de d que resolve esta equação é o comprimento do 
stub. Observe que tanto a equação para ℓ quanto para d 
admitem mais de uma solução. Devemos sempre assumir o 
menor valor. 
o
s e
jG
Y jB
tg d
   

1
o C
C o
Z jZ tg
tg d Im
Z jZ tg

   
    
   
Linhas de Transmissão de Microfita 
As linhas de transmissão de microfita pertencem 
ao grupo de linhas conhecidas como linhas de 
transmissão de placas paralelas. 
Aplicações: 
 eletrônica; 
 CI’s de microondas; 
 são usadas como componentes de circuitos, 
 como filtros, acopladores, ressoadores, antenas 
etc. 
Vantagens: 
 em comparação com a linha coaxial, as linhas 
de microfita permitem maior flexibilidade de 
projetos e mais compactos. 
Uma linha de microfita consiste de um plano terra 
e uma fita condutora aberta, separados por um 
substrato dielétrico. 
A linha de microfita é construída pelo mesmo 
processo fotográfico utilizado nos CI’s. 
A dedução analítica das propriedades 
característicasda linha é trabalhosa. Por isso, 
vamos considerar apenas os aspectos básicos e 
fórmulas empíricas válidas para o cálculo da 
velocidade de fase, impedância intrínseca e 
perdas na linha. 
Devido à estrutura aberta da linha de microfita, o 
campo EM não está confinado no dielétrico, mas 
está parcialmente presente no ar que circunda a 
linha, conforme vemos na figura abaixo: 
Devido ao “vazamento” do campo no ar, a 
permissividade relativa efetiva ef é menor que a 
permissividade relativa r do substrato. Um valor 
aproximado para ef pode ser obtido através de: 
   
wh
rr
ef
1212
1
2
1






onde w é a largura da linha e h é a espessura do 
substrato. 
A impedância característica é dada pelas fórmulas 
aproximadas que seguem: 
  
















1,
444,1ln667,0393,1
1201
1,
8
ln
60
hw
hwhw
hw
h
w
w
h
Z
ef
ef
o
 
 



Obs.: A impedância característica de uma fita 
larga é, em geral, baixa, enquanto que a de uma 
fita estreita é alta. 
Para fins de projeto , se r e Zo são conhecidos, a 
razão w/h, necessária para se obter um 
determinado Zo é dada por: 
   




























2,
61,0
39,01ln
2
1
12ln1
2
2,
2
8
2
hwBBB
hw
e
e
h
w
rr
r
A
A
 
 
 



onde 












rr
rroZA 
 11,0
23,0
1
1
2
1
60
roZ
B

 260

Conhecidos ef e Zo, a constante de fase e a 
velocidade de fase de uma onda se propagando 
na microfita são dadas por: 
,
ef
c
 
 
ef
c
u


onde c é a velocidade da luz no vácuo. 
A atenuação (em dB/m) devido à condutividade 
finita dos condutores é dada por: 
o
s
C
wZ
R
686,8
onde 

 C
sR
1
Resistência superficial do 
condutor 
 
 
1
27, 3
1
ef r
d
r ef
tg  
  



A atenuação (em dB/m) devido à perda no dielétrico 
é: 
onde 
 fu
Comprimento de onda na 
linha 
 


tg
Tangente de perdas do 
substrato 
A constante de atenuação total é a soma da 
constante de atenuação devido aos condutores 
c e a constante de atenuação devido ao 
dielétrico d, isto é, 
dC  
Às vezes, d é desprezível em comparação com 
c. Embora ofereçam as vantagens de 
flexibilidade e baixo volume, as linhas de 
microfita não são utilizadas em linhas de 
transmissão longas devido à atenuação elevada.