Cisalhamento em Vigas

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16/02/2010
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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
CAPITULO
Notas de Aula: 
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
5 Vigas:
Carregamento
Transversal.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Introdução
1 - 2
 
  00
0
00
 

 
xzxzz
xyxyy
xyxzxxx
yMdAF
dAzMVdAF
dAzyMdAF



• A distribuição dessas tensões satisfazem as
condições:
• Cargas transversais aplicadas em barras,
produzem tensões normais e de
cisalhamento nas diversas seções
transversais.
• Quando tensões de cisalhamento atuam nas
faces verticais de um elemento, tensões
iguais devem atuar nas faces horizontais,
para que haja o equilíbrio
• Tensões de cisalhamento longitudinal
devem atuar em qualquer elemento
submetido a cargas transversais.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento na Face Horizontal de Uma Viga
1 - 3
• Considere a viga primática
• Para o equilíbrio do elemento:
 


D
  +D>
A
CD
A
CDx
dAy
I
MM
H
dA=0HF 0
I
QV
q
I
QV
I
Q
dx
dM
dx
dH
Q
I
M
H
dAyQ
A
.
.



D
D
 
• Observe que,
Logo:
q = fluxo de cisalhamento (N/m)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 5.1
  
  
  
  
46
2
3
12
1
3
12
1
36
m1020,1
]m060,0m100,0m020,0
m020,0m100,0[2
m100.0m020.0
m10120
m060.0m100.0m020.0



+
+



I
yAQ
1 - 4
Uma viga é construída de três pranchas de madeira fixadas
atravé de pregos. Sabendo-se que o espassamento entre os
pregos é de 25mm e que o esforço cortante vertical na viga é V =
500 N, determine a força de corte em cada prego.
SOLUÇÃO:Determine a força horizontal por unidade de comprimento, ou fluxo
de cisalhamento q na superfície inferior da prancha superior.
m
N3704
m1016.20
)m10120)(N500(
46-
36





I
VQ
q
• Calcule a correspondente força
cortante em cada prego para o
espassamento de 25mm.
mNqF 3704)(m025.0()m025.0( 
N6,92F
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 5.2
mN
I
QV
q /6920
1087,13
10801200.
6
6






1 - 5
Uma viga caixão, quadrada, de madeira é construída de
quatro pranchas de madeira, fixadas através de pregos,
conforme figura ao lado. Sabendo que o espaçamento
entre os pregos é de 30mm e que a viga está submetida
a um esforço cortante vertical V = 1200N, determine a
força de corte em cada prego.
8020 20
20
120
Dimensões em mm.
    36
_
108005,008,002,0 myAQ 
Para prancha superior:
Para a seção da viga como um todo:
    464
12
14
12
1 1087,1308,012,0 mI 
Fluxo de cisalhamento ao longo de cada borda da prancha superior:
Em cada face, atua um fluxo de q/2 = 3460N/m,
Logo: 
F = (0,30 m) (3460 N/m) = 103,8N
SOLUÇÃO:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Determinação da Tensão de Cisalhamento nas Vigas
1 - 6
• A tensão média de cisalhamento na face
horizontal do elemento é obtida pela divisão
do esforço cortante no elemento pela área da
sua face.
I.t
xVQxqH DDD
V.Q
xtIAA
med

D

D

D

• Na superfície superior e inferior da viga, yx= 0.
Isto implica em xy= 0 na parte superior e
inferior da seção transversal.
• Se a largura da viga é bem maior que sua
altura, a tensão de cisalhamento em D1 e D2 é
significativamente maior que em D.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Distribuição das Tensões xy em Tipos Comuns de Vigas
1 - 7
• Para uma viga retangular,
A
V
c
y
A
V
Ib
VQ
xy
2
3
1
2
3
max
2
2












• Para perfis I e W (abas largas)
alma
med
A
V
It
VQ


max

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
122,2mm
110mm
19,6mm
132mm
264mm
Exemplo 5.3
1 - 8
O perfil laminado W250 x 101 está submetido a
uma força cortante vertical de 220 KN.
Determinar as tensões horizontais de
cisalhamento no ponto a da aba superior do
perfil, situado a 110mm da borda da viga.
SOLUÇÃO:
• Para a área sombreada:     341064,21222,00196,011,0 mQ 
• A tensão de cisalhamento em a,
  
  0196,010164
1064,210220
6
43





It
VQ MPa07,18
Da tabela de perfis, encontramos I = 164 x 10-6 m4
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Distribuição das Tensões Em Uma Viga Retangular
1 - 9









2
2
1
2
3
c
y
A
P
xy
I
Pxy
x +
• Considere uma viga retangular, estreita, em balanço,
submetida a uma carga P em sua extremidade livre:
• A tensão de cisalhamento independe da distância do
ponto de aplicação da carga.
• A tensão normal e a deformação normal não são
afetadas pela tensão de cisalhamento.
• Pelo princípio de Saint-Venant, o efeito do modo de
aplicação da carga pode ser desprezado, exceto nas
vizinhanças do ponto de aplicação da mesma.
• Para vigas submetidas a carregamento distribuído, a
força cortante varia ao longo da viga, variando
também a tensão de cisalhamento em uma certa
fibra, distante de “y” do eixo neutro.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento Em Uma Seção Longitudinal Arbitrária
1 - 10
• Examinamos a distribuição das
componentes verticais xy em uma seção
transversal de uma viga. Queremos agora,
considerar as componentes horizontais xz
das tensões.
• Considere uma viga primática com um
elemento definido pela superfície CDD’C’.
   +D
a
dAHF CDx 0
• Exceto pela integração, isto é o
mesmo obtido antes, onde:
I
VQ
x
H
qx
I
VQ
H 
D
D
DD
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento Em Elementos de Paredes Finas
1 - 11
• Considere um segmento de um perfil de
abas largas de uma viga, submetida a um
esforço cortante V.
• A força cortante longitudinal no elemento
é:
x
I
VQ
H DD
It
VQ
xt
H
xzzx 
D
D

• A correspondente tensão de cisalhamento 
é:
• NOTA:
0xy
0xz
nos flanges
na alma
• Anteriormente encontramos uma
expressão similar para a tensão de
cisalhamento na alma:
It
VQ
xy 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento Em Elementos de Paredes Finas
1 - 12
• A variação do fluxo de cisalhamento através da
seção transversal, depende somente da variação
do momento estático.
I
VQ
tq 
• Para uma viga caixão, q cresce lentamente de zero em A até um
máximo em C e C’ e então decresce de volta até zero emE.
• Para uma viga de perfil
de abas largas, o
cisalhamento aumenta
simetricamente de zero
em A e A’, encontra um
máximo em C e decresce
para zero em E e E’.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas
1 - 13
• A seção se tornacompletamente plástica 
quando (yY = 0) :
pY MMPL 
2
3
• Para PL > MY , o escoamento é iniciado em B e
B’. Para um material elastoplástico, a eq.
abaixo fornece o valor de yY, que é a metade da
espessura do núcleo elástico.









2
2
3
1
1
2
3
c
y
MPx YY
• Para M = PL < MY , teremos a tensão normal
sempre abaixo da tensão de escoamento.
• E a carga máxima que a viga pode suportar é:
L
M
P
p
max
• Sendo: Momento elástico máximo YY
c
I
M 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas
1 - 14
• A discussão precedente foi baseada
apenas na tensão normal.
• Considere o esforço cortante em uma
seção que se tornou parcialmente
plastificada,
    0D dAdAH YYDC 
No entanto, a tensão de cisalhamento é
nula no ponto C`.
• A força cortante é distribuída na porção
elástica EE` da seção.
• Se A’ diminuí, max aumenta e pode
atingir Y.
A
P
byA
y
y
A
P
Y
Y
xy














2
3
2Onde:1
2
3
max
2
2


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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Carregamento Assimétrico: Centro de Cisalhamento.
1 - 15
• Vigas carregadas em um plano
de simetria vertical, deformam
neste plano, sem que haja
torção.
It
VQ
I
My
medx  
• Vigas sem um plano de
simetria, fletem e se torcem
sob ação do carregamento.
It
VQ
I
My
medx  
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Carregamento Assimétrico: Centro de Cisalhamento.
1 - 16
• A figura ao lado, mostra a força P, aplicada a
uma distância “e” da face esquerda da viga.
Nestas condições, a viga flete no plano vertical ,
sem se torcer. O ponto “O” é chamado de
Centro de Cisalhamento da seção.
• Se o esforço cortante atua de modo que não
tenhamos torção e sim somente flexão, ela deve
atender:
FdsqdsqFdsqV
It
VQ
E
D
B
A
D
B
med
 
• F e F’ formam um conjugado de momento Fh e
para eliminar o efeito desse conjugado, é
preciso que o esforço cortante V seja deslocado
para esquerda, de uma distância “e”, onde:
V
hF
eVehF 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 5.4
1 - 17
• Determinar o centro de cisalhamento do perfil da
figura, de espessura uniforme e dimensões: b=100mm,
h=150mm e t=3 mm.
I
hF
e 
• onde
I
Vthb
ds
h
st
I
V
ds
I
VQ
dsqF
b bb
4
2
2
0 00

 
 hbth
h
btbtthIII flangealma
+














+++
6
212
1
2
12
1
2
2
12
1
2
33
• Substituindo,
 mm
mm
b
h
b
e
1003
150
2
100mm
3
2 +

+

mme 40
SOLUÇÃO:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 5.5
1 - 18
• Determine para o perfil do exemplo
5.4 a distribuição das tensões de
cisalhamento, causada por uma força
cortante vertical V=800 N, aplicada
no centro de cisalhamento “O”.
It
VQ
t
q

• Cisalhamento nas flanges:  
    
  
   
MPa
hbth
Vb
hbth
Vhb
s
I
Vhh
st
It
V
It
VQ
B
422,1
150,0100,06150,0003,0
100,08006
6
6
62
22
2
12
1

+

+

+




• Cisalhamento na alma:
  
 
 
 
  
   
MPa
hbth
hbV
thbth
hbhtV
It
VQ
956,1
150,0100,06150,0003,02
150,0100,048003
62
43
6
4
2
12
1
8
1
max

+
+

+
+

+
+

150mm
3mm
100mm
40mm
800N
SOLUÇÃO:
1,422MPa
1,422MPa
1,956MPa