Transformada de Laplace em Equações Diferenciais

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Aula 18: Transformada de Laplace.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Transformada de Laplace
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Exemplo: Se a transformada de Laplace de uma func¸a˜o f(t) e´
F (s) =
s− 2
2s2 + 2s+ 2
vamos determinar a func¸a˜o f(t).
O pro´ximo resultado mostra o efeito de aplicar a transformada de Laplace
na derivada de uma func¸a˜o.
Teorema: (Derivac¸a˜o) Seja f : [0,∞) → R uma func¸a˜o admiss´ıvel e
cont´ınua.
a) Se f ′(t) e´ cont´ınua por partes, enta˜o
L(f ′(t)) = sF (s)− f(0),
em que F (s) e´ a transformada de Laplace de f(t).
b) Se f ′(t) e´ admiss´ıvel e cont´ınua e f ′′(t) e´ cont´ınua por partes, enta˜o:
L(f ′′(t)) = s2F (s)− sf(0)− f ′(0),
em que F (s) e´ a transformada de Laplace de f(t).
Exemplo: Sejam a uma constante e f(t) = t sen(at). Vamos determinar
F (s).
Exemplo: Sejam a uma constante e f(t) = t cos(at). Vamos determinar
F (s).
Exemplo: Sejam a e b constantes e f(t) = ebtt sen(at). Vamos determinar
F (s).
Exemplo: Sejam a e b constantes e f(t) = ebtt cos(at). Vamos determinar
F (s).
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Exemplo: Vamos resolver o seguinte problema de valor inicial:
y′′ + y′ − 2y = 2t, y(0) = 0 y′(0) = 1
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