AL 9 Produto Interno

Prévia do material em texto

Produto Interno e Ortogonalidade 
Profa. Simone 
2017/2 
Produto Interno 
 Muitas vezes, noções de comprimento, distância e 
ortogonalidade são importantes em aplicações que 
envolvem espaços vetorias arbitrários. 
 
 Para o , esses conceitos estão baseados nas 
propriedades do produto escalar. 
 
 Para os demais espaços vetoriais precisamos de 
análogos do produto escalar com as mesmas 
propriedades, as quais serão usadas em axiomas na 
definição de produto interno. 
n
Produto Interno 
 Um produto interno num espaço vetorial real V é uma 
função que associa, a cada par de vetores u e v de V, 
 um número real, denotado por 
 de tal modo que, são satisfeitos, por quaisquer 
vetores u, v e w em V e qualquer escalar real , os 
seguintes axiomas: 
 
 
 
 
 
 
 
) , 0 para todo vetor e , 0 ( )iv positividade   v v v v v v 0
 
 
 
,u v
) , , ( )i simetriav u u v
) , , , ( )ii aditividade  v u w v w u w
) , , , ( )iii homogeneidade   v u v u v u
Exemplo 1. 
 O produto escalar de vetores dos espaços 
 também denominado produto interno euclidiano ou 
produto interno canônico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 3, ,..., n
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 1 2 1 1 2 2
( , ) e ( , )
( , , ) e ( , , )
( , ,..., ) e ( , ,..., ) ...n n n n
v v u u v u v u
v v v u u u v u v u v u
v v v u u u v u v u v u
     
      
       
v u v u
v u v u
v u v u
Exemplo 2. 
 Em algumas aplicações, pode ser desejável modificar o 
produto interno euclidiano ponderando cada termo 
diferente. Por exemplo, dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3, u v
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) e ( , , ) , 2 3v v v u u u v u v u v u     v u u v
 
 
Exemplo 3. 
 No espaço vetorial de matrizes Mm  n pode-se definir 
um produto interno entre as matrizes A e B por 
 
 
 
 
 
 
 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
 ( )
n n n n
m m m m mn mn
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b
        
   
1 1
,
m n
ij ij
i j
a b
 
A B
1 1 2 2
1
( )
m
i i i i in in
i
a b a b a b

   
Exemplo 4. 
 No espaço vetorial de polinômios Pn pode-se definir o 
produto interno canônico neste espaço, dados 
 
 
 e 
 
 por 
 
 
 
 
 
 
0
,
n
i i
i
p q a b


2
0 1 2( ) ...
n
np x a a x a x a x    
2
0 1 2( ) ...
n
nq x b b x b x b x    
0 0 1 1, n np q a b a b a b  
Exemplo 5. 
 Se f e g são funções contínuas no intervalo [a,b] 
então define-se um produto interno no espaço 
vetorial C[a,b] que denominamos produto interno da 
integral pela fórmula 
 
 
 
, ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx 
Produto Interno e Norma 
 Uma vez fixado o produto interno em um espaço 
vetorial V , estende-se as noções de comprimento e 
distância, expressas pelo produto escalar. 
 
 A norma ou comprimento de vetores de V em relação 
a um produto interno é definida por 
 
 
 A distância entre dois vetores de V é a dada por 
 
 
 
 
 
,v v v
( , ) ,d     v u v u v u v u
 
 
Exemplo 6. 
 No Mm  n , considerando-se o produto interno 
entre as matrizes A e B por: 
 
 
 
 Para as matrizes a seguir, calcule 
 
 
 
 
 
 
1 1
,
m n
ij ij
i j
a b
 
A B
( , ) e ( , )d dA B A C
1 4 2 2 0 1
, ,
3 4 3 5 2 1
     
            
A B C
 
 
Exemplo 7. 
 Em C[0,1] considerando-se o produto interno da 
integral, visto no Ex. 5, calcule , 
dadas as funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( , ) e ( , )d df g f h
2
2
x
x
x



f
g
h
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
y
 
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
y
 
 
y=x2
y = x
y=2x
y=x
Norma 
 Todo produto interno origina uma norma, a qual 
fornece um critério para estabelecer medidas em um 
espaço vetorial. Porém, muitas normas, mesmo 
normas importantes, não são oriundas de produtos 
internos. 
 Uma classe importante de normas, designada norma 
de Hölder de ordem p, ou simplesmente norma p é 
definida por 
 
 onde 
1 2: ... , 1
pp pp
np
v v v p     v
1 2( , ,..., )nv v vv
Norma 
 Os exemplos mais frequentes de norma p são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 21
22 2 2 2 22 2
1 2 1 22
1 2
Norma 1: : ...
Norma 2: : ... ...
Norma : : max ...
n
n n
n
v v v
v v v v v v
v v v

   
       
    
v
v
v
Norma 
) 0 e 0
)
)
i
ii
iii
 
   

  
v v v 0
v v
v u v u
 Uma definição abstrata de norma é dada a seguir. 
Uma norma em um espaço vetorial V é uma função 
que satisfaz, dados u e v em V e qualquer escalar 
real : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ortogonalidade 
 Com relação a ângulos entre vetores, o problema de 
maior interesse em espaços vetoriais arbitrários é o 
da ortogonalidade. 
 
 Em um espaço vetorial V com produto interno, dois 
vetores u e v são ditos ortogonais se 
 
 
 Se u e v são ortogonais em um espaço com produto 
interno, então: 
 
 
 
, 0u v
2 2 2
  u v u v
Exemplo 8. 
 Considerando-se o e o produto interno do 
exemplo 3, verifique a ortogonalidade das matrizes 
 
 
 
 
 Considerando-se em o produto interno 
 
 
 calcule para 
 
 
2 2M 
1 0 0 2
 
1 1 0 0
   
    
   
A Be
2P
1
1
, ( ) ( )p x q x dx

 p q
 ,q p qe
2( ) ( )p x x q x x e
Conjuntos Ortogonais 
 Sejam vetores em um espaço vetorial V 
munido de produto interno. 
 O conjunto 
 
é um conjunto ortogonal se 
 
 
 Se, além disso, todos os vetores forem unitários, 
 , então o conjunto é dito ortonormal. 
 
 
1 2, ,..., nv v v
 1 2, ,..., nS  v v v
, 0, i j i j v v
, 1i i i v v v
1
, 
0
i j
se i j
se i j

 

v v
Exemplo 9. 
 Um conjunto ortonormal e um conjunto apenas 
ortogonal, com relação ao produto interno euclidiano, 
em 
 
 
 
 
 
 Um conjunto ortonormal pode ser construído a partir 
de um conjunto ortogonal pelo processo de 
normalização. 
 ) (1,1,1),(2,1, 3),(4, 5,1)b  
 1 2 3 1 2 3) , , , (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)a   e e e e e e
3
Bases Ortogonais e Ortonormais 
 Se é um conjunto ortogonal de 
vetores não nulos em um espaço vetorial V munido 
de produto interno, então S é linearmente 
independente. 
 
 Num espaço com produto interno, uma base 
constituída por vetores ortogonais é denominada 
base ortogonal e uma base constituída por vetores 
ortonormais é denominada base ortonormal, sendo a 
base canônica do um exemplo conhecido, 
considerando-se o produto interno euclidiano. 1 2, ,..., nS  v v v
n
Representação de um vetor em termos 
bases ortogonais e ortonormais 
 Se é uma base ortogonal de 
vetores para um espaço V, munido de produto 
interno, então todo vetor u de V pode ser escrito 
como combinação linear dos vetores desta base, 
como 
 
 
 onde 
 
 Se a base for ortonormal, então 
 
 
 1 2, ,..., n  v v v
1 1 2 2 ... n nc c c   u v v v
2
, ,
,
i i
i
i i i
c  
u v u v
v v v
,i ic  u v
Exemplo 10. 
 Escreva o vetor como combinação linear 
dos vetores da base ortonormal 
 
 onde 
 
 
 
 
 1 2 3, ,  v v v
3 34 4
5 5 5 51 2 3(0,1,0), ( ,0, ) e ( ,0, )   v v v
3
(2,1, 1) w
Exercício (para entregar – 3ª avaliação) 
 Escreva o vetor como combinação linear 
dos vetores da base ortogonal de , com relação ao 
produto interno da integral (veja exemplo 8). 
 
 
 onde 
 
 
 são conhecidos como polinômios de Legendre. 
 
 
 
 
 1 2 3, ,  p p p
2
1 2 3
1
1, e (3 1)
2
x x   p p p
2P
21 4x x  p
Exercícios 
 Livro texto: Álgebra Linear com aplicações, 10ª ed. 
Anton & Rorres 
 
 Capítulo 6 – Produto Interno e Ortogonalidade 
 Seção 6.1 – p.343 Exercícios 3,8,12,20,25 e 29 
 Seção 6.2 – p. 351 Exercícios 5,7,9 
 Seção 6.3 – p. 364 Exercícios 3, 5, 7, 11 e 13