prova P2 resolução

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Universidade Federal de São Paulo 
 Pró-Reitoria de Graduação 
 Campus Diadema 
1 
 
PROVA P2 DE CÁLCULO II – TURMA EXTRA 
1º Semestre de 2018 - 09/06/2018 
Nome: ___________________________________Matrícula:____________ 
 
INSTRUÇÕES: 
PROVA INDIVIDUAL E SEM CONSULTA; 
A RESOLUÇÃO PODERÁ SER FEITA A LÁPIS. RESPOSTAS FINAIS À CANETA; 
NÃO É PERMITIDO USO DE CALCULADORAS E/OU CELULARES. 
CADA QUESTÃO VALE DOIS PONTOS. 
 
1ª Questão: Calcule 
∬ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝐴
𝑅
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 = [0,
𝜋
2
] × [0,
𝜋
4
] 
∬ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝜋 2⁄
0
=
𝜋 4⁄
0
∫ [−𝑐𝑜𝑠𝑥]0
𝜋 2⁄ 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑦
𝜋 4⁄
0
= ∫ [−𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
) + 𝑐𝑜𝑠0] 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑦 = ∫ (−0 + 1)
𝜋 4⁄
0
𝜋 4⁄
0
𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑦 = [𝑠𝑒𝑛𝑦]0
𝜋 4⁄
= [𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
) − 𝑠𝑒𝑛0] = (
√2
2
− 0) =
√2
2
 
 
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2ª Questão: Calcule 
∬(3𝑥 + 4𝑦2)𝑑𝐴
𝑅
 
onde R é a região no semiplano inferior limitada pelas circinferências 𝑥2 + 𝑦2 =
4 𝑒 𝑥2 + 𝑦2 = 9. 
 
 
 
 
 
Pela simetria circular, é conveniente usar as coordenadas polares: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 
Vamos reescrever as equações das circunferências e também a função a ser 
integrada: 
 circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 4 → 𝑟2 = 4 → 𝑟 = 2 
 circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 9 → 𝑟2 = 9 → 𝑟 = 3 
 função (3𝑥 + 4𝑦2) → 3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 
Precisamos definir o intervalo de integração em como queremos o 
semi-plano inferior,  deve variar de  até 2
Desta forma, podemos escrever a região de integração como: 
𝑅 = {(𝑟, 𝜃)|2 ≤ 𝑟 ≤ 3, 𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋} 
E então, 
∬(3𝑥 + 4𝑦2)𝑑𝐴 = ∫ ∫(3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃)
3
2
2𝜋
𝜋𝑅
𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
= ∫ ∫(3𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4𝑟3𝑠𝑒𝑛2𝜃)
3
2
2𝜋
𝜋
 𝑑𝑟 𝑑𝜃
= ∫ (3
𝑟3
3
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4
𝑟4
4
𝑠𝑒𝑛2𝜃)
𝑟=2
𝑟=3
𝑑𝜃 =
=
2𝜋
𝜋
∫ ((27 − 8)𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝜋
𝜋
+ (81 − 16)𝑠𝑒𝑛2𝜃) 𝑑𝜃 = (19𝑠𝑒𝑛𝜃)𝜋
2𝜋
+ 65 ∫
1
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 =
2𝜋
𝜋
65
2
(𝜃 −
𝑠𝑒𝑛2𝜃
2
)
𝜋
2𝜋
=
65
2
(2𝜋 − 𝜋) =
65𝜋
2
 
x 
y 
3 2 
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3ª Questão: Esboce a região de integração e calcule 
∫ ∫ 𝑒𝑥 𝑦⁄ 𝑑𝑦 𝑑𝑥
1
𝑥
1
0
 
É muito mais fácil integral primeiro em x e depois em y, então vamos mudar a ordem 
de integração 
 
 
 
 
 
 
 
Região R tipo I: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
Reescrevendo a região R como tipo II, temos: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑦 ≤ 1,0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦} 
Assim, temos que: 
∫ ∫ 𝑒𝑥 𝑦⁄ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
1
𝑥
1
0
∫ ∫ 𝑒𝑥 𝑦⁄ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑦
0
1
0
∫[𝑦 𝑒𝑥 𝑦⁄ ]
𝑥=0
𝑥=𝑦
 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦(𝑒 − 1) 𝑑𝑦 =
1
0
1
0
(𝑒 − 1) [
𝑦2
2
]
0
1
=
(𝑒 − 1)
2
 
 
 
 
 
 
x 
y 
1 
1 
y=x Região tipo I 
R 
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4ª Questão: Determine o volume do tetraedro sólido de vértices 
(0,0,0); (1,0,0); (0,1,0) 𝑒 (0,0,1). 
 
O volume pode ser calculado como uma integral dupla de uma função f(x,y) integrada 
em uma área, ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅 , ou pela integral tripla do elemento de volume, ∭ 𝑑𝑉𝐸 , 
integrado em toda a região ocupada pelo sólido. 
Qualquer que seja o método escolhido, temos que isolar a variável z na equação do 
plano: z=1-x-y 
No caso da integral dupla, a função será 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦 e será integrada sobre a 
região triangular no plano xy, cujos vértices são (0,0,0); (1,0,0) 𝑒 (0,1,0). 
Logo, o volume é dado por 𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 =𝑅 ∫ ∫ (1 − 𝑥 − 𝑦)
1−𝑥
0
1
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
∫ [𝑦 − 𝑥𝑦 −
𝑦2
2
]
0
1−𝑥1
0
 𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑥 − 𝑥(1 − 𝑥) −
(1−𝑥)2
2
)
1
0
 𝑑𝑥 = ∫ (
1
2
− 𝑥 +
1
2
𝑥2)
1
0
 𝑑𝑥 =
[
𝑥
2
−
𝑥2
2
+
1
2
 
𝑥3
3
]
0
1
=
1
6
 
 
No caso da integral tripla, o volume é dado por ∭ 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
1−𝑥−𝑦
0
1−𝑥
0
1
0𝐸
=
∫ ∫ [𝑧]0
1−𝑥−𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥
1−𝑥
0
1
0
= ∫ ∫ (1 − 𝑥 − 𝑦)
1−𝑥
0
1
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ [𝑦 − 𝑥𝑦 −
𝑦2
2
]
0
1−𝑥1
0
 𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑥 −
1
0
𝑥(1 − 𝑥) −
(1−𝑥)2
2
) 𝑑𝑥 = ∫ (
1
2
− 𝑥 +
1
2
𝑥2)
1
0
 𝑑𝑥 = [
𝑥
2
−
𝑥2
2
+
1
2
 
𝑥3
3
]
0
1
=
1
6
 
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5 
 
 
5ª Questão: Calcule 
∭ 𝑦2 𝑑𝑉
𝐸
 
onde E é o sólido dentro do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e abaixo do cone 𝑧2 = 4𝑥2 + 4𝑦2. 
Pela geometria do problema é conveniente usarmos coordenadas cilíndricas, então 
iremos reescrever as equações das superfícies dadas, assim como o integrando: 
- cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 → 𝑟2 = 4 → 𝑟 = 2 
- cone 𝑧2 = 4𝑥2 + 4𝑦2 → 𝑧2 = 4𝑟2 → 𝑧 = 2𝑟 
Assim, temos que 𝐸 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧)|0 ≤ 𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 2𝑟} 
- integrando 𝑦2 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 
Logo, 
∭ 𝑦2 𝑑𝑉
𝐸
= ∫ ∫ ∫ (𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃) 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
2𝑟
0
∫ ∫[𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑧]0
2𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ ∫ 2𝑟4𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝑟 𝑑𝜃
2
0
2𝜋
0
2
0
2𝜋
0
2
0
2𝜋
0
= 
= ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑟4𝑑𝑟 =
2
0
2𝜋
0
2 ∫
1
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 [
𝑟5
5
]
0
2
= [𝜃 −
𝑠𝑒𝑛2𝜃
2
]
0
2𝜋
 
32
5
2𝜋
0
=
64𝜋
5
 
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Digite a equação aqui. 
 
 
 
Formulário: 
 
Elemento de área em coordenadas cartesianas: 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 
Elemento de área em coordenadas polares: 𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
Elemento de volume em coordenadas cartesianas: 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: 𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 =
1
2
−
cos (2𝜃)
2
 
𝐶𝑂𝑆2𝜃 =
1
2
+
cos (2𝜃)
2