Produto Vetorial2017

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Profa. Dra. Fabíola A. Sperotto 
Porfa. Dra. Fabíola A. Sperotto - IMEF - FURG 
Definição 
 Dados dois vetores não nulos e não paralelos, 
 precisamos determinar um 
terceiro vetor que seja simultaneamente ortogonal a 
 
 Significa que 
 
),,(e),,( 321321 vvvvuuuu 

.e vu

0
0


vw
uw


 Os vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤 formam, desta forma, um 
triedro positivo, observe a figura a seguir. 
 Se a rotação for no sentido anti-horário a base é 
positiva. 
 Sendo assim *𝑢, 𝑣 , 𝑤+, é positiva. 
 A base canônica é representada no sentido positivo, 
assim *𝑖 , 𝑗 , 𝑘+ nessa ordem é positiva. 
 
Produto Vetorial de *𝑖 , 𝑗 , 𝑘+ 
 Na prática utilize o seguinte dispositivo para realizar o 
produto vetorial entre os vetores da base: 
Anti-horário 
 Portanto, 
 
 
 
 
 Casos particulares: 
 
jik
ikj
kji






0
0
0



kk
jj
ii



Cálculo do Produto Vetorial 
 Expressão cartesiana: dados dois vetores 
 
 o produto vetorial em coordenadas: 
),,(e),,( 321321 vvvvuuuu 

vu


   
        
        
        kkvujkvuikvu
kjvujjvuijvu
kivujivuiivu
kvjvivkujuiuvu








332313
322212
312111
321321 ,,,,
 Usando o dispositivo anterior para o cálculo dos 
produtos vetoriais, temos 
 
 
 
 No entanto, podemos usar uma regra prática para o 
cálculo deste produto, observe a seguir. 
 
 
 
 
.)()()( 122113312332 kvuvujvuvuivuvuvu


Uso do determinante para o 
cálculo do produto vetorial 












321
321det
vvv
uuu
kji
vu


.)()()( 122113312332 kvuvujvuvuivuvu


Propriedades 
 
   
0.
.
.
.
0.










vuv
vuvuiv
wuvuwvuiii
uvvuii
uui

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 
    wvuwvuix
senvuvuviii
vuvuvuvii
vuvuvi








.
.
.
 e vetoresaos mentesimultanea ortogonal é.
2222

Sentido 
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Aplicações 
 Cálculo de área: 
 Área do paralelogramo 
 𝐴 = 𝑢 × 𝑣 
 
 Área do triângulo 
 
 
𝐴 =
1
2
𝑢 × 𝑣 
𝑢 
𝑣 
Exemplo: 
 Calcular a área de um paralelogramo que tem vértice 
no ponto 𝐴(3,2,1) e uma diagonal de extremidades 
𝐵(1,1,−1) e 𝐶 0,1,2 . 
 Solução: Determinar os vetores 
𝐴𝐵, 𝐴𝐶 
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 1,1, −1 − 3,2,1 = −2,−1,−2 
𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = 0,1,2 − 3,2,1 = −3,−1,1 
𝐴 = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = (−3,8, −1) = 74u.a. 
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