1 Aula

Prévia do material em texto

MÉTODOS QUANTITATIVOS 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Imagine que você foi a um posto e viu que o litro de gasolina está custando 
R$ 3,50. Se você abastecer o veículo com 10 litros de gasolina, quanto vai 
pagar? Para saber o total a ser pago, basta multiplicar 3,50 por 10, o que resulta 
em R$ 35,00. E se outro cliente abastecer o veículo com 15 litros de gasolina? 
Neste caso, 3,50 vezes 15 é igual a R$ 52,50. Observe que o total a ser pago é 
dado em função da quantidade de combustível adquirida. Em muitas situações 
do nosso dia a dia, estamos em contato diretamente ou indiretamente com as 
funções. Mas o que é uma função? É o que veremos a seguir! 
TEMA 1 – FUNÇÕES 
 Uma função é uma relação que associa a cada elemento x do domínio um 
único elemento y do contradomínio. Os elementos do contradomínio que estão 
associados aos elementos do domínio formam o conjunto imagem. 
A seguir, temos uma imagem que ilustra o domínio, o contradomínio e o 
conjunto imagem de uma função. 
Figura 1 – Domínio, contradomínio e conjunto imagem 
 
 As funções são representadas matematicamente por uma expressão que 
relaciona a variável dependente y com a variável independente x. 
No caso do exemplo do posto de combustíveis, a função que relaciona o 
total a ser pago com a quantidade de gasolina a ser colocada é 
 
 
3 
y=3,5x. 
A variável y corresponde ao total a ser pago e é chamada de variável 
dependente, pois é uma consequência do valor de x, a quantidade de gasolina 
adquirida. Podemos dizer que y depende de x. Para sabermos o total y a ser 
pago, basta multiplicarmos a quantidade x de gasolina por 3,5. Uma observação 
importante: 3,5 é equivalente a 3,50. 
Podemos escrever y=3,5x ou também f(x)=3,5x, pois y=f(x). 
O gráfico da função pode ser obtido por meio do GeoGebra, um software 
gratuito disponível em: <www.geogebra.org>. O GeoGebra também pode ser 
utilizado no navegador sem a necessidade de instalação. 
Após abrir a página do GeoGebra, basta clicar em GeoGebra Math Apps. 
 Na caixa de entrada do GeoGebra, é preciso digitar y=3.5x e em seguida 
apertar a tecla Enter. É importante observar que utilizamos o ponto “.” para 
separar as casas decimais, não a vírgula. 
Na figura a seguir, é possível observar que o gráfico da função é uma linha 
reta. Por esse motivo, a função y=3,5x é conhecida como função linear. 
 
 
 
4 
Figura 2 – Gráfico de função linear 
 
 No GeoGebra, se digitarmos na caixa de entrada a expressão “f(10)”, 
teremos como resultado “35”; e se digitarmos “f(15)”, teremos “52,5”, que são os 
respectivos valores funcionais, ou seja, considerando a função f(x)=3,5x, se 
x=10, y=35 e se x=15, y=52,5. 
 
 
 
5 
Figura 3 – Exemplo de função 
 
 É possível observar que sempre que o valor de x aumenta, y tem um 
acréscimo no valor. Nesse caso, temos uma função crescente. Uma função pode 
ser crescente para todo o domínio ou em um determinado intervalo. De um modo 
geral, uma função é dita crescente quando 
1212 yyxx 
. 
 Há situações em que, ao aumentarmos o valor de x, temos uma redução 
no valor de y. Quando isso acontece, a função é dita decrescente. Assim como 
no caso de ser crescente, uma função pode ser decrescente em todo o domínio 
ou em um certo intervalo. Em uma função decrescente, temos que 
1212 yyxx 
. A figura a seguir apresenta um exemplo de função 
decrescente. 
 
 
 
6 
Figura 4 – Gráfico de função decrescente 
 
 Uma função decrescente está associada, por exemplo, à divisão em 
partes iguais de uma herança. Quanto maior o número de pessoas, menor é a 
parte que cada um vai receber. 
TEMA 2 – FUNÇÕES LINEARES 
 Vimos que a função que associa o total a ser pago com a quantidade de 
gasolina comprada é um exemplo de função linear. 
De um modo geral, uma função linear tem sempre a forma 
baxy 
 
onde a e b são constantes. 
 Nessa função, “a” corresponde ao coeficiente angular e indica a taxa de 
crescimento ou de decrescimento da função. O termo b é o coeficiente linear e 
indica o ponto no qual o gráfico da função corta o eixo y. 
 É possível imaginarmos diversos exemplos reais relacionados às funções 
lineares. Podemos considerar, por exemplo, uma indústria que produz camisetas 
com um certo tipo de estampa. Para estampar as camisetas, ela tem um custo 
de R$ 100,00 referente ao cliché, placa gravada em relevo utilizada para 
estampar as peças. O custo de cada camiseta sem estampa corresponde a R$ 
10,00. Sendo assim, para construirmos a função que representa o custo C de 
 
 
7 
produção de x camisetas, multiplicamos a quantidade de camisetas por 10 e 
somamos com 100, ou seja, 
C(x)=10x+100. 
 Para fazermos o gráfico da função no GeoGebra, basta digitarmos 
C(x)=10x+100 na respectiva caixa de entrada. 
 A visualização do gráfico é melhor se clicarmos com o botão direito e 
escolhermos a opção EixoX : EixoY e em seguida 1 : 20. Fazendo isso, para 
cada unidade no eixo x temos 20 unidades no eixo y. 
Figura 5 – Modos de visualização no GeoGebra 
 
 Por meio do GeoGebra, podemos obter o custo total para a produção de 
uma determinada quantidade de camisetas. 
 Se quisermos saber, por exemplo, o custo para a produção de 120 
camisetas, basta digitarmos C(120) na caixa de entrada do GeoGebra. O valor 
obtido será de R$ 1.300,00. 
 
 
 
8 
Figura 6 – Função e gráfico de custo de produção 
 
 Esse mesmo cálculo pode ser feito substituindo x por 120 na função 
C(x)=10x+100: 
C(x)=10x+100 
C(120)=10 . 120+100 
C(x)=1200+100 
C(x)=1300 
Podemos dizer que a função do tipo y=ax+b é chamada de linear, pois o 
respectivo gráfico consiste em uma linha reta. Se o valor de “a”, o coeficiente de 
x, for positivo, a função é crescente, e, se esse coeficiente de x for negativo, a 
função é decrescente: 
a>0: função crescente 
a<0: função decrescente. 
Exemplo: 
 Vamos imaginar que em uma indústria automotiva a produção de 
automóveis no primeiro mês do ano foi de 25 veículos por dia e no 5° mês do 
ano, foi de 18 veículos por dia. Com base nessas informações, escreva a 
equação da reta que está relacionada a esse problema e faça uma previsão da 
produção diária no sexto mês. 
Resolução: Para resolver esse problema, o primeiro passo é determinar a 
equação da reta associada a esse caso. Para obter essa equação, precisamos 
de dois pontos. O primeiro ponto é obtido a partir da informação de que no 
primeiro mês a produção diária foi de 25 automóveis. Isso corresponde então ao 
 
 
9 
par ordenado A(1, 25). Observe que esse par ordenado é da forma (x, y), no qual 
o primeiro valor corresponde ao mês (x=1), e o segundo valor corresponde à 
produção diária (y=25). Para o próximo ponto, sabemos que no quinto mês a 
produção diária foi de 18 veículos, ou seja, x=5 e y=18, o que resulta no ponto 
B(5, 18). 
 A partir dos pontos A(1, 25) e B(5, 18), basta substituirmos cada um deles 
pontos na expressão y=ax+b. 
 Para A(1, 25), temos: 
y=ax+b 
25=a(1)+b 
25=a+b 
a+b=25 
 Para B(5, 18), temos: 
y=ax+b 
18=a(5)+b 
18=5a+b 
5a+b=18 
A partir das equações obtidas, temos que resolver o sistema 





185
25
ba
ba 
 Para resolvermos esse sistema, o procedimento é multiplicar uma das 
equações por -1 e em seguida somar as duas equações. 
 Multiplicando a primeira equação por -1, temos: 





185
25
ba
ba 
 O próximo passo é somar as duas equações: 
 
 
10 
704
185
25





a
ba
ba
 
 Como 4a+0 é igual a 4a, então 
4a=-7 
a=-7/4 
a=-1,75 
 Para obtermos o valor de b, basta substituirmos a=-1,75 na primeira 
equação: 
a+b=25 
-1,75+b=25 
b=25+1,75 
b=26,75 
 Logo, a função procurada é dada por 
y=-1,75x+26,75. 
 Como o objetivo é fazermos uma estimativa para o sexto mês, temos x=6. 
Agora, é só substituirmos esse valor de x na função y=-1,75x+26,75: 
y=-1,75x+26,75 
y=-1,75 . 6+26,75 
y=-10,5+26,75 
y=16,25 
 Como estamos pensando em quantidades inteiras, a previsão de 
produção de automóveis para o sexto mês é de 16 automóveis por dia. 
 Esse problema também pode ser resolvido facilmente no GeoGebra. 
 Inicialmente precisamos criar uma lista com os pontos. Na caixa de 
entrada vamos digitar 
lista={(1,25),(5,18)} 
 
 
11 
 Em seguida, para obtermos a função que passa por esses pontos o 
comando a ser utilizado é: 
Polinômio[lista] 
 O gráfico é apresentado a seguir. 
Figura 7 – Polinômio e gráfico da função 
 
 Para a previsão referente ao sexto mês, basta digitarmos f(6). 
Figura 8 – Produção no sexto mês 
 
 O resultado é de 16,25 automóveis. 
TEMA 3 – FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
 Muitas situações do nosso cotidiano podem ser descritas por meio de 
funções do segundo grau, uma função da forma 
cbxaxy  2
 
onde a, b e c são constantes e 
0a
, conhecida como função quadrática ou 
função do segundo grau. 
 
 
12 
 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. A concavidade dessa 
parábola pode estar para cima ou para baixo, e isso depende do sinal do 
coeficiente de x2, ou seja, depende do sinal de a. 
Se 
0a
, a parábola tem concavidade voltada para cima. 
Figura 9 – Parábola com concavidade para cima 
 
 
Se 
0a
, a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
Figura 10 – Parábola com concavidade para baixo 
 
 
 
13 
Para que servem as equações quadráticas? 
 As funções do segundo grau estão presentes em diversas situações do 
cotidiano. Uma função quadrática pode relacionar a variação do lucro referente 
à venda de uma mercadoria com a variação do respectivo. Também temos 
movimentos de objetos atirados que têm um comportamento descrito por uma 
parábola. 
 Há ainda construções famosas que utilizam a parábola como base. A 
igreja São Francisco de Assis, localizada em Pampulha, Minas Gerais, é um 
exemplo do uso das parábolas na arquitetura. 
Figura 11 – Igreja de São Francisco de Assis 
 
Fonte: <https://bimbon-
assets.s3.amazonaws.com/ckeditor/picture/data/5629394bf369334e6102abe8/content_pamps.j
pg>. 
Se a parábola tem concavidade para baixo, então essa função quadrática 
tem um ponto de máximo, e, se a parábola tem a concavidade voltada para cima, 
então a função tem um ponto de mínimo. Para determinarmos qual é o valor de 
x que implica no ponto de máximo ou ponto de mínimo da função, basta 
considerarmos a fórmula do x referente ao vértice, chamado de xv. 
As coordenadas do vértice podem ser obtidas pelas fórmulas 
a
b
xv
2


 
e 
 
 
14 
acb
a
yv 4 onde 
4
2 


 
Observe a figura a seguir. O vértice de uma parábola coincide com a 
extremidade da função que, como já vimos, pode ser um ponto de máximo ou 
um ponto de mínimo dessa função. 
Figura 12 – Ponto de máximo 
 
 Para entendermos melhor a importância das funções quadráticas e das 
coordenadas do vértice, vamos ver um exemplo real: 
 Uma empresa comercializa frigideiras e deseja aumentar seu lucro 
mensal fazendo uma alteração no preço dessas frigideiras. A função quadrática 
que relaciona o lucro com o preço praticado é 
L(x)=-3x2+150x-1200 
onde x é o preço de venda de cada frigideira, e L é o lucro total. Sendo 
assim, determine: 
a. O preço que maximiza o lucro 
b. O lucro máximo 
Resolução: 
a. O preço que maximiza o lucro é o valor de x referente ao vértice, que pode 
ser facilmente calculado utilizando-se a fórmula do xv. 
a
b
xv
2


 
 Inicialmente, precisamos dos coeficientes a e b da função: 
 
 
15 
a = -3 
b = 150 
 O próximo passo é substituirmos esses coeficientes na fórmula. 
 32
150


vx
 
6
150


vx
 
25vx
 
 Nesse caso, R$ 25,00 é o preço que maximiza o lucro. 
b. Para determinarmos o lucro máximo, podemos utilizar a fórmula referente 
ao yv ou também podemos substituir o valor do x encontrado no item 
anterior na função L(x)=-3x2+150x-1200. 
 Fazendo a substituição de x por 25 na função quadrática, temos 
L(25)=-3(25)2+150(25)-1200 
L(25)=-3(625)+150(25)-1200 
L(25)=-1875+3750-1200 
L(25)=675 
 Portanto, o lucro máximo corresponde a R$ 675,00. 
 No caso das funções quadráticas, podemos determinar as raízes 
utilizando a fórmula quadrática 
acb
a
b
x 4 onde 
.2
2 


. 
 Graficamente, as raízes de uma função quadrática correspondem aos 
valores de x tais que y seja igual a zero. 
Figura 12 – Raízes da função quadrática 
 
 
16 
 
 
 Uma aplicação do cálculo das raízes de uma função quadrática consiste 
em determinarmos quais são os preços mínimo e máximo para que a empresa 
do exemplo anterior tenha lucro. Nesse caso, o primeiro passo é determinarmos 
as raízes da função L(x)=-3x2+150x-1200 e, em seguida, considerarmos o 
intervalo entre as raízes. 
 Primeiro, vamos determinar os coeficientes a, b e c: 
a = -3 
b = 150 
c = -1200 
Agora, precisamos calcular o valor de 

: 
8100
1440022500
)1200)(3(4)150(
4
2
2



 acb
 
 
Calculando as raízes, temos: 
a
b
x
.2


 
)3.(2
8100)150(


x
 
 
 
17 
























40
6
240
6
90150
10
6
60
6
90150
6
90150
222
111
xxx
xxx
x
 
 
 Nesse caso, para essa empresa, os preços que fazem com que o lucro 
seja maior do que zero estão entre 10 e 40. Logo, 10<x<40. 
 Podemos utilizar o GeoGebra para resolver problemas relacionados a 
funções quadráticas. 
Considerando o problema da indústria de frigideiras, o gráfico da função 
pode ser feito digitando L(x)=-3x^2+150x-1200 no campo de entrada do 
GeoGebra. É importante ressaltar que o símbolo “^” indica a potenciação. Por 
esse motivo, foi utilizado para indicar que a variável x está elevada ao quadrado. 
Figura 14 – Resolução do problema com a utilização do GeoGebra 
 
 Para esse gráfico, utilizamos a proporção 1:50. Também é possível 
obtermos o ponto de máximo. Basta escolhermos a opção Otimização: 
 
 
 
18 
Figura 14 – Ponto de máximo obtido pelo GeoGebra 
 
 Em seguida, é só clicar sobre a função e teremos os valores de xv e de yv: 
Figura 15 – Valores de xv e de yv obtidos pelo GeoGebra 
 
 As raízes também podem ser facilmente obtidas com o uso do GeoGebra. 
Basta escolhermos a opção Raízes e clicarmos na função. 
 
 
 
19 
Figura 16 – Como obter raízes pelo GeoGebra 
 
 O GeoGebra fornece os valores das raízes da função. 
Figura 17 – Valores das raízes obtidos pelo GeoGebra 
 
TEMA 4 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Toda função da forma 
  xbaxf .
 
 
 
20 
onde a é diferente de zero, b é positivo e b é diferente de 1, é uma função 
exponencial. O termo a é o valor da função quando x é igual a zero. O termo b é 
chamado de base. Quando b é maior do que 1, a função é crescente, e, se b 
está entre 0 e 1, a função é decrescente. 
As funções exponenciais têm diversas aplicações em problemas reais e 
são muito comunsem problemas relacionados ao crescimento populacional, ao 
comportamento das frequências das notas musicais relativas à escala ocidental, 
problemas envolvendo oferta e demanda, depreciação, meia-vida de uma 
substância, juros compostos, entre outros. 
Para exemplificarmos uma situação envolvendo funções exponenciais, 
podemos imaginar uma indústria que tem um crescimento anual previsto de 10% 
ao ano. Se o valor atual dessa empresa é de 5 milhões de reais, a cada ano esse 
valor é 10% maior do que o valor atual. Para estimarmos o valor da empresa a 
cada ano, devemos multiplicar o valor atualizado da empresa por 1,1. Isso 
corresponde a 100% mais o acréscimo de 10%, pois 100%+10%=110%, o que, 
na forma decimal, é igual a 1,1. Esse fator de crescimento é a base da função 
exponencial. 
Vamos acompanhar os respectivos valores anuais da empresa nos 5 
primeiros anos. 
Tabela 1 – Valores anuais da empresa 
Ano Valor (em milhões de reais) 
0 5 
1 5 x 1,1 = 5,5 
2 5 x 1,12 = 6,05 
3 5 x 1,13 = 6,655 
4 5 x 1,14 = 7,32050 
5 5 x 1,15 = 8,05255 
 
 Para um n qualquer, a função que relaciona o valor f da empresa com o 
tempo x é: 
  xxf 1,1.5
 
 
 
21 
onde a=5 e b=1,1. A base corresponde ao fator de aumento 1,1 e o valor 
de a corresponde ao valor da empresa quando x=0, ou seja, a=5. 
 Podemos utilizar o GeoGebra para fazermos o gráfico da função 
  xxf 1,1.5
. 
 Para isso precisamos digitar f(x)=5*1.1^x na caixa de entrada: 
Figura 18 – Gráfico produzido pelo GeoGebra 
TEMA 5 – APLICAÇÕES DE FUNÇÕES 
 Além das funções lineares, quadráticas e exponenciais, muitas vezes 
temos outros tipos de funções que podem ser utilizados para a resolução de 
problemas reais. 
 Veremos a seguir exemplos em que diferentes tipos de funções são 
utilizados. 
Exemplo 1: Uma organização de saúde fez um estudo e descobriu que, 
para vacinar x% da população de uma cidade, o custo C em milhões de reais é 
dado por 
x
x
xC


220
200
)(
. 
 Utilizando o GeoGebra, faça o gráfico dessa função. Em seguida, 
identifique qual é o custo para que seja possível vacinar 40% da população. 
Resolução: 
 
 
22 
Na caixa de entrada do GeoGebra, precisamos digitar C(x)=200x/(220-x). 
Em seguida, basta digitar C(40). 
Figura 19 – Resolução pelo GeoGebra 
 
 Logo, o custo para vacinar 40% da população é de 44,44 milhões de reais. 
Exemplo 2: Para a produção de x camisetas estampadas, o custo unitário 
corresponde a 
x
x
xC
10010
)(


. 
 Por meio do GeoGebra, faça o gráfico da função. Qual é o custo unitário 
quando a empresa produz 10 unidades? E quando produz 100 unidades? 
Resolução: 
Para fazer o gráfico, basta digitar C(x)=(10x+100)/x na caixa de entrada do 
GeoGebra. Em seguida, digite C(10) e depois C(100). 
 
 
 
23 
Figura 20 – Resolução pelo GeoGebra 
 
 Para 10 unidades, o custo unitário de produção é de R$ 20,00, e, para 
100 unidades, esse custo corresponde a R$ 11,00. Isso ocorre porque o custo 
fixo de R$ 100,00 tem um impacto menor no custo unitário quando a produção 
aumenta. Graficamente, é possível perceber que há uma redução do custo 
unitário quando a produção aumenta. 
FINALIZANDO 
Chegamos ao final da nossa primeira aula de Métodos Quantitativos. 
Tivemos a oportunidade de estudar funções lineares, quadráticas, exponenciais 
e funções em geral. Vimos diversas aplicações relacionadas às funções e 
também como é possível utilizarmos o GeoGebra para representar graficamente 
as funções. Ainda aprendemos a obter as raízes e as coordenadas do vértice de 
funções quadráticas. 
 
 
REFERÊNCIAS 
CASTANHERIA, N. P. Matemática Aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F.D. et al. Pré-Cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Função de uma variável. 2. 
ed. São Paulo: Pearson, 2007.