Engrenagens: Classificação e Aplicações

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7 - ENGRENAGENS 
 
7.1 - Transmissão por engrenagens 
 
 Quando a relação entre as rotações de duas árvores deve ser constante ou se os 
esforços a transmitir são muito elevados, devemos utilizar rodas dentadas. Um par de 
rodas dentadas que permite a transmissão de movimento rotativo de uma árvore para 
outra, formam um engrenamento. (Na prática emprega-se o termo engrenagem como 
sinônimo de roda dentada). 
 
n2 / n3 = constante onde: n2 = rpm da engrenagem 2 e n3 = rpm da engrenagem 3 
 
7.2 - Classificação 
 
7.2.1 - Engrenagens cilíndricas 
 
� Dentes retos engrenamento externo Fig. 7.1 (a) - eixos paralelos. 
� Dentes retos engrenamento interno Fig. 7.1 (b) - eixos paralelos. 
� Cremalheira - pinhão Fig. 7.1 (c) - eixos paralelos. 
� Dentes Inclinados ( helicoidal ) Fig. 7.1 (d) - eixos paralelos. 
� Dentes helicoidais Fig. 7.1 (e) - eixos cruzados. 
 
 
 a b c 
 
 
 
 d d (dupla) d ( em V ) e 
Fig. 7.1 - Engrenagens cilíndricas 
 
 2 
7.2.2 - Engrenagens coroa e parafuso sem-fim Fig. 7.2 - eixos cruzados. 
 
 
Fig. 7.2 Coroa e parafuso sem-fim 
 
 
7.2.3 - Engrenagens cônicas 
 
� Dentes retos Fig. 7.3 (a) eixos concorrentes em um mesmo ponto. 
� Dentes inclinados Fig. 7.3 (b) eixos concorrentes em um mesmo ponto. 
� Dentes espirais Fig. 7.3 (c) eixos concorrentes em um mesmo ponto. 
� Dentes hipoidais Fig. 7.3 (d) eixos descentrados. 
 
 
 
 a b 
 
 
 c d 
 
Fig. 7.3 - Engrenagens cônicas 
 
 
 3 
7.3 – Aplicações básicas 
 
- Engrenagens cilíndricas de dentes retos, cremalheira - pinhão e de dentes 
inclinados (helicoidal) - eixos paralelos: 
� Podem ser montadas com um ou mais pares engrenados; 
� A relação de transmissão máxima por par não deve exceder a 1:8. 
� Para potências até 25000 CV com velocidades tangenciais de até 200 m/s; 
� Apresentam alto rendimento por estágio de 95 a 99%. 
 
- Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais - eixos cruzados: 
� Utilizadas para pequenas distâncias entre centros; 
� Para relações de transmissão de até 1:5; 
� Para transmitir pequenas potências; 
� Apresentam rendimentos próximos das engrenagens de dentes inclinados. 
 
 
 
- Engrenagens coroa e parafuso sem-fim - eixos cruzados: 
� Empregam-se para relações de transmissão por estágio (par) até 1:100; 
� Para potências até 1000 CV com velocidades tangenciais de até 70 m/s; 
� Rendimentos de 97 a 45% (diminuindo com aumento da relação de 
transmissão). 
 
- Engrenagens cônicas de dentes retos e dentes inclinados - eixos concorrentes: 
� Utilizadas quando os eixos interceptam-se em um determinado ponto; 
� Atingem relações de transmissão de até 1:6; 
� Apresentam rendimentos comparáveis às engrenagens cilíndricas. 
 
- Engrenagens cônicas de dentes espirais e dentes hipoidais - eixos concorrentes: 
� Utilização e relação de transmissão, idênticas às engrenagens cônicas 
anteriores; 
� Os dentes espirais ou hipoidais aumentam a capacidade de carga e o 
rendimento, atenuando também o problema de ruído. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.4 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 
 
7.4.1 - Terminologia e definições 
 
 A terminologia dos dentes de engrenagens está ilustrada na Fig. 7.4 e algumas 
definições aparecem a seguir. 
 
 
 
Fig. 7.4 Terminologia de dentes de engrenagem 
 
� Circunferência primitiva (círculo do passo) é uma circunferência teórica sobre a qual 
baseiam-se todos os cálculos. As circunferências primitivas de um par de engrenagens 
acopladas, são tangentes no ponto primitivo “ P “ onde ocorre rolamento puro. 
� Diâmetro primitivo dp define a circunferência primitiva. 
� Número de dentes de uma engrenagem “ Z “ (Ex. Z2 = número de dentes da 
engrenagem 2) 
� Pinhão é a menor de duas engrenagens em contato. A maior é normalmente chamada 
de coroa ou engrenagem. 
� Passo frontal (passo circular) p é o comprimento do arco da circunferência primitiva, 
compreendido entre dois flancos homólogos consecutivos. Assim, o passo frontal é 
igual a soma da espessura do dente e do vão frontal entre dentes. 
� Módulo m é a razão entre o diâmetro primitivo e o número de dentes, expresso em 
milímetros. O módulo indica o tamanho do dente no Sistema Internacional (SI). 
� “Diametral pitch” pd é a razão entre o número de dentes da engrenagem e o diâmetro 
primitivo. Em termos matemáticos, é o inverso do módulo. Como o “diametral pitch” é usado 
somente no sistema de unidades inglesas, é expresso em dentes por polegada. 
� Altura da cabeça ou saliência (adendo) ha é a distância radial entre a circunferência 
de cabeça (ou de topo) e a circunferência primitiva. 
� Altura do pé ou profundidade ( dedendo) hd é a distância radial entre a circunferência 
de pé (ou de raiz) e a circunferência primitiva. 
� Altura do dente (profundidade total) h é a soma da altura do dente com a altura do pé. 
� Folga no fundo do dente c é a distância, sobre a linha de centros, entre a 
circunferência de pé de uma engrenagem e a circunferência de cabeça da engrenagem 
conjugada. 
� Folga lateral (recuo, jogo primitivo) jt é o comprimento de arco medido sobre a 
circunferência primitiva que exprime a diferença entre um vão frontal entre dentes e a 
espessura do dente da engrenagem conjugada. 
 
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7.4.2 – Engrenagens intercambiáveis 
 
 A intercambiabilidade das engrenagens depende do modo de fabricação das 
mesmas. Há várias formas de se gerar uma engrenagem cilíndrica, duas das quais são a 
fresa (prática de oficina) e o método de conformação Fellows que utiliza um pinhão 
gerador. Desenvolvidos estes métodos foi estabelecida uma forma de classificar as 
ferramentas de corte e as engrenagens geradas por estas ferramentas. Existem dois 
sistemas de classificação, o sistema de unidades inglesas que utiliza o diametral pitch pd 
e o sistema internacional (SI) que utiliza o módulo m. 
 
pd = Z / dp
 
 ( dp em dentes por polegadas) (Eq. 7.1) 
 
m = dp / Z ( dp em milímetros ) (Eq. 7.2) 
 
 Se as engrenagens são cortadas com ferramentas padronizadas, elas podem ser 
consideradas intercambiáveis, desde que satisfaçam as seguintes condições: 
 
1- Devem possuir o mesmo módulo ( ou mesmo diametral pitch ). 
2- Os ângulos de pressão deverão ser os mesmos. 
3- As alturas da cabeça e do pé deverão ser as mesmas. 
4- A espessura do dente deverá ser a metade do passo frontal (passo circular). 
 
Para facilitar a racionalização dos projetos, a economia de ferramental e a 
comercialização de engrenagens, os módulos foram normalizados internacionalmente 
pela ISO, que criou uma classificação em três séries “ I , II e III “ ( ver tabela 7.1 ) sendo 
que a primeira “ I “ deve ser adotada preferencialmente. O Sistema diametral pitch 
também foi normalizado pela AGMA. 
 
 O termo engrenagem padronizada é usado freqüentemente para significar que a 
razão entre o diâmetro primitivo e o número de dentes ou seja o módulo é um dos valores 
normalizados pela ISO. As engrenagens padronizadas são intercambiáveis e, como tal, 
são oferecidas comercialmente. 
 
 
Tabela 7.1 Módulos normalizados (padronizados) ISO. 
 
I 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 
II 1,125 1,375 1,75 2,25 2,75 3,5 4,5 5,5 7 9 11 14 18 
III 
 3,25 3,75 6,5A figura 7.5 da página seguinte mostra em uma escala 1:1 (aproximadamente) e 
para um ângulo de pressão de 20º, alguns dentes com os correspondentes módulos da 
tabela 7.1. ( hf = hd ) 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
 
Fig. 7.5 Tamanho do dente em função do módulo 
 
 
 
 
 
 
 7 
74.3 – Linha de ação ou de pressão 
 
 É uma linha que passa no ponto primitivo e, é tangente as circunferências de base 
das engrenagens conjugadas, pontos E1 e E2 (circulo base define o perfil evolvente de 
uma engrenagem) Fig. 7.6. 
 O comprimento da linha de ação ou pressão é dado por Lp = AB onde A = início 
de contato e B = fim de contato entre dentes. 
 
7.4.4 – Ângulo de pressão φφφφ 
 É o ângulo formado pela reta tangente as circunferências primitiva no ponto 
primitivo e a reta da linha de ação ou pressão (normalmente = 20º ) Fig. 7.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 7.6 Linha de ação, ângulos de pressão e de ação 
 
7.4.5 – Ângulo de ação ψψψψ 
 
 É o ângulo de giro de cada engrenagem conjugada, entre o início e o fim de 
contato dos dentes das mesmas Fig. 7.6 onde: 
α = ângulo de aproximação (do início do contato até a linha de centros); 
β = ângulo de afastamento (da linha de centros até o fim do contato). 
ψ1 = α1 + β1 para a engrenagem 1 (motora ou motriz) Fig. 7.6 
ψ2 = α2 + β2 para a engrenagem 2 (movida) Fig. 7.6. 
 
CC’ e DD’ são os arcos de ação sobre a circunferência primitiva respectiva. 
 
 
 
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7.4.6 – Evolvente da circunferência de base 
 
7.4.6.1 – Geração da evolvente 
 
 Evolvente é o tipo de curva mais utilizada para gerar o perfil dos dentes de 
engrenagens. Pode-se gerar uma curva evolvente conforme o sistema da Fig. 7.7 (a). 
Fixa-se um plano de referência “ B “ em um cilindro “ A “, em torno do qual enrola-se um 
cordão “ def “; mantém-se o cordão esticado. O ponto “ b “ sobre o cordão representa um 
ponto traçante e à medida que se desenrola ou enrola o cordão em torno do cilindro “ A “, 
o ponto b descreverá a curva evolvente ac. O raio de curvatura da evolvente varia 
continuamente, sendo zero no ponto a e máximo no ponto c. No ponto b o raio é igual à 
distância be, porque o segmento de gira instantaneamente em torno do ponto e. Assim a 
linha geratriz de é normal à evolvente em todos os pontos de interseção e, ao mesmo 
tempo, é sempre tangente ao cilindro A. A circunferência em torno da qual a evolvente é 
gerada é denominada de circunferência de base. 
 
(a) (b) 
 
Fig. 7.7 (a) Geração de uma evolvente; (b) ação evolvental. 
 
7.4.6.2 – Ação evolvental 
 
O perfil evolvental deve satisfazer as exigências para a transmissão de movimento 
uniforme. A Fig. 7.7 (b) mostra um conjugado de engrenagens com os centros rotativos 
fixos em O1 e O2 e circunferências de base cujos respectivos raios são O1a e O2b. 
Imagina-se que um cordão esteja enrolado em torno da circunferência de base da 
engrenagem 1, no sentido horário, esticado entre os pontos a e b e enrolada, no sentido 
anti-horário, em torno da circunferência de base da engrenagem 2. Se, as circunferências 
de base girarem em sentidos contrários de modo a manterem o cordão esticado, um 
ponto g sobre o cordão descreverá as evolventes cd sobre a engrenagem 1 e ef sobre a 
engrenagem 2. As evolventes são assim geradas simultaneamente pelo ponto traçante. 
O ponto traçante representa, portanto, o ponto de contato, enquanto a parte ab do cordão 
é a linha geratriz (linha de ação). O ponto de contato desloca-se ao longo da linha de 
ação, a qual não muda de posição porque é sempre tangente às circunferências de base 
e como a linha de ação é sempre normal às evolventes no ponto de contato, cumpre-se a 
exigência para a transmissão uniforme de movimento. 
 
 9 
7.4.7 - Interferência nas engrenagens de evolvente 
 
 O item anterior mostrou que uma evolvente inicia-se na circunferência de base e 
gera-se para fora da mesma. Dessa forma não é possível ter um perfil evolvente interno a 
circunferência de base. A linha de ação é tangente às duas circunferências de base de 
um conjugado de engrenagens e esses dois pontos de tangência, representam os limites 
extremos do comprimento da linha de ação. Esses dois pontos (E1 e E2 na Fig. 7.8) são 
chamados de pontos de interferência. 
 
Quando o início de contato (A) e fim de contato (B) entre dentes acontece: 
 
� dentro dos limites de E1 E2 não haverá interferência; 
� fora dos limites de E1 E2 haverá interferência no início e fim de contato; 
� poderá haver interferência só no início ou só no final do contato. 
 
 
Fig. 7.8 Interferência no início de contato. 
 
7.4.7.1 - Número mínimo de dentes de um pinhão para evitar interferência 
 
 Pode ser verificado com a equação 7.8 ou com o nomograma da figura 7.9. 
 
 2 ha 
Zmin. = (Eq. 7.8) 
 m sen2 φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 7.9 Nomograma para verificar a existência de interferência. 
No exemplo da Fig. 7.8, O 
início do contato ponto “A”, 
ocorre antes de E1 e, portanto 
há interferência. Com isso, 
uma parte do perfil evolvente 
da engrenagem movida, terá 
contato com uma parte do 
perfil não evolvente da motora. 
A ponta do dente da 
engrenagem movida escavará 
o flanco do dente da 
engrenagem motora, como na 
linha tracejada da figura. A 
interferência provoca um 
entalhe que enfraquece os 
dentes do pinhão e pode 
provocar uma redução no 
comprimento da linha de ação. 
 
 10 
7.4.7.2 - Meios para evitar a interferência: 
 
� Limitar a altura da cabeça da engrenagem movida, forçando o contato após E1; 
� Estrangulamento do dente da engrenagem motora no processo de fabricação, 
enfraquece o dente no caso de estrangulamento muito grande; 
� utilizar engrenagens com um maior número de dentes (maior espaço); 
� aumentar o ângulo de pressão, obtendo-se menores circunferências de base e maiores 
trechos de flancos dos dentes com perfil evolvente. 
 
 
7.4.8 - Grau de engrenamento (Grau de recobrimento ou relação de contato ) εεεε 
 
 Para que ocorra uma transmissão contínua, o arco de ação CC’ = DD’ deverá ser 
igual ou maior do que o passo frontal p. Logo se εεεε ≥≥≥≥ 1, um novo par de dentes entrará 
em contato antes que o par anterior termine o contato. 
 
 Comprimento do arco de ação CC’ Comprimento da linha de ação Lp 
εεεε = = = = ≥≥≥≥ 1 
 passo frontal p passo da base pb 
 
 
Lp = (da1 / 2)2 - (db1 / 2)2 + (da2 / 2)2 - (db2 / 2)2 - ao sen φ (Eq. 7.9) 
 
pb = p cos φ (Eq. 7.10) 
 
εεεε = Lp / pb (Eq. 7.11) 
 
 Se εεεε for um número inteiro, ele representa o número mínimo de pares de dentes 
em contato simultâneo durante a ação. O número inteiro imediatamente superior 
representará o número máximo de pares de dentes em contato, no início e fim de ação. 
 Fisicamente εεεε é uma média dos dentes em contato durante a ação conjugada. Para 
não ocorrer choques ou falhas na transmissão do movimento εεεεmin. = 1. Geralmente temos: 
 
1,4 ≤ εεεε ≤ 2 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Fig. 7.10 (a) εεεε = 2 (mínimo 2 e máximo 3 dentes em contato) 
 (b) εεεε = 1,36 (mínimo1 e máximo 2 dentes em contato) 
 11 
7.4.9 - Relações para engrenagens cilíndricas de dentes retos 
 
Módulo m = dp / Z 
Número de dentes Z = dp / m 
Diâmetro primitivo dp = Z . m 
Passo frontal ou passo circular p = pi . m 
Altura da cabeça - Adendo ha = m 
Altura do pé - Dedendo hd = 1,25 . m 
Altura total do dente h = 2,25 . m (* Observação 1) 
Folga no fundo c = 0,25 . m 
Diâmetro de topo da = dp + 2. ha = (Z + 2). m 
Diâmetro de fundo dd = dp - 2. hd 
Diâmetro de base db = dp . cos φ 
Ângulo de pressão φ = arc. cos pb / p 
Largura do dente b ≅ 9 . m 
Espessura do dente s = p / 2 
Vão frontal entre dentes e = p / 2 (sem folga no flanco) 
Distância entre eixos (engrenamento 
externo) 
a0 = (dp1 + dp2) / 2 
Distância entre eixos (engrenamento 
interno) 
a0 = (dp2 - dp1) / 2 
Número mínimo de dentes do pinhão Zmin. Ver (Eq. 7.8 ) pg. 9 
Passo da base pb = p . cos φ = pi db / Z 
Comprimento da Linha de pressão Lp Ver (Eq. 7.9 ) pg. 10 
Grau de engrenamento (recobrimento) ε = Lp / pb 
Relação de transmissão i = n1/n2 = Z2 / Z1 = dp2 = dp1 
 
 
(* Observação 1) h=2.25.m ⇒ ISO; ( UNE) EUR. 
 h=2.157.m ⇒ AGMA; ASA (USA) 
 h=13/6 . m ∼ 2.166.m ⇒ ABNT e DIN 
 
Tutorial sobre projeto de evolvente em: www.cadquest.com/books/pdf/gears.pdf 
Mais informações sobre evolvente nas bibliografias do SHIGLEY, J.E. e do MABIE, H.H. 
 
Exemplo - Em um engrenamento externo de engrenagens cilíndricas de dentes retos, são 
conhecidos os seguintes dados: módulo = 6; engrenagem 1 com 15 dentes e 600 rpm SH; 
engrenagem 2 com 70 dentes; diâmetro de base da engrenagem 1 = 84,573 mm. 
 
Desenhar, calcular e ou especificar: 
 
1) Desenho esquemático indicando o sentido de rotação das engrenagens e 
especificando a engrenagem pinhão e a coroa. 
 
2) Z1; Z2; m; n2; db1; db2; dp1; dp2; p ; ha; hd ; h ; c ; s; e; φ; b ; a0; da1; da2; dd1; dd2; pb; Lp; ε; 
i . 
 
3) Verificar se haverá interferência, caso ocorra indicar duas soluções possíveis. 
 
 
 12 
Solução: 
1) 
 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dp1 = Z1 . m = 15 . 6 = 90 mm; dp2 = Z2 . m = 70 . 6 = 420 mm; 
 
db1 = dp1 . cos φφφφ ⇒⇒⇒⇒ φφφφ = arc cos db1 / dp1 ⇒⇒⇒⇒ φφφφ = arc cos 84,573 / 90 = 19,9988 ≅≅≅≅ 20°°°° 
 
db2 = dp2 . cos φφφφ = 420 . cos 20°°°° = 394,67 mm .......... (db2 = Z2 . pb/ pipipipi ) 
 
p = pipipipi . m = pipipipi . 6 = 18,849 mm 
 
pb= p . cos φφφφ = 18,849 . cos 20°°°° = 17,712 mm ........ ( pb= pipipipi . db1/ Z1 = pipipipi . db2/ Z2 ) 
 
ha = m = 6 mm ; hd = 1,25 m = 1,25 . 6 = 7,5 mm ; h = 2,25 . m = 2,25 . 6 = 13,5 mm 
 
c = 0,25 m = 0,25 . 6 = 1,5 mm; s = e = p/2 = 18,849 / 2 = 9,424 mm 
 
b = 9 . m = 9 . 6 = 54mm ; a0 = (dp1+ dp2) / 2 = (90 + 420) / 2 = 255 mm 
 
da1 = dp1+ 2 . ha = 90 + 2. 6 = 102 mm ; da2 = dp2+ 2 . ha = 420 + 2. 6 = 432 mm 
 
dd1 = dp1 - 2 . hd = 90 – 2 . 7,5 = 75 mm ; dd2= dp2 - 2 . hd = 420 – 2 . 7,5 = 405 mm 
 
 
Lp = (da1 / 2)2 – (db1 / 2)2 + (da2 / 2)2 – (db2 / 2)2 - a0 sen φφφφ 
 
 
Lp = (102
 
/ 2)2 – (84,573
 
/ 2)2 + (432
 
/ 2)2 – (394,67
 
/ 2)2 - 255 sen 20°°°° = 29,128 mm 
 
εεεε = Lp / pb = 29,128 / 17,712 = 1,64 (Contato: mínimo 1 dente e máximo 2 dentes) 
 
 
 
3) Zmin.= 2 ha / m sen2 φφφφ = (2 . 6) / (6 . sen2 20°°°°) = 17,09 ⇒⇒⇒⇒ 18 dentes 
 
O pinhão tem 15 dentes portanto, ocorrerá interferência. ⇒⇒⇒⇒ Soluções para evitar a interferência: 
 
a) aumentar o ângulo de pressão; 
b) limitar a altura da cabeça da engrenagem movida, forçando o contato após E1 . 
 
 Novo ha = (Zmin . m . sen2 φφφφ) / 2 = (15 . 6 . sen2 20°°°°) / 2 = 5,264 mm 
 
 
 
 
 
Z1= 15 ; Z2= 70 ; m= 6 mm ; n1= 600 rpm SH 
 
n2 . Z2= n1 . Z1 ⇒⇒⇒⇒ n2 = n1 . Z1 / Z2 
 
n2 = 600 . 15 / 70 = 128,57 rpm SAH. Ou... 
 
i = n1 / n2 = Z2 / Z1 = 70 /15 = 4,666... 
 
n2 = n1 / i = 600 / 4,666...= 128,57 rpm SAH. 
 
db1 = 84,573 mm 
 
 13 
Exercício resolvido em aula - Em um engrenamento externo de engrenagens 
cilíndricas de dentes retos, são conhecidos os seguintes dados: 
- engrenagem 1 com 25 dentes e 150 rpm SH; 
- engrenagem 2 com 75 dentes; 
- módulo = 8 mm; 
- passo da base = 23,617 mm. 
 
Desenhar, calcular e ou especificar: 
 
1) Desenho esquemático indicando o sentido de giro das engrenagens e especificando a 
pinhão e a coroa. 
 
2) n2 ; φ ; a0 ; i . 
 
3) Verificar se haverá interferência, caso ocorra indicar duas soluções possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Exercício complementar - Em um engrenamento externo de engrenagens cilíndricas 
de dentes retos, são conhecidos os seguintes dados: 
- engrenagem 1 com 15 dentes e 400 rpm SH; 
- engrenagem 2 com 200 rpm; 
- módulo = 4 mm; 
- passo da base = 11,808 mm. 
 
Desenhar, calcular e ou especificar: 
 
1) Desenho esquemático indicando o sentido de giro das engrenagens e especificando a 
pinhão e a coroa. 
 
2) Z1; Z2; m; n2; db1; db2; dp1; dp2; p ; ha; hd ; h ; c ; s; e; φ; b ; a0; da1; da2; dd1; dd2; pb; Lp; ε; 
i . 
 
3) Verificar se haverá interferência, caso ocorra indicar duas soluções possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
 
Respostas do exercício complementar 
 
Item 1) 
 
 
 
 
 
Item 2) 
 
Z1 = 15; Z2 = 30 ; m = 4; n2 = 200 rpm SAH; db1 = 56,381 mm; db2 = 112,763 mm; 
 
dp1 = 60 mm; dp2 = 120 mm; p=12,566 mm ; ha = 4 mm; hd = 5 mm ; h = 9 mm; c = 1 mm; 
 
s = e= 6,283 mm; φ = 20°; b =36 mm ; a0 = 90 mm; da1 = 68 mm; da2 =128 mm; 
 
dd1 = 50 mm; dd2 = 110 mm; pb = 11,808 mm; Lp 18,509 mm; i = 2; 
 
ε = 1,567 (Contato: mínimo 1 dente e máximo 2 dentes) 
 
 
Item 3) 
 
Zmin.= 2 ha / m sen2 φφφφ = (2 . 4) / (4 . sen2 20°°°°) = 17,09 ⇒⇒⇒⇒ 18 dentes 
 
O pinhão tem 15 dentes portanto, ocorrerá interferência. ⇒⇒⇒⇒ Soluções para evitar a interferência: 
 
c) aumentar o ângulo de pressão; 
d) limitar a altura da cabeça da engrenagem movida, forçando o contato após E1 .