Transformações Lineares: Núcleo e Imagem

Prévia do material em texto

MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Unidade 11 - Transformac¸o˜es lineares, nu´cleo e imagem
A. Hefez e C. S. Fernandez
Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
10 de agosto de 2013
Transformac¸o˜es lineares
Dados dois conjuntos U e V , ambos na˜o vazios, uma aplicac¸a˜o de U
em V e´ uma “lei” pela qual a cada elemento de U esta´ associado um
u´nico elemento de V . Se F indica essa lei e u indica um elemento
gene´rico de U, enta˜o o elemento associado a u e´ representado por
F (u) (leˆ-se “F de u”) e se denomina imagem de u por F .
O conjunto U e´ o dom´ınio e o conjunto V e´ o contra-dom´ınio da
aplicac¸a˜o F . Para indicar que F e´ uma aplicac¸a˜o de U em V escreve-
se F : U → V .
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 2/11
Transformac¸o˜es lineares
Uma transformac¸a˜o linear e´ um tipo particular de func¸a˜o, entre dois
espac¸os vetoriais, que preserva as operac¸o˜es de adic¸a˜o vetorial e mul-
tiplicac¸a˜o por escalar. Uma transformac¸a˜o linear tambe´m pode ser
chamada de aplicac¸a˜o linear. No caso em que o dom´ınio e contra-
dom´ınio coincidem, e´ usada a expressa˜o operador linear.
• Sejam U e V espac¸os vetoriais. Uma transformac¸a˜o linear de U
em V e´ uma func¸a˜o T : U → V que possui as seguintes propriedades:
(i) T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2), ∀ u1, u2 ∈ U;
(ii) T (α · u) = α · T (u), ∀ u ∈ U e ∀α ∈ R.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 3/11
Transformac¸o˜es lineares
Exemplo: Dada uma matriz invert´ıvel P ∈ M(2 × 2), mostre que
F :M(2× 2)→M(2× 2) definida por F (X ) = P−1 · X · P e´ linear.
Soluc¸a˜o: Usando as propriedades operacionais ba´sicas sobre matrizes
mostra-se que:
F (X + Y ) = F (X ) + F (Y );
F (α · X ) = α · F (X )
para quaisquer X ,Y ∈M(2× 2) e α ∈ R.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 4/11
Transformac¸o˜es lineares
Como visto em unidades anteriores, cada elemento de um espac¸o
vetorial e´ unicamente determinado por uma base do espac¸o. Como
consequeˆncia deste fato, temos que uma transformac¸a˜o linear fica
totalmente determinada se conhecermos seus valores nos vetores de
uma base de seu dom´ınio.
Exemplo: Determine a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que
T (1, 1) = (1, 0) e T (1,−1) = (0, 1).
Soluc¸a˜o: Sendo (x , y) = x+y2 · (1, 1) + x−y2 · (1,−1), segue que
T (x , y) =
x + y
2
· T (1, 1) + x − y
2
· T (1,−1) =
(
x + y
2
,
x − y
2
)
.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 5/11
Transformac¸o˜es lineares
No estudo de func¸o˜es, em va´rias situac¸o˜es faz-se necessa´rio determi-
nar quando uma dada func¸a˜o e´ injetiva, ou sobrejetiva ou bijetiva.
Vejamos alguns exemplos:
• A func¸a˜o f : R → R, definida por f (x) = x2, e´ injetiva, e´
sobrejetiva, e´ bijetiva ?
• A func¸a˜o f : [0,+∞)→ R, definida por f (x) = x2, e´ injetiva, e´
sobrejetiva, e´ bijetiva ?
• A func¸a˜o f : R→ [0,+∞), definida por f (x) = x2, e´ injetiva, e´
sobrejetiva, e´ bijetiva ?
• A func¸a˜o f : [0,+∞) → [0,+∞), definida por f (x) = x2, e´
injetiva, e´ sobrejetiva, e´ bijetiva ?
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 6/11
Transformac¸o˜es lineares
Analisando os exemplos acima, percebe-se que o conceito de injetivi-
dade, sobrejetividade e bijetividade esta˜o relacionados ao dom´ınio e
ao contra-dom´ınio da func¸a˜o.
No caso de transformac¸o˜es lineares, como o dom´ınio e o contra-
dom´ınio sa˜o espac¸os vetoriais, ou seja, apresentam propriedades
gene´ricas, e´ razoa´vel se perguntar: existe uma caracterizac¸a˜o das
transformac¸o˜es lineares injetivas (ou sobrejetivas, ou bijetivas) ?
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 7/11
Nu´cleo e Imagem
Para responder a este questionamento, primeiramente e´ preciso pen-
sar que tipo de caracterizac¸a˜o deseja-se obter. No presente caso, e´
razoa´vel tentar obter uma caracterizac¸a˜o utilizando o que foi estudado
nas unidades anteriores (espac¸o, subespac¸o, base e dimensa˜o).
A resposta a` pergunta e´ positiva, no caso da injetividade, e para ob-
ter a caracterizac¸a˜o faz-se uso da definic¸a˜o de nu´cleo de uma trans-
formac¸a˜o linear.
• Seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear. O nu´cleo de T ,
denotado por KerT , e´ o conjunto de vetores de U que sa˜o levados
por T no vetor nulo de V , ou seja,
KerT = {u ∈ U : T (u) = 0}.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 8/11
Nu´cleo e Imagem
E´ de fa´cil verificac¸a˜o que:
• se T : U → V e´ uma transformac¸a˜o linear, enta˜o KerT e´
subespac¸o vetorial de U;
• uma transformac¸a˜o linear T : U → V e´ injetiva se, somente se,
KerT = {0}.
Exemplo: Considere a func¸a˜o T : R → R, definida por T (x) = x2.
Veja que KerT = {0} e T na˜o e´ injetiva. Temos uma contradic¸a˜o ?
Por que ?
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 9/11
Nu´cleo e Imagem
A imagem de uma transformac¸a˜o linear T : U → V e´ o conjunto
ImT = T (U) = {T (u) : u ∈ U}. Mostra-se que ImT e´ subespac¸o
vetorial de V .
O nu´cleo foi definido como um subespac¸o do dom´ınio cujos elementos
satisfazem uma determinada equac¸a˜o. A equac¸a˜o que caracteriza o
nu´cleo e´ bastante u´til para determinar um conjunto gerador ou uma
base.
No caso da imagem, na˜o temos uma equac¸a˜o que a caracterize. Enta˜o
e´ necessa´rio o uso de outros artif´ıcios para obtenc¸a˜o de um conjunto
gerador.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 10/11
Nu´cleo e Imagem
Neste sentido, vale o seguinte resultado:
• Seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear e {u1, . . . , un} uma
base de U, enta˜o {T (u1), . . . ,T (un)} e´ um conjunto de geradores de
ImT .
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 11/11