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MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS 
EM ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
por 
Lucas Máximo Alves 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 2 
LUCAS MÁXIMO ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 3 
LUCAS MÁXIMO ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
 
 
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas 
para obtenção de créditos da Disciplina de MÉTODOS DOS 
ELEMENTOS FINITOS do curso de Doutorado do 
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do 
Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, 
Departamento de Engenharia Civil/Departamento de 
Matemática da Universidade Federal do Paraná 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. José Viriato Coelho Vargas 
 
Orientador: Prof. Dr. 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 4 
Dedicatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Agradecimentos 
 
 Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades 
que a vida me trouxe. Quero também agradecer: 
 À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. 
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com 
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Epígrafe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“vida é um algo multidimensional cuja 
imprevisível curvatura temporal só é 
conhecida quando se experimenta os fatos a 
cada dia e, mesmo assim, não se consegue 
prever com exatidão a curvatura temporal dos 
fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a 
curvatura futura) numa vizinhança em torno 
do fato no instante presente” (Lucas M. Alves) 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Apresentação ............................................................................................................................17 
Capítulo – I ...............................................................................................................................18 
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS ............................................................18 
1. 1 – Objetivos do capítulo......................................................................................................18 
1. 2 – Introdução ............................................................................................................18 
1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais ............................................................................19 
1. 4 – Simplificação de um Problema Real ..............................................................................19 
1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos.........................................................................................20 
1. 6 – Discretização do Problema .............................................................................................20 
1. 7 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................21 
1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema..........................................................24 
1. 9 – Método dos Elementos Finitos .......................................................................................25 
1. 10 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................26 
1. 11 – Exercícios e Problemas.................................................................................................27 
Capítulo – II..............................................................................................................................28 
O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D ..........................28 
2. 1 - Objetivos do capítulo ......................................................................................................28 
2. 2 - Introdução ............................................................................................................29 
2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos .............................................31 
2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método ..................................................33 
2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica) ....................................................................38 
2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de Contorno 1D (P.V.C.) ...............43 
2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de Contorno Naturais.......................46 
2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin .............................................................................52 
2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) ......................................................56 
2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade ...........................................................................61 
2. 11 - Espaço de Elementos Finitos Lineares..........................................................................73 
2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K ............................................................................77 
2. 13- Análise Matemática........................................................................................................80 
2. 14- Interlúdio: Eliminação de Gauss; Versão do Cálculo a Mão .........................................91 
2. 15 - O Ponto de Vista do Elemento ......................................................................................99 
2. 16- Matriz de Rigidez Elementar e Vetor Forças ...............................................................103 
2. 17 - Montagem da Matriz e Vetor Forças Globais .............................................................106 
 8 
2. 18 – Cálculo Explícito da Matriz de Rigidez e do Vetor Forças........................................110 
2. 19 - Exemplos e Aplicações Teóricas.................................................................................116 
2. 20 - Exercícios e Problemas Teóricos: Teoria da Viga de Euler-Bernoulli e Cúbicas 
Hermíticas ..........................................................................................................120 
2. 21 - Exemplos Práticos e Aplicações .................................................................................127 
2. 22 - Exercícios e Problemas Práticos .................................................................................143 
Capítulo – III ..........................................................................................................................149 
O PROBLEMA BI E TRIDIMENSIONAL - 2D E 3D .........................................................149 
3. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................149 
3. 2 – Introdução ..........................................................................................................149 
3. 3 – O problema 2D e 3D.....................................................................................................150 
3. 4 – O Problema da Condução