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Teorema de Rolle e Corolário do Teorema de Rolle
1. Mostre que a função f(x) = x2 − 2x+ 1 satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo [0, 2].
2. Verifique se a função f(x) = x3 − 3x satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo [−1, 1].
3. Determine o ponto c garantido pelo Teorema de Rolle para a função f(x) = cos(x) no intervalo [0, π].
4. Considere a função f(x) = x3 − 3x2 + 2x no intervalo [0, 2]. Verifique as condições do Teorema de Rolle.
5. Verifique o Teorema de Rolle para f(x) = x4 − 4x2 + 4 no intervalo [−2, 2].
6. Verifique o Corolário do Teorema de Rolle para f(x) = x3 − 6x2 + 9x no intervalo [0, 3].
7. Prove que a função f(x) = ex não satisfaz o Corolário do Teorema de Rolle em nenhum intervalo fechado [a, b].
8. Mostre que a função f(x) = x2 + 3x+ 2 é crescente em [1, 4] usando o Corolário do Teorema de Rolle.
9. Determine se a função f(x) = sin(x) no intervalo [0, π] é estritamente crescente usando o Corolário do Teorema
de Rolle.
10. Verifique o Corolário do Teorema de Rolle para f(x) = x3 − 4x+ 1 no intervalo [−2, 2].
Regra de L’Hôpital e Indeterminações
1. Calcule limx→0
sin(x)
x .
2. Determine limx→∞
x
ex .
3. Resolva limx→0+
ln(x)
1
x
.
4. Calcule limx→∞
x2
ex .
5. Avalie limx→1
x3−1
x−1 .
6. Calcule limx→0+(1 + x)1/x.
7. Resolva limx→∞ x1/x.
8. Determine limx→0 x
x.
9. Avalie limx→0(e
1/x)x.
10. Calcule limx→1
1−xx
x−1 .
Fórmula de Taylor e MacLaurin
1. Determine o polinómio de Taylor de grau 2 para f(x) = ex em torno de x = 0.
2. Use a fórmula de Taylor para obter o polinómio de grau 3 da função f(x) = sin(x) em torno de x = π
4 .
3. Encontre o polinómio de Taylor de grau 4 para f(x) = ln(1 + x) em torno de x = 0.
4. Determine o polinómio de Taylor de grau 3 para f(x) = x3 − x2 + x+ 1 em torno de x = 1.
5. Use a fórmula de Taylor para aproximar f(x) = cos(x) com um polinómio de grau 4 em torno de x = 0.
6. Calcule o polinómio de Taylor de grau 3 para f(x) =
√
1 + x em torno de x = 0.
7. Determine o polinómio de Taylor de grau 2 para f(x) = e−x2
em torno de x = 0.
8. Obtenha o polinómio de Taylor de grau 4 para f(x) = tan(x) em torno de x = 0.
9. Encontre o polinómio de Taylor de grau 3 para f(x) = arctan(x) em torno de x = 0.
10. Use a fórmula de Taylor para aproximar f(x) = ex
2
com um polinómio de grau 3 em torno de x = 0.
11. Determine o polinómio de MacLaurin de grau 2 para f(x) = ex.
12. Calcule o polinómio de MacLaurin de grau 4 para f(x) = sin(x).
13. Obtenha o polinómio de MacLaurin de grau 5 para f(x) = cos(x).
14. Determine o polinómio de MacLaurin de grau 3 para f(x) = ln(1 + x).
15. Use a fórmula de MacLaurin para aproximar f(x) =
√
1 + x com um polinómio de grau 3.
16. Encontre o polinómio de MacLaurin de grau 4 para f(x) = arctan(x).
17. Determine o polinómio de MacLaurin de grau 2 para f(x) = cosh(x).
18. Obtenha o polinómio de MacLaurin de grau 3 para f(x) = tanh(x).
19. Use a fórmula de MacLaurin para calcular o polinómio de grau 3 para f(x) = e−x.
20. Determine o polinómio de MacLaurin de grau 4 para f(x) = 1/(1− x).
Cálculo de Integrais Indefinidas
1.
∫
x2 dx
2.
∫
ex dx
3.
∫
sin(x) dx
4.
∫
cos(x) dx
5.
∫
1
x dx
6.
∫
3x dx
7.
∫
7 dx
8.
∫
x3 + 2x dx
9.
∫ √
x dx
10.
∫
1
x2 dx
11.
∫
(x2 + x+ 1) dx
12.
∫
(ex + x3) dx
13.
∫
sin(x) + cos(x) dx
14.
∫
xex dx
15.
∫
ln(x) dx
16.
∫
x3 + 2x2 + x dx
17.
∫
x4 + x2 + 1 dx
18.
∫
x2 sin(x) dx
19.
∫
x ln(x) dx
20.
∫
x cos(x) dx
21.
∫
x3ex dx
22.
∫
x2 ln(x) dx
23.
∫
x2 sin(x) + x3 cos(x) dx
24.
∫
ex cos(x) dx
25.
∫
x ln(x2) dx
26.
∫
x3e−x dx
27.
∫
x2 arctan(x) dx
28.
∫
ex
2
dx
29.
∫
ln(x)2 dx
30.
∫
x2
√
1− x2 dx
31. Calcule
∫
xex dx.
32. Calcule
∫
ln(x) dx.
33. Calcule
∫
x cos(x) dx.
34. Calcule
∫
x sin(x) dx.
35. Calcule
∫
ex cos(x) dx.
36. Calcule
∫
x2ex dx.
37. Calcule
∫
x2 ln(x) dx.
38. Calcule
∫
x2 cos(x) dx.
39. Calcule
∫
x2e2x dx.
40. Calcule
∫
x3 ln(x) dx.
41. Calcule
∫
x3ex
2
dx.
42. Calcule
∫
x2esin(x) cos(x) dx.
43. Calcule
∫
x3 ln(x2 + 1) dx.
44. Calcule
∫
ex ln(x2 + 1) dx.
45. Calcule
∫
x3 arctan(x) dx.
Integração de Funções Racionais
1. Calcule
∫
1
x dx.
2. Calcule
∫
1
x2+1 dx.
3. Calcule
∫
x
x2+1 dx.
4. Calcule
∫
1
x2+2x+2 dx.
5. Calcule
∫
x
x2+x+1 dx.
6. Calcule
∫
x2
x3+1 dx.
7. Calcule
∫
x+1
x2+1 dx.
8. Calcule
∫
1
(x+1)(x+2) dx.
9. Calcule
∫
1
x2+4x+5 dx.
10. Calcule
∫
x2
x4+1 dx.
11. Calcule
∫
x3
x4+1 dx.
12. Calcule
∫
1
x(x2+1) dx.
13. Calcule
∫
1
(x2+1)2 dx.
14. Calcule
∫
x2+2
x3+2x+3 dx.
15. Calcule
∫
x
x2+x+1 dx.
16. Calcule
∫
1
x(x2+4) dx.
17. Calcule
∫
1
(x2+1)(x+1) dx.
18. Calcule
∫
x−e
1+x2 dx.
19. Calcule
∫
x2
x4+4 dx.
20. Calcule
∫
x
(x2+1)(x2+4) dx.
Cálculo de Integrais Definidas
1.
∫ 1
0
x2 dx
2.
∫ π
0
sin(x) dx
3.
∫ 2
1
ex dx
4.
∫ 1
−1
x3 dx
5.
∫ 1
0
1
x+1 dx
6.
∫ 2
0
x dx
7.
∫ 1
0
3 dx
8.
∫ 1
0
√
x dx
9.
∫ 1
0
1
x2+1 dx
10.
∫ π/2
0
cos(x) dx
11.
∫ 3
1
(x2 + x) dx
12.
∫ π
0
(sin(x) + cos(x)) dx
13.
∫ 1
0
ex(1 + x) dx
14.
∫ 1
−1
x3 + 2x dx
15.
∫ 1
0
ln(1 + x) dx
16.
∫ 2
1
1
x2+1 dx
17.
∫ π
0
x sin(x) dx
18.
∫ 1
0
x2ex dx
19.
∫ 1
0
x2 dx =
20.
∫ π/2
0
sin2(x) dx
21.
∫ 1
0
x3ex dx
22.
∫ π
0
sin3(x) dx
23.
∫ 2
0
x2ex dx
24.
∫ 2
1
x2 ln(x) dx
25.
∫ 1
0
x2 sin(x2) dx
26.
∫ π
0
ex cos(x) dx
27.
∫ 1
0
3x2 dx
28.
∫ 1
0
1
x2+1 dx
29.
∫ 1
0
x2
√
1− x2 dx
30.
∫ π/2
0
cos2(x) dx
31.
∫ 1
0
xex dx
32.
∫ π
0
x sin(x) dx
33.
∫ 2
1
x2 ln(x) dx
34.
∫ 1
0
x2ex dx
35.
∫ π/2
0
x cos(x) dx
36.
∫ 3
1
x2 ln(x2) dx
37.
∫ 1
0
ex ln(x) dx
38.
∫∞
0
xe−x dx
39.
∫ π
0
x sin(x2) dx
40.
∫∞
0
xe−x2
dx
Integrais Definidas por Mudança de Variável
1.
∫ 1
0
x
√
1− x2 dx
Dica: Substitua x = sin(t).
2.
∫ π/2
0
cos2(x) dx
Dica: Use a identidade trigonométrica cos2(x) = 1+cos(2x)
2 .
3.
∫ 2
1
1
x2+1 dx
Dica: Substitua x = tan(t).
4.
∫∞
0
1
(1+x)2 dx
Dica: Substitua u = 1 + x.
5.
∫ 1
0
x2
√
1− x2 dx
Dica: Substitua x = sin(t).
6.
∫ 1
0
ln(1 + x2) dx
Dica: Substitua u = 1 + x2.
7.
∫ π
0
x sin(x2) dx
Dica: Substitua u = x2.
8.
∫∞
0
e−x
x+1 dx
Dica: Substitua u = x+ 1.
9.
∫ 1
0
xe−x2
dx
Dica: Substitua u = x2.
10.
∫ e
1
ln(x)
x dx
Dica: Substitua u = ln(x).
Integrais Impróprias
1.
∫∞
1
1
x2 dx
2.
∫ 1
0
1√
x
dx∫∞
0
e−x dx
3.
∫∞
1
1
x ln(x) dx
4.
∫ 1
0
1√
1−x
dx
5.
∫ 1
0
1
x2 dx
6.
∫ 2
0
1√
x
dx
7.
∫ π
0
1
sin(x) dx
8.
∫ 1
−1
1
x dx
9.
∫∞
0
1
x2+4 dx
Cálculo de Áreas
1. Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = x2 e y = x+ 2 no intervalo [0, 2].
2. Determine a área da região entre y = sin(x) e y = cos(x) no intervalo [0, π/2].
3. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = x no intervalo [0, 1].
4. Calcule a área da região entre y = ex e y = x+ 1 no intervalo [0, 1].
5. Encontre a área da região delimitada pelas retas y = 2x+ 1 e y = 3x− 1, no intervalo [−1, 2].
6. Calcule a área da região entre y = x2 − 4 e y = 4− x2.
7. Determine a área entre y = ln(x) e y = 2− ln(x), no intervalo [1, e].
8. Calcule a área da região delimitada pelas funções y = |x| e y = 2− x2.
9. Encontre a área entre y =
√
x e y = 2x− x2, no intervalo [0, 1].
10. Determine a área da região limitada por y = tan(x) e y = cot(x), no intervalo [0.1, π/4].
11. Calcule a área da região limitada por y = e−x e o eixo x, no intervalo [0,∞].
12. Encontre a área da região definida por y =
√
1− x2 no primeiro quadrante.
13. Determine a área entre y = 1/x e o eixo x, no intervalo [1, 2].
14. Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = 3x+ 1 e y = x2 + 1, no intervalo [0, 2].
15. Determine a área entre y = 1− x2 e y = x3 − x, no intervalo [−1, 1].
16. Encontre a área da região entre y = ln(x) e y = 1− ln(x), no intervalo [1, e].
17. Calcule a área entre y = sin2(x) e y = cos2(x) no intervalo [0, π/2].
18. Determine a área entre y = ex − 1 e y = 2x no intervalo [0, 1].
19. Calcule a área da região limitada por y = x4 − x2 no intervalo [−1, 1].
20. Determine a área entre y = 1/x2 e o eixo x, no intervalo [1, 2].
Comprimentosde Linhas Planas
1. Encontre o comprimento do arco da curva y = x2, no intervalo [0, 2].
2. Determine o comprimento do arco de y = ln(x), no intervalo [1, 3].
3. Calcule o comprimento do arco da parábola y = x3/3, no intervalo [0, 2].
4. Encontre o comprimento da curva y =
√
x, no intervalo [1, 4].
5. Determine o comprimento da curva y = ex, no intervalo [0, 1].
6. Calcule o comprimento do arco da curva y = sin(x), no intervalo [0, π/2].
7. Encontre o comprimento do arco da curva y = x+ ln(x), no intervalo [1, 2].
8. Determine o comprimento da curva y =
√
1− x2, no intervalo [0, 1].
9. Calcule o comprimento da curva y = 1/x, no intervalo [1, 2].
10. Encontre o comprimento do arco da curva y = x2 + ln(x), no intervalo [1, 3].
11. Determine o comprimento do arco de y = e−x, no intervalo [0, 2].
12. Calcule o comprimento do arco da curva y = ln(x2), no intervalo [1, 2].
13. Encontre o comprimento do arco da curva y = x3 − x, no intervalo [0, 1].
14. Determine o comprimento do arco da curva y = cos(x), no intervalo [0, π].
15. Calcule o comprimento da curva y = tan(x), no intervalo [0, π/4].
16. Encontre o comprimento da curva y =
√
x2 + 1, no intervalo [0, 2].
17. Determine o comprimento do arco de y = 1/x2, no intervalo [1, 3].
18. Calcule o comprimento do arco da curva y = x3 − x2 + 1, no intervalo [1, 2].
19. Encontre o comprimento da curva y = ln(sin(x)), no intervalo [0, π/4].
20. Determine o comprimento do arco da curva y = x4, no intervalo [0, 1].
Cálculo de Volumes
1. Determine o volume do sólido gerado pela rotação de y = x2 em torno do eixo x, no intervalo [0, 1].
2. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de y = sin(x) em torno do eixo x, no intervalo [0, π/2].
3. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação de y = x3 em torno do eixo x, no intervalo [0, 2].
4. Determine o volume do sólido gerado pela rotação de y = ex em torno do eixo x, no intervalo [0, 1].
5. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de y =
√
x em torno do eixo y, no intervalo [0, 4].
6. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação de y = 1/x em torno do eixo x, no intervalo [1, 2].
7. Determine o volume do sólido gerado pela rotação de y = x2 + 1 em torno do eixo x, no intervalo [0, 1].
8. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de y = ln(x) em torno do eixo x, no intervalo [1, e].
9. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação de y = cos(x) em torno do eixo x, no intervalo [0, π/2].
10. Determine o volume do sólido gerado pela rotação de y =
√
1− x2 em torno do eixo x, no intervalo [−1, 1].
Soluções dos Exercícios
Teorema de Rolle e Corolário do Teorema de Rolle
1. A função f(x) = x2 − 2x + 1 satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo [0, 2] pois é contínua,
derivável, e f(0) = f(2) = 1. O ponto c é obtido resolvendo f ′(x) = 2x− 2 = 0, logo c = 1.
2. Para f(x) = x3−3x, as condições são satisfeitas no intervalo [−1, 1], pois é contínua, derivável, e f(−1) = f(1) =
−2. Derivando, f ′(x) = 3x2 − 3 = 0, temos x = ±1. Apenas c = 0 está no intervalo.
3. Para f(x) = cos(x) em [0, π], é contínua, derivável, e f(0) = f(π) = −1. Derivando, f ′(x) = − sin(x) = 0, temos
x = π/2, logo c = π/2.
4. f(x) = x3 − 3x2 + 2x em [0, 2]: contínua e derivável, com f(0) = f(2) = 0. Derivada: f ′(x) = 3x2 − 6x+ 2 = 0.
Resolvendo, x = 1 e x = 2/3. c = 2/3 está no intervalo.
5. f(x) = x4 − 4x2 + 4 no intervalo [−2, 2]: f(−2) = f(2) = 0. Derivada: f ′(x) = 4x3 − 8x = 4x(x2 − 2). Zeros:
x = 0,±
√
2. c = 0 é uma solução válida.
6. f(x) = x3 − 6x2 + 9x em [0, 3]: derivada f ′(x) = 3x2 − 12x+ 9 = 3(x− 1)(x− 3). Soluções: x = 1, 3.
7. f(x) = ex: A função não satisfaz f(a) = f(b) para nenhum intervalo [a, b], pois ex é estritamente crescente.
8. f(x) = x2 + 3x+ 2 em [1, 4]: derivada f ′(x) = 2x+ 3 > 0 para todo x ∈ [1, 4]. Logo, f(x) é crescente.
9. f(x) = sin(x) em [0, π]: derivada f ′(x) = cos(x). Como cos(x) ≥ 0 em [0, π/2] e cos(x) ≤ 0 em [π/2, π], f(x)
não é estritamente crescente.
10. f(x) = x3 − 4x+ 1 em [−2, 2]: derivada f ′(x) = 3x2 − 4. Solução f ′(x) = 0: x = ±
√
4
3 .
Regra de L’Hôpital e Indeterminações
1. limx→0
sin(x)
x = 1.
2. limx→∞
x
ex = 0.
3. limx→0+
ln(x)
1
x
= −∞.
4. limx→∞
x2
ex = 0.
5. limx→1
x3−1
x−1 = 3.
6. limx→0+(1 + x)1/x = e.
7. limx→∞ x1/x = 1.
8. limx→0 x
x = 1.
9. limx→0(e
1/x)x = 1.
10. limx→1
1−xx
x−1 = − ln(x).
Fórmula de Taylor e MacLaurin
A fórmula do polinómio de Taylor de grau n para uma função f(x) em torno de x = a é:
Tn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +
f ′′(a)
2!
(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)
n!
(x− a)n.
1. Determine o polinómio de Taylor de grau 2 para f(x) = ex em torno de x = 0:
T2(x) = 1 + x+
x2
2
.
2. Use a fórmula de Taylor para obter o polinómio de grau 3 da função f(x) = sin(x) em torno de x = π
4 :
T3(x) = sin
(π
4
)
+ cos
(π
4
)(
x− π
4
)
−
sin
(
π
4
)
2!
(
x− π
4
)2
−
cos
(
π
4
)
3!
(
x− π
4
)3
.
3. Encontre o polinómio de Taylor de grau 4 para f(x) = ln(1 + x) em torno de x = 0:
T4(x) = x− x2
2
+
x3
3
− x4
4
.
4. Determine o polinómio de Taylor de grau 3 para f(x) = x3 − x2 + x+ 1 em torno de x = 1:
T3(x) = 2 + 1(x− 1) + 1(x− 1)2 + 1(x− 1)3.
5. Use a fórmula de Taylor para aproximar f(x) = cos(x) com um polinómio de grau 4 em torno de x = 0:
T4(x) = 1− x2
2
+
x4
24
.
6. Calcule o polinómio de Taylor de grau 3 para f(x) =
√
1 + x em torno de x = 0:
T3(x) = 1 +
x
2
− x2
8
+
x3
16
.
7. Determine o polinómio de Taylor de grau 2 para f(x) = e−x2
em torno de x = 0:
T2(x) = 1− x2.
8. Obtenha o polinómio de Taylor de grau 4 para f(x) = tan(x) em torno de x = 0:
T4(x) = x+
x3
3
.
9. Encontre o polinómio de Taylor de grau 3 para f(x) = arctan(x) em torno de x = 0:
T3(x) = x− x3
3
.
10. Use a fórmula de Taylor para aproximar f(x) = ex
2
com um polinómio de grau 3 em torno de x = 0:
T3(x) = 1 + x2 +
x4
2
.
11. Determine o polinómio de MacLaurin de grau 2 para f(x) = ex:
T2(x) = 1 + x+
x2
2
.
12. Calcule o polinómio de MacLaurin de grau 4 para f(x) = sin(x):
T4(x) = x− x3
6
.
13. Obtenha o polinómio de MacLaurin de grau 5 para f(x) = cos(x):
T5(x) = 1− x2
2
+
x4
24
.
14. Determine o polinómio de MacLaurin de grau 3 para f(x) = ln(1 + x):
T3(x) = x− x2
2
+
x3
3
.
15. Use a fórmula de MacLaurin para aproximar f(x) =
√
1 + x com um polinómio de grau 3:
T3(x) = 1 +
x
2
− x2
8
+
x3
16
.
16. Encontre o polinómio de MacLaurin de grau 4 para f(x) = arctan(x):
T4(x) = x− x3
3
.
17. Determine o polinómio de MacLaurin de grau 2 para f(x) = cosh(x):
T2(x) = 1 +
x2
2
.
18. Obtenha o polinómio de MacLaurin de grau 3 para f(x) = tanh(x):
T3(x) = x− x3
3
.
19. Use a fórmula de MacLaurin para calcular o polinómio de grau 3 para f(x) = e−x:
T3(x) = 1− x+
x2
2
− x3
6
.
20. Determine o polinómio de MacLaurin de grau 4 para f(x) = 1
1−x :
T4(x) = 1 + x+ x2 + x3 + x4.
Cálculo de Integrais Indefinidas
1.
∫
x2 dx = x3
3 + C.
2.
∫
ex dx = ex + C.
3.
∫
sin(x) dx = − cos(x) + C.
4.
∫
cos(x) dx = sin(x) + C.
5.
∫
1
x dx = ln |x|+ C.
6.
∫
3x dx = 3x2
2 + C.
7.
∫
7 dx = 7x+ C.
8.
∫
(x3 + 2x) dx = x4
4 + x2 + C.
9.
∫ √
x dx = 2
3x
3/2 + C.
10.
∫
1
x2 dx = − 1
x + C.
11.
∫
(x2 + x+ 1) dx = x3
3 + x2
2 + x+ C.
12.
∫
(ex + x3) dx = ex + x4
4 + C.
13.
∫
(sin(x) + cos(x)) dx = − cos(x) + sin(x) + C.
14.
∫
xex dx = ex(x− 1) + C.
15.
∫
ln(x) dx = x ln(x)− x+ C.
16.
∫
(x3 + 2x2 + x) dx = x4
4 + 2x3
3 + x2
2 + C.
17.
∫
(x4 + x2 + 1) dx = x5
5 + x3
3 + x+ C.
18.
∫
x2 sin(x) dx = −x2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C.
19.
∫
x ln(x) dx = x2
2 (ln(x)− 1
2 ) + C.
20.
∫
x cos(x) dx = cos(x) + x sin(x) + C.
21.
∫
x3ex dx = ex(x3 − 3x2 + 6x− 6) + C.
22.
∫
x2 ln(x) dx = x3
3 (ln(x)− 1
3 ) + C.
23.
∫
(x2 sin(x) + x3 cos(x)) dx = −x2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) + x3 sin(x)− 3x2 cos(x) + C.
24.
∫
ex cos(x) dx = ex
2 (sin(x) + cos(x)) + C.
25.
∫
x ln(x2) dx = x2(ln(x2)− 1)/4 + C.
26.
∫
x3e−x dx = −e−x(x3 − 3x2 + 6x− 6) + C.
27.
∫
x2 arctan(x) dx = x3
3 arctan(x)− 1
3
∫
x3
1+x2 dx+ C.
28.
∫
ex
2
dx: Integral não elementar.29.
∫
ln(x)2 dx = x(ln(x)2 − 2 ln(x) + 2) + C.
30.
∫
x2
√
1− x2 dx = − 1
3 (1− x2)3/2 + C.
31.
∫
xex dx = ex(x− 1) + C.
32.
∫
ln(x) dx = x ln(x)− x+ C.
33.
∫
x cos(x) dx = cos(x) + x sin(x) + C.
34.
∫
x sin(x) dx = − sin(x) + x cos(x) + C.
35.
∫
ex cos(x) dx = ex
2 (sin(x) + cos(x)) + C.
36.
∫
x2ex dx = ex(x2 − 2x+ 2) + C.
37.
∫
x2 ln(x) dx = x3
3 ln(x)− x3
9 + C.
38.
∫
x2 cos(x) dx = 2x cos(x) + (x2 − 2) sin(x) + C.
39.
∫
x2e2x dx = 1
4e
2x(x2 − x+ 1
2 ) + C.
40.
∫
x3 ln(x) dx = x4
4 ln(x)− x4
16 + C.
41.
∫
x3ex
2
dx = 1
2e
x2
(x2 − 1) + C.
42.
∫
x2esin(x) cos(x) dx = 1
3e
sin(x)(x3 − 3x+ 3) + C.
43.
∫
x3 ln(x2 + 1) dx = x4
4 ln(x2 + 1)− 1
8x
2(x2 + 2) + C.
44.
∫
ex ln(x2 + 1) dx = ex
2 ln(x2 + 1)− ex
2(x2+1) + C.
45.
∫
x3 arctan(x) dx = x4
4 arctan(x)− 1
8 ln(x
2 + 1) + C.
Integração de Funções Racionais
1.
∫
1
x dx = ln |x|+ C.
2.
∫
1
x2+1 dx = arctan(x) + C.
3.
∫
x
x2+1 dx = 1
2 ln(x
2 + 1) + C.
4.
∫
1
x2+2x+2 dx = arctan(x+ 1) + C.
5.
∫
x
x2+x+1 dx = 1
2 ln(x
2 + x+ 1) + C.
6.
∫
x2
x3+1 dx = 1
3 ln(x
3 + 1) + C.
7.
∫
x+1
x2+1 dx = arctan(x) + 1
2 ln(x
2 + 1) + C.
8.
∫
1
(x+1)(x+2) dx = ln |x+ 1| − ln |x+ 2|+ C.
9.
∫
1
x2+4x+5 dx = 1
2 arctan(x+ 2) + C.
10.
∫
x2
x4+1 dx = 1
2 arctan(x
2) + C.
11.
∫
x3
x4+1 dx = 1
4 ln(x
4 + 1) + C.
12.
∫
1
x(x2+1) dx = 1
2 ln(x
2 + 1)− ln |x|+ C.
13.
∫
1
(x2+1)2 dx = 1
2 arctan(x)−
x
2(x2+1) + C.
14.
∫
x2+2
x3+2x+3 dx = 5
3 ln |x
3 + 2x+ 3|+ C.
15.
∫
x
x2+x+1 dx = 1
2 ln(x
2 + x+ 1) + C.
16.
∫
1
x(x2+4) dx = 1
4 ln(x
2 + 4)− 1
2 ln |x|+ C.
17.
∫
1
(x2+1)(x+1) dx = − 1
2 ln(x
2 + 1) + 1
2 arctan(x) +
1
2 ln |x+ 1|+ C.
18.
∫
x−e
1+x2 dx = 1
2 ln(1 + x2)− e tan−1(x) + C.
19.
∫
x2
x4+4 dx = 1
2 arctan(
x2
2 ) + C.
20.
∫
x
(x2+1)(x2+4) dx = 16 ln
(
x2+1
x2+4
)
+ C.
Cálculo de Integrais Definidas
1.
∫ 1
0
x2 dx = 1
3 .
2.
∫ π
0
sin(x) dx = 2.
3.
∫ 2
1
ex dx = e2 − e.
4.
∫ 1
−1
x3 dx = 0.
5.
∫ 1
0
1
x+1 dx = ln(2).
6.
∫ 2
0
x dx = 2.
7.
∫ 1
0
3 dx = 3.
8.
∫ 1
0
√
x dx = 2
3 .
9.
∫ 1
0
1
x2+1 dx = π
4 .
10.
∫ π/2
0
cos(x) dx = 1.
11.
∫ 3
1
(x2 + x) dx = 38
3 .
12.
∫ π
0
(sin(x) + cos(x)) dx = 2.
13.
∫ 1
0
ex(1 + x) dx = e.
14.
∫ 1
−1
x3 + 2x dx = 0.
15.
∫ 1
0
ln(1 + x) dx = 2 ln(2)− 1.
16.
∫ 2
1
1
x2+1 dx = π
4 − arctan(1).
17.
∫ π
0
x sin(x) dx = π.
18.
∫ 1
0
x2ex dx = e− 5
e .
19.
∫ 1
0
x2 dx = 1
3 .
20.
∫ π/2
0
sin2(x) dx = π
4 .
21.
∫ 1
0
x3ex dx = e
2 − 7
e .
22.
∫ π
0
sin3(x) dx = 4
3 .
23.
∫ 2
0
x2ex dx = −2e2.
24.
∫ 2
1
x2 ln(x) dx = 11
18 .
25.
∫ 1
0
x2 sin(x2) dx = sin(1)
2 − cos(1)
4 .
26.
∫ π
0
ex cos(x) dx = eπ+1
2 .
27.
∫ 1
0
3x2 dx = 1.
28.
∫ 1
0
1
x2+1 dx = π
4 .
29.
∫ 1
0
x2
√
1− x2 dx = π
16 .
30.
∫ π/2
0
cos2(x) dx = π
4 .
31.
∫ 1
0
xex dx = 1
32.
∫ π
0
x sin(x) dx = π
33.
∫ 2
1
x2 ln(x) dx = 7
3 ln(2)−
4
9
34.
∫ 1
0
x2ex dx = 1
35.
∫ π/2
0
x cos(x) dx = π
2
36.
∫ 3
1
x2 ln(x2) dx = 17
3 ln(3)
37.
∫ 1
0
ex ln(x) dx = −1
38.
∫∞
0
xe−x dx = 1
39.
∫ π
0
x sin(x2) dx =
√
2π
2
40.
∫∞
0
xe−x2
dx = 1
2
Integrais Definidas por Mudança de Variável
1.
∫ 1
0
x
√
1− x2 dx = π
8
2.
∫ π/2
0
cos2(x) dx = π
4
3.
∫ 2
1
1
x2+1 dx = π
4
4.
∫∞
0
1
(1+x)2 dx = 1
5.
∫ 1
0
x2
√
1− x2 dx = 1
3
6.
∫ 1
0
ln(1 + x2) dx = π
4
7.
∫ π
0
x sin(x2) dx =
√
2π
2
8.
∫∞
0
e−x
x+1 dx = e−1
9.
∫ 1
0
xe−x2
dx = 1
2
10.
∫ e
1
ln(x)
x dx = 1
2
Integrais Impróprias
1.
∫∞
1
1
x2 dx = 1
2.
∫ 1
0
1√
x
dx = 2∫∞
0
e−x dx = 1
3.
∫∞
1
1
x ln(x) dx = ∞
4.
∫ 1
0
1√
1−x
dx = 2
5.
∫ 1
0
1
x2 dx = ∞
6.
∫ 2
0
1√
x
dx = 4
7.
∫ π
0
1
sin(x) dx = ∞
8.
∫ 1
−1
1
x dx = 0
9.
∫∞
0
1
x2+4 dx = π
4
Cálculo de Áreas
A área da região entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo [a, b] é dada por:
A =
∫ b
a
|f(x)− g(x)| dx.
1. Área =
∫ 2
0
((x+ 2)− x2) dx = 4
2. Área =
∫ π/2
0
| sin(x)− cos(x)| dx = 1
3. Área =
∫ 1
0
(x− x3) dx = 1
2
4. Área =
∫ 1
0
(ex − (x+ 1)) dx = e− 2
5. Área =
∫ 2
−1
|(3x− 1)− (2x+ 1)| dx = 9
6. Área =
∫ 2
−2
(4− x2 − (x2 − 4)) dx = 16
7. Área =
∫ e
1
(2− ln(x)− ln(x)) dx = 1
8. Área = 2
∫ 1
0
√
x dx = 4
3
9. Área =
∫ 1
0
(
√
x− (2x− x2)) dx = 5
6
10. Área =
∫ π/4
0.1
| tan(x)− cot(x)| dx = 0.548
11. Área =
∫∞
0
e−x dx = 1
12. Área =
∫ 1
0
√
1− x2 dx = π
4
13. Área =
∫ 2
1
1
x dx = ln(2)
14. Área =
∫ 2
0
((3x+ 1)− (x2 + 1)) dx = 5
15. Área =
∫ 1
−1
((1− x2)− (x3 − x)) dx = 4
3
16. Área =
∫ e
1
(1− ln(x)− ln(x)) dx = 1
17. Área =
∫ π/2
0
| sin2(x)− cos2(x)| dx = π
4
18. Área =
∫ 1
0
(2x− (ex − 1)) dx = 1− e+ 2
19. Área =
∫ 1
−1
|x4 − x2| dx = 4
3
20. Área =
∫ 2
1
1
x2 dx = 1
Comprimentos de Linhas Planas
1. Comprimento =
∫ 2
0
√
1 + (2x)2 dx =
√
17 + 1
4 ln |
√
17 + 4| − 0.
2. Comprimento =
∫ 3
1
√
1 +
(
1
x
)2
dx = ln(3 +
√
10)
3. Comprimento =
∫ 2
0
√
1 + (x2)2 dx = 1
2
[
2x
√
1 + x4 + ln(x+
√
1 + x4)
]2
0
4. Comprimento =
∫ 4
1
√
1 + 1
4x dx =
√
17− 3
5. Comprimento =
∫ 1
0
√
1 + (ex)2 dx
6. Comprimento =
∫ π
2
0
√
1 + cos2(x) dx
7. Comprimento =
∫ 2
1
√
1 +
(
1
x
)2
dx
8. Comprimento =
∫ 1
0
√
1− x2 dx = π
2
9. Comprimento =
∫ 2
1
√
1 +
(−1
x2
)2
dx
10. Comprimento =
∫ 2
0
√
1 + (e−x)2 dx
11. Comprimento =
∫ 2
1
√
1 +
(
2x
x2
)2
dx
12. Comprimento =
∫ 1
0
√
1 + (x3 − x)2 dx
13. Comprimento =
∫ π
0
√
1 + (− sin(x))2 dx
14. Comprimento =
∫ π
4
0
√
1 + tan2(x) dx
15. Comprimento =
∫ 2
0
√
1 + (x2)2 dx
16. Comprimento =
∫ 3
1
√
1 +
(−1
x2
)2
dx
17. Comprimento =
∫ 2
1
√
1 +
(
3x2−2
x2
)2
dx
18. Comprimento =
∫ 1
0
√
1 + (x4)2 dx
Cálculo de Volumes
1. Volume = π
∫ 1
0
(x2)2 dx = π
5
2. Volume = π
∫ π/2
0
sin2(x) dx = π
4
3. Volume = π
∫ 2
0
(x3)2 dx = 64π
5
4. Volume = π
∫ 1
0
e2x dx = e2−1
2 π
5. Volume = π
∫ 4
0
(
√
x)2 dx = 64
3
6. Volume = π
∫ 2
1
(
1
x
)2
dx = π
(
1
2 − 1
4
)
= π
4
7. Volume = π
∫ 1
0
(x2 + 1)2 dx = π
(
7
3
)
= 7π
3
8. Volume = π
∫ e
1
(ln(x))2 dx = π (e− 2)
9. Volume = π
∫ π/2
0
cos2(x) dx = π
4
10. Volume = π
∫ 1
−1
√
1− x2
2
dx = π