1 8-1 9_Erros_24_25

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Métodos Numéricos
e Estatística
Francisco Miranda – Isabel Duarte
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1.8 Propagação de erros
x
 xf
 xfy 
xxxx  00 :   yyyxfy  000 :
?
Francisco Miranda – Isabel Duarte
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1.8 Propagação de erros
Majorante do erro absoluto da aproximação y0:
x
dx
dy
y
M
 Fórmula Fundamental do Cálculo 
(Propagação) de Erros - FFCE
Estimativa do erro absoluto da aproximação y0:
x
dx
dy
y
xx

 0
0
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1.8 Propagação de erros
Seja f(x) = 3x2 + 1, x  IR, e tomemos 2.7 como um valor
aproximado de x, considerando significativos todos os
algarismos da aproximação. Assim, x = 2.7  0.05 e
Exemplo:
  .87.2217.23 2
0 y
(Arred. simétrico)
Como x [2.7-0.05,2.7+0.05], aplicando FFCE, obtemos:
  ,83.005.005.07.266  xxy
M
donde x = 2.7  0.05 implica y = 22.87  0.83. 
(Arred. excesso)
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gonca
Sublinhado
gonca
Realce
gonca
Realce
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1.8 Propagação de erros
Utilizando a estimativa de |y0|, que não efetua a referida
majoração, vem
81.005.07.26
0
0 

x
dx
dy
y
xx (Arred. simétrico)
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1.8 Propagação de erros
Generalização
 Sendo y = f(x1,x2,…,xn), com xi = xi,0  xi e y = y0  y, 
tomando y0 = f(x1,0,x2,0,…,xn,0), temos FFCE dada por
,
1
i
Mi
n
i
x
x
f
y 


 

desde que as derivadas parciais sejam contínuas no 
domínio considerado.
 Uma estimativa do erro absoluto de y0 será dada por
.
0,1
0 i
ixixi
n
i
x
x
f
y 





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1.8 Propagação de erros
Sejam z = f(x,y) = xy – x2 + 3, x = 2.3  0.02 e y = 15.2  0.3. 
Temos:
Exemplo:
   .67.3233.22.153.2, 2
000  yxfz

    
 
.. 
....
.... 
ΔyxΔxxy 
y
y
f
x
x
f
z
MM
MM
920
3002032020
02032230215
2











 
 
(Arred. simétrico)
(Arred. excesso)
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1.9 Condicionamento e estabilidade
O condicionamento diz respeito ao problema numérico,
enquanto a estabilidade está ligada aos algoritmos que
resolvem um problema bem condicionado.
Definição: Um problema numérico diz-se mal condicionado, se
pequenas variações nos dados implicarem fortes variações
na solução do problema; se a solução apresentar fraca
sensibilidade às variações dos dados, o problema diz-se bem
condicionado.
Definição: Um algoritmo numérico diz-se instável se a acumulação e
propagação dos erros de arredondamento influenciar
fortemente o resultado; se o resultado apresentar fraca
sensibilidade aos referidos erros, o algoritmo diz-se estável.
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