sc2_20141_equaSistDin_parte2_v0

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Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Equacionamento	
  de	
  Sistemas	
  Dinâmicos	
  
(parte	
  2)	
  
	
  
POLI/UPE	
  
Prof.	
  Roberto	
  Feliciano	
  Dias	
  Filho	
  
	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Plano	
  de	
  Aula	
  
ObjeJvo	
  Principal	
  
Formulação	
   da	
   modelagem	
   matemáAca	
   dos	
   principais	
  
sistemas	
   dinâmicos	
   lineares	
   a	
   parAr	
   de	
   elementos	
   Dsicos	
  
primiAvos.	
  
Avaliação	
  
Informal,	
   por	
   arguição	
   aos	
   educandos	
   durante	
   a	
   exposicão,	
  
bem	
  como	
  por	
  análise	
  da	
  manifestacão	
  espontânea	
  destes. 	
  
Metodologia	
  
Aula	
   exclusivamente	
   teorica,	
   sendo	
   requerido,	
   para	
   a	
  
exposicão,	
  projetor	
  eletrônico	
  e	
  quadro	
  branco. 	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Impedância	
  (e	
  admitância)	
  são	
  comumente	
  empregadas	
  em	
  engenharia	
  
elétrica	
   para	
   referir-­‐se	
   à	
   relação	
   algebrica	
   existente	
   entre	
   tensão	
   e	
  
corrente	
  em	
  circuitos	
  elétricos;	
  
Este	
   conceito	
   será	
   apresentado	
   de	
   forma	
   generalizada	
   para	
   qualquer	
  
sistema	
  Dsico	
  (mecânico,	
  térmico	
  e	
  hidráulico)	
  com	
  base	
  nos	
  conceitos	
  
já	
  apresentados	
  de	
  variáveis	
  generalizada	
  (VGAT	
  e	
  VGET);	
  
Conceito	
  de	
  Impedância	
  Generalizada	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Assim	
   como	
   a	
   potência,	
   nos	
   diversos	
   sistemas	
   dinâmicos	
   (exceto	
  
térmicos)	
  é	
  dada	
  por…	
  
,	
  ou	
  em	
  formulação	
  generalizada…	
  
	
  
	
  
A	
  IMPEDÂNCIA	
  GENERALIZADA,	
  por	
  definição,	
  dada	
  por…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Note:	
   A	
   potência	
   é	
   grandeza	
   formulada	
   no	
   domínio	
   do	
   tempo,	
  
enquanto	
   que	
   a	
   impedância	
   generalizada	
   no	
   domínio	
   da	
   frequência	
  
complexa	
  (domínio	
  de	
  LAPLACE).	
  
Conceito	
  de	
  Impedância	
  Generalizada	
  
(Mec.	
  Translacional)	
   (Mec.	
  Rotacional)	
  (Elétrico)	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Observa-­‐se	
   que	
   nas	
   EQUAÇÕES	
   ELEMENTARES	
   das	
   CAPACITÂNCIAS	
  
GENERALIZADAS	
  figuram	
  apenas	
  as	
  VGET,	
   	
  VGAT	
  e	
  as	
  propriedades	
  do	
  
sistema	
  considerado:	
  m, J, C, Cf e Ct	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Conceito	
  de	
  Impedância	
  Generalizada	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Semelhantemente,	
   referente	
   às	
   EQUAÇÕES	
   ELEMENTARES	
   das	
  
INDUTÂNCIAS	
   GENERALIZADAS,	
   observa-­‐se	
   que	
   figuram	
   apenas	
   as	
  
VGET,	
  	
  VGAT	
  e	
  as	
  propriedades	
  do	
  sistema	
  considerado:	
  K, L, Kr e If	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Conceito	
  de	
  Impedância	
  Generalizada	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Finalmente,	
   sobre	
   as	
   EQUAÇÕES	
   ELEMENTARES	
   das	
   RESISTÊNCIAS	
  
GENERALIZADAS,	
   também	
   observa-­‐se	
   que	
   figuram	
   apenas	
   as	
   VGET,	
  	
  
VGAT	
  e	
  as	
  propriedades	
  do	
  sistema	
  considerado:	
  B, Kr, R, Rf e Rt	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Conceito	
  de	
  Impedância	
  Generalizada	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Pelo	
   exposto,	
   como	
   sempre	
   todos	
   os	
   elementos	
   primiAvos	
   possuem	
  
EQUAÇÕES	
  ELEMENTARES	
  onde	
  figuram	
  apenas	
  VGAT	
  e	
  VGET,	
  então	
  pode-­‐
se	
   aplicar	
   LAPLACE	
   as	
   mesmas	
   e	
   obter	
   a	
   tabela	
   de	
   IMPEDÂNCIAS	
  
GENERALIZADAS	
  abaixo…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Para	
   o	
   sistema	
  MECÂNICO	
   TRANSLACIONAL,	
   por	
   exemplo,	
   tem-­‐se	
   que	
   a	
   sua	
  	
  
FORÇA	
  INERCIAL	
  CAUSADA	
  PELA	
  TENDÊNCIA	
  DE	
  ACELERAR/FRENAR	
  é	
  dada	
  por:	
  
Conceito	
  de	
  Impedância	
  Generalizada	
  
F = mdvdt ) F (s) = msV (s)) V (s)F (s) = 1sm
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Pelo	
   exposto,	
   como	
   sempre	
   todos	
   os	
   elementos	
   primiAvos	
   possuem	
  
EQUAÇÕES	
  ELEMENTARES	
  onde	
  figuram	
  apenas	
  VGAT	
  e	
  VGET,	
  então	
  pode-­‐
se	
   aplicar	
   LAPLACE	
   as	
   mesmas	
   e	
   obter	
   a	
   tabela	
   de	
   IMPEDÂNCIAS	
  
GENERALIZADAS	
  abaixo…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Para	
   o	
   sistema	
   MECÂNICO	
   ROTACIONAL,	
   por	
   exemplo,	
   tem-­‐se	
   que	
   a	
  
VELOCIDADE	
  ANGULAR	
  CAUSADA	
  PELO	
  TORQUE	
  ROTACIONAL	
  é	
  dado	
  por:	
  
Conceito	
  de	
  Impedância	
  Generalizada	
  
⌦ = 1Kr
dT
dt ) ⌦(s) = sKr T (s))
⌦(s)
T (s) =
s
Kr
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Pelo	
   exposto,	
   como	
   sempre	
   todos	
   os	
   elementos	
   primiAvos	
   possuem	
  
EQUAÇÕES	
  ELEMENTARES	
  onde	
  figuram	
  apenas	
  VGAT	
  e	
  VGET,	
  então	
  pode-­‐
se	
   aplicar	
   LAPLACE	
   as	
   mesmas	
   e	
   obter	
   a	
   tabela	
   de	
   IMPEDÂNCIAS	
  
GENERALIZADAS	
  abaixo…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Para	
  o	
  sistema	
  ELÉTRICO,	
  por	
  exemplo,	
  tem-­‐se	
  que	
  a	
  TENSÃO	
  NOS	
  TERMINAIS	
  
DE	
  UMA	
  RESISTÊNCIA	
  ELÉTRICA	
  PERCORRIDA	
  POR	
  CORRENTE	
  é	
  dada	
  por:	
  
Conceito	
  de	
  Impedância	
  Generalizada	
  
v = Ri) V (s) = RI(s)) V (s)I(s) = R
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Considere	
  o	
  sistema	
  com	
  1	
  grau	
  de	
  liberdade	
  abaixo	
  e	
  que	
  modela	
  um	
  amortecedor	
  
empregado	
  horizontalmente:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Qual	
  a	
  relação	
  dinâmica	
  entre	
  a	
  sua	
  posição	
  do	
  corpo	
  amortecido	
  e	
  a	
  força	
  aplicada	
  
(FT):	
  
	
  
RESOLUÇÃO:	
  (1)	
  Isolar	
  o	
  corpo	
  e	
  IdenAficar	
  as	
  forças	
  e	
  posições	
  (ou	
  velocidades,se	
  
mais	
  conveniente)	
  do/atuantes	
  no	
  mesmo…	
  	
  
	
  
	
  
	
  
	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Explicitando	
  a	
  posição	
  (x):	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
M dv(t)dt
fvv(t)
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
(2)	
  Observar	
  que,	
  sob	
  equilíbrio,	
  a	
  soma	
  algébrica	
  das	
  forças	
  atuantes	
  é	
  nula…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
(3)	
   UAlizar-­‐se	
   da	
   impedâncias	
   generalizada	
   de	
   cada	
   um	
   dos	
   ELEMENTOS	
  
PRIMITIVOS	
  MECÂNICOS	
  TRANSLACIONAIS	
  para	
  equacionar	
  em	
  Laplace:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Formulando	
  em	
  termos	
  de	
  Laplace:	
  	
  
	
  
,	
  colocando	
  X(s),	
  em	
  evidência,	
  tem-­‐se	
  	
  
	
  
,	
  ou	
  seja:	
  	
  
	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
NOTA	
  1:	
  A	
  relação	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
  
de	
  fato	
  não	
  se	
  trata	
  de	
  impedância,	
  dado	
  que	
  esta	
  relaciona	
  V(s)	
  e	
  F(s) e não X(s)	
  a	
  
F(s),	
  mas	
  o	
  conceito	
  é	
  comumente	
  empregado	
   indisAntamente,	
  em	
  favor	
  de	
  uma	
  
metodologia	
  mais	
  práAca	
  equacionamento	
  dinâmico.	
  	
  
	
  
NOTA	
   2:	
   Devido	
   a	
   consideração	
   feita	
   na	
   NOTA	
   1	
   é	
   possível,	
   considerando	
   a	
  
expressão	
  	
  
	
  
perceber	
  que:	
  
	
  
	
  
	
  
,	
  ou	
  realmente	
  em	
  termo	
  de	
  impedâncias	
  generalizadas:	
  	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
[
P
Z]X(s) = [
P
Fext]
[
P
Z]V (s) = [
P
Fext]
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
NOTA	
  3:	
  Observar	
  que,	
  o	
  modelo	
  mecânico	
  translacional	
  considerado	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
,	
  cujo	
  equacionamento	
  é	
  dado	
  por	
  
	
  
	
  
	
  
É	
  dinamicamente	
  análogo	
  ao	
  circuito	
  elétrico	
  RLC	
  série	
  a	
  seguir…	
  
	
  
	
  
	
  
	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ,	
  considerando,	
  porém:	
  	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Isto	
  é,	
  análogo	
  a:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
e	
  sendo	
  assim:	
  
	
  
	
  
Seria	
  o	
  análogo	
  à	
  “Lei	
  das	
  Malhas	
  de	
  Kichhoff”.	
  
	
  
Note	
  que	
  a	
  “Lei	
  dos	
  Nós	
  de	
  Kichhoff”	
  também	
  está	
  presente,	
  dados	
  que	
  é	
  possível	
  
considerar,	
  no	
  ponto	
  comum	
  de	
  acoplamento	
  da	
  mola,	
  amortecedor	
  e	
  massa;	
  que…	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
vmassa(t) = vamort(t) = vmola(t) = v(t)
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Sob	
  outro	
  ponto	
  de	
  vista,	
  também	
  pode-­‐se	
  considrar	
  o	
  análogo	
  RLC	
  paralelo	
  para	
  a	
  
analogia	
  feita,	
  ou	
  seja…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Não	
   se	
   trata	
   de	
   nova	
   modelagem,	
   mas	
   apenas	
   de	
   uma	
   abordagem	
   sobre	
   outro	
  
ponto	
  de	
  vista	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Considerando,	
  agora,	
  um	
  sistema	
  com	
  2	
  graus	
  de	
  liberdade…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
RESOLUÇÃO:	
  (1)	
  Considerando	
  formulação	
  em	
  Laplace,	
  o	
  levantamento	
  das	
  
forças	
  em	
  M1	
  devido	
  ao	
  movimento	
  de	
  M1,	
  ou	
  seja,	
  analisar	
  o	
  movimento	
  
de	
  M1	
  impedindo	
  o	
  movimento	
  de	
  M2,	
  é	
  dado	
  por…	
  
	
  
	
  
	
   	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ,	
  ou	
  seja:	
  	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
Fonte:	
  Livro	
  Engenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Considerando,	
  agora,	
  um	
  sistema	
  com	
  2	
  graus	
  de	
  liberdade…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
(2)	
  Idem	
  para	
  M2…	
  
	
  
	
   	
   	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ,	
  ou	
  seja:	
  	
  
	
  
	
  
(3)	
  Desta	
  forma,	
  equacionando	
  (“Lei	
  das	
  Malhas”)…	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
Fonte:	
  Livro	
  Engenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Em	
  termos	
  práAcos,	
  observa-­‐se	
  que…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Conforme	
  pode	
  ser	
  visto	
  abaixo…	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
Fonte:	
  Livro	
  Engenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Por	
  exemplo,	
  se	
  se	
  deseja	
  calcular	
  a	
  X2(s)/F(s),	
  então,	
  con	
  auxílio	
  
de	
  Cramer	
  pode-­‐se	
  chegar	
  à	
  referida	
  FT	
  conforme	
  a	
  seguir…	
  
	
  
	
  
	
  
Lembrando	
  que…	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  
Fonte:	
  Livro	
  Engenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise	
  
X2(s) =
�X2
�
) G(s) = X2(s)
F (s)
=
(fv3s+K2)
�
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Modele,	
  em	
  termos	
  literais,	
  o	
  eixo	
  longo	
  real	
  a	
  seguir.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
RESOLUÇÃO:	
  
	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  (PROPOSTA)	
  
Fonte:	
  Livro	
  Engenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Modele,	
  em	
  termos	
  literais,	
  o	
  eixo	
  longo	
  real	
  a	
  seguir.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
RESOLUÇÃO:	
  Por	
   tratar-­‐se	
  de	
   eixo	
   longo	
  e	
   real	
   a	
  modelagem	
  em	
  
termos	
  de	
  elementos	
  primiAvos	
  mais	
  adequada	
  é	
  a	
  apresentada	
  a	
  
seguir…	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  (PROPOSTA)	
  
Fonte:	
  LivroEngenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Modelagem	
  por	
  elementos	
  primiAdos	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
RESOLUÇÃO	
  (cont.)	
  
Considerando	
  a	
  análise	
  de	
  posição	
  angular	
  e	
  torque	
  na	
  massa	
  J1,	
  já	
  
em	
  Laplace…	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  (PROPOSTA)	
  
Fonte:	
  Livro	
  Engenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Modelagem	
  por	
  elementos	
  primiAdos	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
RESOLUÇÃO	
  (cont.)	
  
Agora	
  a	
  massa	
  J2	
  …	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  (PROPOSTA)	
  
Fonte:	
  Livro	
  Engenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2014.1	
  
Modelagem	
  por	
  elementos	
  primiAdos	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
RESOLUÇÃO	
  (cont.)	
  
Então,	
  equacionando…	
  
	
  
Aplicação	
  da	
  Teoria	
  (PROPOSTA)	
  
Fonte:	
  Livro	
  Engenharia	
  de	
  Sistemas	
  de	
  Controle,	
  Ed.	
  6,	
  Norman	
  Nise