sc2_20141_projCompLag_v0

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Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
Projeto	
  de	
  Compensador	
  Lag	
  	
  
(Atraso	
  de	
  Fase)	
  
	
  
POLI/UPE	
  
Prof.	
  Roberto	
  Feliciano	
  Dias	
  Filho	
  
	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
É	
  um	
  compensador	
  do	
  ?po	
  
	
  
O	
  seu	
  projeto	
  segue	
  as	
  seguintes	
  orientações	
  (NISE):	
  
	
  
1.  Construa	
  os	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  de	
  fase	
  e	
  ganho;	
  
	
  
2.  Encontre	
  a	
   frequência	
  para	
  a	
  qual	
  a	
  MF	
  seja	
  de	
  5	
  a	
  15	
  
graus	
  maior	
  do	
  que	
  o	
   valor	
  necessário	
  para	
   a	
   resposta	
  
transitória	
  desejada.	
  
	
  
	
  
Introdução	
  
C(s) = ⌧s+1�⌧s+1
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
3.  Extrair	
   dos	
   diagramas	
   de	
   Bode	
   o	
   valor	
   em	
   dB	
   necessário	
  
para	
  deslocar	
  a	
  curva	
  de	
  ganho	
  para	
  0	
  dB.	
  
4.  Construa	
   a	
   assíntota	
   de	
   alta	
   frequência	
   (zero	
   do	
  
compensador)	
  a	
  par?r	
  de	
  uma	
  década	
  antes	
  da	
  frequência	
  
encontrada	
   no	
   passo	
   2	
   e	
   com	
   inclinação	
   nula,	
   mas	
   com	
  
ganho	
  tal	
  que	
  anule	
  o	
  valor	
  encontrado	
  no	
  passo	
  3.	
  	
  
5.  Projete	
  um	
   inclinação	
  de	
   -­‐20	
  dB/década	
  atrás	
  do	
  zero	
  do	
  
compensador	
   até	
   que	
   interceptar	
   o	
   0	
   dB,	
   ponto	
   que	
  
definirá	
   o	
   pólo	
   do	
   compensador	
   (baixas	
   frequências)	
   e	
  
viabilizará	
   o	
   projeto	
   de	
   um	
   ganho	
   DC	
   (nas	
   baixas	
  
frequências)	
  nulo	
  para	
  o	
  controlador	
  nessa	
  região.	
  
	
  
	
  
Introdução	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
EXEMPLO	
   2:	
   Considere	
   uma	
   planta	
   nnao	
   compensada	
  
representada	
  por	
  	
  
	
  
	
  
Projete	
  um	
  compensador	
  que	
  garanta	
  OS%	
  máximo	
  de	
  9,5%	
  
	
  
Passo	
  #0	
  do	
  PROJETO:	
  	
  
	
  
Para	
  um	
  OS%	
  máximo,	
  necessita-­‐se	
  de	
  um	
  amortecimento	
  de	
  
aproximadamente	
  0,6;	
  isto	
  é,	
  uma	
  MF	
  =	
  60	
  graus.	
  
	
  
NOTA:	
  Usar	
  esta	
  expressão:	
  	
  
Introdução	
  
G(s) = 569000s(s+36)(s+100)
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
Passo	
  #1	
  do	
  PROJETO:	
  	
  
Construindo	
  os	
  diagramas	
  de	
  Bode	
  do	
  sistema	
  não	
  compensado	
  com	
  o	
  
novo	
  ganho…	
  
	
  
Introdução	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
Introdução	
  
10−1 100 101 102 103 104
−150
−100
−50
0
50
100
10−1 100 101 102 103 104
−300
−250
−200
−150
−100
−50
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
Passo	
  #2	
  do	
  PROJETO:	
  	
  
Iden?ficando	
  a	
  freq.	
  associada	
  a	
  uma	
  MF	
  =	
  70	
  graus,	
  ou	
  seja,	
  60	
  graus	
  
acrescido	
   de	
  margem	
   de	
   segurança	
   de	
   10	
   graus.	
   Para	
   uma	
  MF	
   de	
   70	
  
graus,	
  tem-­‐se	
  que	
  a	
  fase	
  associada	
  a	
  0	
  dB	
  é	
  110	
  graus,	
  que	
  ocorre	
  em	
  
aproximadamente	
  9,8	
  rad/seg	
  
	
  
Introdução	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
Introdução	
  
10−1 100 101 102 103 104
−150
−100
−50
0
50
100
10−1 100 101 102 103 104
−300
−250
−200
−150
−100
−50
9,8	
  rad/s	
  
110	
  graus	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
Passo	
  #3	
  do	
  PROJETO:	
  	
  
3)	
   Sob	
  a	
   frequência	
  de	
  9,8	
   rad/s	
   são	
  necessários	
   -­‐24	
  dB	
  para	
  anular	
  o	
  
ganho,	
   ou	
   seja,	
   para	
   fazer	
   com	
   que	
   0	
   dB	
   corresponda	
   a	
   9,8	
   rad/s	
   e,	
  
consequentemente,	
  a	
  110	
  graus	
  e,	
  consequentemente,	
  garanta	
  uma	
  MF	
  
de	
  70	
  graus	
  (que	
  garante	
  OS%	
  de	
  9,5%)	
  	
  
	
  
Introdução	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
Introdução	
  
10−1 100 101 102 103 104
−150
−100
−50
0
50
100
10−1 100 101 102 103 104
−300
−250
−200
−150
−100
−50
110	
  graus	
  
9,8	
  rad/s	
  
24	
  dB	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
Passo	
  #4	
  do	
  PROJETO:	
  	
  
4)	
  Assim,	
  uma	
  década	
  atrás	
   (0,98	
  rad/s)	
  será	
  considerada	
  a	
   frequência	
  
de	
   corte	
   de	
   altas	
   frequências	
   do	
   compensador,	
   portanto	
   o	
   zero	
   do	
  
compensador,	
  mas	
  com	
  um	
  ganho	
  de	
  -­‐24	
  dB,	
  para	
  compensar	
  para	
  0	
  dB	
  
a	
  FT	
  de	
  MA	
  	
  
	
  
Introdução	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
Introdução	
  
10−1 100 101 102 103 104
−150
−100
−50
0
50
100
10−1 100 101 102 103 104
−300
−250
−200
−150
−100
−50
110	
  graus	
  
9,8	
  rad/s	
  
24	
  dB	
  
0,98	
  rad/s	
  
-­‐24	
  dB	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
Passo	
  #5	
  do	
  PROJETO:	
  	
  
Projetar,	
  atrás	
  de	
  0,98	
  rad/s,	
  uma	
  reta	
  com	
  inclinação	
  de	
  -­‐20	
  dB/década	
  
até	
  que	
  a	
  mesma	
  intercepte	
  0	
  d,	
  definindo-­‐se,	
  portanto,	
  assim,	
  a	
  freq.de	
  corte	
  nas	
  baixas	
  frequências	
  (0,062	
  rad/s)	
  
Introdução	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
Introdução	
  
10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 104
−150
−100
−50
0
50
100
10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 104
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
50
0,062	
  rad/s	
   0,98	
  rad/s	
  
-­‐24	
  dB	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
Desta	
   forma,	
   a	
   FT	
   do	
   compensador	
   LAG	
   possui	
   um	
   zero	
   em	
  
0,98	
   e	
   um	
   pólo	
   em	
   0,062;	
   que	
   em	
   termos	
   de	
   constantes	
   de	
  
tempo	
  se	
  apresenta	
  conforme	
  a	
  seguir:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Introdução	
  
C(s) =
1
0,98 s+1
1
0.062 s+1
= 1,02s+116,13s+1
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
Considerando	
   a	
   compensação	
   tem-­‐se,	
   agora,	
   o	
   seguinte	
  
diagrama	
  de	
  Bode	
  do	
  sistema	
  compensado	
  (linha	
  verde)	
  
	
  
	
  
Introdução	
  
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
Introdução	
  
−150
−100
−50
0
50
100
150
M
ag
nit
ud
e 
(d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 104
−270
−225
−180
−135
−90
Ph
as
e 
(d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
A	
  resposta	
  no	
  tempo	
  do	
  sistema	
  não-­‐compensado…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
SISTEMA	
  NÃO-­‐COMPENSADO	
  É	
  INSTÁVEL	
  
Introdução	
  
0 5 10 15 20 25 30 35
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
x 1025
Step Response
Time (seconds)
Am
pli
tu
de
Sistemas	
  de	
  Controle	
  2	
  -­‐	
  Escola	
  Politécnica	
  da	
  Universidade	
  de	
  Pernambuco	
  (POLI/UPE)	
  –	
  2013.2	
  
Introdução	
  
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
Am
pli
tu
de
§  COMPENSAÇÃO	
  POR	
  ATRASO	
  DE	
  FASE	
  (PHASE	
  LAG)	
  	
  	
  
	
  
A	
  resposta	
  no	
  tempo	
  do	
  sistema	
  compensado…	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
SISTEMA	
  COMPENSADO	
  É	
  SOBREAMORTECIDO	
  (ESTÁVEL)