Variáveis Aleatórias e Distribuições

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Estat´ıstica Matema´tica I
Roseli Aparecida Leandro
Marc¸o de 2005
Depto. de Cieˆncias Exatas, ESALQ/USP
e-mail: raleandr@esalq.usp.br
1
Varia´veis aleato´rias
Varia´veis aleato´rias discretas
Seja X uma varia´vel aleato´ria. Se o nu´mero de valores
poss´ıveis de X (isto e´, de X ) for finito ou infinito enu-
mera´vel, denominaremos X de varia´vel aleato´ria discreta.
Isto e´, os valores de X, podem ser dispostos em uma lista
como x1, x2, . . .. No caso finito a lista acaba, e no caso in-
finito enumera´vel, a lista continua indefinidamente. Ob-
serve que se X = {1,5; 2,5; 3,5} enta˜o a varia´vel aleato´ria
correspondente sera´ uma varia´vel aleato´ria discreta.
2
A cada poss´ıvel resultado xi ∈ X associaremos um nu´mero
p(xi) = P (X = xi) = P{ω ∈ Ω : X(ω) = xi},
denominado probabilidade de xi. Os nu´meros p(xi), i = 1,2, . . .
devem satisfazer a`s seguntes condic¸o˜es:
(a) p(xi) ≥ 0 para todo i,
(b)
∑∞
i=1 p(xi) = 1
A func¸a˜o p e´ denominada func¸a˜o de probabilidade da varia´vel
aleato´ria X. A colec¸a˜o de pares {(xi, p(xi)), i = 1,2, . . .}, de-
nominada distribuic¸a˜o de probabilidades de X.
3
Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Diz-se que X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, se X
puder assumir qualquer valor no intervalo (c, d).
Observe que c e d podem ser −∞ e ∞.
Se existir uma func¸a˜o f que satisfac¸a a`s seguintes condic¸o˜es:
(a) f(x) ≥ 0 para todo x,
(b)
∫ ∞−∞ f(x)dx = 1
f sera´ denominada func¸a˜o densidade de probabilidade (fdp) de
X . Para quaisquer a, b , −∞ < a < b <∞, define-se:
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f(x)dx.
4
Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
Seja X uma varia´vel aleato´ria, discreta ou cont´ınua. Define-se
a funca˜o real de varia´vel real F como a func¸a˜o de distribuic¸a˜o
acumulada da varia´vel aleato´ria X (abreviadamente indicada por
fd) como
F (x) = P (X ≤ x) = P{ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x}.
(a) Se X for uma varia´vel aleato´ria discreta
F (x) =
∑
j:xj≤x
p(xj)
(b) Se X for uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com fdp f ,
F (x) =
∫ x
−∞
f(t)dt
5
X Exemplo: Caso discreto
X Exemplo
Considere o experimento E: Lanc¸ar uma moeda 3 vezes. Defina
a varia´vel aleato´ria X como sendo o nu´mero de caras obtidas
nos 3 lanc¸amentos. Temos,
ω X(ω)
(ca, ca, ca) 3
(ca, ca, co) 2
(ca, co, ca) 2
(co, ca, ca) 2
(ca, co, co) 1
(co, ca, co) 1
(co, co, ca) 1
(co, co, co) 0
6
O campo de variac¸a˜o da varia´vel aleato´ria X e´ X = {0,1,2,3}.
Assumindo que os oito pontos do espac¸o amostral Ω tenha a
mesma probabilidade de
1
8
a probabilidade P induzida em X sera´:
x PX(x)
0
1
8
1
3
8
2
3
8
3
1
8
Construa F .
Resultados
X A func¸a˜o F e´ na˜o decrescente.
Isto e´, se x1 ≤ x2 teremos F (x1) ≤ F (x2).
X F e´ cont´ınua a direita.
X limx→−∞ F (x) = 0 e limx→∞F (x) = 1
7
X Seja F a fd de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, com fdp f .
Enta˜o,
f(x) =
d
dx
F (x), para todo x no qual F seja deriva´vel.
X Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta, com valores poss´ıveis
x1, x2, . . . , e suponha-se que esses valores tenham sido indexados
de modo que, x1 < x2 < . . .. Seja F a fd de X. Enta˜o,
p(xj) = P (X = xj) = F (xj)− F (xj−1)
8
Distribuic¸o˜es Bivariadas
Em muitos experimentos podemos estar interessados em dois ou
mais caracter´ısticos nume´ricos simultaneamente. Por exemplo,
a dureza H e a tensa˜o de ruptura de uma pec¸a manufaturada
de ac¸o poder´ıamos, nesse caso, considerar (h, t) como resultado
experimental. Poder´ıamos estudar a estatura X e o peso Y de
alguma pessoa escolhida ao acaso o que forneceria o resultado
(x, y).
Sejam E um experimento e Ω um espac¸o amostral associado a
E. Sejam X = X(ω) e Y (ω) duas func¸o˜es, cada uma associando
um nu´mero real a cada resultado ω ∈ Ω. Denominaremos (X,Y )
uma varia´vel aleato´ria bidimensional (algumas vezes chamada
vetor aleato´rio).
9
Se X1 = X1(ω), X2 = X2(ω), . . . , Xn = Xn(ω) forem n func¸o˜es,
cada uma associando um nu´mero real a cada resultado elementar
ω ∈ ω, denominaremos (X1, X2, . . . , Xn) uma varia´vel aleato´ria n-
dimensional (ou um vetor aleato´rio n-dimensional).
(X,Y ) sera´ uma varia´vel aleato´ria discreta bidimensional se os
valores poss´ıveis de (X,Y ) forem finitos ou infinitos enumera´veis.
Isto e´, se os valores poss´ıveis de (X,Y ) puderem ser representa-
dos por (xi, yj), i = 1,2, . . . ; j = 1,2, . . ..
(X,Y ) sera´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua bidimensional se X
e Y puder assumir todos os valores em algum conjunto na˜o-
enumera´vel do plano real.
Observe que, podemos ter, tambe´m, os casos “mistos”: X dis-
creta e Y cont´ınua e/ou vice-versa.
10
Func¸a˜o de probabilidade conjunta: caso discreto
Seja (X,Y ) uma varia´vel aleato´ria discreta bidimensional. A cada
resultado poss´ıvel (xi, yi) associaremos um nu´mero
p(xi, yj) = P (Xi = xi, Yj = xj) = P (w ∈ Ω : X(ω) = xi e Y (ω) = yj)
que satisfaz
(a) p(xi, yj) ≥ 0 para todo (xi, yj),
(b)
∑∞
i=1
∑∞
j=1 p(xi, yj) = 1
a func¸a˜o p assim definida e´ chamada func¸a˜o de probabilidade de
(X,Y ). O conjunto dos ternos {(xi, yj, P (xi, yj)), i, j = 1,2, . . .} e´
denominado distribuic¸a˜o de probabilidades conjunta de (X,Y ).
11
Func¸a˜o densidade de probabilidade conjunta:
Caso Cont´ınuo
Seja (X,Y ) uma varia´vel aleato´ria cont´ınua assumindo todos os
valores em alguma regia˜o R do plano euclidiano. A func¸a˜o den-
sidade de probabilidade conjunta f e´ uma func¸a˜o que satisfaz a`s
seguintes condic¸o˜es:
(a) f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R,
(b)
∫∞−∞ ∫∞−∞ f(x, y)dxdy = 1
12
Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada conjunta
Seja (X,Y ) uma varia´vel aleato´ria bidimensional. A func¸a˜o de
distribuic¸a˜o acumulada (fd) da varia´vel aleato´ria bidimensional
(X,Y ) e´ definida por:
FXY (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y)
Resultado:
X Se F for a fd de uma varia´vel aleato´ria bidimensional com
fdp f enta˜o:
∂FXY (x, y)
∂x∂y
= fXY (x, y)
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sempre que F for deriva´vel.
Distribuic¸o˜es marginais
A cada varia´vel aleato´ria bidimensional (X,Y ) associamos duas
varia´veis aleato´rias unidimensionais, a saber, X e Y , individual-
mente. Isto e´, podemos estar interessados na distribuic¸a˜o de
probabilidades de X ou de Y .
Resultado:
X No caso discreto bidimensional teremos:
⋆ A distribuic¸a˜o de probabilidade marginal de X
p(xi) = P (X = xi) = P (X = xi, Y = y1 ou X = xi, Y = y2 ou . . .)
=
∞∑
j=1
p(xi, yj)
14
⋆ A distribuic¸a˜o de probabilidade marginal de Y
p(yi) = P (X = yj) = P (X = x1, Y = yj ou X = x2, Y = yj ou . . .)
=
∞∑
i=1
p(xi, yj)
X No caso cont´ınuo bidimensional teremos:
Seja fXY a fdp conjunta da varia´vel aleato´ria bidimensional
cont´ınua (X,Y ). Definem-se as func¸o˜es de densidades marginais
de X, fX, e de Y , fY por:
fX(x) =
∫ ∞
−∞
fX,Y (x, y)dy e fY (y) =
∫ ∞
−∞
fX,Y (x, y)dx
Probabilidade condicionada
X Caso discreto
p(xi|yj) = P (X = xi|Y = yj) =
p(xi, yj)
p(yj)
se p(yj) > 0
p(yj|xi) = P (Y = yj|X = xi) =
p(xi, yj)
p(xi)
se p(xi) > 0
15
No caso cont´ınuo, a formulac¸a˜o da probabilidade condicionada
apresenta alguma dificuldade, uma vez que para quaisquer x0 e
y0 dados P (X = x0) = P (Y = y0) = 0
Seja (X,Y ) uma varia´vel aleato´ria cont´ınua bidimensional com
fdp conjunta f . Sejam fX e fY as fdp marginais de X e Y
respectivamente. Enta˜o:
⋆ A fdp de X condicionada a um dado Y = y e´ definida por:
fX|Y (x|Y = y) =
fX,Y (x, y)
fY (y)
, fY (y) > 0
16
⋆ A fdp de Y condicionada a um dado X = x e´ definida por:
fY |X(Y |X = x) =
fX,Y (x, y)
fX(x)
, fX(x) > 0
X Interprete geometricamente.
X Interprete fX,Y(x, y), fX, fY , fX|Y e fY |X quando X e Y
forem, respectivamente, altura do pai e altura do filho.
Varia´veis aleato´rias independentes
Lembremos que dois eventos A e B sa˜o independentes sss
P (A ∩B) = P (A)P (B).
X Caso discreto
Seja (X,Y ) uma varia´vel aleato´ria discreta bidimensional. Di-
remos que X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes se,
e somente se,
p(xi, yj) = p(xi)p(yj) para quaisquer i e j
17
Isto e´,
P (X = xi, Y = yj) = p(X = xi)p(Y = yj) para quaisquer i e j
X Caso cont´ınuo
Seja (X,Y ) uma varia´vel aleato´ria cont´ınua bidimensional.
Diremos que X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes
se, e somente se,
f(X,Y )(x, y) = fX(x)fY (y) para todo (x, y)
Distribuic¸o˜es de func¸o˜es de varia´veis aleato´rias
Dada a distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta de (X,Y ), qual a
distribuic¸a˜o de probabilidades de Z = H(X,Y )?
Se (X,Y ) for uma varia´vel aleato´ria discreta, este problema es-
tara´ resolvido facilmente.
Considere a situac¸a˜o:
Duas linhas de produc¸a˜o fabricam um certo tipo de pec¸a. Suponha
que a capacidade ma´xima (em qualquer dia) seja 5 pec¸as na linha
I e 3 pec¸as na linha II. Admita que o nu´mero de pec¸as realmente
produzidas em qualquer linha seja uma varia´vel aleato´ria, e que
18
(X,Y ) represente a varia´vel aleato´ria bidimensional que fornece
o nu´mero de pec¸as produzidas pela linha I e a linha II, respecti-
vamente.
As seguintes varia´veis aleato´rias podera˜o interessar a` questa˜o:
(a) U = min(X,Y ) = menor nu´mero de pec¸as produzidas pelas
duas linhas;
(b) V = max(X,Y ) = maior nu´mero de pec¸as produzidas pelas
duas linhas;
(c) W = X + Y = nu´mero total de pec¸as produzidas pelas duas
linhas.
Para obter a distribuic¸a˜o de U , procedemos como se segue.
Os valores poss´ıveis de U sa˜o: 0,1,2,3, ou seja, U = {0,1,2,3}.
Temos que P (U = u) = P{ω ∈ Ω : U(ω) = u}∀u ∈ U,
Portanto, teremos a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidades para
a varia´vel aleato´ria U .
Tabela: Distribuic¸a˜o de probabilidades para a v.a. U
u 0 1 2 3
P (U = u) 0,28 0,30 0,25 0,17
A distribuic¸a˜o de probabilidade das varia´veis aleato´rias V e W
pode ser obtida de maneira semelhante.
Se (X,Y ) for uma varia´vel aleato´ria bidimensional cont´ınua, e se
Z = H(X,Y ) for uma func¸a˜o cont´ınua de (X,Y ) enta˜o Z sera´
uma varia´vel aleato´ria cont´ınua (unidimensional) e o problema
de achar sua fdp e´ um pouco mais complicado.
Estamos interessados em achar a distribuic¸a˜o de func¸o˜es de
varia´veis aleato´rias. Mais precisamente, dada as varia´veis, X1,
X2, X3, . . . , Xn e func¸o˜es dessas n varia´veis aleato´rias, digamos:
g1(X1, . . . , Xn), . . ., gk(X1, . . . , Xn), desejamos encontrar a dis-
tribuic¸a˜o conjunta de Y1, Y2, . . . , Yk, em que Yj = gj(X1, . . . , Xn),
j = 1, . . . , k. Se a distribuic¸a˜o conjunta de X1, X2, X3, . . . ,
Xn e´ dada, enta˜o, pelo menos teoricamente, podemos achar a
distribuic¸a˜o conjunta de Y1, Y2, . . . , Yk isto porque a distribuic¸a˜o
conjunta de Y1, Y2, . . . , Yk satisfaz
FY1,Y2,...,Yk(y1, y2, . . . , yk) = P [Y1 ≤ y1, . . . , Yk ≤ yk] =
P [g1(X1, . . . , Xn) ≤ y1, . . . , gk(X1, . . . , Xn) ≤ yk]
para y1, . . . , yk, que e´ a probabilidade de um evento descrito em
termos de X1, X2, . . . , Xn, e teoricamente tal probabilidade pode
ser determinada integrando ou somando a densidade conjunta
sobre a regia˜o correspondente ao evento. O problema e´ que em
geral o ca´lculo dessa integral ou soma pode ser dif´ıcil de ser
determinado.
Sera˜o apresentadas treˆs te´cnicas para encontrar a distribuic¸a˜o
de func¸o˜es de varia´veis aleato´rias, a saber:
1. Te´cnica da func¸a˜o da distribuic¸a˜o acumulada;
2. Te´cnica da func¸a˜o geradora de momentos;
3. Te´cnica da Transformac¸a˜o ou me´todo do Jacobiano.
19
Te´cnica da func¸a˜o da distribuic¸a˜o acumulada
Descric¸a˜o da te´cnica:
Se a func¸a˜o de distribuic¸a˜o conjunta das varia´veis aleato´rias
X1, . . . , Xn e´ conhecida, enta˜o, teoricamente, a distribuic¸a˜o de
Y1, . . . , Yk pode ser determinada, em que Yj = gj(X1, . . . , Xn), j =
1, . . . , k para func¸o˜es conhecidas g1(., . . . , .), . . ., gk(., . . . , .). Por
definic¸a˜o, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de Y1, Y2, . . . , Yk e´
FY1,Y2,...,Yk(y1, y2, . . . , yk) = P [Y1 ≤ y1, . . . , Yk ≤ yk]
20
Mas para cada y1, . . . , yk o evento
{Y1 ≤ y1; . . . ;Yk ≤ yk} ≡
{g1(X1, . . . , Xn) ≤ y1, . . . , gk(X1, . . . , Xn) ≤ yk}
o qual e´ um evento descrito em termos das varia´veis aleato´rias
conhecidas, X1, . . . , Xn e
das func¸o˜es, tambe´m conhecidas, g1(., . . . , .), . . ., gk(., . . . , .).
Desde que a distribuic¸a˜o conjunta de X1, . . . , Xn e´ assumida co-
nhecida a probabilidade do evento
{g1(X1, . . . , Xn) ≤ y1, . . . , gk(X1, . . . , Xn) ≤ yk}
pode ser calculada e consequentemente FY1,Y2,...,Yk(., . . . , .) deter-
minada.
21
XExemplo
Suponha que X tenha distribuic¸a˜o normal padra˜o e que dese-
jamos calcular a distribuic¸a˜o de Y = g(X) = X2.
FY (y) = P [Y ≤ y] = P [X2 ≤ y] = P [−
√
y ≤ X ≤ √y]
= Φ(
√
y)−Φ(−√y) = 2
∫ √y
0
Φ(u)du
= 2
∫ √y
0
1√
2π
e
−1
2
u2
du =
2√
2π
∫ y
0
1
2
√
z
e
−1
2
z
dz
=
∫ y
0
1
Γ(
1
2
)
1√
2z
e
−1
2
z
dz, y > 0,
que e´ a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma distribuic¸a˜o
gama com paraˆmetros r =
1
2
e λ =
1
2
, ou ainda, uma distribuic¸a˜o
χ2 com 1 grau de liberdade.
22
XExemplo: Distribuic¸a˜o do ma´ximo e do m´ınimo
Sejam X1, . . . , Xn, n varia´veis aleato´rias. Defina Y1 = min[X1, . . . , Xn]
e Yn = max[X1, . . . , Xn].
O evento {Yn ≤ y} e´ equivalente ao evento {X1 ≤ y, . . . , Xn ≤ y},
sendo assim,
FYn(y) = P [Yn ≤ y] = P [max[X1, . . . , Xn] ≤ y] = P [X1 ≤ y, . . . , Xn ≤ y]
.
Assumindo independeˆncia entre os Xi, i = 1, . . . , n, teremos,
23
FYn(y) =
n∏
i=1
P [Xi ≤ y] =
n∏
i=1
FXi(y)
E, portanto, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de Yn = max[X1, . . . , Xn]
podera´ ser expressa em termos da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acu-
mulada marginal de X1, . . . , Xn. Se assumirmos que os Xi, i =
1, . . . , n sa˜o identicamente distribu´ıdos possuindo a mesma dis-
tribuic¸a˜o acumulada, FX(.) enta˜o,
n∏
i=1
FXi(y) = [FX(y)]
n
Assim foi provado o Teorema
Teorema Se X1, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes e
Yn = max[X1, . . . , Xn], enta˜o:
FYn(y) =
n∏
i=1
FXi(y)
Se X1, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes e identica-
mente distribu´ıdas com func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada FX(.)
enta˜o:
FYn(y) = [FX(y)]
n
Corola´rio
Se X1, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias cont´ınuas independentes
e identicamente distribu´ıdas com a mesma func¸a˜o densidade de
probabilidade fX(x) e func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada FX(x),
enta˜o:
fYn(y) = n[FX(y)]
n−1fX(y)
Demonstrac¸a˜o.
fYn(y) =
d
dy
FYn(y) = n[FX(y)]
n−1fX(y)
Similarmente,
FY1(y) = P [Y1 ≤ y] = 1− P [Y1 > y]
e o evento {Y1 > y} e´ equivalente ao evento {X1 > y, . . . ,Xn > y},
sendo assim,
FY1(y) = P [Y1 ≤ y] = P [min[X1, . . . , Xn] ≤ y] =
1− P [Y1 > y] = 1− P [X1 > y, . . . ,Xn > y].
Assumindo independeˆncia entre os Xi, i = 1, . . . , n, teremos,
FY1(y) = 1−
n∏
i=1
P [Xi > y] = 1−
n∏
i=1
[1− FXi(y)]
E, portanto, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de Y1 = min[X1, . . . , Xn]
podera´ ser expressa em termos da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acu-
mulada marginal de X1, . . . , Xn. Se assumirmos que os Xi, i =
1, . . . , n sa˜o identicamente distribu´ıdos possuindo a mesma dis-
tribuic¸a˜o acumulada, FX(.) enta˜o,
FY1(y) = 1−
n∏
i=1
[1− FXi(y)]= 1− [1− FX(y)]n
Assim foi provado o Teorema
Teorema
Se X1, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes e Y1 = min[X1, . . . , Xn],
enta˜o:
FY1(y) = 1−
n∏
i=1
[1− FXi(y)]
Se X1, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes e identica-
mente distribu´ıdas com func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada FX(.)
enta˜o:
FY1(y) = 1− [1− FX(y)]n
Corola´rio
Se X1, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias cont´ınuas independentes e
identicamente distribu´ıdas com a mesma func¸a˜o densidade de p
robabilidade fX(x) e func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada FX(x),
enta˜o:
fY1(y) = n[1− FX(y)]n−1fX(y)
Demonstrac¸a˜o.
fY1(y) =
d
dy
FY1(y) = n[1− FX(y)]n−1fX(y)
Exerc´ıcio
Suponha que o tempo de vida de um certo tipo de laˆmpada e´
exponencialmente distribu´ıdo com me´dia de 100 horas. Se 10
sa˜o instaladas simultaneamente, qual e´ a distribuic¸a˜o do tempo
de vida da primeira laˆmpada a falhar e qual e´ o seu tempo de vida
me´dio? Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da distribuic¸a˜o do tempo de
vida m´ınimo utilizado o software MAPLE. Fac¸a, tambe´m, um
estudo do comportamento dessa distribuic¸a˜o.
24
Soluc¸a˜o:
Suponhamos que Xi denote o tempo de vida da i-
e´sima laˆmpada; enta˜o Y1 = min[X1, . . . , Xn] e´ o tempo de vida da
primeira laˆmpada a falhar. Assuma que os Xi sa˜o independentes
(por exemplo, se as laˆmpadas forem instaladas em paralelo seus
tempos de vida sera˜o independentes).
Temos,
fXi(x) =
1
100
e−1/100xI(0,∞)(x)
e
FXi(x) =
(
1− e−1/100x
)
I(0,∞)(x).
25
Assim,
fY1(y) = 10(e
−1/100y)10−1 1
100
e−1/100yI(0,∞)(y) =
10
100
e−10/100yI(0,∞)(y)
que e´ a func¸a˜o de densidade de probabilidade de uma varia´vel
aleato´ria com distribuic¸a˜o exponencial de paraˆmetro λ =
1
10
e
portanto, E[Y1] = 1/λ = 10 horas.
Programa
> restart:
> f1:=t->10/100*exp(-10/100*t); int(f1(t),t=0..infinity);
> int(f1(t),t=0..infinity);
> with(plots):
> g1:=plot(f1(t),t=0..50, title="Tempo de vida minı´mo de dez la^mpadas",
> color=green, thickness=3,labels=[tempo,fdp]):
> display(g1);
> limit(f1(t),t=0.0,right);
> limit(f1(t),t=infinity);
> int(t*f1(t),t=0..infinity);
26
Distribuic¸a˜o da soma e da diferenc¸a
Teorema
Sejam X e Y varia´veis aleato´rias cont´ınuas distribu´ıdas conjunta-
mente com densidade fX,Y (x, y) e seja Z = X+ Y e V = X − Y .
Enta˜o,
fZ(z) =
∫ ∞
−∞
fX,Y (x, z − x)dx =
∫ ∞
−∞
fX,Y (z − y, y)dy (1)
e
fV (v) =
∫ ∞
−∞
fX,Y (x, x− v)dx =
∫ ∞
−∞
fX,Y (v+ y, y)dy (2)
Demonstrac¸a˜o. Demonstremos a (1). De maneira similar pode-
mos demonstrar (2).
FZ(z) = P [Z ≤ z] = P [X + Y ≤ z] =
∫ ∫
x+y≤z
fX,Y (x, y)dxdy =
∫ ∞
−∞
[∫ z−x
−∞
fX,Y (x, y)dy
]
dx =
∫ ∞
−∞
[∫ z
−∞
fX,Y (x, u− x)du
]
dx
pela substituic¸a˜o de y = u− x e assim,
fZ(z) =
dFZ(z)
dz
=
d
dz
{∫ ∞
−∞
[∫ z
−∞
fX,Y (x, u− x)du
]
dx
}
=
d
dz
{∫ z
−∞
[∫ ∞
−∞
fX,Y (x, u− x)dx
]
du
}
=
∫ ∞
−∞
fX,Y (x, z − x)dx
⋆ Observe que:
∫ b
a
∫ d
c f(x, y)dydx =
∫ d
c
∫ b
a f(x, y)dxdy (Integrais
iteradas) a, b, c, d podem ser −∞ ou ∞.
Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o para verificar os limites de inte-
grac¸a˜o!
Programa
?inequal
with(plots):
inequal( x+y-2>=0, x=-3..3, y=-3..3,
optionsfeasible=(color=red),
optionsopen=(color=blue,thickness=2),
optionsclosed=(color=green, thickness=3),
optionsexcluded=(color=yellow) );
Corola´rio
Se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias cont´ınuas, independentes e
Z = X + Y , enta˜o:
fZ(z) = fX+Y (z) =
∫ ∞
−∞
fY (z − x)fX(x)dx
=
∫ ∞
−∞
fX(z − y)fY (y)dy
A equac¸a˜o (3) e´ chamada de fo´rmula de convoluc¸a˜o.
X Exemplo
Suponha que X e Y sa˜o v.a. i.i.d.com densidade fX(x) =
fY (y) = I(0,1)(x). Observe que Z = X + Y ∈ (0,2), temos
que:
fZ(z) =
∫ ∞
−∞
fY (z − x)fX(x)dx =
∫ ∞
−∞
I(0,1)(z − x)I(0,1)(x)dx =
∫ ∞
−∞
{
I(0,z)(x)I(0,1)(z)I(z−1,1)(x)I[1,2)(z)
}
dx =
I(0,1)(z)
∫ z
0
dx+ I[1,2)(z)
∫ 1
z−1
dx = zI(0,1)(z) + (2− z)I[1,2)(z)
27
Distribuic¸a˜o do produto e do quociente
Teorema
Sejam X e Y varia´veis aleato´rias cont´ınuas conjuntamente dis-
tribu´ıdas com densidade fX,Y (x, y), e seja Z = XY e U = X/Y
enta˜o:
fZ(z) =
∫ ∞
−∞
1
| x |fX,Y
(
x,
z
x
)
=
∫ ∞
−∞
1
| y |fX,Y
(
z
y
, y
)
dy (3)
e
fU(u) =
∫ ∞
−∞
| y | fX,Y (uy, y)dy (4)
28
Demonstrac¸a˜o. Provaremos a equac¸a˜o (3).
Fz(z) = P [Z ≤ z] =
∫
xy≤z
∫
fX,Y (x, y)dxdy =
∫ 0
−∞
[∫ ∞
z/x
fX,Y (x, y)dy
]
dx+
∫ ∞
0
[∫ z/x
−∞
fX,Y (x, y)dy
]
dx,
fazendo a substituic¸a˜o, u = xy
∫ 0
−∞
[∫ −∞
z
fX,Y (x,
u
x
)
du
x
]
dx+
∫ ∞
0
[∫ z
−∞
fX,Y (x,
u
x
)
du
x
]
dx =
29
∫ z
−∞
[∫ 0
−∞
−1
x
fX,Y (x,
u
x
)dx
]
du+
∫ z
−∞
[∫ ∞
0
1
x
fX,Y (x,
u
x
)dx
]
du =
∫ z
−∞
[∫ ∞
−∞
1
| x |fX,Y (x,
u
x
)dx
]
du;
Portanto,
fZ(z) =
FZ(z)
dz
=
∫ ∞
∞
1
| x |fX,Y (x,
z
x
)dx
X Exemplo
Suponha que X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes uni-
formemente distribu´ıdas sobre o intervalo (0,1). Seja Z = XY e
U =
X
Y
.
fZ(z) =
FZ(z)
dz
=
∫ ∞
∞
1
| x |fX,Y (x,
z
x
)dx =
∫ ∞
−∞
1
| x |I(0,1)(x)I(0,1)
(
z
x
)
dx =
∫ 1
0
1
x
I(0,1)(z)I(z,1)(x)dx = I(0,1)(z)
∫ 1
0
1
x
I(z,1)(x)dx = I(0,1)(z)
∫ 1
z
1
x
dx =
−logzI(0,1)(z)
30
Programa
g1:=plot(1/x,x=0..2,y=0..2,color=black):
g2:=plot(1/(2*x),x=0..2,y=0..2,color=red):
g3:=plot(1,x=0..2,color=green):
with(plots):
display(g1,g2,g3);
Temos que z pertence ao intervalo (0,1). Assim z na˜o pode
assumir o valor 0 nem 1. Suponhamos por absurdo que z=0
e que x diferente de zero ==> y = 0(y = z/x) isso implicaria
que o u´nico ponto pertencente ao quadrado (0,1) × (0,1) seria
o ponto (0,0) (esse caso na˜o ocorre visto que x e´ diferente de
zero e y tambe´m).
31
O mesmo seria va´lido para z = 1. Somente o ponto (1,1)
pertenceria ao quadrado (0,1) × (0,1). Esse caso tambe´m na˜o
ocorre.
Suponha enta˜o que z seja um valor entre (0,1) (Z = XY ).
Sem perda de generalidade suponhamos que z = 1/2 ==> y =
1/(2x). Assim para y = 1, x = 1/2. E assim qualquer ponto da
curva y = 1/(2x) cuja abscissa, x estiver entre 1/2 e 1 pertence-
ria ao quadrado (0,1)× (0,1) e dessa forma a func¸a˜o indicadora
daria resultado 1.
solve(1/(2*x)=1,x);
1/2
Observe que como z foi tomado de forma gene´rica enta˜o a
func¸a˜o indicadora seria nula para z em (0,1) e x em (z,1).
solve(z/x=1,x);
z
fU(u) =
∫ ∞
−∞
| y | fX,Y (uy, y)dy
=
∫ ∞
−∞
| y | I(0,1)(uy)I(0,1)(y)dy
=
∫ ∞
−∞
| y |
{
I(0,1)(u)I(0,1)(y) + I(1,∞)(u)I(0,1/u)(y)
}
dy
= I(0,1)(u)
∫ 1
0
∫ 1
0
ydy+ I[1,∞)(u)
∫ 1/u
0
ydy
=
1
2
I(0,1)(u) +
1
2
(
1
u
)2
I(1,∞)(u)
Note que E
[
X
Y
]
= E[U ] =
1
2
∫ 1
0
udu+
1
2
∫ ∞
1
1
u
du = ∞ bem difer-
ente de
E[X]
E[Y ]
= 1.
Te´cnica da func¸a˜o geradora de momentos
Descric¸a˜o da te´cnica:
E´ outro me´todo para determinar a distribuic¸a˜o de func¸o˜es de
varia´veis aleato´rias que e´ particularmente u´til em determinadas
circunstaˆncias.
O problema e´ o mesmo: dadas as varia´veis aleato´rias X1, . . . , Xn
com densidade conjunta conhecida fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) e func¸o˜es
g1(., . . . , .), . . .,gk(., . . . , .), queremos encontrar a distribuic¸a˜o con-
junta de Y1 = g1(X1, . . . , Xn), . . . , Yk = gK(X1, . . . , Xn).
A func¸a˜o geradora de momentos conjunta de Y1, . . ., Yk , se existe
e´ dada por,
32
mY1,...,Yk(t1, . . . , tk) = E[e
t1Y1+...+tkYk]
=
∫
. . .
∫
et1g1(x1,...,xn)+...+tkgk(x1,...,xn)
×fX1,...,Xn(x1, . . . , xn)
n∏
i=1
dxi (5)
se depois que a integrac¸a˜o da equac¸a˜o (5) for realizada, a func¸a˜o
resultante em func¸a˜o de t1, . . . , tk puder ser reconhecida como a
func¸a˜o geradora de momentos conjunta de alguma distribuic¸a˜o
conjunta conhecida, enta˜o seguira´ que Y1, . . . , Yk tem essa mesma
distribuic¸a˜o pelo fato de que, quando existe, a func¸a˜o geradora
de momentos e´ u´nica e determina unicamente a func¸a˜o de dis-
tribuic¸a˜o.
Se k > 1, esta´ te´cnica sera´ de uso limitado visto que podemos
reconhecer poucas func¸o˜es geradoras de momentos conjuntas.
Para k = 1, a func¸a˜o geradora de momentos e´ func¸a˜o de um
u´nico argumento, e teremos uma chance maior de reconhecer a
func¸a˜o geradora de momentos resultante.
A aplicac¸a˜o mais u´til da te´cnica da func¸a˜o geradora de momentos
e´ a de poder ser utilizada para achar soma de varia´veis aleato´rias
independentes.
X Exemplo
Suponha que X tem distribuic¸a˜o normal com me´dia 0 e variaˆncia
1. Seja Y = X2 ache a distribuic¸a˜o de Y .
mY (t) = E[e
tY ] = E[etX
2
] =
∫ ∞
−∞
etx
2
fX(x)dx
=
∫ ∞
−∞
etx
2 1√
2π
e
−1
2
x2
dx
=
1√
2π
∫ ∞
−∞
e
−1
2
x2(1− 2t)
dx
=
1√
2π
(1− 2t)−1/2
(1− 2t)−1/2
∫ ∞
−∞
e
−1
2
x2(1− 2t)
dx = (1− 2t)
−1
2
=
(
1/2
1/2− t
)1/2
, para t <
1
2
,
33
que reconhecemos como a func¸a˜o geradora de momentos da
func¸a˜o gama com paraˆmetros r =
1
2
e λ =
1
2
, ou ainda, dis-
tribuic¸a˜o χ2 com 1 grau de liberdade.
X Exemplo
Seja X1 e X2 duas varia´veis aleato´rias com distribuic¸a˜o normal
padra˜o. Seja Y1 = g1(X1, X2) = X1 + X2 e Y2 = g2(X1, X2) =
X2 −X1. Ache a distribuic¸a˜o conjunta de Y1 e Y2.
mY1,Y2(t1, t2) = E[e
Y1t1+Y2t2]
= E[e(X1+X2)t1+ (X2 −X1)t2]
= E[eX1(t1−t2)+X2(t1+t2)]
= E[eX1(t1−t2)]E[eX2(t1+t2)]
= mX1(t1 − t2)mX2(t1+ t2)
= exp
(t1 − t2)2
2
exp
(t2 − t1)2
2
= exp(t21+ t
2
2) = exp
2t21
2
exp
2t22
2
= mY1(t1)mY2(t2)
Notamos que Y1 e Y2 sa˜o varia´veis aleato´rias independentes e
cada uma possui distribuic¸a˜o normal com me´dia 0 e variaˆncia 2.
Distribuic¸a˜o da soma de v.a.independentes
Teorema
Se X1, X2, . . . , Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes e a func¸a˜o
geradora de momentos de cada uma delas existe para todos os
valores de t tal que −h < t < h para algum h > 0, considere
Y =
∑n
i=1Xi; enta˜o
mY (t) = E

exp n∑
i=1
Xit

 = n∏
i=1
mXi(t)
Prove!!!
34
A transformac¸a˜o Y = g(X)
Caso Unidimensional
A u´ltima das treˆs te´cnicas para achar a distribuic¸a˜o de func¸o˜es
de varia´veis aleato´rias e´ a te´cnica da transformac¸a˜o ou me´todo
do Jacobiano.
Uma varia´vel aleto´ria X pode ser transformada por alguma func¸a˜o
g(.) para definir uma nova varia´vel aleto´ria Y . A densidade de
Y , fY (y), sera´ determinada pela transformac¸a˜o g(.) juntamente
com a distribuic¸a˜o de probabilidade de X, fX(x).
Primeiramente, se X e´ uma varia´vel aleto´ria discreta que assume
os valores x1, x2, . . . , xn, com probabilidade P [X = x1] = fX(x1),
35
P [X = x2] = fX(x2) , . . . , P [X = xn] = fX(xn) enta˜o a dis-
tribuic¸a˜o de probabilidades de Y = g(X) e´ determinada direta-
mente pela lei de probabilidades, isto e´, a probabilidade de Y
assumir o valor yj e´ dada por:
P [Y = yj] = fY (yj) =
∑
i:g(xi)=yj
fX(xi)
X Exemplo
Suponha que X assuma os valores 0,1,2,3,4,5 com probabilida-
des fX(0), fX(1), fX(2), fX(3), fX(4) e fX(5). Se Y = g(X) =
(X − 2)2, a varia´vel aleato´ria Y assumira´ os valores 0,1,4,9;
assim
x y
0 4
1 1
2 0
3 1
4 4
5 9
fY (0) = fX(2)
fY (1) = fX(1) + fX(3)
fY (4) = fX(0) + fX(4)
fY (9) = fX(5)
Agora, se X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, enta˜o a dis-
tribuic¸a˜o acumulada de Y = g(X) pode ser achada pela inte-
grac¸a˜o de fX(x) sobre uma regia˜o apropriada, isto e´,
FY (y) = P [Y ≤ y] = P [g(X) ≤ y] =
∫
{x:g(x)≤y}
fX(x)dx
Justamente da mesma forma que a te´cnica da func¸a˜o de dis-
tribuic¸a˜o acumulada.
X Exemplo
Seja X uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o uniforme sobre
(0,1) e seja Y = g(X) = X2. Obtenha a f.d.p. de Y .
FY (y) = P [Y ≤ y] = P [X2 ≤ y] =
∫
x:x2≤y
fX(x)dx =
∫ √y
0
dx =
√
y para 0 < y < 1;
assim
FY (y) =
√
yI(0,1)(y) + I[1,∞)(y)
e portanto,
fY (y) =
1
2
1√
y
I(0,1)(y)
A aplicac¸a˜o da te´cnica da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada para
achar a distribuic¸a˜o de probabilidade de Y = g(X) deu origem a
te´cnica da transformac¸a˜o (ou me´todo do Jacobiano).
Teorema
Suponha que X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com f.d.p.
dada por fX(x). Seja X = {x : fX(x) > 0}. Assuma que:
• y = g(x) define uma transformac¸a˜o 1-1 (um a um) de X em
D.
• A derivada de x = g−1(y) com relac¸a˜o a y e´ cont´ınua e na˜o-
nula para y ∈ D, em que g−1(y) e´ a func¸a˜o inversa de g(x);
isto e´, g−1(y) e´ o x tal que g(x) = y. Enta˜o Y = g(X) e´ uma
varia´vel aleato´ria cont´ınua com f.d.p.
fY (y) =
∣∣∣∣∣ ddyg−1(y)
∣∣∣∣∣ fX(g−1(y))ID(y)
X Exemplo
Suponha que X tenha distribuic¸a˜o beta com paraˆmetros a e b.
Qual e´ a distribuic¸a˜o de probabilidade de Y = − ln(X)
Temos que
• X = {x : fX(x) > 0} = {x : 0 < x < 1}.
• y = g(x) = − ln(x) define uma transformac¸a˜o 1-1 de X em
D.
• x = g−1(y) = e−y assim d
dy
g−1(y) = −e−y a qual e´ cont´ınua
e na˜o nula para y ∈ D.
• D = {y : y > 0}.
Assim pelo Teorema
fY (y) =
∣∣∣∣∣ ddyg−1(y)
∣∣∣∣∣ fX(g−1(y))ID(y)
= e−y 1
B(a, b)
(e−y)a−1(1− e−y)b−1I(0,∞)(y)
=
1
B(a, b)
e−ay(1− e−y)b−1I(0,∞)(y)
Em particular, se b = 1, enta˜o B(a, b) =
1
a
; e fY (y) = ae
−ayI(0,∞)(y),
tem-se a distribuic¸a˜o exponencial com paraˆmetro a.
A condic¸a˜o de que g(x) seja uma transformac¸a˜o 1-1 na˜o e´ ne-
cessariamente restritiva. Para um transformac¸a˜o y = g(x), cada
ponto em X correspondera´ um u´nico ponto D; mas se a um ponto
de D corresponder va´rios em X , significa que a transformac¸a˜o
na˜o e´ 1−1 e consequentemente o Teorema na˜o pode ser aplicado
diretamente. Se, entretanto, X puder ser decomposto em um
nu´mero finito (ou mesmo enumera´vel) de conjuntos disjuntos,
digamos, X1, X2, . . . , tal que y = g(x) define uma transformac¸a˜o
1-1 de Xi em D, enta˜o a distribuic¸a˜o de probabilidade de Y =
g(X) podera´ ser calculada. Seja x = g−1i (y) a inversa de y = g(x)
para x ∈ X i. Enta˜o a densidade de Y = g(X) sera´ dada por:
fY (y) =
∑∣∣∣∣∣ ddyg−1i (y)
∣∣∣∣∣ fX(g−1i (y))ID(y) (6)
em que a soma devera´ ser sobre todos os i tais que g(x) = y
para algum valor de x ∈ X i.
X Exemplo
Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com f.d.p. fX(.), e seja
Y = g(X) = X2. Note que X e´ um intervalo que conte´m nu´meros
positivos e negativos, enta˜o y = g(x) = x2 na˜o e´ 1-1. Entre-
tanto, se X for decomposto em X1 = {x : x ∈ X , x < 0} e
X2= {x : x ∈ X , x ≥ 0}, enta˜o y = g(x) define uma transformac¸a˜o
1-1 em cada X i. Observe que g−11 (y) = −
√
y e g−12 (y) =
√
y. E
portanto por (6)
fY (y) =
[
1
2
1√
y
fX(−
√
y) +
1
2
1√
y
fX(
√
y)
]
I(0,∞)(y)
Em particular, se
fX(x) =
1
2
e−|x| enta˜o
fY (y) =
1
2
1√
y
e−
√
yI(0,∞)(y)
ou, se
fX(x) =
2
9
(x+1)I(−1,2)(x),
fY (y) =
[
1
2
1√
y
2
9
(−√y+1)+ 1
2
1√
y
2
9
(1 +
√
y)
]
I(0,1)(y)+
1
2
1√
y
2
9
(1 +
√
y)I[1,4)(y)
Caso Multidimensional
Nessa sec¸a˜o veremos como obter a distribuic¸a˜o conjunta de
va´rias varia´veisque sa˜o func¸o˜es de um conjunto de varia´veis
aleato´rias.
Varia´veis Aleato´rias discretas
Suponha que a func¸a˜o de probabilidade FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn)
de n varia´veis aleato´rias discretas X1, X2, . . . , Xn seja conhecida.
Seja X os pontos de “massa”de X1, X2, . . . , Xn; isto e´,
X = {(x1, x2, . . . , xn) : fX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) > 0}.
36
Enta˜o a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta de Y1 =
g1(x1, x2, . . . , xn), . . . , Yk = gk(x1, x2, . . . , xn) e´ dada por:
fY1,...,Yn(y1, . . . , yn) = P [Y1 = y1, . . . , Yn = yn] =
∑
fX1,...,Xn(x1, . . . , xn)
em que a soma e´ em relac¸a˜o aos (x1, . . . , xn) para os quais
(y1, . . . , yn) = (g1(x1, . . . , xn), . . . , gk(x1, . . . , xn)).
X Exemplo
Suponha que a distribuic¸a˜o conjunta de (X1, X2, X3) seja dada
por
Tabela : Distribuic¸a˜o de probabilidade do vetor aleato´rio
(X1, X2, X3)
(x1, x2, x3) fX1,X2,X3(x1, x2, x3)
(0,0,0) 1/8
(0,0,1) 3/8
(0,1,1) 1/8
(1,0,1) 1/8
(1,1,0) 1/8
(1,1,1) 1/8
37
Ache a densidade conjunta de
Y1 = g1(X1, X2, X3) = X1+X2+X3
e
Y2 = g2(X1, X2, X3) = | X3 −X1 |
Temos,
X = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}
e assim,
(X1, X2, X3 Y1 = X1+X2+X3 Y2 =| X3 −X2 |
(0,0,0) Y1 = 0 Y2 = 0
(0,0,1) Y1 = 1 Y2 = 1
(0,1,1) Y1 = 2 Y2 = 0
(1,0,1) Y1 = 2 Y2 = 1
(1,1,0) Y1 = 2 Y2 = 1
(1,1,1) Y1 = 3 Y2 = 0
Portanto,
Y = {(0,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0)}.
Ainda,
(y1, y2) fY1,Y2(y1, y2)
(0,0) fY1,Y2(0,0) = fX1,X2,X3(0,0,0) =
1
8
(1,1) fY1,Y2(1,1) = fX1,X2,X3(0,0,1) =
3
8
(2,0) fY1,Y2(2,0) = fX1,X2,X3(0,1,1) =
1
8
(2,1) fY1,Y2(2,1) = fX1,X2,X3(1,0,1) + fX1,X2,X3(1,1,0) =
2
8
(3,0) fY1,Y2(3,0) = fX1,X2,X3(1,1,1) =
1
8
Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Suponha que dada a func¸a˜o densidade de probabilidade con-
junta de fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) de n varia´veis aleato´rias cont´ınuas
(X1, . . . , Xn).
X = {(x1, . . . , xn) : fX1,...,Xn(x1, . . . , xn) > 0}.
Queremos obter a a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade con-
junta de Y1 = g1(x1, x2, . . . , xn), . . . , Yk = gk(x1, x2, . . . , xn), em
que, k e´ um nu´mero inteiro satisfazendo 1 ≤ k ≤ n. Se k < n
introduzimos adicionalmente, novas varia´veis aleato´rias Yk+1 =
gk+1(x1, x2, . . . , xn), . . ., Yn = gn(x1, x2, . . . , xn) considerando-se
38
func¸o˜es gk+1, . . ., gn convenientes e dessa maneira encontramos
a distribuic¸a˜o conjunta de de Y1, Y2, . . . , Yn, e finalmente, a dis-
tribuic¸a˜o marginal desejada Y1, Y2, . . . , Yk.
Sem perda de generalidade considera-se k = 2.
Teorema
Sejam X1 e X2 duas varia´veis aleato´rias cont´ınuas com func¸a˜o
densidade de probabilidade conjunta de X1 e X2 conhecida f(X1,X2)(x1, x2).
Seja X = {(x1, x2) : fX1,X2(x1, x2) > 0}. Assuma que:
( i) y1 = g1(x1, x2) e y2 = g2(x1, x2) define uma transformac¸a˜o
1-1 de X em D.
( ii) A derivada parcial de primeira ordem de x1 = g
−1
1 (y1, y2) e
x2 = g
−1
2 (y1, y2) sa˜o cont´ınuas sobre D.
(iii) O Jacobiano da transformac¸a˜o e´ na˜o-nulo para (y1, y2) ∈ D.
Enta˜o a densidade conjunta de Y1 = g1(X1, X2) e Y1 = g1(X1, X2)
e´ dada por
fY1,Y2(y1, y2) =| J | fX1,X2(g−11 (y1, y2), g−12 (y1, y2))ID(y1, y2)
X Exemplo
Suponha que X1 e X2 sejam varia´veis aleato´rias independentes,
cada uma uniformemente distribu´ıda sobre o intervalo (0,1). En-
contre a distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta de Y1 = X1+X2
e Y2 = X2 −X1.
Tem-se:
( i) fX1,X2(x1, x2) = I(0,1)(x1)I(0,1)(x2)
(ii) X = {(x1, x2) : 0 < x < 1 e 0 < y < 1}
39
(iii) x1 =
1
2
(y1− y2) = g−11 (y1, y2) e x2 =
1
2
(y1+ y2) = g
−1
2 (y1, y2)
ainda,
J =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂y1
∂x1
∂y2
∂x2
∂y1
∂x2
∂y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
2
−1
2
1
2
1
2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
1
2
portanto,
fY1,Y2(y1, y2) = | J | fX1,X2(g−11 (y1, y2), g−12 (y1, y2))ID(y1, y2)
=
1
2
I(0,1)
(
y1 − y2
2
)
I(0,1)
(
y1+ y2
2
)
=


1
2
para (y1, y2) ∈ D
0 c.c.
⋆ Esboce a regia˜o D e encontre as distribuic¸o˜es marginais do
exemplo 2.2.
X Exemplo
Seja X1 e X2 duas varia´veis aleato´rias independentes com dis-
tribuic¸a˜o normal. Seja Y1 = X1+X2 e Y2 =
X1
X2
. Enta˜o:
( i) fX1,X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2)
(ii) X = {(x1, x2) : x1 ∈ R e x2 ∈ R}
(iii) x1 =
y1y2
1+ y2
= g−11 (y1, y2) e x2 =
y1
1+ y2
= g−12 (y1, y2) ainda,
J =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂y1
∂x1
∂y2
∂x2
∂y1
∂x2
∂y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y2
1+ y2
− y1
(1 + y2)2
1
1+ y2
− y1
(1 + y2)2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
y1
(1 + y2)2
logo,
fY1,Y2(y1, y2) = | J | fX1,X2(g−11 (y1, y2), g−12 (y1, y2))ID(y1, y2)
=
| y1 |
(1 + y2)2
1
2π
exp
{
−1
2
[
(y1y2)
2
(1 + y2)2
+
y21
(1 + y2)2
]}
=
1
2π
| y1 |
(1 + y2)2
exp
[
−1
2
(1 + y22)y
2
1)
(1 + y2)2
]
(7)
Para encontrar a distribuic¸a˜o marginal de Y2, deve-se integrar
(7) com relac¸a˜o a y1, isto e´,
fY2(y2) =
∫ ∞
−∞
fY1,Y2(y1, y2)dy1
=
1
2π
1
(1 + y2)2
∫ ∞
−∞
| y1 | exp
[
−1
2
(1 + y22)y
2
1)
(1 + y2)2
]
dy1.
Fazendo u =
1
2
(1+ y22)y
2
1)
(1 + y2)2
; enta˜o du = −1
2
(1 + y22)
(1 + y2)2
y1dy1
e assim,
fY2(y2) =
1
2π
1
(1 + y22)
2
(1 + y22)
(1 + y2)2
∫ ∞
0
e−udu = 1
π
1
(1 + y2)2
que e´ a densidade de Cauchy. Isto e´, o quociente de duas normais
padra˜o independentes tem distribuic¸a˜o de Cauchy.
X Exemplo
Seja Xi varia´vel aleato´ria gama com paraˆmetros ni e λ para
i = 1,2. Assuma que X1 e X2 sa˜o independentes. Encontre a
distribuic¸a˜o de Y1 = X1+X2 e Y2 =
X1
X2
.
Temos, x1 =
y1y2
1+ y2
= g−11 (y1, y2) e x2 =
y1
1+ y2
= g−12 (y1, y2),
portanto,
| J |= y1
(1 + y2)2
e
fY1,Y2(y1, y2) =
y1
(1 + y2)2
1
Γ(n1)
1
Γ(n2)
λn1+n2
=
(
y1y2
1+ y2
)n1−1( y1
1+ y2
)n2−1
e−λy1ID(y1, y2)
=
λn1+n2
Γ(n1)Γ(n2)
y
n1+n2−1
1 e
−λy1 y
n1−1
2
(1 + y2)n1+n2
I(0,∞)(y1)I(0,∞)(y2)
=
[
λn1+n2
Γ(n1+ n2)
y
n1+n2−1
1 e
−λy1I(0,∞)(y1)
]

 1
B(n1, n2)
y
n1−1
2
(1 + y2)n1+n2
I(0,∞)(y2)


Vemos, assim, que fY1,Y2(y1, y2) = fY1(y1)fY2(y2); assim, Y1 e Y2
sa˜o independentes. Tambe´m, veˆ-se que Y1 = X1 + X2 e´ uma
distribuic¸a˜o gama com paraˆmetros n1+ n2 e λ. Se n1 = n2 = 1
enta˜o Y2 e´ o quociente de duas varia´veis aleato´rias independentes
exponencialmente distribu´ıdas cuja densidade e´:
fY2(y2) =
1
(1+ y2)2
I(0,∞)(y2)
E essa densidade possui esperanc¸a infinita.
X Exemplo
Seja Xi v.a. com distribuic¸a˜o gama com paraˆmetros ni e λ para
i = 1,2, e assuma que X1 e X2 sejam independentes. Obtenha
a distribuic¸a˜o de Y1 =
X1
(X1+X2)
utilizando o me´todo da trans-
formac¸a˜o.
Das treˆs condic¸o˜es que sa˜o impostas sobre as transformac¸o˜es
Y1 = g1(X1, X2), a`s vezes a condic¸a˜o restritiva de que a trans-
formac¸a˜o seja 1 a 1 pode ser relaxada. Para a transformac¸a˜o
y1 = g1(x1, x2) e y2 = g2(x1, x2), cada ponto em X correspon-
dera´ um u´nico ponto em D; mas a cada ponto em D podera´
corresponder mais que um u´nico ponto em X o que diz que a
transformac¸a˜o na˜o e´ 1 a 1 e consequentemente o teorema () na˜o
podera´ ser aplicado. Se, entretanto, X puder ser decomposto
em um nu´mero finito de conjuntos disjuntos, digamos, em X1,
X2, . . ., Xm de tal forma que, y1 = g1(x1, x2) e y2 = g2(x1, x2) de-
fina uma transformac¸a˜o 1 a 1 de cada Xi em D enta˜o a func¸a˜o
de densidade conjunta de Y1 = g1(X1, X2) e Y2 = g1(X1, X2)
podera´ ser achada. Seja x1 = g
−1
1i (y1, y2) e x2 = g
−1
2i (y1, y2) a
transformac¸a˜o inversa de D em Xi para i = 1, .. . ,m e seja
Ji =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂g−11i
∂y1
∂g−11i
∂y2
∂g−12i
∂y1
∂g−12i
∂y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Teorema
Seja X1 e X2 duas varia´veis aleato´rias cont´ınuas com func¸a˜o
densidade de probabilidade conjunta fX1,X2(x1, x2). Assuma que
X pode ser decomposto em um nu´mero finito de conjuntos
disjuntos X1, X2, . . ., Xm de tal forma que y1 = g1(x1, x2) e
y2 = g2(x1, x2) e´ uma transformac¸a˜o 1 a 1 de Xi em D. Seja
x1 = g
−1
1i (y1, y2) e x2 = g
−1
2i (y1, y2) a transformac¸a˜o inversa de D
em Xi para i = 1, . . . ,m. Assuma que todas as derivadas parciais
de primeira ordem de g−11i e g
−1
2i sejam cont´ınuas em D e que Ji
na˜o se anule em D, i = 1, . . . ,m. Enta˜o,
fY1,Y2(y1, y2) =| Ji | fX1,X2(g−11i (y1, y2), g−12i (y1, y2))ID(y1, y2)
X Exemplo
Assuma que X1 e X2 sejam varia´veis aleato´rias independentes
com distribuic¸a˜o normal padra˜o. Considere a transformac¸a˜o y1 =
x21+x
2
2 e que y2 = x2, enta˜o, x2 = y2 e x1 =
+
−
√
y1 − y22 e dessa
forma a transformac¸a˜o na˜o e´ um-a-um.
Os teoremas () e () podem ser generalizados de n = 2 para
n > 2.
Teorema
Sejam X1, . . . , Xn varia´veis aleato´rias cont´ınuas com func¸a˜o den-
sidade de probabilidade conjunta fX1,...,Xn(x1, . . . , xn). Assuma
que X pode ser decomposto em um nu´mero finito de conjuntos
disjuntos X1, X2, . . ., Xm de tal forma que y1 = g1(x1, . . . , xn), . . .,
y2 = g2(x1, . . . , xn), . . ., yn = gn(x1, . . . , xn) sa˜o transformac¸o˜es 1
a 1 de Xi em D, i = 1, . . . ,m. Sejam x1 = g−11i (y1, . . . , yn), . . .,
xn = g
−1
ni (y1, . . . , yn) as transformac¸o˜es inversas de D em Xi para
i = 1, . . . ,m. Assuma que todas as derivadas parciais de primeira
ordem de g−11i , . . ., g
−1
ni sejam cont´ınuas em D e que Ji na˜o se
anule em D, i = 1, . . . ,m onde
Ji =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂g−11i
∂y1
. . .
∂g−11i
∂yn
. . . . . . . . .
∂g−1ni
∂y1
. . .
∂g−12i
∂yn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Enta˜o,
fY1,...,Yn(y1, . . . , yn) =
m∑
i=1
| Ji | fX1,...,Xn(g−11i (y1, . . . , yn), g−12i (y1, . . . , yn))
ID(y1, . . . , yn)
X Exemplo
Sejam X1, X2, X3 varia´veis aleato´rias independentes com dis-
tribuic¸a˜o normal padra˜o e Y1 = X1, Y2 =
X1+X2
2
e Y3 =
X1+X2+X3
3
. Encontre a distribuic¸a˜o conjunta Y1, Y2, Y3. E
a distribuic¸a˜o marginal de Y3.
Lista de exerc´ıcios
Data de entrega: 28/ 04/ 2005
1. Suponhamos que a varia´vel aleato´ria X seja cont´ınua. Mostre
que:
(a) f(x) = 2 x I(0,1)(x) e´ fdp.
(b) Calcule P (X ≤ 1/2).
(c) Calcule P (X ≤ 1/2|1/3 ≤ X ≤ 2/3)
(d) Encontre a funca˜o de distribuic¸a˜o acumulada.
40
2. Considerando-se que a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (fd)
de X e´ dada por:
F (x) =


0 se x < 0
1/3 se 0 ≤ x < 1
1/2 se 1 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2
Pergunta-se:
(a) X e´ v.a. discreta? Cont´ınua? Ou Mista?
(b) Encontre f(x).
3. Suponha que X seja uniformemente distribu´ıda sobre [−α, α],
α > 0. Determine α de modo que as seguintes relac¸o˜es sejam
satisfeitas:
(a) P (X > 1) = 1/3 (b) P (X > 1) = 1/2
(c) P (x < 1/2) = 0,7 (d) P (X < 1/2) = 0,3
(e) P (|X| < 1) = P (|X| > 1)
4. Suponha que a varia´vel aleato´ria X tenha valores poss´ıveis:
1,2,3, . . . e que
P (X = r) = k(1− β)(r−1), 0 < β < 1.
(a) Determine k.
(b) Ache a moda desta distribuic¸a˜o ( isto e´, o valor de r que
torne P (X = r) a maior poss´ıvel).
5. Uma varia´vel aleato´ria X pode assumir quatro valores, com
probabilidades (1+3x)/4, (1−x)/4, (1+2x)/4 e (1−4x)/4.
Para que valores de x tem-se uma distribuic¸a˜o de probabili-
dades?
6. Mostre que a func¸a˜o definida abaixo e´ uma fdp de uma
varia´vel aleato´ria mista.
F (x) =


1/4ex se x ≤ 0
1/8 se 0 ≤ x < 2
(1/2)x se x = 2,3, . . .
0 caso contra´rio
7. (Varia´vel aleato´ria truncada) Suponha que v.a. X tenha distri
buic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ. Defina a v.a. Y como
segue:
Y = X se X ≥ k ( para um valor inteiro positivo k)
e Y ≥ 0 caso contra´rio. Encontre P (Y = y), y =
k, k+1, . . ..
8. Duas linhas de produc¸a˜o fabricam um certo tipo de pec¸a.
Suponha que a capacidade ma´xima (em qualquer dia) seja 5
pec¸as na linha I e 3 pec¸as na linha II. Admita que o nu´mero
de pec¸as realmente produzidas em qualquer linha seja uma
varia´vel aleato´ria, e que (X,Y ) represente a varia´vel aleato´ria
bidimensional que fornece o nu´mero de pec¸as produzidas pela
linha I e a linha II, respectivamente.
A Tabela 1 da´ a distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta de
(X,Y ). Cada casela representa
p(xi, yj) = P (X = xi, Y = yj)
Assim, p(2,3)=P(X=2, Y=3)=0,04 etc.
Tabela 1: Distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta de (X,Y )
X Â 0 1 2 3 4 5
Y ↓
0 0,00 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09
1 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,08
2 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,06
3 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,05
(a) Seja B={mais pec¸as sa˜o produzidas pela linha I que pela
linha II}. Encontre P (B).
(b) Encontre as distribuic¸o˜es marginais.
9. Seja f(x, y) = x2+
xy
3
I(0,1)(x)I(0,2)(y)
(a) Verifique que f(x, y) e´ fdp.
(b) Seja o evento B = {X + Y ≥ 1}. Encontre P (B).
(c) Encontre as distribuic¸o˜es marginais.
10. Suponhamos uma varia´vel aleato´ria bidimensional (X,Y ) uni-
formemente distribu´ıda sobre a regia˜o R a qual e´ limitada
pelas retas y = x e y = x2.
(a) Encontre f . Mostre que e´ uma fdp.
(b) Encontre as distribuic¸o˜es marginais.
11. Mostre que p(xi|yj), i = 1,2, . . . e p(yj|xi), j = 1,2, . . . sa˜o
func¸o˜es de probabilidade. Estas distribuic¸o˜es sa˜o chamadas
de distribuic¸o˜es de probabilidades condicionais. E mostre que
sa˜o f.p. .
12. Encontre as distribuic¸o˜es de probabilidades condicionais do
exerc´ıcio 8. E mostre que sa˜o f.p. .
13. As varia´veis aleato´rias X e Y do exerc´ıcio 8 sa˜o indepen-
dentes. Justifique sua resposta.
14. Suponha que a fdp conjunta de (X,Y ) seja dada por:
f(x, y) = e−yI(0,∞)(x)I(x,∞)(y)
(a) Ache a fdp marginal de X.
(b) Ache a fdp marginal de Y .
(c) Calcule P (X > 2|Y < 4).
(d) X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes? Justifique.
15. Seja X1 e X2 duas varia´veis independentes com distribuic¸a˜o
normal padra˜o. Seja
Y =
(X2 −X1)2
2
,
ache a distribuic¸a˜o de Y .
16. Suponha que X1, X2, . . . , Xn sejam varia´veis aleato´rias inde-
pendentes com distribuic¸a˜o Bernoulli, isto e´, P [Xi = 1] = p
e P [Xi = 1] = 1− p. Ache a distribuic¸a˜o de probabilidade de
Y =
∑n
i=1Xi.
17. Suponha que X1, X2, . . . , Xn sejam varia´veis aleato´rias inde-
pendentes com distribuic¸a˜o Poisson com paraˆmetro λi. Ache
a distribuic¸a˜o de probabilidade de Y =
∑n
i=1Xi.
18. Suponha que X1, X2, . . . , Xn sejam varia´veis aleato´rias inde-
pendentes com distribuic¸a˜o exponencial todas com o mesmo
paraˆmetro λ. Ache a distribuic¸a˜o de probabilidade de Y =∑n
i=1Xi.
19. Assuma que X1, X2, . . . , Xn sejam varia´veis aleato´rias inde-
pendentes com distribuic¸a˜o normal com paraˆmetros µi e σ
2
i .
Ache a distribuic¸a˜o de probabilidade de (a) aiXi, (b) Y =∑n
i=1 aiXi .
20. Com relac¸a˜o ao item anterior e´ necessa´rio que as varia´veis
aleato´rias X1, X2, . . . , Xn sejam independentes? Sim, por
queˆ? Na˜o, por queˆ?
21. Assuma que X1, X2, . . . , Xn sejam varia´veis aleato´rias inde-
pendentes com distribuic¸a˜o normal padra˜o. Ache a dis-
tribuic¸a˜o de probabilidade de Y =
1
n
n∑
i=1
Xi.
22. Suponha que X tem distribuic¸a˜o de Pareto encontre a dis-
tribuic¸a˜o de Y = ln(X)
23. Suponha que X seja uniformemente distribu´ıda sobre (−1,1).
Seja Y = 4 − X2. Achar a f.d.p. de Y , fY (y) e fazer seu
gra´fico. Verifique tambe´m que fY (y) e´ a f.d.p. adequada.
24. Suponha que X seja uniformemente distribu´ıda sobre (1,3).
Achar a f.d.p. de Y = 3X+ 4, Z = eX. Verifique em cada
caso que a func¸a˜o obtida e´ a f.d.p. Esboce os gra´ficos.
25. Suponha que a varia´vel aleato´ria discreta X assuma os valores
1, 2 , 3 com igual probabilidade. Ache a distribuic¸a˜o de
Y = 2X +3.
26. Suponha que a varia´vel aleato´ria X tenha f.d.p. f(x) = e−x,
x > 0. Ache a f.d.p. das seguintes varia´veis aleato´rias:(a)
Y = X3, (b) Z = 3/(X +1)2.
27. Suponha que P (X ≤ 0,29) = 0,75, em que X e´ uma varia´vel
aleato´ria cont´ınua com alguma distribuic¸a˜o definida sobre
(0,1). Quando Y = 1−X, determinar k de modo que P (Y ≤
k) = 0,25.
28. Suponha que a varia´vel aleato´ria X possa assumir os sete
valores −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 com probabilidade igual. De-
termine a func¸a˜o de probabilidade (f.p.) de Y = X2 −X.
29. Suponha que a func¸a˜o densidade de probabilidade (f.d.p.) de
uma varia´vel aleato´ria X seja dada por:
f(x) =


1
2
x para 0 < x < 2
0 caso contra´rio
Supondo que Y = X(2 − X). Determine a func¸a˜o de dis-
tribuic¸a˜o acumulada e a func¸a˜o densidade de probabilidade
de Y .
30. Supondo que a f.d.p. de X e´ dada como no exerc´ıcio anterior.
Determine a f.d.p. de Y = 4−X3.
31. Suponha que X e´ uma varia´vel aleato´ria para a qual a f.d.p.
e´ f e que Y = aX+ b, (a 6= 0). Mostre que a f.d.p. de Y e´ :
g(y) =
1
| a |f
(
y − b
a
)
, para −∞ < y <∞
32. Suponha que a f.d.p. de X tenha distribuic¸a˜o uniforme no
intervalo (0,1). Determine a f.d.p. de (a) X2, (b) −X3 e
(c) X1/2.
33. Suponha que a f.d.p. de X e´ dada por:
f(x) =
{
e−x para x > 0
0 para x ≤ 0
Determine a f.d.p. de Y = X1/2.
34. Suponha que X tenha distribuic¸a˜o uniforme no intervalo (0,1).
Defina uma varia´vel aleato´ria Y = r(X) para a qual a f.d.p.
seja dada por:
f(x) =


3
8
y2 para 0 < y < 2
0 caso contra´rio
35. Seja X uma varia´vel aleato´ria cuja f.d.p. e´ dada no exerc´ıcio
anterior. Defina uma varia´vel aleato´ria Y = r(X) para a qual
a f.d.p. seja dada pela f.d.p do exerc´ıcio 2.
36. Suponha que X1, X2, X3 tenham distribuic¸a˜o conjunta cont´ınua
e que sua f.d.p seja dada por:
f(x) =
{
8 x1 x2 x3 para 0 < xi < 1 i = 1,2,3
0 caso contra´rio
Suponha que Y1 = X1, Y2 = X1X2 e Y3 = X1X2X3. Ache a
distribuic¸a˜o conjunta de Y1, Y2 e Y3.
37. Suponha que X1 e X2 sejam varia´veis aleato´rias e que cada
um delas tenha distribuic¸a˜o uniforme sobre o intervalo (0,1).
Ache a f.d.p. de Y = X1+X2.
38. Suponha que X1, X2 teˆm distribuic¸a˜o de probabilidade cont´ınua
e que sua f.d.p. e´ dada por:
f(x) =
{
x1+ x2 para 0 < xi < 1 i = 1,2
0 caso contra´rio
Ache a f.d.p. de Y = X1X2.
39. Suponha que a f.d.p. de X1 e X2 seja dada no exerc´ıcio
anterior. Ache a f.d.p. de Y = X1/X2
40. Seja X e Y varia´veis aleato´rias cuja f.d.p. e´ dada por:
f(x, y) =
{
2(x+ y) para 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
0 caso contra´rio
Ache a f.d.p. de Z = X + Y .
41. Suponha que X1 e X2 sa˜o v.a. i.i.d. e que a f.d.p. e´:
f(x) =
{
e−x para x > 0
0 caso contra´rio
Ache a f.d.p. de y = X1 −X2.
42. Suponha que X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes em
que X ∼ χ2m e Y ∼ χ2m. Defina U = X + Y e V =
X
n
Y
n
=
m
n
X
Y
.
Deduza a distribuic¸a˜o conjunta de U e V .
43. Assuma que X1 e X2 sa˜o varia´veis aleato´rias independentes
com distribuic¸a˜o normal padra˜o. Encontre a distribuic¸a˜o con-
junta de Y1 = X
2
1+X
2
2 e Y2 = X2 e a distribuic¸a˜o marginal de
Y1 e Y2. As varia´veis aleato´rias Y1 e Y2 sa˜o independentes?
Sugesta˜o para leitura
1. Probabilidade: Aplicac¸o˜es a` Estat´ıstica, Paul L. Meyer.
2. Probabilidade: um curso em n´ıvel Intermedia´rio, Barry R.
James.
3. A First course in mathematical statistics, George G. Roussas.
4. Introduction to the Theory of Statistics Mood, A.M.; Gray-
bill, F.A.; Boes.
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